2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：與圓有關(guān)的位置關(guān)系 講義

2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題24與圓有關(guān)的位置關(guān)系（講義）

?似||復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.探索并了解點(diǎn)和圓、直線和圓以及圓和圓的位置關(guān)系.

2.知道三角形的內(nèi)心和外心.

3.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)，會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線.

?晤考點(diǎn)梳理?

考點(diǎn)1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑是r,點(diǎn)P到圓心。的距離為d,則有:

d<ru>點(diǎn)P在。0內(nèi)；

d=ru>點(diǎn)P在上；

d>ru>點(diǎn)P在。O外。

考點(diǎn)2：直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離=>d>r=>無交點(diǎn)；

2、直線與圓相切nd=rn有一個交點(diǎn)；

3、直線與圓相交nd<rn有兩個交點(diǎn)；

考點(diǎn)3：切線的性質(zhì)與判定定理

1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;

兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：,:MNLOA且MN過半徑OA外端

...■V是。。的切線

2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。

推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。

以上三個定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

考點(diǎn)4：切線長定理

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條

切線的夾角。

即：???4、可是的兩條切線

：.PA=PB；P0平分NBPA

考點(diǎn)5：三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

（1）三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

（2）三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。

注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計算。

（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。

（2）aABC中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則內(nèi)切圓的半徑片"J。

2

（3）SAABC=—r（（z+b+c）,其中a,b,c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。/—■

（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。人仁不

如圖，BC切。0于點(diǎn)B,AB為弦，NABC叫弦切角，NABC=ND。

B

典例引領(lǐng)

【題型1：點(diǎn)、直線與圓位置關(guān)系的判定】

【典例1】（2023?宿遷）在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為3,點(diǎn)P為圓上的

一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線I的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

>___________________

號即時戰(zhàn)測

1.（2022?六盤水）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（）

干的Z先■

方—一公益叫無一

A.相切B.相交C.相離D.平行

2.（2021?浙江）已知平面內(nèi)有。。和點(diǎn)N,B,若。。半徑為2c〃z,線段ON=3cm,OB=2cm,則直線4B

與O。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交

C.相切D.相交或相切

W曲例用輻

【題型2：切線的判定與性質(zhì)】

【典例2】（2023?鹽城）如圖，在△A8C中，。是/。上（異于點(diǎn)4,C）的一點(diǎn)，。。恰好經(jīng)過點(diǎn)/,B,

4D_LC3于點(diǎn)。，且48平分/C4D.

（1）判斷3C與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）若/C=10,￡>C=8,求。。的半徑長.

，即時檢測

1.（2023?河南）如圖，與。。相切于點(diǎn)/,P。交。。于點(diǎn)3,點(diǎn)C在我上，且CB=C4.若。/=5,

衛(wèi)4=12,則C4的長為

2.（2023?武漢）如圖，在四邊形4BC。中，AB//CD,AD±AB,以。為圓心，4D為半徑的弧恰好與2c

相

切，切點(diǎn)為E，若空」，則sin。的值是（）

CD3

A.2B.適C.3D.近

3344

3.（2023?內(nèi)蒙古）如圖，48是。。的直徑，E為OO上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是眾的中點(diǎn)，連接3C,過點(diǎn)C的直

線垂直于3E的延長線于點(diǎn)。，交A4的延長線于點(diǎn)P.

U）求證：尸C為。。的切線；

（2）若PC=2?BO,PB=1Q,求BE的長.

4.（2023?東營）如圖，在中，AB=AC,以48為直徑的。。交3C于點(diǎn)。，DELAC,垂足為￡.

（1）求證：DE是。。的切線;

(2)若/C=30°,CD=2M，求BD的長.

AE

■?史例即編

【題型3：三角形的外接圓和內(nèi)切圓】

【典例3】（2021?畢節(jié)市）如圖，。。是△/8C的外接圓，點(diǎn)E是△NBC的內(nèi)心，/E的延長線交3C于點(diǎn)

F,交。。于點(diǎn)D,連接以3BE.

<1）求證：DB=DE；

（2）若AE=3,DF=4,求。8的長.

