2023-2024學年北京市海淀區(qū)建華實驗學校4-6班八年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市海淀區(qū)建華實驗學校4-6班八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）一元二次方程x2＝3x﹣4的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．0，3，﹣4 B．1，3，﹣4 C．1，﹣3，4 D．0，﹣3，42．（2分）將拋物線y＝2x2﹣1向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為（）A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+13．（2分）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0時，將它化為（x+m）2＝n的形式，則m﹣n的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．24．（2分）如圖，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以2cm/s的速度向點B運動；同時點Q從點A出發(fā)，沿AC方向以1cm/s的速度向點C運動，其中一個動點到達終點，則另一個動點也停止運動，則三角形APQ的最大面積是（）A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm25．（2分）若x＝3是關于x的方程ax2﹣bx＝6的解，則2023﹣6a+2b的值為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20226．（2分）參加一次活動的每個人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動？設有x人參加活動，可列方程為（）A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝107．（2分）甲、乙兩同學解方程x2+px+q＝0，甲看錯了一次項，得根2和7，乙看錯了常數(shù)項，得根1和﹣10，則原方程為（）A．x2﹣9x+14＝0 B．x2+9x﹣14＝0 C．x2﹣9x+10＝0 D．x2+9x+14＝08．（2分）如圖為某二次函數(shù)的部分圖象，有如下四個結(jié)論：①此二次函數(shù)表達式為y＝x2﹣x+9：②若點B（﹣1，n）在這個二次函數(shù)圖象上，則n＞m；③該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點為（﹣4，0）；④當0＜x＜5.5時，m＜y＜8．所有正確結(jié)論的序號是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點是（1，5），當x＞1時，y隨x的增大而增大，則拋物線解析式可以是．（任寫一個即可）10．（2分）關于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是．11．（2分）將拋物線y＝x2向下平移b（b＞0）個單位長度后，所得新拋物線經(jīng)過點（1，﹣4），則b的值為．12．（2分）某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由168元降為128元，已知兩次降價的百分率相同，每次降價的百分率為x，根據(jù)題意列方程得．13．（2分）下面的三個問題中都有兩個變量：①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x．其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關系可以用如圖所示的圖象表示的是（填序號）．14．（2分）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2的圖象上有，B（1，y2），C（4，y3）三點，則y1，y2，y3的大小關系．（按照從小到大的順序排列）15．（2分）若m、n（m＜n）是關于x的方程2﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關系是．16．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有五個點A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），將二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的圖象記為W．下列的判斷中：①點A可能在W上；②點B，C，D可以同時在W上；③點C，E不可能同時在W上．所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（本題共68分，第17題8分；第18～19，每小題8分；第20、23題，每小題8分；第21、22題，每小題8分，第24～26題，每小題8分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（8分）解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，求代數(shù)式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．19．（5分）已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若m＜0，且此方程的兩個實數(shù)根的差為3，求m的值．20．（6分）已知一次函數(shù)y1＝kx+m（k≠0）和二次函數(shù)部分自變量和對應的函數(shù)值如下表：x?﹣2﹣1012?y1?01234?y2?0﹣1038?（1）求y2的表達式；（2）當﹣1≤x≤0時，求y2的取值范圍．（3）關于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．21．（7分）已知二次函數(shù)y＝x2+4x+3．（1）求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；（2）畫出此函數(shù)的圖象；（3）若點A（0，y1）和B（m，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．