2024年陜西省西安市長安區(qū)九年級中考二模數(shù)學(xué)試題

2024年陜西省西安市長安區(qū)九年級中考二模數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（共8小題，每小影3分，計(jì)24分，每小題只有一個選項(xiàng)是符合題意的）

1.（3分）計(jì)算（-7）-（-5）的結(jié)果是（）

A.-12B.12C.-2D.2

2.（3分）第18屆亞足聯(lián)亞洲杯足球賽將于2023年在中國舉辦.以下是四屆亞洲杯會徽的圖案部分，其

中是中心對稱圖形的是（）

4.(3分)下列運(yùn)算正確的是()

A.c/'-i-cr—a3B.(a3)2—a5

C.4機(jī)-4=機(jī)D.-(r-1)=]-t

5.（3分）如圖，直線yi=x+6與”=履-1相交于點(diǎn)P,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1,則關(guān)于x的不等式x+6

>kx-1的解集是（）

C.xW-1D.x<-1

6.（3分）在矩形ABC。中，BC=6,NDBC=30°,過點(diǎn)C作交AD于點(diǎn)E,則線段CE的

長為

（）

A.4B.2C.3A/2D.6

7.（3分）如圖，把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若EF=CD=4,則

3522

8.（3分）已知二次函數(shù)y=/-4x+3的圖象交x軸于A,8兩點(diǎn).若其圖象上有且只有尸1,Pi,P3三點(diǎn)

滿足則根的值是（）

A.AB.1C.3D.2

22

二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）

9.（3分）因式分解：2/-12/+18。=.

10.（3分）如圖是由射線AB,BC,CD,DE,EF,E4組成的平面圖形，則/1+/2+N3+/4+/5+/6

11.（3分）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，若8。是4

ABC的高，則BD的長為

k

12.（3分）如圖，反比例函數(shù)yq的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4,2）,將直線04向上平移若干個單位長度后交

y軸于點(diǎn)8,交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,若BC里￡，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為.

13.（3分）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4&，D、E為邊2C上兩點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)E■的

左側(cè)），且NZME=45°，若tan/EAC=旦，則

4

三、解答題（共13小題，計(jì)81分.解答應(yīng)寫出過程）

14.（5分）解不等式：等》x-l-

15.（5分）計(jì)算：g+（-i）7-|1-百卜

16.（5分）計(jì)算：（上_+3生_）+i_.

a+1a2-la-l

17.（5分）如圖，在銳角三角形ABC中，。為邊AC上一點(diǎn)，請用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)R

使得/CFD=2/BDF.（保留作圖痕跡，不寫作法）

18.（5分）已知，點(diǎn)C、F、B、E在同一直線上，AC//DF,AB//DE,CF=BE.求證：△ABg^DEF.

DA

19.（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2,2）,B（5,-1）,C

（5,3）.

（1）請以原點(diǎn)。為位似中心，在y軸左側(cè)畫一個△A181C1,使△ALBICI與△ABC位似，且位似比為2：

1;

（2）若。尸與直線A3、481同時相切，求0P的面積.

20.（5分）西安作為國際知名旅游城市，不僅有看不盡的美景，還有吃不完的美食.小楊和小田到西安

旅游，民宿附近的飲食街剛好有“羊肉泡饃”、“手搟面”、“涼皮配肉夾饃"、“葫蘆頭配泡菜”

這四種特色美食，他們兩人分別從這四種美食中選一種用餐.（每位游客選擇每種特色美食的可能性均

相同）

（1）小楊恰好選中“羊肉泡饃”的概率是；

（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求他們兩人選擇不同美食的概率（四種特色美食依次用A、B、C、

D表示）.

21.（6分）如圖，2024龍年春晚西安分會場，千人齊誦《將進(jìn)酒》，讓西安火遍天際.作為西安人，你

知道大雁塔的高度嗎？

小華拿著一部長為16cm的手機(jī)站在廣場上離大雁塔121根的點(diǎn)P處（即FB=121米），他把手機(jī)豎直

并將手臂向前伸（即CD//AB）,手機(jī)上下兩端恰好擋住他觀察大雁塔的視線（即點(diǎn)A、C、E在一條

直線上，點(diǎn)8、D、E在一條直線上），已知點(diǎn)E到手機(jī)C￡＞的距離為30cm.則大雁塔的高度A2為多

少米？（精確到0.1）

22.（7分）如圖，小宇媽媽在超市購買某種水果所付金額y（元）與購買水果的質(zhì)量無（千克）之間的函

數(shù)圖象如圖所示.