、加時檜91

1.（2023?攀枝花）己知△N8C的周長為/,其內(nèi)切圓的面積為irr2,則△NBC的面積為（）

A.L/B.—miC.rlD.nrl

22

2.（2020?濟(jì)寧）如圖，在△43C中，點(diǎn)。為△48C的內(nèi)心，ZA=60°,CD=2,BD=4.則△D2C的面

積是（）

A.4mB.2愿C.2D.4

3.（2023?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步.問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個

直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多

少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)勾、股，求得弦長.用勾、股、弦相加作為除數(shù)，用勾乘以

股，再乘以2作為被除數(shù)，商即為該直角三角形內(nèi)切圓的直徑，求得該直徑等于一步（注：“步”為

4.（2023?湖州）如圖，在RtzMBC中，NNC8=90°,點(diǎn)。在邊/C上，以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑的半

圓與斜邊48相切于點(diǎn)。，交04于點(diǎn)E,連結(jié)。2.

（1）求證：BD=BC.

（2）已知。C=l,N/=30°,求48的長.

考基

選擇題（共8小題）

1.平面內(nèi)，已知。。的半徑是8c機(jī)，線段7c加，則點(diǎn)P（）

A.在。。外B.在。。上C.在。。內(nèi)D.不能確定

2.已知三角形的周長為12,面積為6,則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（）

A.4B.3C.2D.1

3.如圖，PA.PB、CQ是。。的切線，/、B、E是切點(diǎn)，CD分別交線段B4、PB于C、。兩點(diǎn)，若/APB

=40°,則NC。。的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.70°D.75°

4.已知。。的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,那么直線/與。。的公共點(diǎn)的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無法確定

5.已知和直線/相交，圓心到直線/的距離為10cm,則OO的半徑可能為（）

A.11cmB.10cmC.9cmD.8cm

6.如圖，已知△45C中，AB=AC,ZABC=70°,點(diǎn)/是的內(nèi)心，則N5/C的度數(shù)為（）

A.40°B.70°C.110°D.140°

7.如圖，48與。。相切于點(diǎn)3,的延長線交OO于點(diǎn)C,連接2C若//=36°,則NC的度數(shù)為（

8.如圖，AB為。。的直徑，CD切。。于點(diǎn)C,交A8的延長線于點(diǎn)。，且CO=CD,則//的度數(shù)為（

二.填空題（共4小題）

9.如圖，已知乙4。2=30°,又為08邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2cm為半徑作OM,當(dāng)（W=cm

時，與CU相切.

O.VB

10.如圖，4B是O。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作。。的切線，交直徑48的延長線于點(diǎn)O,若

ZABC=65°,則/。的度數(shù)是度.

8是切點(diǎn).若/尸=50°,則NNO8

12.如圖是一塊直角三角形木料，ZA=90°,AB=3,AC=4,木工師傅要從中裁下一塊圓形木料，則可

裁圓形木料的最大半徑為

三.解答題(共3小題)

13.如圖，是。。的直徑，C是上的一點(diǎn)，直線上W經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)/作直線的垂線，垂足為

點(diǎn)、D,且/C平分/A4D

(1)求證：直線是。。的切線；

(2)若4D=4,ZC=5,求O。的半徑.

14.如圖，為的直徑，C為。。上一點(diǎn)，。為/C的中點(diǎn)，過C作的切線交。。的延長線于E,

交的延長線于R連EN.

(1)求證：EA與。O相切；

(2)若CE=3,CF=2,求。。的半徑.

15.如圖，已知，8E是的直徑，8c切于8,笠DE//OC,連接CD并延長交BE的延長線于點(diǎn)/.

(1)證明：CD是。。的切線；

(2)若4D=2,AE=\,求CD的長.

