中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)8

中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)匯總

預(yù)備學(xué)問(wèn)：

1.完全平方和（差）公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

2.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

3.立方和（差）公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

第一章集合

i.構(gòu)成集合的元素必需滿意三要素：確定性、互異性、無(wú)序性。

2.集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖像法（文氏圖）。

3.常用數(shù)集：N（自然數(shù)集）、Z（整數(shù)集）、Q（有理數(shù)集）、R（實(shí)數(shù)集）、N+（正整數(shù)集）

4.元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系：

（1）元素與集合是上”與的關(guān)系。

（2）集合與集合是“I”"”“=”“廠’的關(guān)系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做題時(shí)多考慮中是否滿意題意）

（2）一個(gè)集合含有n個(gè)元素，則它的子集有2n個(gè)，真子集有211個(gè)，非空真子集有2n-2

個(gè)。

5.集合的基本運(yùn)算（用描述法表示的集合的運(yùn)算盡量用畫(huà)數(shù)軸的方法）

（1）Ai6={?1矛撾4且矛B}:A與8的公共元素組成的集合

（2）/6={xlx撾4或xB}-.A與8的全部元素組成的集合（相同元素只寫(xiě)一次）。

（3）C.A：。中元素去掉A中元素剩下的元素組成的集合。

注：C^ABXAUCUBG（4B）=CUA\CVB

6.會(huì)用文氏圖表示相應(yīng)的集合，會(huì)將相應(yīng)的集合畫(huà)在文氏圖上。

7.充分必要條件:P是q的……條件P是條件，q是結(jié)論

假如pnq,那么p是q的充分條件;q是p的必要條件.

假如p=q,那么p是q的充要條件

第二章不等式

1.不等式的基本性質(zhì)：（略）

注：（1）比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小一般用比較差的方法；另外還可以用平方法、倒數(shù)法。

（2）不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)要變號(hào)?。?/p>

（3）同向的不等式可以相加（不能相減），同正的同向不等式可以相乘。

2.重要的不等式：

（1）a1+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時(shí)，等號(hào)成立。

（2）a+b>24ab（a,b7?+）,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。（3）

注：甘（算術(shù)平均數(shù)）>4ab（幾何平均數(shù)）

3.一元一次不等式的解法（略）

4.一元二次不等式的解法

（1）保證二次項(xiàng)系數(shù)為正

（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

（3）定解：（口訣）大于取兩邊，小于取中間。

5,確定值不等式的解法

\x\<ao-a<x<a

若a>0,則<

|x|>aox〉agJtx<-a

分式不等式的解法：與二次不等式的解法相同。注：分母不能為0.

第三章函數(shù)

1.函數(shù)

（1）定義：設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集,假如根據(jù)某種對(duì)應(yīng)法則九對(duì)A內(nèi)任一個(gè)元素

X,在B中總有一個(gè)且只有一個(gè)值y與它對(duì)應(yīng)，則稱/是集合A到B的函數(shù)，可記為:

或/:x-y.其中A叫做函數(shù)/的定義域.函數(shù)/在x=a的函數(shù)值，記作/（a）,函數(shù)值的全體構(gòu)

成的集合C（CUB）,叫做函數(shù)的值域.

（2）函數(shù)的表示方法：列表法、圖像法、解析法。

注：在解函數(shù)題時(shí)可以畫(huà)出圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法可以使大部分題目變得更簡(jiǎn)潔。

2.函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則

（1）定義域的求法：使函數(shù)（的解析式）有意義的x的取值范圍

主要依據(jù)：分母不能為3偶次根式的被開(kāi)方式20,

特殊函數(shù)定義域：y=x°,"0y=>0且aHl）,xwR

y=loga%,（a>。且aw1）,%>0

（2）值域的求法：y的取值范圍

①正比例函數(shù)：y=kx和一次函數(shù)：y=入+6的值域?yàn)镽

②二次函數(shù)：y=ax2+"+c的值域求法：配方法。假如x的取值范圍不是R則還需畫(huà)

