2020年高考數(shù)學(xué)(理)重難點(diǎn)專練03-空間向量與立體幾何(解析版)

2020年高考數(shù)學(xué)（理）重難點(diǎn)03空間向量與立體幾何【高考考試趨勢】立體幾何在高考數(shù)學(xué)是一個(gè)必考知識點(diǎn)，一直在高中數(shù)學(xué)中占有很大的分值，未來的高考中立體幾何也會持續(xù)成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)，理科高考中立體幾何主要考查三視圖的相關(guān)性質(zhì)利用，簡單幾何體的體積，表面積以及外接圓問題.另外選擇部分主要考查在點(diǎn)線面位置關(guān)系，簡單幾何體三視圖.選擇題主要還是以幾何體的基本性質(zhì)為主，解答題部分主要考查平行，垂直關(guān)系以及二面角問題.前面的重點(diǎn)專題已經(jīng)對立體幾何進(jìn)行了一系列詳細(xì)的說明，本專題繼續(xù)加強(qiáng)對高考中立體幾何出現(xiàn)的習(xí)題以及對應(yīng)的題目類型進(jìn)行必要的加強(qiáng).本專題包含了高考中幾乎所有題型，學(xué)完本專題以后，對以后所有的立體幾何你將有一個(gè)更加清晰的認(rèn)識.【知識點(diǎn)分析以及滿分技巧】基礎(chǔ)知識點(diǎn)考查：一般來說遵循三短一長選最長.要學(xué)會抽象問題具體會，將題目中的直線轉(zhuǎn)化成顯示中的具體事務(wù)，例如立體坐標(biāo)系可以看做是一個(gè)教室的墻角有關(guān)外接圓問題：一般圖形可以采用補(bǔ)形法，將幾何體補(bǔ)成正方體或者是長方體，再利用不在同一個(gè)平面的四點(diǎn)確定一個(gè)立體平面原理，從而去求.內(nèi)切圓問題：轉(zhuǎn)化成正方體的內(nèi)切圓去求.求點(diǎn)到平面的距離問題：采用等體積法.求幾何體的表面積體積問題：應(yīng)注意巧妙選取底面積與高.對于二面角問題應(yīng)采用建立立體坐標(biāo)系去求.但是坐標(biāo)系要注意采用左手系務(wù)必要標(biāo)記準(zhǔn)確對應(yīng)點(diǎn)以及法向量對應(yīng)的坐標(biāo).【常見題型限時(shí)檢測】（建議用時(shí)：35分鐘）一、單選題1．（2019·遵義航天高級中學(xué)高考模擬（理））一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．8【答案】B【解析】由圖可知該幾何體底面積為8，高為2的四棱錐，如圖所示：∴該幾何體的體積故選B【點(diǎn)睛】：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.2．（2019·天津高考模擬（理））已知四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知中的垂直關(guān)系可將四面體放入正方體中，求解正方體的外接球表面積即為所求的四面體外接球的表面積；利用正方體外接球半徑為其體對角線的一半，求得半徑，代入面積公式求得結(jié)果.【詳解】且為直角三角形又平面，平面平面由此可將四面體放入邊長為的正方體中，如下圖所示：正方體的外接球即為該四面體的外接球正方體外接球半徑為體對角線的一半，即球的表面積：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過線面之間的位置關(guān)系，將所求四面體放入正方體中，通過求解正方體外接球來求得結(jié)果.3．（2019·河南高考模擬（理））如圖，點(diǎn)P在正方體的面對角線上運(yùn)動，則下列四個(gè)結(jié)論：三棱錐的體積不變；平面；；平面平面．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．【詳解】對于，由題意知，從而平面，故BC上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，平面為底面，則三棱錐的體積不變，故正確；對于，連接，，且相等，由于知：，所以面，從而由線面平行的定義可得，故正確；對于，由于平面，所以，若，則平面DCP，，則P為中點(diǎn)，與P為動點(diǎn)矛盾，故錯(cuò)誤；對于，連接，由且，可得面，從而由面面垂直的判定知，故正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想．4．（2019·貴州高考模擬（理））設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則其中正確命題的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】C【解析】①兩個(gè)面垂直，推不出面中任意直線和另一個(gè)面垂直，錯(cuò)誤；故排除A、B選項(xiàng)，對于②，兩個(gè)平行平面，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線都和另一個(gè)平面平行，故正確，所以選C.5．（2019·福建高考模擬（理））在三棱錐中，，，，，平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】取AB中點(diǎn)D，AC中點(diǎn)E，連PD，ED，得E為△外接圓的圓心，且OE∥平面，然后求出△的外接圓半徑和球心到平面的距離等于，由勾股定理得，即可得出答案.【詳解】解：取AB中點(diǎn)D，AC中點(diǎn)E，連PD，ED因?yàn)?，所以E為△外接圓的圓心因?yàn)镺E∥PD，OE不包含于平面，所以O(shè)E∥平面因?yàn)槠矫嫫矫?，，得PDAB，EDAB所以PD平面，ED平面且，所以球心到平面的距離等于在△中，，，所以，所以△得外接圓半徑，即由勾股定理可得球的半徑故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，經(jīng)常用球中勾股定理解題，其中是外接球半徑，是球心到截面距離，是截面外接圓半徑.二、解答題6．（2019·山東高考模擬（理））如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，.