A____

【J力根升

一.選擇題(共6小題)

1.如圖，Rt4/BC中，ZACB=90°,點(diǎn)。是內(nèi)心，若C0=2,△/8C的周長為16,則△/2C的面積為

()

A.工B.1C.也D.V3

23

3.如圖，已知空間站/與星球3距離為0,信號飛船C在星球2附近沿圓形軌道行駛，B,。之間的距離

為b.數(shù)據(jù)S表示飛船。與空間站4的實時距離，那么S的最大值是（）

JC

A.aB.bC.a+bD.a-b

4.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)N（4,3）為圓心、以R為半徑作圓4與x軸相交，且原點(diǎn)。在圓/的外部,

那么半徑R的取值范圍是（）

A.0<7?<5B.3<7?<4C.3<R<5D.4<R<5

5.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以點(diǎn)（-3,4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.相切D.無法判斷

6.如圖，PA,P3分別與。。相切于N,3兩點(diǎn)，ZC=55°,則/尸等于（）

二.填空題（共4小題）

7.在《九章算術(shù)》卷九中記載了一個問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“如

圖，今有直角三角形勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓

（內(nèi)切圓）的直徑是多少步？”根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的直徑為一步.

仇

A.

*

8.如圖，PA,P3分別與。。相切于4,3兩點(diǎn)，ZP=60°,PA=6,則。。的半徑為

9.如圖，在等邊三角形48c中，BC=2,若。。的半徑為1,尸為邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作。C的切線尸

。，切點(diǎn)為0,則尸。的最小值為

10.如圖，已知0P的半徑為1,圓心P在拋物線y=/x2-l上運(yùn)動，當(dāng)。尸與X軸相切時，請寫出所有符

11.如圖，△48C中，AB=AC,點(diǎn)、D為BC上一點(diǎn)、,^.AD=DC,過/,B,。三點(diǎn)作。。，/￡是。。的

直徑，連接?！?

（1）求證：/C是。。的切線；

（2）若sinC=芻，AC=6,求。。的直徑.

5

12.如圖，在中，ZABC^90°,以48為直徑的O。交/C于點(diǎn)￡,點(diǎn)。是邊上的中點(diǎn)，連

接DE.

（1）求證：與。。相切;

（2）連接。。交DB于點(diǎn)尸，若。。的半徑為3,DE=4,求亞的值.

CF

13.如圖，N8是。。的直徑，BC交。0于點(diǎn)、D,￡是BD的中點(diǎn)，連接4B交BC于點(diǎn)尸，ZACB=2ZEAB.

（1）求證：/C是。。的切線;

(2)若cosC=2,4c=6,求3尸的長.

3

1.（2020?廣州）如圖，RtZUBC中，ZC=9Q°,AB=5,cos/=當(dāng)，以點(diǎn)。為圓心,r為半徑作02，當(dāng)

5

r=3時，與/C的位置關(guān)系是（）

B.相切C.相交D.無法確定

2.（2023?湘西州）如圖，N3為。。的直徑，點(diǎn)尸在的延長線上，PC,PD與。。相切，切點(diǎn)分別為C,

3.（2020?泰州）如圖，直線垂足為〃點(diǎn)P在直線6上，PH=4cm,。為直線6上一動點(diǎn)，若以1

c機(jī)為半徑的OO與直線。相切，則。P的長為

4.（2021?青海）點(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到。。上的點(diǎn)的最小距離是4cm,最大距離是9cm,則。。的

半徑是.

5.（2023?黑龍江）如圖，是。。的直徑，為切。。于點(diǎn)/,PO交。。于點(diǎn)C,連接8C,若/B=28

則/P=_______________

6.（2022?黔東南州）如圖，在△48C中，NN=80°,半徑為3c加的。。是△NBC的內(nèi)切圓，連接。8、O

C,則圖中陰影部分的面積是cm?.（結(jié)果用含豆的式子表示）

7.（2023?鄂州）如圖，為。。的直徑，￡為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)C為尼的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作C￡>_L4B,交AE

的延長線于點(diǎn)。，延長DC交的延長線于點(diǎn)E

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）若DE=1,DC=2,求。。的半徑長.

8.（2023?遼寧）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C,E在。。上，NC42=2NE4B,點(diǎn)廠在線段48的延長線

上，且

（1）求證：斯與OO相切；

(2)若BF=l,smZAFE=^-,求3c的長.