（1）求尤》5時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）請你幫小宇媽媽計(jì)算：一次性購買8千克這種水果比平均分2次購買可節(jié)省多少元?

23.（7分）隨著快遞行業(yè)在農(nóng)村的深入發(fā)展，全國各地的特色農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間.不同的快

遞公司在配送、服務(wù)、收費(fèi)和投遞范圍等方面各具優(yōu)勢，某農(nóng)產(chǎn)品種植戶經(jīng)過前期調(diào)研，打算從甲、

乙兩家快遞公司中選擇一家合作.為此，該種植戶收集了10家農(nóng)產(chǎn)品種植戶對兩家公司的相關(guān)評價,

并整理、描述、分析如下:

甲快遞公司配送速度乙快遞公司配送速度甲、乙快遞公司配送服務(wù)

得分頻數(shù)直方圖得分扇形統(tǒng)計(jì)圖質(zhì)量得分折線統(tǒng)計(jì)圖

項(xiàng)目配送速度得分服務(wù)質(zhì)量得分

統(tǒng)計(jì)量快平均數(shù)中位數(shù)平均數(shù)方差

遞公司

甲7.8m7

乙887

（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角a的度數(shù)為；

（2）表格中的機(jī)=,S幺s馬（填或“=”）；

甲乙

（3）綜合表中的統(tǒng)計(jì)量，你認(rèn)為該農(nóng)產(chǎn)品種植戶應(yīng)選擇哪家公司？請說明理由.

24.（8分）如圖，AB是。。的直徑，。是々上一點(diǎn)，弦。ELA8于點(diǎn)”，交AC于點(diǎn)F若AF=DF.

(1)求證：ZABD^ZDAF；

（2）若研至，sinZABD=^＞求O。的半徑.

25

25.（8分）如圖，拋物線w：y=a^+bx-3（a、b為常數(shù)，且aWO）與無軸交于點(diǎn)A（-1,0）,B（3,

0），與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線卬向右平移一個單位得到拋物線W；

（1）求拋物線卬的函數(shù)表達(dá)式;

（2）連接AC,探究拋物線”的對稱軸直線/上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、C、尸為頂點(diǎn)的三角形是

等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

y

~A~'O"-'B'

C-

26.（10分）（1）如圖1,正方形ABC。的邊長為4,點(diǎn)E、尸是對角線8。上兩動點(diǎn)，且￡尸=2.將點(diǎn)C

沿EF的方向平移2個單位得到點(diǎn)H,連接C”、FH.

①四邊形EC坂的形狀為；

②連接AC、AF,當(dāng)點(diǎn)A,F,X共線時，CE+CP的值為.

（2）自古以來，黃河就享有“母親河”的美譽(yù)，是中華文明的發(fā)源地之一，也是中華民族生生不息、

賴以生存的搖籃.如圖2,某地黃河的一段出現(xiàn)了分叉，形成了“片字型支流，分叉口有一片三角形

地帶的濕地，在支流1的左上方有一村莊A,支流2的右下方有一開發(fā)區(qū)2,為促進(jìn)當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)發(fā)展，

經(jīng)政府決定在支流1和支流2上分別修建一座橋梁PQ、（支流1的兩岸互相平行，支流2的兩岸也

互相平行，橋梁均與河岸垂直），你能幫助政府計(jì)算一下由村莊A到開發(fā)區(qū)2理論上的最短路程嗎？

（即AP+PQ+QM+MN+N8和的最小值）.經(jīng)測量，4、8兩地的直線距離為2000米，支流1、支流2

的寬度分別為150加米、250米，且與線段所夾的銳角分別為60°、30°.

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，每小影3分，計(jì)24分，每小題只有一個選項(xiàng)是符合題意的）

1.（3分）計(jì)算（-7）-（-5）的結(jié)果是（）

A.-12B.12C.-2D.2

【解答】解：原式=（-7）+5

=-2.