22．（7分）如圖，要使用長為27米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為12米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．（1）如果要圍成面積為54平方米的花圃，那么AD的長為多少米？（2）能否圍成面積為90平方米的花圃？若能，請求出AD的長；若不能，請說明理由．23．（6分）如圖，排球運動場的場地長18m，球網(wǎng)高度2.24m，球網(wǎng)在場地中央，距離球場左、右邊界均為9m．一名球員在場地左側(cè)邊界練習發(fā)球，排球的飛行路線可以看作是對稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分．某次發(fā)球，排球從左邊界的正上方發(fā)出，擊球點的高度為2m，當排球飛行到距離球網(wǎng)3m時達到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐標系xOy（1個單位長度表示1m），求得該拋物線的表達式為y＝﹣x2+．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）畫出小石建立的平面直角坐標系；（2）判斷排球能否過球網(wǎng)，并說明理由．24．（8分）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）和（2，n）在拋物線y＝﹣x2+bx上．（1）若m＝0，求該拋物線的對稱軸；（2）若mn＜0，設拋物線的對稱軸為直線x＝t．①直接寫出t的取值范圍；②已知點（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在該拋物線上，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．25．（8分）已知∠MAN＝45°，點B為射線AN上一定點，點C為射線AM上一動點（不與點A重合），點D在線段BC的延長線上，且CD＝CB，過點D作DE⊥AM于點E．（1）當點C運動到如圖1的位置時，點E恰好與點C重合，此時AC與DE的數(shù)量關系是；（2）當點C運動到如圖2的位置時，依題意補全圖形，并證明：2AC＝AE+DE；（3）在點C運動的過程中，點E能否在射線AM的反向延長線上？若能，直接用等式表示線段AC，AE，DE之間的數(shù)量關系；若不能，請說明理由．26．（8分）在平面直角坐標系xOy中，對于第一象限的P，Q兩點，給出如下定義：若y軸正半軸上存在點P'，x軸正半軸上存在點Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如圖1），則稱點P與點Q為α﹣關聯(lián)點．（1）在點Q1（3，1），Q2（5，2）中，與（1，3）為45°﹣關聯(lián)點的是；（2）如圖2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若線段MN上存在點Q，使點P與點Q為45°﹣關聯(lián)點，結(jié)合圖象，求m的取值范圍；（3）已知點A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若線段AB上至少存在一對30°﹣關聯(lián)點，直接寫出n的取值范圍．

2023-2024學年北京市海淀區(qū)建華實驗學校4-6班八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）一元二次方程x2＝3x﹣4的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．0，3，﹣4 B．1，3，﹣4 C．1，﹣3，4 D．0，﹣3，4【分析】將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，進行作答即可．【解答】解：x2＝3x﹣4，∴x2﹣3x+4＝0，∴二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是1，﹣3，4．故選：C．【點評】本題考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a，b，c分別是二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，是解題的關鍵．2．（2分）將拋物線y＝2x2﹣1向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為（）A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+1【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律平移則可．【解答】解：按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，y將拋物線y＝2x2﹣1向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為y＝2（x+1）2﹣1﹣2，即y＝2（x+1）2﹣3，故選：B．【點評】本題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．3．（2分）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0時，將它化為（x+m）2＝n的形式，則m﹣n的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．2【分析】先把常數(shù)項移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上9，接著把方程左邊寫成完全平方的形式，從而得到m、n的值，然后計算m﹣n的值．【解答】解：x2+6x+3＝0，x2+6x＝﹣3，x2+6x+9＝6，（x+3）2＝6，所以m＝3，n＝6，所以m﹣n＝3﹣6＝﹣3．故選：B．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關鍵．4．