5

9.（2023?眉山）如圖，△48C中，以為直徑的。。交于點(diǎn)E,AE平分/B4C,過點(diǎn)E作即_L/C

于點(diǎn)D,延長DE交Z8的延長線于點(diǎn)尸.

(1)求證：尸￡是。。的切線；

(2)若sin/P=」，BP=4,求CO的長.

3

10.(2023?朝陽)如圖，以△45。的邊4g為直徑作。0,分別交4C,BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F在BC上,ZC

DF=AABD.

(1)求證：。方是。。的切線；

(2)若前=癥，tan/C。尸=3,BC=歷,求。。的半徑.

■3

A

:

[D

C

BEF

答案與解析

復(fù)習(xí)目標(biāo)h

1.探索并了解點(diǎn)和圓、直線和圓以及圓和圓的位置關(guān)系.

2.知道三角形的內(nèi)心和外心.

3.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)，會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線.

1考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑是r,點(diǎn)P到圓心。的距離為d,則有:

d<ru>點(diǎn)P在。0內(nèi)；

d=ru>點(diǎn)P在上；

d>ru>點(diǎn)P在。0外。

考點(diǎn)2：直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離=>d>r=>無交點(diǎn)；

2、直線與圓相切nd=rn有一個交點(diǎn)；

3、直線與圓相交nd<rn有兩個交點(diǎn)；

考點(diǎn)3：切線的性質(zhì)與判定定理

1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;

兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：,:MNLOA且MN過半徑0A外端

...■V是。。的切線

2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。

推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。

以上三個定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

考點(diǎn)4：切線長定理

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條

切線的夾角。

即：???4、可是的兩條切線

：.PA=PB；P0平分NBPA

考點(diǎn)5：三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

（1）三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

（2）三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。

注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計算。

（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。

（2）AABC中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則內(nèi)切圓的半徑片”竺^。

2

（3）SAABC=—r（（z+b+c）,其中a,b,c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。（---、

（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。A（\,0

如圖，BC切。0于點(diǎn)B,AB為弦，NABC叫弦切角，NABC=ND。

B

史典例用領(lǐng)

【題型1:點(diǎn)、直線與圓位置關(guān)系的判定】

【典例1】（2023?宿遷）在同一平面內(nèi)，己知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為3,點(diǎn)尸為圓上的

一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【解答】解：如圖，由題意得，OA=2,OB=3,

當(dāng)點(diǎn)尸在80的延長線與的交點(diǎn)時，點(diǎn)P到直線/的距離最大，

此時，點(diǎn)尸到直線/的最大距離是3+2=5,

故選：B.

p

Vsonitti

1.（2022?六盤水）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（)

A.相切B.相交C.相離D.平行

【答案】B

【解答】解：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系相交，

故選：B.

2.（2021?浙江）已知平面內(nèi)有。。和點(diǎn)/,B,若。。半徑為2c相，線段。4=3cw,OB=2cm,則直線N5

與O。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交

C.相切D.相交或相切

【答案】D

【解答】解：。。的半徑為2cm,線段。4=3cw,OB2cm,

即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，

點(diǎn)/在。。外，點(diǎn)8在。。上，

二直線A8與。。的位置關(guān)系為相交或相切，

故選：D.

W典例用領(lǐng)

【題型2：切線的判定與性質(zhì)】

【典例2】（2023?鹽城）如圖，在△NBC中，。是NC上（異于點(diǎn)，，C）的一點(diǎn)，。。恰好經(jīng)過點(diǎn)B,

AD_LCB于點(diǎn)。，且48平分/C4D

(1)判斷3c與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若/C=10,DC=8,求。。的半徑長.

【答案】(1)8c與相切，理由見解答；

(2)。。的半徑長為」立.

4

【解答】解：(1)與。。相切，理由如下:

如圖，連接。8,

'：OA=OB,

：.NOAB=NOBA,

'：AB平分NCAD,

ZDAB=ZCAB,

：.NDAB=NOBA,

J.AD//OB,

"：ADLCB,

J.OBLCB,

：。8是O。的半徑，

.??8C與。。相切；

(2)VZZ)=90°,/C=10,0c=8,

?',^=VAC2-DC2=6,

,：AD//OB,

.OB=OC

"AD而’

?.?一O―B一_-1-0--OA-,

610

"：OA=OB,

：.OB=^-,

4

...O。的半徑長為四.