故選：C.

2.（3分）第18屆亞足聯(lián)亞洲杯足球賽將于2023年在中國舉辦.以下是四屆亞洲杯會徽的圖案部分，其

中是中心對稱圖形的是（）

A.-B.

【解答】解：選項(xiàng)4C、。都不能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重

合，所以不是中心對稱圖形，

選項(xiàng)8能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，

故選：B.

3.（3分）如圖，△A8C為等邊三角形，BDLBC,AE//BD,則/EAC的度數(shù)為（）

【解答】解：???△A8C為等邊三角形,

AZABC^ZBAC^60°,

VBDXBC,

：.ZCBD=90°,

ZDAB=ZCBD-ZABC=90°-60°=30°,

U：AE//BD,

：.ZEAB=1SO°-ZDAB=180°-30°=150°,

：.ZEAC=360°-ZEAB-ZBAC=360°-150°-60°=150°.

故選：A.

4.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.+=B.（/）2=〃5

C.4m-4=mD.-（L1）=1-t

【解答】解：A、/+〃2=〃4,原計(jì)算錯誤，不符合題意；

B、（浸）2=〃6,原計(jì)算錯誤，不符合題意；

C、4m與4不是同類項(xiàng)，無法計(jì)算，原計(jì)算錯誤，不符合題意；

D、-（L1）=1-t,正確，符合題意，

故選：D.

5.（3分）如圖，直線yi=x+Z?與*=丘-1相交于點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-1,則關(guān)于的不等式

>kx-1的解集是（）

A.-1B.x>-1C.xW-1D.x<-1

【解答】解：當(dāng)x>-1時，x+b>kx-1,

即不等式x+b>丘-1的解集為%>~1.

故選：B.

6.（3分）在矩形A3C。中，BC=6,ZDBC=30°,過點(diǎn)。作CE_LB。，交A0于點(diǎn)E,則線段CE的

長為

)

AED

A.4B.273C.3V2D.6

【解答】解：???四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD,AD=BC,ZDCB=90°,

9：BC=6,NDBC=30°,

:.CD=2M，

:,BD=4M，

U：CE±BD,

：.ZEOD=ZDOC=90°,

'：ZDBC=30°,

：.ZCDB=60°,

：.0D=^3,

：.DE=2,

：.CE=4,

故選：A.

7.（3分）如圖，把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若EF=CD=4,則

截面OO的半徑等于（）

0*

B

A.2B.2c.AD.3

3522

【解答】解：設(shè)球的平面投影圓心為。，過點(diǎn)。作。27,4。于點(diǎn)用延長NO交BC于點(diǎn)連接。尸,

如圖所示：

則NF=EN=LEF=2,

2

:四邊形ABC。是矩形，

：.ZC=ZD=90°,

四邊形C￡WM是矩形，

:.MN=CD=4,

設(shè)OP=x,則0M=OR

ON=MN-OM=4-x,

在RtZXON/中，由勾股定理得：ON2+NF2^OF2,

即:（4-x）2+22=X2,

解得：尤=立，

2

即截面。。的半徑長是上，

2

8.（3分）已知二次函數(shù)y=/-4x+3的圖象交x軸于A,B兩點(diǎn).若其圖象上有且只有尸1,尸2,尸3三點(diǎn)

滿足租，則機(jī)的值是（）

A.AB.1C.旦D.2

22

【解答】解：令/-4冗+3=0,

解得％1=1,X2=3,

.'.AB=3-1=2,

-4X+3=（x-2）2-1,

???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,

當(dāng)點(diǎn)尸1,尸2,P3中有1點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時滿足題意，

m^^AB'\yp\=Axnx1=1，

22

故選：B.

二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）

9.（3分）因式分解：2/-12/+18。=2。（a-3）2.

【解答】解：2a3-12/+18。

=2a（/-6。+9）

=2a（a-3）2.

故答案為:2a（a-3）2.

10.（3分）如圖是由射線AB,BC,CD,DE,EF,剛組成的平面圖形，貝U/1+N2+N3+/4+/5+/6

【解答】解：由多邊形的外角和等于360。可知，

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360°,

故答案為：360°.

