2024年高考數(shù)學一輪復習（新高考版） 直線的方程

第八章直線和圓、圓錐曲線

§8.1直線的方程

【考試要求】1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式2根據(jù)確

定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般

式).

?落實主干知識

【知識梳理】

1.直線的方向向量

設(shè)A,B為直線上的兩點，則還就是這條直線的方向向量.

2,直線的傾斜角

(1)定義：當直線/與X軸相交時，我們以X軸為基準，X軸正向與直線/向上的方向之間所成

的角a叫做直線/的傾斜角.

(2)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍為(TWa<180。.

3.直線的斜率

(1)定義：把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母左表示，

即%=tana(aW90°).

(2)過兩點的直線的斜率公式

如果直線經(jīng)過兩點Pi(xi，yi),P2H2,>2)(XIWX2),其斜率左=看三;

4.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y(tǒng)-yo=-x—xo)不含直線X=Xo

斜截式不含垂直于X軸的直線

y-yix-x\

兩點式—(xiWx2，yiWvz)不含直線x=xi和直線y=y

>2>1X2Xl

截距式a+b=1不含垂直于坐標軸和過原點的直線

一般式Ar+By+C=O(A2+B2w0)平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用

【常用結(jié)論】

1.直線的斜率上與傾斜角a之間的關(guān)系

a0°0°<a<90°90°90°<cc<180°

k0Z>0不存在k<0

牢記口訣：“斜率變化分兩段，90。是分界線；

遇到斜率要謹記，存在與否要討論”.

2.“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個

非負數(shù).應注意過原點的特殊情況是否滿足題意.

3.直線Ax+By+C=0(A2+)W0)的一個方向向量a=(—B,A).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.(X)

(2)直線的斜率越大，傾斜角就越大.(X)

(3)若直線的傾斜角為a,則斜率為tana.(X)

(4)直線>=履一2恒過定點(0,-2).(V)

【教材改編題】

1.已知點A(2,0),8(3,小)，則直線A8的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

答案B

解析由題意得直線的斜率左=坐/=小，

設(shè)直線AB的傾斜角為a,則tana=小,VO^cKlSO0,

，a=60°.

2.己知直線/過點(1,1),且傾斜角為90。，則直線/的方程為()

A.x+y=lB.x~y=l

C.y=lD.x—1

答案D

解析因為直線/的傾斜角為90°,

所以該直線無斜率，與x軸垂直，又因為直線/過點(1,1),

所以直線/的方程為x=l.

3.過點尸(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為

答案3x—2y=0或x+y—5=0

解析當截距為0時，直線方程為3x—2y=0；

當截距不為0時，

設(shè)直線方程為

23

則一+一=1,

aa

解得a=5.

所以直線方程為x+y—5=0.

■探究核心題型

題型一直線的傾斜角與斜率

例1(1)若直線/過點尸(1,0),且與以4(2,1),2(0,小)為端點的線段有公共點，則直線/的

斜率的取值范圍是()

A.[-^3,1]B.(一8,-^/3]U[1,+8)

C.一乎,1D.1—8,一乎]U[l,+°0)

答案B

解析如圖，當直線/過點8時，設(shè)直線/的斜率為％1,則由=右手=—?。划斨本€/過點

1—0

A時，設(shè)直線/的斜率為左2,則左2=「=1,所以要使直線/與線段AB有公共點，則直線

/的斜率的取值范圍是(一8,-^/3]U[1,+CO).

斗

\31.

(2)直線2xcosa一廠3=0(?！?W)的傾斜角的變化范圍是()

7171712兀~|

C?叵2_D憧"J

答案B

解析直線2xcosa—y—3=0的斜率％=2cosa.

由于不§,所以iWcosaWS-,

因此攵=2cos]￡[1,小].

設(shè)直線的傾斜角為仇則有tan8￡[l,小].

由于?！闧0,71),

所以ee,,I],即傾斜角的變化范圍是,，f.

思維升華直線傾斜角的范圍是[0,兀)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜

率求傾斜角的范圍時，要分0,g與仔，兀)兩種情況討論.

跟蹤訓練1(1)(2023?溫州模擬)直線x+(源+l)y+優(yōu)2=0(mGR)的傾斜角的最小值是

答案T

1機2

解析直線可化為y=一蔗針—而?