4

D

1.（2023?河南）如圖，與O。相切于點(diǎn)力,尸。交。。于點(diǎn)8,點(diǎn)C在上，且CB=C4.若。/=5,

衛(wèi)4=12,則C4的長為—也

—3—

：.ZOAP=90°,

'：OA=OB,OC=OC,CA=CB,

:.△OAC冬AOBC(SSS),

：.ZOAP=ZOBC=90°,

在RtZ\CM尸中，OA=5,為=12,

???0P=VOA2+AP2=V52+122=3

「△CMC的面積+/XOCP的面積=4O4P的面積,

LOA?AC+—OP'BC=—OA?AP,

222

OA'AC+OP-BC^OA-AP,

???5/C+135C=5X12,

：.AC=BC=^-,

3

故答案為：IP.

3

2.（2023?武漢）如圖，在四邊形/BCD中，AB//CD,ADLAB,以。為圓心，/￡＞為半徑的弧恰好與3C

相

切，切點(diǎn)為E,若空」，則sin。的值是（）

CD3

A.2B.近C.3D.近

3344

【答案】B

【解答】解：連接。8、DE,設(shè)/8=%，

..AB=1

,CDT

:?CD=3AB=3m,

是。。的半徑，AD1AB,

???45是。。的切線，

,/。。與5C相切于點(diǎn)

：.BCLDE,EB=AB=m,ZCBD=ZABD,

?:AB〃CD,

：./ABD=/CDB,

:?/CBD=NCDB,

:?CB=CD=3m,

:?CE=CB-EB=3m-m=2m,

?：NCED=90°,

^=VCD2-CE2=V(3m)2-(2m)2=后'

/.sinC=^=2Z§JB.=2ZL,

CD3m3

故選：B.

3.(2023?內(nèi)蒙古)如圖，A8是。。的直徑，￡為。。上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，連接3C,過點(diǎn)。的直

線垂直于3E的延長線于點(diǎn)D,交A4的延長線于點(diǎn)P.

(1)求證：PC為。0的切線；

(2)若PC=2?BO,依=10,求3E的長.

(1)證明：連接。C,

:點(diǎn)C是AE的中點(diǎn),

，ZABC=NDBC,

；OC=OB,

：.ZABC=ZOCB,

NDBC=NOCB,

：.OC//DB,

■:PDLBD,

：.PD±CO,

，PC為。。的切線;

(2)解：連接NE,設(shè)O5=OC

:PC=2?BO=2?r,

OP=Vr2+（2V2-r）2=3%

?"8=10,

.,.3r+r=10,即r=—.

2

'JOC//DB,

：.△PCOS^PDB,

?.?-0-C=-P-0-,

BDPB

_5_15_

.~2~T

??----z:------,

BD10

：.BD=^-,

3

,：AB是O。的直徑，

C.AEVBD,

J.AE//PD,

?.?-B-E=BA'，

BDBP

.BE5

,?叵F，

:.BE="

3

4.（2023?東營）如圖，在△NBC中，AB=AC,以48為直徑的O。交2c于點(diǎn)。，DELAC,垂足為E.

（I）求證：是。。的切線；

【答案】（1）證明見解答；

（2）前的長是竽.

【解答】（1）證明：連接OD,則。。=。2,

：.4ODB=4B,

'JAB^AC,

:./C=/B,

：./ODB=/C,

：.OD//AC,

:DE_L4C于點(diǎn)E,

：./ODE=NCED=90°,

：?！?gt;是。。的半徑，DELOD,

是。。的切線.

(2)解：連接ND,

,：AB是。。的直徑，

AZADB=90°,

：.AD±BC,

;AB=AC,CZ)=2禽，

:.BD=CD=2M，

'：ZB=ZC=30°,

：.AD=BD'tan30°=2^X近=2,

3

"：OD^OA,ZAOD=2ZB^60°,

△NOD是等邊三角形，

；.OD=AD=2,

VZB(9r>=180°-N/OD=120°,

.._120KX2_4幾

,?-----------,

BD1803

.?.而的長是也.