（2分）如圖，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以2cm/s的速度向點B運動；同時點Q從點A出發(fā)，沿AC方向以1cm/s的速度向點C運動，其中一個動點到達終點，則另一個動點也停止運動，則三角形APQ的最大面積是（）A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2【分析】設經(jīng)過ts運動停止，列出面積與t之間的函數(shù)關系式．【解答】解：根據(jù)題意沿AB方向以2cm/s的速度向點B運動；同時點Q從點A出發(fā)，沿AC方向以1cm/s的速度向點C運動，∴AP＝2t，AQ＝t，S△APQ＝t2，∵0＜t≤4，∴三角形APQ的最大面積是16．故選：B．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用，借助二次函數(shù)解決實際問題．5．（2分）若x＝3是關于x的方程ax2﹣bx＝6的解，則2023﹣6a+2b的值為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】根據(jù)方程的解，得到9a﹣3b＝6，即：3a﹣b＝2，整體代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：把x＝3代入方程，得：9a﹣3b＝6，即：3a﹣b＝2，∴2023﹣6a+2b＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣2×2＝2019；故選：A．【點評】本題考查一元二次方程的解．熟練掌握方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，是解題的關鍵．6．（2分）參加一次活動的每個人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動？設有x人參加活動，可列方程為（）A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10【分析】如果有x人參加了聚會，則每個人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每兩個人都握了一次手，因此要將重復計算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，據(jù)此可列出關于x的方程．【解答】解：設x人參加這次聚會，則每個人需握手：（x﹣1）（次）；依題意，可列方程為：＝10．故選：A．【點評】考查了由實際問題抽象出一元二次方程．理清題意，找對等量關系是解答此類題目的關鍵；需注意的是本題中“每兩人都握了一次手”的條件，類似于球類比賽的單循環(huán)賽制．7．（2分）甲、乙兩同學解方程x2+px+q＝0，甲看錯了一次項，得根2和7，乙看錯了常數(shù)項，得根1和﹣10，則原方程為（）A．x2﹣9x+14＝0 B．x2+9x﹣14＝0 C．x2﹣9x+10＝0 D．x2+9x+14＝0【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案．【解答】解：由于甲看錯了一次項，得根2和7，q＝2×7＝14，由于乙看錯了常數(shù)項，得根1和﹣10，∴﹣p＝1﹣10＝﹣9，∴p＝9，∴該方程為：x2+9x+14＝0，故選：D．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的根與系數(shù)的關系，本題屬于基礎題型．8．（2分）如圖為某二次函數(shù)的部分圖象，有如下四個結(jié)論：①此二次函數(shù)表達式為y＝x2﹣x+9：②若點B（﹣1，n）在這個二次函數(shù)圖象上，則n＞m；③該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點為（﹣4，0）；④當0＜x＜5.5時，m＜y＜8．所有正確結(jié)論的序號是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】①由頂點坐標設出拋物線解析式，將點（8，0）代入解析式求解．②由圖象開口向下，對稱軸為直線x＝2，求出點A，B距離對稱軸的距離求解．③由圖象的對稱性可得，拋物線與x軸兩交點關于直線x＝2對稱，由中點坐標公式求解．④由圖象中（0，8），（2，9），（8，0）可得y的取值范圍．【解答】解：①由圖象頂點（2，9）可得y＝a（x﹣2）2+9，將（8，0）代入y＝a（x﹣2）2+9得0＝36a+9，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝y(tǒng)＝﹣x2+x+8，故①錯誤．②∵5.5﹣2＞2﹣（﹣1），點A距離對稱軸距離大于點B距離對稱軸距離，∴m＜n，故②正確．③∵圖象對稱軸為直線x＝2，且拋物線與x軸一個交點為（8，0），∴圖象與x軸的另一交點橫坐標為2×2﹣8＝﹣4，故③正確．④由圖象可得當x＝0時y＝8，x＝5.5時y＝m，x＝2時y＝9，∴0＜x＜5.5時，m＜y≤9．故④錯誤．故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與不等式的關系．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點是（1，5），當x＞1時，y隨x的增大而增大，則拋物線解析式可以是y＝（x﹣1）2+5（答案不唯一）．（任寫一個即可）【分析】根據(jù)頂點坐標，寫出頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到a＞0，即可．【解答】解：∵拋物線的頂點是（1，5），∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+5，∵x＞1時，y隨x的增大而增大，∴a＞0，∴拋物線的解析式可以是：y＝（x﹣1）2+5；故答案為：y＝（x﹣1）2+5（答案不唯一）．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關鍵．10．（2分）關于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是a≤且a≠0．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到Δ＝12﹣4a≥0且a≠0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝12﹣4a≥0且a≠0，解得a≤且a≠0．故答案為a≤且a≠0．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．11．