11.（3分）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，若8。是4

7

A8C的高，則8。的長為后.

—13―

22

【解答】解：由勾股定理得：AC=^2+3=V13-

VSAABC=3X3--IxiX2-yXlX3-yX2X3=3.5,

.17

??扣C?BD弓，

.??Vl3-BD=7.

:.BD=N^-,

13_

故答案為：宏亙.

13

k

12.(3分)如圖，反比例函數(shù)yq的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4,2),將直線0A向上平移若干個單位長度后交

y軸于點(diǎn)3,交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,若BC里則C點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解答】解：?..反比例函數(shù)y上的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4,2),

"=8,

...反比例函數(shù)解析式為：y=星，直線。4的解析式為＞=工V

x2

作AO_L尤軸，CW_Lx軸，BGLCH,垂足分別為。、H、G,

,JBC//OA,BG//OD,

J.ZBCG^ZOAD,又/BGC=/ODA,

:.△BGCs^ODA,

?.--C-G-=-A-D-=--1,

BG0D2

設(shè)則由勾股定理得:

CG=x,BG=2x,BC=5V5_,

4

X2+4X2=A25.,解得尤=互（舍去負(fù)值），

164

：.BG=OH=2X^-=^.,

42

...點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

2

當(dāng)X2時，產(chǎn)胃也

2,15

2

.「（516\

?*L,——）?

25

故答案為：C（互，比）.

25

13.（3分）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4A/5，D、E為邊8C上兩點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)E的

左側(cè))，且/D4E=45°,若tan/￡AC=&，貝！JB￡)=1

4

【解答】解：'：ZBAC=90°,AB=AC=4.f2>

???/"/Cuds。，BC=A/AB2+AC2=8,

過點(diǎn)A作AH±BC于H,

；./BAH=/CAH=45°,AH=BH=CH=LBC=4,

2

VZZ)AE=45°,

J.ZDAH^ZEAC,

tanZEAC——,

4

tanZZ)A7/=^^=—,

AH4

，?！?旦義4=3,

4

：.BD=BH-DH=1.

故答案為：1.

三、解答題（共13小題，計(jì)81分.解答應(yīng)寫出過程）

14.（5分）解不等式：等》x-L

【解答】解：生曳》x-1,

2

4+xN2x-2,

2x-%W4+2,

xW6.

15.（5分）計(jì)算：g+Qi）7T-百卜

【解答】解：V12+(-1)7-|1-V3|

=273+(-1)-(V3-1)

=2,\/3-1-V§+1

-V3.

16.(5分)計(jì)算：(2+3生-)

a+1/-Ia-1

［解答］解：原式=2(a-l)+a+2?三玄

(a+1)(a-l)a

=3a.a-l

(a+1)(a-l)a

=3

a+1

17.(5分)如圖，在銳角三角形ABC中，。為邊AC上一點(diǎn)，請用尺規(guī)作圖法,在邊BC上求作一點(diǎn)F,

使得/CFO=2/8￡)R（保留作圖痕跡，不寫作法）

【解答】解：如圖所示，點(diǎn)尸即為所求.

18.（5分）已知，點(diǎn)C、F、B、E■在同一直線上，AC//DF,AB//DE,CF=BE.求證：△ABCZADEF.

EBFC

【解答】證明：-：AC//DF,AB//DE,

：.ZC=ZDFE,ZE=ZABC,

'：CF=BE,

：.CF+BF=BE+BF,

即BC=EF,

在△ABC和中，

，ZABC=ZE

，BC=EF，

ZC=ZDFE

AAABC^ADEF(ASA).

19.(5分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,2),B(5,-1),C

(5,3).

(1)請以原點(diǎn)。為位似中心，在y軸左側(cè)畫一個△ALBICI,使△ALBICI與△ABC位似，且位似比為2：

1;

(2)若。尸與直線48、481同時相切，求OP的面積.

(2)由題意知,AB//A1B1,AA1XAB,

/.線段441的長度為直線AB與AiBi之間的距離.

：O尸與直線A3、ALBI同時相切，

：.QP的直徑等于線段AAi的長度.