￥典例眄

【題型3：三角形的外接圓和內(nèi)切圓】

【典例3】（2021?畢節(jié)市）如圖，。。是△NBC的外接圓，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，/￡的延長線交3c于點(diǎn)

F,交。。于點(diǎn)。，連接AD,BE.

(.1)求證：DB=DE；

(2)若/E=3,DF=4,求。3的長.

D

【答案】（1）見解析；

（2）6.

【解答】（1）證明：：點(diǎn)￡是△A8C的內(nèi)心，

.?./￡平分N8NC,BE平分NABC,

：.ZBAD=ZCAD,ZABE=ZCBE,

又?:NCAD與NCBD所對弧為商，

ZCAD=ZCBD=ABAD.

"：NBED=/ABE+NBAD,ZDBE=ZCBE+ZCBD,

：.ZBED=ZDBE,

故DB=DE.

（2）解：?:ND=ND,NDBF=NCAD=/BAD,

：.AABDs^BFD,

.?.西M①，

FDBD

VDF=4,AE=3,設(shè)EF=x,

由（1）可得。3=DE=4+x,

則①式化為史蘭上士

44+x

解得：xi—2,X2—-6（不符題意，舍去），

則DB=4+x=4+2=6.

二即時檢測

1.（2023?攀枝花）已知△A8C的周長為/,其內(nèi)切圓的面積為it戶，則△/3C的面積為（

A.—rlB.—urlC.rlD.nrl

22

【答案】A

【解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓。與△/BC相切于點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)F，連接CM,OB,OC,OE,OF,OD,

A

,.18切。。于￡,

J.OELAB,OE=r,

S^AOB=—ABxOE=LABXR,

22

同理：S^BOC=—BCXr,

2

SAOC=—ACXr,

A2

/.S=S^AO^S^BOC^-SAAOC=—ABXr+^SCXr4-A^cxr=A(AB+BC+AC)Xr,

2222

'：l=AB+BC+AC,

：.S=^lr,

2

故選：4

2.(2020?濟(jì)寧)如圖，在△48。中，點(diǎn)。為△48C的內(nèi)心，ZA=60a,CD=2,BD=4.則△OBC的面

積是()

A.4'巧B.273C.2D.4

【答案】B

【解答】解：過點(diǎn)B作BHLCD的延長線于點(diǎn)H.

:點(diǎn)。為△4BC的內(nèi)心，4=60°,

:.NDBC+NDCB=L(ZABC+ZACB)=上(180°-NN),

22

:./BDC=90°+^ZA=90°+Ax60°=120°,

22

則/8?！?60°,

；BD=4,

：.DH=2,BH=2-j3,

,:CD=2,

的面積=/c￡）?8"=/x2X2?=2?，

故選：B.

3.（2023?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步.問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個

直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多

少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)勾、股，求得弦長.用勾、股、弦相加作為除數(shù)，用勾乘以

股，再乘以2作為被除數(shù)，商即為該直角三角形內(nèi)切圓的直徑，求得該直徑等于6步（注：“步”為

勾8

【答案】6.

【解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為182+152=17,

則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑r=8+l§-17=3（步），即直徑為6步,

2

故答案為：6.

4.（2023?湖州）如圖，在中，ZACB=90°,點(diǎn)。在邊/C上，以點(diǎn)O為圓心，0c為半徑的半

圓與斜邊N2相切于點(diǎn)。，交。/于點(diǎn)E,連結(jié)。瓦

（1）求證：BD=BC.

(2)已知。C=l,ZA=30°,求N5的長.

【答案】（1）見解答;

⑵2V3.

【解答】（1）證明如圖，連結(jié)?！辏?