（2分）將拋物線y＝x2向下平移b（b＞0）個單位長度后，所得新拋物線經(jīng)過點（1，﹣4），則b的值為5．【分析】根據(jù)平移規(guī)則得到新的解析式為：y＝x2﹣b，把（1，﹣4）代入求解即可．【解答】解：由題意，得：平移后的解析式為：y＝x2﹣b，∵新拋物線經(jīng)過點（1，﹣4），∴﹣4＝1﹣b，∴b＝5；故答案為：5．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握拋物線的平移規(guī)則，求出新的函數(shù)解析式是解題的關鍵．12．（2分）某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由168元降為128元，已知兩次降價的百分率相同，每次降價的百分率為x，根據(jù)題意列方程得168（1﹣x）2＝128．【分析】設每次降價的百分率為x，根據(jù)降價后的價格＝降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是168（1﹣x），第二次后的價格是168（1﹣x）2，據(jù)此即可列方程求解．【解答】解：根據(jù)題意得：168（1﹣x）2＝128．故答案為：168（1﹣x）2＝128．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是根據(jù)題意找到等量關系，根據(jù)價格變化前后的找出等量關系，列出方程即可．13．（2分）下面的三個問題中都有兩個變量：①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x．其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關系可以用如圖所示的圖象表示的是①②（填序號）．【分析】①根據(jù)汽車的剩余路程y隨行駛時間x的增加而減小判斷即可；②根據(jù)水箱中的剩余水量y隨放水時間x的增大而減小判斷即可；③根據(jù)矩形的面積公式判斷即可得到答案．【解答】解：汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x，y隨x增大逐漸減小，并且減小的變化量相等，是一次函數(shù)，故①符合題意；將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x，y隨x增大逐漸減小，并且減小的變化量相等，是一次函數(shù)，故②符合題意；用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x，矩形的長寬之間存在關系，可以用x表示另一邊長，根據(jù)面積公式得到的是二次函數(shù)，故③不符合題意；故答案為：①②．【點評】本題考查了利用函數(shù)的圖象解決實際問題，正確理解函數(shù)圖象表示的意義，理解問題過程即可解決問題．14．（2分）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2的圖象上有，B（1，y2），C（4，y3）三點，則y1，y2，y3的大小關系y1＜y3＜y2．（按照從小到大的順序排列）【分析】根據(jù)解析式可得出拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線的對稱性，增減性，即可得出y1，y2，y3的大小關系．【解答】解：∵﹣1＜0，∴二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝2，∴當x＜2時，y隨x的增大而增大，C（4，y3）關于對稱軸的對稱點為（0，y3），∵，∴y1＜y3＜y2．故答案為：y1＜y3＜y2．【點評】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的增減性、對稱性是解此題的關鍵．15．（2分）若m、n（m＜n）是關于x的方程2﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關系是m＜a＜b＜n．【分析】根據(jù)題意，將m、n可看作拋物線y＝（x﹣a）（x﹣b）與直線y＝2的兩交點的橫坐標，作出圖形即可求得答案．【解答】解：∵m、n（m＜n）是關于x的方程2﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的兩根，∴（x﹣a）（x﹣b）＝2，∴m、n可看作拋物線y＝（x﹣a）（x﹣b）與直線y＝2的兩交點的橫坐標，∵拋物線y＝（x﹣a）（x﹣b）與x軸的兩交點坐標為（a，0），（b，0），如圖，∴m＜a＜b＜n．故答案為：m＜a＜b＜n．【點評】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟知利用圖象法解方程，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點是解題的關鍵．16．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有五個點A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），將二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的圖象記為W．下列的判斷中：①點A可能在W上；②點B，C，D可以同時在W上；③點C，E不可能同時在W上．所有正確結(jié)論的序號是②．【分析】由二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，對稱軸為直線x＝2，頂點為（2，m），然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征進行分析判定即可．【解答】解：由二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，對稱軸為直線x＝2，頂點為（2，m），①∵點A（2，0），∴點A在對稱軸上，∵m≠0，∴點A一定不在W上；故①錯誤；②∵B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），∴三點不在一條直線上，且B、D關于直線x＝2對稱，∴點B，C，D可以同時在W上；故②正確；③∵E（7，0），∴E關于對稱軸的對稱點為（﹣3，0），∵C（﹣2，4），∴三點不在一條直線上，∴點C，E可能同時在W上，故③錯誤；故正確結(jié)論的序號是②，故答案為：②．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標適合解析式是關鍵．