圖像

③反比例函數(shù)：》二:*■的值域?yàn)閧yly*0}

X

④另求值域的方法：換元法、不等式法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)的單調(diào)性等等。

（3）解析式求法：在求函數(shù)解析式時(shí)可用換元法、構(gòu)造法、待定系數(shù)法等。

3.函數(shù)圖像的變換

（1）平移

向左平移〃、向右平移、

y=F(%)fy=/(x+a)片/⑴方析-八小一。）

。個(gè)單位

向上平移〃、向下平移〃、

y=f(x)—>=/(x)+a

a個(gè)單位

(2)翻折

沿X軸保留X軸上方圖像

y=/(x)->y=-fM‘一=,”下方翻折到上方-y="(%)I

上、下對(duì)折

4.函數(shù)的奇偶性

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

(2)若/(-X)=-/(X)f奇若/(—X)=/(x)f偶

注：①若奇函數(shù)在x=0處有意義，則/(0)=0

②常值函數(shù)/(x)=a(awO)為偶函數(shù)

③/(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

5.函數(shù)的單調(diào)性

7(^)</(當(dāng)),稱/'(%)在a切上為增函數(shù)

對(duì)于Vxxe[a,句且再<芍,若<

P2/(%1)>/(々)，稱/(X)在[。向上為減函數(shù)

增函數(shù)：X值越大，函數(shù)值越大；X值越小，函數(shù)值越小。

減函數(shù)：x值越大，函數(shù)值反而越??；x值越小，函數(shù)值反而越大。

6.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)的三種解析式

①一般式：/(x)=&+bx+c(awO)

②頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-k)2+h("0),其中(仁丸)為頂點(diǎn)

③兩根式：/(x)=G(X-xJCx-x2)("0),其中Xp%是/0)=0的兩根

(2)圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，有如下特征與性質(zhì)：

①開(kāi)口a>0r■開(kāi)口向上a<0->開(kāi)口向下

②對(duì)稱軸：x=-2頂點(diǎn)坐標(biāo)：與生)

2a2a4a

A>0f有兩交點(diǎn)

③與軸的交點(diǎn)：｛一有佼點(diǎn)

AxA=0④根與系數(shù)的關(guān)系：(韋達(dá)定理)

△<0—無(wú)交點(diǎn)

b

1]+%2=----

<a

c

%?芍二一

Ia

⑤/(X)=狽2+AX+C為偶函數(shù)的充要條件為b=0

⑥二次函數(shù)(二次函數(shù)恒大(小)于0)

/(%)〉0=<">°o圖像位于x軸上方/(x)<0o<“<°o圖像位于x軸下方

A<0[A<0

⑦若二次函數(shù)對(duì)隨意X都有x)=/?+x),則其對(duì)稱軸是尤=人

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)幕的性質(zhì)與運(yùn)算

(1)根式的性質(zhì)：

①〃為隨意正整數(shù)，(折)"=。②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，而=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，^=\a\

③零的任何正整數(shù)次方根為零；負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根。

(2)零次幕：a°=l(a/0)

⑶負(fù)數(shù)指數(shù)幕：a~n=\(awO-eN*)

a

m___

(4)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a"=Vfl?"(a>0wwN+且〃,>1)

(5)實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則：(a〉0,m,nGR)

(^)am-an=am+n②(a"')"=a""’③(a.?"=a"

2.幕運(yùn)算時(shí)，留意將小數(shù)指數(shù)、根式都統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)；一般將每個(gè)數(shù)都化為最小的一

個(gè)數(shù)的〃次方。

an號(hào)/當(dāng)a>00寸，y=在(0,+s)上單調(diào)遞增

3.幕函數(shù)y=x<

>[當(dāng)a<00寸，y=x0在(0,+oo)上單調(diào)遞減

b

4.指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化：a=N^\ogaN=b(a>0且awl)、(N〉0)