B

COEA

:半圓。與43相切于點(diǎn)。，

C.ODLAB,

VZACB=90°,

：.ZODB=ZOCB=90°,

在RtAODB和RtAOCS中，

'OB=OB,

'OD=OC,

.,.RtAOZ)5^RtAOC5(HL),

：.BD=BC；

(2)解如圖，VZA=30a,ZACB=90°,

/.ZABC=60°,

"：RtAODBgRtAOCS,

?■?ZCB0=ZDB0=yZABC=30o-

在RtZXOBC中，

：OC=1,

BC=——^-T—=Vs>

及tan30073

在RtZX/BC中，

基

一.選擇題（共8小題）

1.平面內(nèi)，已知。。的半徑是8cm,線段OP=7c%,則點(diǎn)尸（）

A.在。。外B.在。。上C.在。。內(nèi)D.不能確定

【答案】C

【解答】解：,??平面內(nèi)，已知O。的半徑r是8c加，線段0P=7cm,

：.r>OP,

點(diǎn)P在。o內(nèi).

故選：C.

2.已知三角形的周長為12,面積為6,則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解答】解：設(shè)這個三角形的內(nèi)切圓半徑是r,

:三角形周長為12,面積為6,

."x⑵=6,

2

解得r=1.

故選：D.

3.如圖，24、PB、CD是。。的切線，/、B、￡是切點(diǎn)，CO分別交線段為、PB于C、。兩點(diǎn)，若NAPB

=40°,則/COD的度數(shù)為（）

【答案】C

【解答】解：由題意得，連接。/、OC.OE、OD.OB,所得圖形如下:

由切線性質(zhì)得，OALPA,OBLPB,OE1,CD,DB=DE,AC=CE,

,:AO=OE=OB,

:AAOC沿AEOC(&4S),△EOD/ABOD(SAS),

:./AOC=NEOC,/EOD=NBOD,

：.ZCOD=^ZAOB,

2

VZAPB=40°,

ZAOB=140°,

:./COD=10°.

故選：C.

p

4.已知。。的半徑等于5,圓心O到直線/的距離為6,那么直線/與。。的公共點(diǎn)的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無法確定

【答案】A

【解答】解：:。。的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,

即圓心。到直線I的距離大于圓的半徑，

...直線/和OO相離，

...直線/與O。沒有公共點(diǎn).

故選：A.

5.已知。。和直線/相交，圓心到直線/的距離為10c%,則。。的半徑可能為（）

A.11cmB.10cmC.9cmD.8cm

【答案】A

【解答】解：：。。和直線/相交

'.d<r

又???圓心到直線/的距離為\Qcrn

.".r>l0cm

故選：A.

6.如圖，已知△4BC中，AB^AC,NABC=7Q°，點(diǎn)/是△48C的內(nèi)心，則/B/C的度數(shù)為（）

A.40°B.70°C.110°D.140°

【答案】C

【解答】'JAB^AC,/48C=70°,

:點(diǎn)/是△48C的內(nèi)心，

/.ZIBC=^ZABC=35°,NICB=Z/ACB=35。，

22

/.ZIBC+ZICB=10°,

/.Z5/C=180°-CZIBC+ZICB)=110°.

7.如圖，與O。相切于點(diǎn)3,/。的延長線交OO于點(diǎn)C,連接8C若N/=36°,則NC的度數(shù)為（

【答案】B

【解答】解：連接OB,

切圓。于8,

：.OBLAB,

：.ZOBA=90°,

?24=36°,

/.Z/1O5=180°-//-ZOBA=54°,

和是同弧所對的圓周角和圓心角,

：.ZC=^-ZAOB=27°.

2

8.如圖，48為。。的直徑，CD切。。于點(diǎn)C,交48的延長線于點(diǎn)。，且CO=CD,則//的度數(shù)為（

)

C.22.5°D.37.5°

【答案】c

【解答】解：:co切O。于C,

：.OC±CD,

：.ZOCD=9G°,

■:CO=CD,

：.ZCOD=ZD=45°,

'：OA=CO,

.\ZOAC=ZOCA,

ZCOD^ZOAC+ZOCA^45°,

4=22.5°.