*.*m2^0,.*.m2+1^1,

則。，＜1,

則所求傾斜角的最小值是手.

(2)若正方形一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為

答案|-3

解析如圖，在正方形。ABC中，對角線。2所在直線的斜率為2,建立如圖所示的平面直

角坐標系.設(shè)對角線所在直線的傾斜角為6,則tan0=2,由正方形的性質(zhì)可知，直線

OA的傾斜角為6—45。，直線OC的傾斜角為0+45。,

tan8-tan45°

故％A=tan(6?—45°)=

1+tan仇an45。

tan8+tan45°2+1

%oc=tan(9+45°)=3.

1—tan仇an45°1-2

題型二求直線的方程

例2求符合下列條件的直線方程:

⑴直線過點A(T,—3),且斜率為一；；

(2)直線過點(2,1),且橫截距為縱截距的兩倍；

(3)直線過點(5,10),且原點到該直線的距離為5.

解(1)：所求直線過點A(—l,-3),且斜率為一：，

；.y+3=—即x+4y+13=0.

(2)當橫截距與縱截距都為0時，可設(shè)直線方程為y=kx,

又直線過點(2』)，

.?.1=2鼠解得太=g,

二直線方程為y=%,即x—2y=0；

當橫截距與縱截距都不為0時，可設(shè)直線方程為2+5=1,

~+7=1,[a=4,

由題意可得"b解得

6=2,

〔〃一2。，

直線方程為1+2=1,即尤+2y-4=0；

綜上，所求直線方程為x—2y=0或x+2y—4=0.

(3)當直線的斜率不存在時，所求直線方程為x—5=0,滿足題意;

當直線的斜率存在時，設(shè)斜率為鼠

則所求直線方程為y-10=k(x-5),

即fcc—y+10—5%=0.

\10-5k\

.?.原點到直線的距離4=WT=5

3

解得仁不

???所求直線方程為3%—4^+25=0.

綜上，所求直線方程為x—5=0或3x—4y+25=0.

思維升華求直線方程的兩種方法

⑴直接法：由題意確定出直線方程的適當形式.

(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件

求出待定系數(shù).

跟蹤訓練2(1)在△ABC中，已知點4(5,-2),8(7,3),且AC邊的中點M在y軸上，BC

邊的中點N在x軸上，則MN所在直線的方程為()

A.5x—2y—5=0B.2x—5y—5=0

C.5x—2y+5=0D.2x—5y+5=0

答案A

解析設(shè)C(x,y),M(0,m)，N(n,0),

因為A(5,-2),2(7,3),

x+5(x+7

2=0,2=n,

且]

2y+3

y~2~_mI2一0'

解得X=-5,y=—3,m=—I，n=l,

即C(—5,-3),q。，-|j,N(l,0),

,5

y+ir

所以MN所在直線的方程為*=卡

2

即5x—2y—5=0.

(2)已知直線/的一個方向向量為〃=(2,3),若/過點A(—4,3),則直線/的方程為()

3

A.廠3=一聲+4)

3

B.>+3=聲-4)

3

C.y—3=](%+4)

D.y+3=一條―4)

答案C

解析方法一因為直線/的一個方向向量為

〃=(2,3),

3

所以直線/的斜率上=》

3

故直線I的方程為y—3=](x+4).

方法二設(shè)尸(%,y)是直線/上的任意一點(不同于A),則泰=(x+4,y—3),

因為直線/的一個方向向量為打=(2,3),

所以3(x+4)—2。-3)=0,

3

故直線/的方程為y—3=](尤+4).

題型三直線方程的綜合應用

例3已知直線/過點”(2,1),且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A,8兩點，。為

原點，當△A0B面積最小時，求直線/的方程.

解方法一設(shè)直線/的方程為

廠1=總—2)(%<0),

則A(2一卷0),8(0,1—2給，

SAAOB=/1—2局(2—

=；4+(—4左)+(一/>|x(4+4)=4,

當且僅當一必=—￡即左=—；時，等號成立.

K乙

故直線/的方程為y—l=—^x—2),

即x+2y—4—0.

方法二設(shè)直線

且。>0,b>0,

因為直線/過點”(2,1),

21

所見+廠1，

則1[+念2點，故e8,

故SZ\AOB的最小值為:X〃/?=T><8=4,

當且僅當?21襯1取等號，

此時〃=4,b=2,故直線/的方程為今+]=1,

即x+2y—4=0.