5.對(duì)數(shù)基本性質(zhì)：①bg〃a=l②log〃l=0③*g*=N④log/N=N

⑤log”6與10gzl?；榈箶?shù)olog。A-log/,a=1olog.b=--—

log/

-n

n

⑥log/b=—logflZ?

m

6.對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算：

log“(M'N)=log0M+logaNloga"=logaM-logflN

N

7.換底公式：蜒*=也壯3>0且或1)

log/,a

8.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)

定y=ax(a>0,a的常數(shù))y=log〃x(a>0,a/l的常數(shù))

義

\

圖20<a<l\

像i

(1)x&R,y>0(1)x>0,ye7?

性(2)圖像經(jīng)過(guò)(0,1)點(diǎn)⑵圖像經(jīng)過(guò)(L0)點(diǎn)

(3)(3)

質(zhì)

。>1,y=優(yōu)在R上為增函數(shù)；a〉1,y=log”x在(0,+co)上為增函數(shù)；

0<a<l,y=a”在尺上為減函數(shù)。0<a<l,y=logax在(0,+co)上為減函數(shù)

9.利用幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小，將其變?yōu)橥?、同?次)

或用換底公式或是利用中間值0,1來(lái)過(guò)渡。

10.指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程：指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化同底法換元法④取對(duì)數(shù)法

注：解完方程要記得驗(yàn)證根是否是增根，是否失根。

第五章數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為同一個(gè)常數(shù)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比為同一個(gè)常數(shù)

定a?Q]—a?~~a'a〃一]—"d&=旦==&=4(什0)

%。2%-1

義注：當(dāng)公差4=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列注：等比數(shù)列各項(xiàng)和公比均不能為

0；

當(dāng)公比為1時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列

n—1

通%=6+(幾一l)d=%q

項(xiàng)

公

式

/.、a—a

(1、j-nm(1)qn-m

推

n-mam

/C\n—m

(2)an=am+(n-rri)d(2)an=amq

論

(3)若m+n^p+q,則(3)若〃?+"=p+q,貝！=a?4

am+an=ap+aq

中三個(gè)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則有三個(gè)數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，則有

7a+c

項(xiàng)2b=a+c=b=------b2=ac

2

公

式

刖〃(%+%)n(n-1)=%一

S"=2=叫+2dsn=(qW1)

ni-q1-q

項(xiàng)

和

公

式

1.已知前〃項(xiàng)和S“的解析式，求通項(xiàng)明

S（〃=1）

"也-S“T（心2）

2,弄懂等差、等比數(shù)通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式的證明方法。（見(jiàn)教材）

第六章三角函數(shù)

1.弧度和角度的互換

180"=》弧度1°=左弧度B0.01745弧度1弧度=(一)°?57°18,

lot）n

2.扇形弧長(zhǎng)公式和面積公式

=1?I-rS扇=（記憶法：與S蠲c

3.隨意三角函數(shù)的定義:

對(duì)邊_y鄰邊tana=H)

sinacosa=

W7斜邊鄰邊x

4.特殊三角函數(shù)值

a0=0°-=30°-=45°-=60°-=90°

6432

To73V4

sina~T~2~T~T~2~

V3

cosa■\l~4Vf“Vo

~T~T~T~2~T

tan。073

V1不存在

5,三角函數(shù)的符號(hào)判定

（1）口訣：一全二正弦，三切四余弦。（三角函數(shù)中為正的，其余的為負(fù)）

（2）圖像記憶法

6.三角函數(shù)基本公式

tana=堊里（可用于化簡(jiǎn)、證明等）

cosa

sin2tz+cos2a=l（可用于已知sine求cos（z;或者反過(guò)來(lái)運(yùn)用）

7.誘導(dǎo)公式：口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限。

說(shuō)明：指左彳+成左"），若k為奇數(shù),則函數(shù)名要變更，若左為偶數(shù)函數(shù)名不變。

7.已知三角函數(shù)值求角1：

（1）確定角a所在的象限；（2）求出函數(shù)值的確定值對(duì)應(yīng)的銳角優(yōu)；（3）寫(xiě)出滿意條件的

0~21的角；⑷加上周期(同終邊的角的集合)