二.填空題（共4小題）

9.如圖，已知//。8=30°,M為08邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2c加為半徑作當(dāng)0M=4c

m時，與OA相切.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：作必/，。4于點(diǎn)X,如圖,

當(dāng)〃H=2c"?時，與。/相切，

因為NO=30°，

所以此時OM=2MH=4cm,

即OM=4c冽時，。河與。4相切.

點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。。的切線，交直徑45的延長線于點(diǎn)。，若

ZABC=65°,則NQ的度數(shù)是40度.

???CQ為。。的切線,

,OCLCD,

：.ZOCD=90°,

OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=65°

：.ZBCD=ZOCD-ZOCB=90°-65°=25°,

?：/OBC=/BCD+/D

：.ZD=65°-25°=40°.

故答案為：40.

11.如圖，PA,尸8是。。的切線，A,B是切點(diǎn).若/尸=50°，則130°

【答案】130°.

【解答】解：?.?我，心是。。的切線，A,8是切點(diǎn),

C.OALPA,OBUB,

：.ZOAP=ZOBP^9Q0,

VZOAP+ZAOB+ZOBP+ZP^360°,

/.ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°.

故答案為130°.

12.如圖是一塊直角三角形木料，//=90°,AB=3,AC=4,木工師傅要從中裁下一塊圓形木料，則可

裁圓形木料的最大半徑為

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解:1//=90°,18=3,AC=4,

BC=VAB2+AC2=VS2+42=5，

...圓形木料的最大半徑=生生?=1,

2

故答案為：1.

三.解答題（共3小題）

13.如圖，48是。。的直徑，C是。。上的一點(diǎn)，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)工作直線的垂線，垂足為

點(diǎn)、D,且/C平分

（1）求證：直線九W是。。的切線;

(2)若4D=4,AC=5,求OO的半徑.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）連接。C,

'：OA=OC,

：.ZOAC^ZOCA,

:NCAB=NDAC,

：.ZDAC=ZOCA,

：.OC//AD,

"JADLMN,

C.OCLMN,

：0C為半徑，

是O。切線；

(2)是。。的直徑,

/.ZACB=90°,

VZACB=ZADC=90°,

?；ZDAC=ABAC,

：./XADCsAACB,

.AD=AC

,?而AB"

.4_5

??，

5AB

4

，。。半徑是工*空=空

14.如圖，48為OO的直徑，C為。。上一點(diǎn)，。為NC的中點(diǎn)，過C作。。的切線交0。的延長線于E,

交的延長線于F，連

(1)求證：EA與。。相切；

(2)若CE=3,CF=2,求。。的半徑.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：如圖，連接OC,

:即為切線，

；.NOCE=90°,

???。為4C中點(diǎn)，

；?0EL4C,

：.EC=EA,

：.NECA=NEAC,

U：OA=OC,

：.ZOCA=ZOACf

：.ZOAC+ZEAC=ZOCA+ZECA=90°,

即"40=90°,

：.EA為。。的切線；

(2)解：連接3C,

TAB為直徑，

/.ZBCA=90°,

：?/CAB+NCBA=90°,

???斯為切線，

AZBCF+ZBCO=90°,且N8CO=/CR4,

???/BCF=/CAF,

：.△BCFs^CAF,

???一CF=BF1，

AFCF

由(1)知E4為O。切線，則E4=EC=3,EF=EC+FC=5,

在RtZ\4E尸中，可求得/尸=4,

二2黑，解得比7=1,

42

:.AB=AF-BF=3,

二。。的半徑為3.

15.如圖，已知，是。。的直徑，3c切。。于5,弦?！辍ā?。，連接CD并延長交BE的延長線于點(diǎn)4

(1)證明：C〃是。。的切線；

(2)若4D=2,AE=\,求CO的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：連接0D,

'CED//OC,

：.ZCOB=ADEO,ZCOD=ZEDO,

?：OD=OE,

：.ZDEO=ZEDO,

：.ZCOB=ZCOD,

在△8C。和△DC。中，

fOB=OD

,ZCOB=ZCOD

LOC=OC

A(&4S),

：.ZCDO=ZCBO,

為圓。的切線，

：.BC±OB,即/C3O=90°,

：.Z