延伸探究

1.在本例條件下，當|0川+|。5|取最小值時，求直線/的方程.

21

解由本例方法二知,-+^=1,〃>0,/?>0,

=3+3+^N3+2/，

當且僅當。=2+q^,時，等號成立，

所以當|。4|+|。8|取最小值時，直線/的方程為x+y[2y=2+y[2.

2.本例中，當|跖4HM2I取得最小值時，求直線/的方程.

解方法一由本例方法一知A(2—￡0),

2(0,1—2?(左<0).

所以\MA\-\MB\=yj5+1々4+4儲

=2Xn^=2L(?+(-與卜

當且僅當一人=一

即k=—1時取等號.

此時直線/的方程為x+y—3=0.

21

方法二由本例方法二知A(a,0),8(0,b),a>0,b>0,"+^=1.

所以=I向H施I

=-MAMB

=一(〃一2,-l).(-2,b-l)

=2(〃-2)+Z?—l=2a~\~b—5

=(2a+b)(|+￡>—5

=2(匕b.+a/、、2

當且僅當a=b=3時取等號，此時直線/的方程為x+y—3=0.

思維升華直線方程綜合問題的兩大類型及解法

(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：一般是利用直線方程中x,y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的

函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決.

(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識來解決.

跟蹤訓練3(1)直線/的方程為(a+l)x+y+3—a=0(aGR),直線/過定點,若直線

/不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)。的取值范圍是.

答案(1,-4)[3,+8)

解析直線/：(a+l)>r+y+3—。=0可化為。(尤一l)+x+y+3=0,

%—1=0,尤=1,

令,,_解得?

、元+y+3=0,)=—4

???直線/過定點(1,-4),

,直線/可化為y=—(〃+1)%+〃一3,

又直線/不經(jīng)過第三象限，

一(〃+1)<0,

解得〃23.

a—320,

⑵已知直線/過點頗1,1),且分別與1軸、y軸的正半軸交于A,B兩點,O為坐標原點.當

|MAF+|M3|2取得最小值時，則直線I的方程為.

答案x+y—2=0

解析設(shè)直線/的方程為2+方=1(。>0,b>0),則A(a,0),8(0,b),且?1,則a+b=",

所以|MAF+|MB|2

=(6Z-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(ZJ-1)2

=4+/+〃-2(〃+/?)

=4+a2+b2—2ab

=4+(。一份2三4,

當且僅當a=b=2時取等號，此時直線I的方程為x+y~2=0.

課時精練

應基礎(chǔ)保分練

1.(2023?阜陽模擬)在x軸與y軸上截距分別為一2,2的直線的傾斜角為()

A.45°B.135°C.90°D.180°

答案A

解析由題意知直線過點(一2,0),(0,2),設(shè)直線斜率為鼠傾斜角為a,

2—0

則tanot=T777—1,故傾斜角a=45。.

0—(—2)

2.已知直線/i：小x+y=0與直線&fcc-y+l=0,若直線"與直線L的夾角是60。，則4

的值為()

A./或0B.一小或。

C.^3D.~y[3

答案A

解析直線/i：M5x+y=0的斜率為任=—/,

所以直線/i的傾斜角為120°.

要使直線/i與直線/2的夾角是60。，

只需直線，2的傾斜角為0°或60。，

所以上的值為0或

3.（2023?南京師范大學附中模擬）若將直線/沿x軸正方向平移3個單位長度，再沿y軸負方

向平移2個單位長度，又回到了原來的位置，貝心的斜率是（）

,3c3〃2n2

A.~2C.—Dq

答案c

解析由題意可知直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線I的方程為>=丘+6/W0）,

則平移后直線的方程為y=4x—3）+6—2=（fcc+6）+（—3Z—2）,

可得依+b=（丘+6）+（—3左一2）,

-2

即k=-y

4.若直線/的方程y=一/一￡中，ab>0,ac<0,則此直線必不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析由y=一齊一東ab>0,ac<0,

知直線/的斜率4=—￡<0,在y軸上的截距一￡>（）,

所以此直線必不經(jīng)過第三象限.