8,和角、倍角公式

(1)和角公式：sin(67±%-sinacos/?±cosasino留意正負(fù)號(hào)相同

cos@±)3)=cos。cos/?不sinasin/?留意正負(fù)號(hào)相反

/.c、tana±tan￡

tan(a±J3)=-----------

1+tanatanB

(2)二倍角公式：sin2a=2sinacosacos2a=cos2—sin2a—2cos2a—1=1—2sin2a

c2tan。

tan2a=--------

1-tana

⑶半角公式：sin|=±產(chǎn)乎

9.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

性質(zhì)

函數(shù)圖像定義奇偶

值域同期單調(diào)性

域性

J

[2^--,2^+-]T

22

T=2TT

y=sinxxeR

[-1,1]奇[2k7T+-,2k7l+—]^

22

j

J

[2k/r-兀,2kilT

T=2TV

y—cosxxeR[-1,1]偶

0二\2kji,2k7i+?]J

0.5-

-1-Iu

9,正弦型函數(shù),=Asin(@;+o)(A>0,>0)

⑴定義域R,值域［-又域

__27r

(2)周期：T=—

CD

(3)留意平移的問(wèn)題：一要留意函數(shù)名稱是否相同，二要留意將x的系數(shù)提出來(lái)，再看是

怎樣平移的。

(4)y=asinx+bcosx=\a1+b2sin(x+o)

10.正弦定理

上7=芻=三=27?(R為AABC的外接圓半徑)

sinAsinnsmC

其他形式：(1)a=27?sinAb=2RsinBc=2RsinC(留意理解記憶，可只記一個(gè))

(2)<2:Z?:c=sinA:sinB:sinC

11.余弦定理

M上浮2

a2=b-+c2-2bccosAncosA=^^—~—(留意理解記憶，可只記一個(gè))

2bc

12.三角形面積公式

SAABC=g"sinC=gz?csinA=gacsin3（留意理解記憶，可只記一個(gè)）

13.海倫公式：S詡c="（P—a）（P-b）（P-c）（其中P為AABC的半周長(zhǎng)，P=￡±|±￡）

第七章平面對(duì)量

1.向量的概念

（1）定義：既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示：書(shū)寫(xiě)時(shí)確定要加箭頭！另起點(diǎn)為A,終點(diǎn)為B的向量表示為通。

（3）向量的模（長(zhǎng)度）：|荔|或［7|

（4）零向量：長(zhǎng)度為0,方向隨意。

單位向量：長(zhǎng)度為1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的兩個(gè)向量。

反（負(fù)）向量：大小相等，方向相反的兩個(gè)向量。

2.向量的運(yùn)算

（1）圖形法則

力口法：AB+BC=AC減法：AB-AC=CA

（3）運(yùn)算律：加法交換律、結(jié)合律注：乘法（內(nèi)積）不具有結(jié)合律

3.數(shù)乘向量：（1）模為：I刈日I（2）方向：2為正與〉相同；2為負(fù)與）相反。

4.A8的坐標(biāo)：終點(diǎn)B的坐標(biāo)減去起點(diǎn)A的坐標(biāo)。AB=（XB-xA,yB-yA）

5,向量共線（平行）：三唯一實(shí)數(shù)人使得。=動(dòng)。（可證平行、三點(diǎn)共線問(wèn)題等）

6.平面對(duì)量分解定理：假如1是同一平面上的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)該平面上的任

一向量都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)看,％,使得。=西,+巧02。

7.留意AABC中，重心（三條中線交點(diǎn)）、外心（外接圓圓心：三邊垂直平分線交點(diǎn)）、內(nèi)心（內(nèi)

切圓圓心：三角平分線交點(diǎn)）、垂心（三高線的交點(diǎn)）

8.向量的內(nèi)積（數(shù)量積）

（1）向量之間的夾角：圖像上起點(diǎn)在同一位置；范圍［0,加。

（2）內(nèi)積公式：a-ba\\b\cos<a,b>

9.向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)：

—*—?fi.h—*■—?—?—?