由勾股定理得，—1=^62+62=

：.QP的半徑為L1AI=372-

2

，O尸的面積為（3-y2）2兀=18TT.

20.（5分）西安作為國際知名旅游城市，不僅有看不盡的美景，還有吃不完的美食.小楊和小田到西安

旅游，民宿附近的飲食街剛好有“羊肉泡饃”、“手搟面”、“涼皮配肉夾饃"、“葫蘆頭配泡菜”

這四種特色美食，他們兩人分別從這四種美食中選一種用餐.（每位游客選擇每種特色美食的可能性均

相同）

（1）小楊恰好選中“羊肉泡饃”的概率是1；

—4―

（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求他們兩人選擇不同美食的概率（四種特色美食依次用A、B、C、

。表示）.

【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中小楊恰好選中“羊肉泡饃”的結(jié)果有1種，

小楊恰好選中“羊肉泡饃”的概率是」.

4

故答案為：1.

4

（2）畫樹狀圖如下：

開始

共有16種等可能的結(jié)果，其中他們兩人選擇不同美食的結(jié)果有：AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,

CB,CD,DA,DB,DC,共12種，

他們兩人選擇不同美食的概率為衛(wèi)=旦.

164

21.（6分）如圖，2024龍年春晚西安分會場，千人齊誦《將進(jìn)酒》，讓西安火遍天際.作為西安人，你

知道大雁塔的高度嗎？

小華拿著一部長為160九的手機(jī)站在廣場上離大雁塔121機(jī)的點(diǎn)尸處（即FB=12l米），他把手機(jī)豎直

并將手臂向前伸（即CD//AB）,手機(jī)上下兩端恰好擋住他觀察大雁塔的視線（即點(diǎn)A、C、E在一條

直線上，點(diǎn)8、D、E在一條直線上），已知點(diǎn)E到手機(jī)CD的距離為30cM.則大雁塔的高度A8為多

少米？（精確到0.1）

,：AB1BF,E1BF,EW±AB,

：.ZEWB^ZWBF^ZF=90°,

四邊形BPEW是矩形，

：.EW=BF=n\(m),

'：CD//AB,EW±AB,

：.EW±CD,LECDsAEAB,

??C?一D.-E--Jf

ABEQ

-0.16=0.3

AB121)

.'.AB^64.5(m).

答：大雁塔的高度AB約為64.5m.

22.（7分）如圖，小宇媽媽在超市購買某種水果所付金額y（元）與購買水果的質(zhì)量尤（千克）之間的函

數(shù)圖象如圖所示.

（1）求時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）請你幫小宇媽媽計(jì)算：一次性購買8千克這種水果比平均分2次購買可節(jié)省多少元？

【解答】解：（1）當(dāng)x》5時，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y^kx+b,

將（5,25）,（10,45）代入關(guān)系式中得：，5k+b=25,

I10k+b=45

解得，k=&

Ib=5

故當(dāng)x\5時，y與尤之間的函數(shù)關(guān)系為：y=4x+5；

（2）由圖象可知：當(dāng)0＜x＜5時，函數(shù)關(guān)系為：y=5x,

.,.當(dāng)x=4時，y=20,

故平均分2次購買所需總費(fèi)用為：20X2=40（元），

將x=8,代入y=4x+5中得：＞=4X8+5=37（元），

740-37=3（元），

一次性購買8千克這種水果比平均分2次購買可節(jié)省3元.

23.（7分）隨著快遞行業(yè)在農(nóng)村的深入發(fā)展，全國各地的特色農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間.不同的快

遞公司在配送、服務(wù)、收費(fèi)和投遞范圍等方面各具優(yōu)勢，某農(nóng)產(chǎn)品種植戶經(jīng)過前期調(diào)研，打算從甲、

乙兩家快遞公司中選擇一家合作.為此，該種植戶收集了10家農(nóng)產(chǎn)品種植戶對兩家公司的相關(guān)評價,

并整理、描述、分析如下:

甲快遞公司配送速度乙快遞公司配送速度甲、乙快遞公司配送服務(wù)