（1）證明：當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，始終有平面平面；（2）求銳二而角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由底面ABCD，證得，又由勾股定理，得，利用線面垂直的判定定理，得到平面PBC，再由面面垂直的判定定理，可得平面平面，即可得到結(jié)論；（2）分別以CD，CF，CP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．【詳解】（1）由題意，因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以，又因?yàn)?，所以，，所以，所以，從而得到．又平面PBC，平面PBC，，所以平面PBC，又平面，所以平面平面，所以當(dāng)點(diǎn)E在PB上運(yùn)動時(shí)，始終有平面平面PBC.（2）由條件知底面ABCD，且，所以過點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)F，分別以CD，CF，CP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），所以，，，.由（1）知為平面PBC的一個(gè)法向量，因?yàn)?，，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，所以，故銳二面角的余弦值．【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直與面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.7（2017·廣東高考模擬（理））如圖，在四棱錐中，，平面，.(1)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.8．（2019·天津市新華中學(xué)高考模擬（理））如圖所示的幾何體中，垂直于梯形所在的平面，為的中點(diǎn)，，四邊形為矩形，線段交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）（3）在線段上存在一點(diǎn)滿足題意，且【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得二面角的正弦值；(3)假設(shè)點(diǎn)Q存在，利用直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算可得點(diǎn)Q的存在性和位置.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn).連接，在中，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?易知兩兩垂直，如圖以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，所以.設(shè)平面的法向量為，則即解得令，得所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，，據(jù)此可得，則平面的一個(gè)法向量為，，于是.故二面角的正弦值為.（3）設(shè)存在點(diǎn)滿足條件.由，設(shè)，整理得，則.因?yàn)橹本€與平面所成角的大小為，所以解得，由知，即點(diǎn)與重合.故在線段上存在一點(diǎn)，且.【點(diǎn)睛】本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，需要注意以下問題：(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算．(2)設(shè)分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等.求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．9．（2019·山東高考模擬（理））如圖，在四棱錐中，已知平面，為等邊三角形，，，與平面所成角的正切值為.(Ⅰ)證明：平面；(Ⅱ)若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）.【解析】【分析】(Ⅰ)先證明為與平面所成的角，于是可得，于是．又由題意得到，故得，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得所證結(jié)論．(Ⅱ)取的中點(diǎn)，連接，可證得．建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，根據(jù)兩個(gè)法向量夾角的余弦值得到二面角的余弦值．【詳解】(Ⅰ)證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以?,所以平面，所以為與平面所成的角．在中，，所以所以在中，,.又，所以在底面中，,又平面，平面，所以平面．(Ⅱ)解：取的中點(diǎn)，連接，則,由(Ⅰ)知，所以，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即，得，令，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即，得，令，則．所以，由圖形可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】空間向量是求解空間角的有利工具，根據(jù)平面的法向量、直線的方向向量的夾角可求得線面角、二面角等，解題時(shí)把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算的問題來求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想方法的利用，不過解題中要注意向量的夾角和空間角之間的關(guān)系，特別是求二面角時(shí)，在求得法向量的夾角后，還要通過圖形判斷出二面角是銳角還是鈍角，然后才能得到結(jié)論．10．（2018·吉林高考模擬（理））如圖，在棱長為2的正方體中，，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上移動，且.（1）當(dāng)時(shí)，證明：直線平面；（2）是否存在，使面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】以為原點(diǎn)，射線，，分別為，，軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得，，，，，，，則，，，