（1）cos<a.b>=——（夾角公式）（2）alb^a-b^Q

\a\\b\

（3）a?a=|a1或|a|=J）?a（長(zhǎng)度公式）

10.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：⑴AB=（xB-xA,yB-yA）

（2）設(shè)a=（）石=（%2，%），貝U?！?=（為±左2,必土%）（相，例）a-b=x1x2+y1y2

11.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若Aa，x）,B（%,y2）,點(diǎn)M（x,y）是線段AB的中點(diǎn)，則x=與三，尸咤三

12.向量平行、垂直的充要條件：設(shè)。=（七,%）,辦=（電,％），則

）//BO±=2（相對(duì)應(yīng)坐標(biāo)比值相等）

aJ_Boa%=0o=0（兩個(gè)向量垂直則它們的內(nèi)積為0）

11.長(zhǎng)度公式

（1）向量長(zhǎng)度公式：設(shè)a=（x,y）,則|a|=，尤2+產(chǎn)

⑵兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)點(diǎn)4（芯,％）,8（々,為），則IAB|=J（%2—%）2+（%>

12.向量平移

(i)平移公式：點(diǎn)P(x,y)平移向量1回，4)到PH"則戶記憶法："新=舊

[y=y+a2

+向量”

a

(2)圖像平移：y=/(x)的圖像平移向量”=(%,“2)后得到的函數(shù)解析式為：y-2=f(x-al)

第八章平面解析幾何

1.曲線C上的點(diǎn)與方程Wx,y)=O之間的關(guān)系：

(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程Wx,y)=o的解；

⑵以方程F(x,y)=0的解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上。

則曲線C叫做方程尸(x,y)=O的曲線，方程為＞,y)=0叫做曲線C的方程。

2.求曲線方程的方法和步驟：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y);(2)寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)在曲線上的充要

條件；(3)用的關(guān)系式表示這個(gè)條件列出的方程；(4)化簡(jiǎn)方程(不須要的全部約

掉)；(5)證明化簡(jiǎn)后的方程是所求曲線的方程。假如方程化簡(jiǎn)過(guò)程是同解變形的話第五

步可省略。

3.兩曲線的交點(diǎn)：聯(lián)立方程組求解即可。

4.直線：

(1)傾斜角。：一條直線/向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角叫這條直線的傾斜角。

其范圍是[0,萬(wàn))

(2)斜率：①傾斜角為90。的直線沒(méi)有斜率；②左=tanc(傾斜角的正切)

③經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)舄(々，為)的直線的斜率K=M~—(無(wú)產(chǎn)》2)

x2-Xj

⑶直線的方程

①兩點(diǎn)式：上』=三』②斜截式：y=kx+b

為一必々一天

③點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)④一般式：Ax+By+C=0

注：1.若直線/方程為3x+4y+5=0,則與/平行的直線可設(shè)為3x+4y+C=0;與/垂直的直

線可設(shè)為4X-3Y+C=0

2.求直線的方程最終要化成一般式。

（4）兩條直線的位置關(guān)系

(：y=kxx+&l2\y=k2x+b24Ax+ByX+C]=04：42%+B2%+C]—0

A_且w

4與，2平行h=左2且仿。b2

A2B2C2

A】_BI_J

4與4重合k]=左2且4—b2

4B2C2

k、wk?A*耳

乙與，2相交&B?

