等差數(shù)列專題(有答案)

一、等差數(shù)列選擇題1．在等差數(shù)列中，若為其前項(xiàng)和，，則的值是（）A．60 B．11 C．50 D．552．等差數(shù)列中，，公差，則=（）A．200 B．100 C．90 D．803．在等差數(shù)列{an}中，a3+a7＝4，則必有（）A．a(chǎn)5＝4 B．a(chǎn)6＝4 C．a(chǎn)5＝2 D．a(chǎn)6＝24．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，，，則通項(xiàng)公式是（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．6．若兩個(gè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列中，，且滿足，若對(duì)于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．168．《張丘建算經(jīng)》是我國北魏時(shí)期大數(shù)學(xué)家張丘建所著，約成書于公元466-485年間.其中記載著這么一道“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，且每日增加的數(shù)量相同.已知第一日織布4尺，20日共織布232尺，則該女子織布每日增加（）尺A． B． C． D．9．南宋數(shù)學(xué)家楊輝《詳解九張算法》和《算法通變本末》中，提出垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列.在楊輝之后一般稱為“塊積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別1，7，15，27，45，71，107，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）A．161 B．155 C．141 D．13910．在等差數(shù)列中，，，則中最大的是（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列{xn}滿足x1＝1，x2＝，且(n≥2)，則xn等于（）A．()n－1 B．()n C． D．12．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則的值是（）A．48 B．60 C．72 D．2413．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.定義數(shù)列如下：是使不等式成立的所有中的最小值，則（）A．25 B．50 C．75 D．10014．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A．103 B．107 C．109 D．10515．在等差數(shù)列的中，若，則等于（）A．25 B．11 C．10 D．916．已知數(shù)列中，，且，則這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為（）A．18 B．19 C．20 D．2117．已知數(shù)列是公差不為零且各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若且，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．18．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則等于（）A．6 B．7 C．8 D．1019．已知等差數(shù)列中，，，則的值是（）A．15 B．30 C．3 D．6420．設(shè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別是、.若，則的值為（）A． B． C．1 D．2二、多選題21．已知數(shù)列是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為且下列結(jié)論中正確的是（）A．最小 B． C． D．22．已知數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列為周期數(shù)列23．題目文件丟失！24．已知數(shù)列中，，，.若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)可能為（）A．－4 B．－2 C．0 D．225．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項(xiàng)的值可能為（）A． B． C． D．26．是等差數(shù)列，公差為d，前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．27．在下列四個(gè)式子確定數(shù)列是等差數(shù)列的條件是（）A．（，為常數(shù)，）； B．（為常數(shù)，）；C．； D．的前項(xiàng)和（）.28．已知數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于數(shù)列說法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列為周期數(shù)列 D．29．已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，．，數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．當(dāng)時(shí)，取最小值 D．當(dāng)時(shí)，取最小值30．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列各式的值為0的是（）A． B． C． D．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、等差數(shù)列選擇題1．D【分析】根據(jù)題中條件，由等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，若為其前項(xiàng)和，，所以.故選：D.2．C【分析】先求得，然后求得.【詳解】依題意，所以.故選：C3．C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接計(jì)算求解【詳解】因?yàn)閍3+a7＝2a5＝4，所以a5＝2.故選：C4．C【分析】根據(jù)題中條件，求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可得其通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，則公差為，因此通項(xiàng)公式為.故選：C.5．D【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)得，，，構(gòu)成等差數(shù)列，結(jié)合已知條件得和計(jì)算得結(jié)果.【詳解】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，構(gòu)成等差數(shù)列，所以，且，化簡解得.又，，從而.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)得，，，構(gòu)成等差數(shù)列，（2），且，化簡解得，（3），化簡解得.6．C【分析】可設(shè)，，進(jìn)而求得與的關(guān)系式，即可求得結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，是等差?shù)列，且，所以可設(shè)，，又當(dāng)時(shí)，有，，，故選：．7．A【分析】將變形為，由等差數(shù)列的定義得出，從而得出，求出的最值，即可得出答案.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以，而所以數(shù)列是首項(xiàng)為3公差為1的等差數(shù)列，故，從而.又因?yàn)楹愠闪ⅲ春愠闪?，所?由得所以，所以，即實(shí)數(shù)的最小值是2故選：A8．D【分析】設(shè)該婦子織布每天增加尺，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果【詳解】設(shè)該婦子織布每天增加尺，由題意知，解得．故該女子織布每天增加尺．故選：D9．B【分析】畫出圖形分析即可列出式子求解.【詳解】所給數(shù)列為高階等差數(shù)列,設(shè)該數(shù)列的第8項(xiàng)為x，根據(jù)所給定義：用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)新數(shù)列，得到的新數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)新數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：由圖可得：，解得.故選：B.10．B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由已知得，可得關(guān)系.再運(yùn)用求和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由得，，整理得，.又，所以，因此，所以最大.故選：B.11．C【分析】由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出答案．【詳解】由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，且，故公差則，故故選：C12．