5.直線/：3x—y+2=0與無軸交于點A,把/繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45。得直線相，根的傾斜

角為a,貝！Jcosa等于（）

A#^2-^6

A.4B4

V6+V2V6-V2

L.4"4

答案c

解析設(shè)/的傾斜角為0,貝Ijtan6=d§,...6=60。，

由題意知6（=61—45。=60。-45。，

?'.cosa=cos（60°—45°）=cos60°cos450+sin60°sin45。=與X當+坐><坐=.

6.設(shè)A,2是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2,且|B4|=|PB|,若直線E4的方程為x—y+1

=0,則直線PB的方程是（）

A.龍+廠5=0B.2x-j-l=0

C.2x—y—4=0D.2x+y—7=0

答案A

解析易知A(—1,0).

■：\m\=\PB\,

，點尸在AB的垂直平分線，即x=2上，

8(5,0).

,.,PA,尸8關(guān)于直線x=2對稱，

".kpB——I.-'-IPB：y-0——(x-5),

即x+y—5=0.

7.(多選)下列說法正確的有()

A.若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則(七6)在第二象限

B.直線〉=辦一3。+2過定點(3,2)

C.過點(2,-1),斜率為一小的直線的點斜式方程為y+l=一小(無一2)

D.斜率為一2,在y軸上截距為3的直線方程為y=-2x±3

答案ABC

解析A中，直線y=fcv+6經(jīng)過第一、二、四象限，則4<0,b>0,所以&b)在第二象限,

故A正確；B中，直線可寫為y—2=a(x—3),所以直線過定點(3,2),故B正確；C中，根據(jù)

直線的點斜式方程知正確；D中，由直線的斜截式方程得y=—2x+3,故D錯誤.

8.(多選)若直線過點A(l,2),且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線/的方程為()

A.x—y+l=0B.x+y—3=0

C.2x—y=0D.x—y—1=0

答案ABC

2—0

解析當直線經(jīng)過原點時，斜率為％=丁左=2，

所求的直線方程為y=2x,即2x—y=0；

當直線不過原點時，

設(shè)所求的直線方程為x+y=a,

把點A(l,2)代入可得1—2=a或1+2=a,

求得a=—1或a=3,故所求的直線方程為x—y+1=0或x-\-y—3=0.

綜上，所求的直線方程為2x—y—0,無一y+l=0或x+y—3=0.

9.已知直線y=(3—2%)尤一6不經(jīng)過第一象限，則k的取值范圍為.

答案弓，+8)

解析由題意知，需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，貝"6')得

[3—2左W0,

3

10.已知直線/的傾斜角為a,sina=1,且這條直線/經(jīng)過點尸(3,5),則直線/的一般式方程

為.

答案3x—4y+ll=0或3x+4y—29=0

3,-----------43

解析因為sina=m，所以cosa==所以直線/的斜率為％=tana=±w，又因

33

為直線/經(jīng)過點尸(3,5),所以直線/的方程為y—5=w(x—3)或y—5=-w(x—3),所以直線/

的一般式方程為3x—4y+ll=0或3x+4y-29=0.

11.已知點4(2,4),8(4,2),直線/：y^kx-2,則直線/經(jīng)過定點,若直線/與線段

A2有公共點，則上的取值范圍是.

答案(0,-2)[1,3]

4—f—2)

解析由題意得直線/：2過定點C(0,-2),又點A(2,4),8(4,2),kCA=2_Q=3,

=1,

要使直線/與線段A2有公共點，由圖可知上

12.過點P(—1,0)且與直線/i：/x—y+2=0的夾角為襲的直線的一般式方程是

答案x+l=0或x—5y+l=0

解析直線/i的傾斜角兀)且tan片小,

則看;，

因為所求直線與直線/i的夾角為名

所以所求直線的傾斜角為概與，

o2

當所求直線的傾斜角為彳時，直線為x=-1;

當所求直線的傾斜角為襲時，直線為y=^(x+l),

故直線為彳一小y+l=O.

綜上，所求直線為x+l=O或x—<§y+l=O.

D合提升練

13.(多選)下列說法正確的是()

A.不經(jīng)過原點的直線都可以表示為搟+1=1

B.若直線/與x,y軸的交點分別為A,B且A8的中點為(4,1),則直線/的方程為方+4=1

C.過點(1,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為y=x或x+y=2

D.直線3x—2y=4的截距式方程為今十e=1

3

答案BCD