k[?k2=—1

A1；2A4+一當(dāng)=。

注：系數(shù)為。的狀況可畫(huà)圖像來(lái)判定。

⑸點(diǎn)到直線的距離

①點(diǎn)P（x。,%）到直線Ax+By+C=Q的距離：d=鷺口

P”22

VA+fi

5.圓的方程

⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：（龍一a）2'+（y—b）2=，2（廠>0）其中圓心（a萬(wàn)）,半徑r。

（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）

圓心（一§一半徑：

（4）直線和圓的位置關(guān)系：主要用幾何法，利用圓心到直線的距離d和半徑，?比較。

d<r今本目交；]=/今本目切；本目離

6.橢圓

動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之和等于常數(shù)2a

幾何定義

1PF)|+|PF?|=2a

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程"為=】（焦點(diǎn)在“軸上）焦點(diǎn)在y軸上）

1y

圖像“一》也

a,O,c的關(guān)系a2=b2+c2留意：通常題目會(huì)隱藏這個(gè)條件

對(duì)稱軸與對(duì)稱中心x軸：長(zhǎng)軸長(zhǎng)2Q;y軸：短軸長(zhǎng)28；0（0,0）

頂點(diǎn)坐標(biāo)(±4,0)(0,±?

焦點(diǎn)坐標(biāo)（土G0）焦距2c注：要特殊留意焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上

c[~P-

離心率e=—=11--T<1

a\a

7.雙曲線

動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差的確定值等于常數(shù)2a

幾何定義

IIPF.\-\PF2||=2a

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上）與-a=1（焦點(diǎn)在y軸上）

ab

圖像J7

1r

a*,c的關(guān)系c2=a1+b2留意：通常題目會(huì)隱藏這個(gè)條件

對(duì)稱軸與對(duì)稱中心X軸：實(shí)軸長(zhǎng)2a;y軸：虛軸長(zhǎng)26；0（0,0）

頂點(diǎn)坐標(biāo)(±a,0)

焦點(diǎn)坐標(biāo)（土GO）焦距2c注：要特殊留意焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上

4〉i

離心率

漸近線（焦點(diǎn)在無(wú)軸上）y=（焦點(diǎn)在y軸上）

ab

注：等軸雙曲線：（1）實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等na=b（2）離心率e=6（3）漸近線y=±x

8.拋物線

幾到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡

何

定\MF\=d（d為拋物線上一點(diǎn)加到準(zhǔn)線的距離）

義

焦

點(diǎn)

X軸正半軸X軸負(fù)半軸y軸正半軸y軸負(fù)半軸

位

置

I

NJ-p

4__:

圖

---1--

p_?(Fpx

像-2

-2X-2-

標(biāo)

準(zhǔn)

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方

程

焦F皮,0)F(-^,0)時(shí)爭(zhēng)F（0「與

點(diǎn)

坐

標(biāo)

準(zhǔn)

線

Pp

X=----X-P

22y=-2八5

方

程

頂

0(0,0)

點(diǎn)

對(duì)

稱X軸y軸

軸

離

心e=l

率

注：(1)P的幾何意義表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

(2)駕馭焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的推斷方法

(3)圓錐曲線中凡涉和到弦長(zhǎng)，都可用聯(lián)立直線和曲線的方程求解再用弦長(zhǎng)公式：

|AB|=Vl+k*J(X]+x7)—

(4)圓錐曲線中最重要的是它本身的定義??！做題時(shí)應(yīng)留意圓錐曲線上的點(diǎn)是滿意圓錐曲

線的定義的!