三、解答題（本題共68分，第17題8分；第18～19，每小題8分；第20、23題，每小題8分；第21、22題，每小題8分，第24～26題，每小題8分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（8分）解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】（1）因式分解法解方程即可；（2）公式法解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3；（2）2x2﹣2x﹣1＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12，∴，∴，．【點評】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵．18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，求代數(shù)式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．【分析】將x＝a代人方程，得到a2﹣2a＝4，然后整體代人即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個實數(shù)根，∴a2﹣2a＝1，∴原式＝a2﹣4a+4+a2﹣1＝2a2﹣4a+3＝2（a2﹣2a）+3＝2×1+3＝5．【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的含義，解題的關鍵是根據(jù)方程的解的含義，將解代入原方程，從而求得代數(shù)式的解．19．（5分）已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若m＜0，且此方程的兩個實數(shù)根的差為3，求m的值．【分析】（1）證明一元二次方程的判別式大于等于零即可；（2）用m表示出方程的兩個根，比較大小后，作差計算即可．【解答】（1）證明：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，∴Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣m）＝m2﹣4m+4﹣4+4m＝m2．∵m2≥0，∴Δ≥0．∴該方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，解方程，得x1＝﹣1，x2＝m﹣1．∵m＜0，∴﹣1＞m﹣1．∵該方程的兩個實數(shù)根的差為3，∴﹣1﹣（m﹣1）＝3．∴m＝﹣3．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，方程的解法，熟練掌握判別式，并靈活運用實數(shù)的非負性是解題的關鍵．20．（6分）已知一次函數(shù)y1＝kx+m（k≠0）和二次函數(shù)部分自變量和對應的函數(shù)值如下表：x?﹣2﹣1012?y1?01234?y2?0﹣1038?（1）求y2的表達式；（2）當﹣1≤x≤0時，求y2的取值范圍．（3）關于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）二次函數(shù)的性質(zhì)，求出范圍即可；（3）根據(jù)表格確定兩個函數(shù)的交點的橫坐標，即可．【解答】解：（1）由表格可知，x＝﹣2和x＝0的函數(shù)值相同，∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1，∴頂點坐標為：（﹣1，﹣1），∴設函數(shù)解析式為：y＝a（x+1）2﹣1，把x＝0，y＝0，代入，得：0＝a﹣1，∴a＝1，∴y＝（x+1）2﹣1＝x2+2x；（2）∵拋物線的對稱軸為x＝﹣1，a＝1＞0，∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，∴﹣1≤x≤0時，x＝﹣1，y有最小值：﹣1；x＝0y有最大值：0，∴﹣1≤y2≤0；（3）由表格可知：當x＝﹣2和x＝1時，y1＝y(tǒng)2，即：兩個函數(shù)圖象的交點為：（﹣2，0），（1，3），由表格可知：當﹣2＜x＜1時，y1＞y2，∴當x＜﹣2或x＞1時，y1＜y2，∴不等式的解集為：x＜﹣2或x＞1；故答案為：x＜﹣2或x＞1．【點評】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．從表格中有效的獲取信息，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關鍵．21．（7分）已知二次函數(shù)y＝x2+4x+3．（1）求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；（2）畫出此函數(shù)的圖象；（3）若點A（0，y1）和B（m，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．【分析】（1）將解析式化為頂點式即可；（2）畫出函數(shù)圖象；（3）由題意可得2＜|m+2|，求出m的取值范圍即可．【解答】解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴對稱軸為直線x＝﹣2，頂點（﹣2，﹣1）；（2）如圖：（3）∵點A（0，y1）和B（m，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，∴2＜|m+2|，∴m＞0或m＜﹣4．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關鍵．22．（7分）如圖，要使用長為27米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為12米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．（1）如果要圍成面積為54平方米的花圃，那么AD的長為多少米？（2）能否圍成面積為90平方米的花圃？若能，請求出AD的長；若不能，請說明理由．【分析】（1）設出AD的長，表示出AB的長，利用長方形面積公式列方程解答，再根據(jù)墻的最大可用長度為12米得出AB≤12解答案即可；（2）利用（1）中的方法列出方程解答，利用根的判別式判定方程有沒有根即可得答案．