得分頻數(shù)直方圖得分扇形統(tǒng)計(jì)圖質(zhì)量得分折線統(tǒng)計(jì)圖

配送速度和服務(wù)質(zhì)量得分統(tǒng)計(jì)表:

項(xiàng)目配送速度得分服務(wù)質(zhì)量得分

統(tǒng)計(jì)量快平均數(shù)中位數(shù)平均數(shù)方差

遞公司

甲7.8m7啕

乙887

（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角a的度數(shù)為72。

⑵表格中的—，嘴一%（填，，＞，，，，＜”或，—）；

(3)綜合表中的統(tǒng)計(jì)量，你認(rèn)為該農(nóng)產(chǎn)品種植戶應(yīng)選擇哪家公司？請說明理由.

【解答】解：(1)甲公司配送速度得分為9分的頻數(shù)為10-2-3-1-1=3.

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示.

甲快遞公司配送速度

得分頻數(shù)直方圖

扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角a的度數(shù)為360°X(1-10%-40%-20%-10%)=72°.

(2)由頻數(shù)分布直方圖可得，m=(7+8)+2=7.5.

由甲、乙快遞公司配送服務(wù)質(zhì)量得分折線統(tǒng)計(jì)圖知，甲公司的得分?jǐn)?shù)據(jù)比乙公司的得分?jǐn)?shù)據(jù)波動小，

?

??5甲2—<5乙2.

故答案為:7.5；<.

(3)選擇乙公司.

理由：乙公司配送速度得分的平均數(shù)和中位數(shù)都高于甲公司，說明乙公司的整體配送速度較快(答案不

唯一，合理即可).

24.(8分)如圖，是的直徑，。是々上一點(diǎn)，弦DELAB于點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)R若4尸=。?

(1)求證：ZABD=ZDAF；

(2)若即至，sinZABD=^--求。。的半徑.

25

???ZADF=ZDAFf

ZADF+ZDAB=90°,

〈AB是。。的直徑，

ZADB=90°,

ZABD+ZDAB=90°,

NADF=ZABD,

：.ZABD=ZDAF；

（2）解：于點(diǎn)H,ZADH=ZABD,sin/ABO=返，

5

.入皿/4?！?旭=匹，

AD5

設(shè)4//=灰》,則AO=5x,

DH=dAD2_AH2=2限（負(fù)值已舍）,

'：AF=DF=^-,

2

:.HF=DH-DF=2疾x-A,

2

'：AF1=HF2+AH2,

2_

/.得）=（2泥x-得）2+（V5x）2,

解得尤=漢￡或x=o（舍去），

5

.\AD=5x=2yl~5,

：sinNA8D=^L=匹，

AB5

：.AB^1Q,

.??O。的半徑為5.

25.（8分）如圖，拋物線w：y^a^+bx-3（a、b為常數(shù)，且aWO）與無軸交于點(diǎn)A（-1,0）,B（3,

0）,與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線卬向右平移一個單位得到拋物線W；

（1）求拋物線w的函數(shù)表達(dá)式；

（2）連接AC,探究拋物線”的對稱軸直線/上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、C、尸為頂點(diǎn)的三角形是

等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

y

AOBx

c-

【解答】解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入產(chǎn)〃/+法-3得：

(a-b-3=0

19a+3b_3=0

解得卜=1,

lb=-2

...拋物線W的函數(shù)表達(dá)式為y=S-2尤-3；

(2)存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、C、尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，理由如下：

在y=/-2x-3中，令x=0得y=-3,

：.C(0,-3),

???把拋物線-2x-3向右平移一個單位得到拋物線W,

；?拋物線w'的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-1)2-2(x-1)-3—x1-4x—(x-2)2-4,

二拋物線w'的對稱軸為直線尤=2；

設(shè)尸(2,t),

?：A(-1,0),

；.4產(chǎn)=9+戶，CP2=4+(r+3)2,AC2=10,

①若AP=CP,貝!|9+尸=4+(t+3)2,

解得t=--；

3

：.P(2,-2)；

3

②若AP=AC,貝！］9+P=10,

解得f=1或f=-1,

：.P(2,1)或(2,-1)；

③若CP=AC,則4+(t+3)2=10,

解得Z=>/6-3或f=-V6-3,

：.P(2,遍