第九章立體幾何

1.空間的基本要素：點(diǎn)、線、面

注：用集合符號(hào)表示空間中點(diǎn)（元素）、線（集合）、面（集合）的關(guān)系

2.平面的基本性質(zhì)

（1）三個(gè)公理：

①假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的全部的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

②假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們的全部公共點(diǎn)組成的集合是過(guò)該點(diǎn)的一

條直線。

③經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

（2）三個(gè)推論：

①經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

②經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。

③經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。

3.兩條直線的位置關(guān)系：

（1）相交：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，記作

（2）平行：a過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行。

尻平行于同一條直線的兩條直線平行

（3）異面：

①定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線的夾角：對(duì)于兩條異面直線，平移一條與另一條相交所成的不大于T的角。留

意在找異面直線之間的夾角時(shí)可作其中一條的平行線，讓它們相交。

4.直線和平面的位置關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi)：/=a

（2）直線與平面相交：ma=A

（3）直線與平面平行

①定義：沒(méi)有公共點(diǎn)，記作：/IIa

②判定：假如平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與平面平行。

③性質(zhì)：假如一條直線與一平面平行，且過(guò)直線的另一平面與該平面相交，則該直線與交

線平行。

5.兩個(gè)平面的位置關(guān)系

（1）相交：ccC\j3=I

（2）平行：

①定義：沒(méi)有公共點(diǎn)，記作：II

②判定：假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，則兩平面平行

（1）定義：直線與它在平面內(nèi)的射影所成的角

（2）范圍：?jiǎn)瑁?/p>

7.直線與平面垂直

（1）判定：假如一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則該直線與平面垂直

⑵性質(zhì)：

①假如一條直線垂直于一平面，則它垂直于該平面內(nèi)任何直線;

②垂直于同一平面的兩直線平行;

③垂直于同始終線的兩平面平行。

8.兩個(gè)平面垂直

(1)判定定理：假如一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面相互垂直。

(2)性質(zhì)定理：假如兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線與另一個(gè)平面

垂直。

9.二面角

(1)定義：過(guò)二面角的棱上一點(diǎn)。，分別在兩半平面內(nèi)引棱/的垂線。4OB,則

ZA03為二面角的平面角

(2)范圍：［0,加

(3)二面角的平面角構(gòu)造：

①按定義，在棱上取一點(diǎn)。，分別在兩半平面內(nèi)引棱的垂線。4OB,則ZAOB即是

②作一平面與二面角的棱垂直，與兩半平面分別交于。4、OB,ZAOB即是

第十章排列、組合與二項(xiàng)式定理

1.分類用加法：N=1%+m?+……+mn分步用乘法：N=mim2...mn

171

2.有序?yàn)榕帕校篜：=n(n-l)(n-2)……(n-m+1)=-~

(n-m)l

無(wú)序?yàn)榻M合：+D〃！

mm!(n-m)!

階乘：P：=n!=.......x3x2x1

規(guī)定：0!=lC°=l

注：(1)做排列組合題的原則：先特殊，后一般!

(2)在一起，用捆綁法；不在一起，用插空法；另外的思索方法：一般法、解除法、分類

探討法、機(jī)會(huì)均等法等等。

3.組合數(shù)的兩特性質(zhì)：（1）C；=C；；-m（2）C：\=C：+C：T

4.二項(xiàng)式定理：

（a+b）"=C°anb°+C^b'+……+C；,a"-rbr+……禺％為"一+

nrr

通項(xiàng)：Tr+i=C'na-b,其中C：叫做第7+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。

注：（1）二項(xiàng)綻開(kāi)式中第「+1項(xiàng)的系數(shù)與第廠+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C：是兩個(gè)不同的概念。

（2）楊輝三角

1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）除每行兩端的1以外，每個(gè)數(shù)字都等于它肩上兩數(shù)之和，即cL=c：+c3

（2）與首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即c;=er

（3）〃為偶數(shù)，綻開(kāi)式有奇數(shù)項(xiàng)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；（第^+1項(xiàng)）

九為奇數(shù)，綻開(kāi)式有偶數(shù)項(xiàng)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大。（第一項(xiàng)和后一項(xiàng)）

7.C>c'+……C:+……C；=2"C>C>C>……=C：+C：+C：+……=2力

第十一章概率與統(tǒng)計(jì)

一、概率.