【解答】解：（1）設AD的長為x米，則AB＝27﹣3x，根據(jù)題意，得x（27﹣3x）＝54，整理，得x2﹣9x+18＝0，解得x1＝3，x2＝6∵墻的最大可用長度為12米，∴27﹣3x≤12，∴x≥5，∴x＝6，即AD的長為6米；（2）不能圍成面積為90平方米的花圃．理由：假設存在符合條件的長方形，設AD的長為y米，于是有（27﹣3y）?y＝90，整理得y2﹣9y+30＝0，∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×30＝﹣39＜0，∴該方程無實數(shù)根，∴不能圍成面積為90平方米的花圃．【點評】此題考查一元二次方程的應用，利用長方形的面積計算公式列方程是解題關鍵．23．（6分）如圖，排球運動場的場地長18m，球網(wǎng)高度2.24m，球網(wǎng)在場地中央，距離球場左、右邊界均為9m．一名球員在場地左側(cè)邊界練習發(fā)球，排球的飛行路線可以看作是對稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分．某次發(fā)球，排球從左邊界的正上方發(fā)出，擊球點的高度為2m，當排球飛行到距離球網(wǎng)3m時達到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐標系xOy（1個單位長度表示1m），求得該拋物線的表達式為y＝﹣x2+．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）畫出小石建立的平面直角坐標系；（2）判斷排球能否過球網(wǎng)，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式可以得出拋物線的對稱軸為y軸，頂點為（0，）建立坐標系即可；（2）根據(jù)坐標系和拋物線解析式，把x＝3代入解析式求出相應的函數(shù)值與2.24比較即可．【解答】解：（1）∵拋物線解析式為y＝﹣x2+，∴對稱軸為y軸，頂點為（0，），∴小石建立的坐標系如圖所示：（2）排球能過球網(wǎng)．理由：∵當x＝3時，y＝﹣×9+＝2.375＞2.24，∴排球能過球網(wǎng)．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，關鍵根據(jù)拋物線建立適當?shù)淖鴺讼担?4．（8分）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）和（2，n）在拋物線y＝﹣x2+bx上．（1）若m＝0，求該拋物線的對稱軸；（2）若mn＜0，設拋物線的對稱軸為直線x＝t．①直接寫出t的取值范圍；②已知點（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在該拋物線上，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．【分析】（1）把點（1，0）代入y＝﹣x2+bx求得b的值，即可根據(jù)對稱軸公式求得答案；（2）①分類討論b的正負情況，根據(jù)mn＜0可得對稱軸在x＝與直線x＝1之間；②根據(jù)各點到對稱軸的距離判斷y值大?。窘獯稹拷猓海?）若m＝0，則點（1，0）在拋物線y＝﹣x2+bx上，∴0＝﹣1+b，解得b＝1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝；（2）①∵y＝﹣x2+bx，∴拋物線開口向下且經(jīng)過原點，當b＝0時，拋物線頂點為原點，x＞0時y隨x增大而減小，0＞m＞n不滿足題意，當b＜0時，拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，同理，0＞n＞m不滿足題意，當b＞0時，拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，x＝1時m＞0，x＝2時n＜0，即拋物線和x軸的2個交點，一個為（0，0），另外一個在1和2之間，∴拋物線對稱軸在直線x＝與直線x＝1之間，即＜t＜1；②∵點（﹣1，y1）與對稱軸距離＜t﹣（﹣1）＜2，點（，y2）與對稱軸距離＜﹣t＜1，點（3，y3）與對稱軸距離2＜3﹣t＜∴y3＜y1＜y2．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．25．（8分）已知∠MAN＝45°，點B為射線AN上一定點，點C為射線AM上一動點（不與點A重合），點D在線段BC的延長線上，且CD＝CB，過點D作DE⊥AM于點E．（1）當點C運動到如圖1的位置時，點E恰好與點C重合，此時AC與DE的數(shù)量關系是AC＝DE；（2）當點C運動到如圖2的位置時，依題意補全圖形，并證明：2AC＝AE+DE；（3）在點C運動的過程中，點E能否在射線AM的反向延長線上？若能，直接用等式表示線段AC，AE，DE之間的數(shù)量關系；若不能，請說明理由．【分析】（1）易證△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS證得△ABC≌△ADC，得出∠CAD＝∠BAC＝45°，則∠BAD＝90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案；（2）依題意即可補全圖形，過點B作BF⊥AM于F，則∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS證得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易證△ABF是等腰直角三角形，再BF＝AF，推出AF＝DE，即可得出結(jié)論；（3）過點B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝CE，證得AF＝DE，即可得出結(jié)果．【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，∴△ABD是等腰三角形，∴AB＝AD，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝45°+45°＝90°，∴AC＝CD＝CB，∵點E恰好與點C重合，∴AC＝DE，故答案為：AC＝DE；（2）證明：過點B作BF⊥AM于F，如圖2所示：則∠BFC＝∠DEC＝90°，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，CF＝CE，∵∠MAN＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，