A【分析】根據(jù)條件列方程組，求首項(xiàng)和公差，再根據(jù)，代入求值.【詳解】由條件可知，解得：，.故選：A13．B【分析】先求得，根據(jù)，求得，進(jìn)而得到，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，可得，因?yàn)?，即，解得，?dāng)，（）時(shí)，，即，即，從而.故選：B.14．B【分析】根據(jù)題意可知正整數(shù)能被21整除余2，即可寫出通項(xiàng)，求出答案.【詳解】根據(jù)題意可知正整數(shù)能被21整除余2，，.故選：B.15．D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解．【詳解】因?yàn)?，，故選：D．16．B【分析】由已知判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式后即可求得.【詳解】，且，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為，，故選：B.17．D【分析】利用等差數(shù)列的求和公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用作差法結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由于，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，則，從而，由于，故.，故.，由此，故選項(xiàng)D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列中不等式關(guān)系的判斷，在解題過程中充分利用基本量來表示、，并結(jié)合作差法、不等式的基本性質(zhì)來進(jìn)行判斷.18．D【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式求出和，即可求得.【詳解】解：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則由，，得：，即，解得：，.故選：D.19．A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，求出和的值，，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即解得：，所以，所以的值是，故選：A20．C【分析】令，，求出，，進(jìn)而求出，，則可得．【詳解】令，，可得當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，符合，故，，故.【點(diǎn)睛】由求時(shí)，，注意驗(yàn)證a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要單獨(dú)列出，一般已知條件含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮上述公式求解．二、多選題21．BCD【分析】由是等差數(shù)列及，求出與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可進(jìn)行判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列數(shù)列的公差為.由有，即所以,則選項(xiàng)D正確.選項(xiàng)A.,無法判斷其是否有最小值，故A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B.,故B正確.選項(xiàng)C.,所以，故C正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由條件得到，即，然后由等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式判斷,屬于中檔題.22．ABC【分析】由，變形得到，再利用等差數(shù)列的定義求得，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，即，又，所以是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以，即，故C正確；所以，故A正確；，所以為遞增數(shù)列，故正確；數(shù)列不具有周期性，故D錯(cuò)誤；故選：ABC23．無24．AB【分析】由題意可得，利用裂項(xiàng)相相消法求和求出，只需對(duì)于任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的恒成立，然后將選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可求解.【詳解】，，則，，，，上述式子累加可得：，，對(duì)于任意的恒成立，整理得對(duì)于任意的恒成立，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，包含，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，包含，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，不包含，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，不包含，故D錯(cuò)誤，故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查了裂項(xiàng)相消法、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題.25．ABC【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計(jì)算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項(xiàng)的所有可能值，判斷選項(xiàng)即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計(jì)算得，，，，，因此繼續(xù)下去會(huì)循環(huán)，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用和周期數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.26．ABD【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式，及題中的條件，可選出答案.【詳解】由，可得，故B正確；由，可得，由，可得，所以，故等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即，故A正確；又，所以，故C不正確；又因?yàn)榈炔顢?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，且，所以，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的增減性及前項(xiàng)和的性質(zhì)，本題要從題中條件入手，結(jié)合公式，及，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可判斷選項(xiàng)是否正確.考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.27．AC【分析】直接利用等差數(shù)列的定義性質(zhì)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列．【詳解】A選項(xiàng)中（，為常數(shù)，），數(shù)列的關(guān)系式符合一次函數(shù)的形式，所以是等差數(shù)列，故正確，B選項(xiàng)中（為常數(shù)，），不符合從第二項(xiàng)起，相鄰項(xiàng)的差為同一個(gè)常數(shù)，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，對(duì)于數(shù)列符合等差中項(xiàng)的形式，所以是等差數(shù)列，故正確；D選項(xiàng)的前項(xiàng)和（），不符合，所以不為等差數(shù)列．故錯(cuò)誤．故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義的應(yīng)用，如何去判斷數(shù)列為等差數(shù)列，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．28．ABD【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】得，∴，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，得，由二次函數(shù)的性質(zhì)得數(shù)列為遞增數(shù)列，所以易知ABD正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過遞推式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過通項(xiàng)公式研究數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題.29．AC【分析】由已知求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得到通項(xiàng)公式判斷與；再求出，由的項(xiàng)分析的最小值．【詳解