1.概率：隨機(jī)事務(wù)A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.

2.等可能事務(wù)的概率：假如一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個(gè)，且全部結(jié)果出現(xiàn)

的可能性都相等，那么，每一個(gè)基本領(lǐng)件的概率都是工，假如某個(gè)事務(wù)A包含的結(jié)果有m

n

個(gè)，那么事務(wù)A的概率P（A）=^.

n

3.①互斥事務(wù)：不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)叫互斥事務(wù).假如事務(wù)A、B互斥，那么

事務(wù)A+B發(fā)生（即A、B中有一個(gè)發(fā)生）的概率，等于事務(wù)A、B分別發(fā)生的概率和，即

P(A+B)=P(A)+P(B)O

②對(duì)立事務(wù)：兩個(gè)事務(wù)必有一個(gè)發(fā)生的互斥事務(wù)叫對(duì)立事務(wù).

留意：L對(duì)立事務(wù)的概率和等于1：P(A)+P(A)=P(A+A)=1.

ii.互為對(duì)立的兩個(gè)事務(wù)確定互斥，但互斥不確定是對(duì)立事務(wù).

③相互獨(dú)立事務(wù)：事務(wù)A(或B)是否發(fā)生對(duì)事務(wù)B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響.這樣的兩

個(gè)事務(wù)叫做相互獨(dú)立事務(wù).假如兩個(gè)相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概

率的積，即P(A?B)=P(A)?P(B).由此，當(dāng)兩個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)等于這兩個(gè)

事務(wù)發(fā)生概率之積，這時(shí)我們也可稱這兩個(gè)事務(wù)為獨(dú)立事務(wù).

④獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依靠于其他各次試驗(yàn)

的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的.假如在一次試驗(yàn)中某事務(wù)發(fā)生的概率為P,那么在n次

kn-k

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事務(wù)恰好發(fā)生k次的概率：Pn(k)=C^P(l-P).

二、隨機(jī)變量.

1.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是不確定的.試驗(yàn)假如滿意下述條件：

①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的全部可能結(jié)果是明確可知的，并且不

止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能確定這次試

驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

它就被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).

2.離散型隨機(jī)變量：假如對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按確定次序一一列出，這

樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。

設(shè)離散型隨機(jī)變量§可能取的值為：…，巧，…

§取每一個(gè)值…)的概率則表稱為隨機(jī)變量§的概率分布，簡(jiǎn)稱§

的分布列.

???5???

PlPlPi

P?..???

有性質(zhì)①P20，i=L2,…；②Pl+?2+…+P"…=1.

留意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例

如：人05］即自可以取。?5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無(wú)理數(shù).

3.⑴離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事務(wù)可能發(fā)生也可能不

發(fā)生，在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事務(wù)發(fā)生的次數(shù)f是一個(gè)隨機(jī)變量.假如在一次試驗(yàn)中

某事務(wù)發(fā)生的概率是P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事務(wù)恰好發(fā)生左次的概率是

P,g=k）=C\pkqi,（左=0,1,2,…，77,q=l-p）.

于是得到隨機(jī)變量f的概率分布如下：

J01kn

z-f1-1M—1

pC：P°q"CnPqC：pkqic,、pq

由于CP、""恰好是二項(xiàng)綻開(kāi)式

（q+pY=C°p°qn+G；P%"T+…+C\pkq"-k+…+c：p"q。

中的各項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量f聽(tīng)從二項(xiàng)分布，記作p）,

其中A，「為參數(shù)，并記=b（左;n,p）.

⑵二項(xiàng)分布的推斷與應(yīng)用.

①二項(xiàng)分布，實(shí)際是對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事務(wù)是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù),

且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，假如不滿意此兩條件，隨機(jī)變量就不聽(tīng)從二項(xiàng)分布.

②當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對(duì)于總體來(lái)說(shuō)又比較小，而每次抽取時(shí)

又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列.

三、數(shù)學(xué)期望