理論力學(xué)第二章

2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法2.3平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念與計(jì)算2.4平面力偶1武漢大學(xué)出版社

第二章平面匯交力系和平面力偶系一.平面匯交力系的概念§2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系：各力在同一平面內(nèi)，作用線交于一點(diǎn)的力系。TT1T2例：起重機(jī)的掛鉤。圖2.1力多邊形3設(shè)有一個(gè)平面匯交力系、、、作用于匯交點(diǎn)，如圖2-1a所示。我們可以依次地應(yīng)用力三角形法則來(lái)求該平面匯交力系的合力。即先將力與合成為一個(gè)力，再將力與合成為一個(gè)力，最后將力與合成，即得該平面匯交力系的合力，且合力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)，如圖2-1b所示。

(a)(b)(c)二、平面匯交力系合成的幾何法從圖2—1b可見(jiàn)，在合成該平面匯交力系的合力時(shí)，也可不必將中間力矢量、一一求出。只需從力的終點(diǎn)B作出與力相等的矢量，再?gòu)牡慕K點(diǎn)C作出一個(gè)與力相等的矢量，最后從的終點(diǎn)D作出一個(gè)與力相等的矢量力相等的矢量。連接的始點(diǎn)A與最后一個(gè)矢量的終點(diǎn)E，即矢量即為平面匯交力系的合力。如圖2-1c所示。多邊形稱(chēng)為力多邊形，稱(chēng)為力多邊形的封閉邊。這種求合力的方法稱(chēng)為力多邊形法，也稱(chēng)幾何法。上述求合力的方法可以推廣到任意個(gè)平面匯交力系的情況，于是得到如下結(jié)論：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線通過(guò)力系的匯交點(diǎn)，合力等于力系中各力的矢量和。即：（2-1）從圖2—1b可見(jiàn)，在合成該平面匯交力系的合力時(shí)，也可不必將中間力矢量、一一求出。只需從力的終點(diǎn)B作出與力相等的矢量，再?gòu)牡慕K點(diǎn)C作出一個(gè)與力相等的矢量，最后從的終點(diǎn)D作出一個(gè)與力相等的矢量力相等的矢量。連接的始點(diǎn)A與最后一個(gè)矢量的終點(diǎn)E，即矢量即為平面匯交力系的合力。如圖2-1c所示。多邊形稱(chēng)為力多邊形，稱(chēng)為力多邊形的封閉邊。這種求合力的方法稱(chēng)為力多邊形法，也稱(chēng)幾何法。三、平面匯交力學(xué)平衡的幾何條件當(dāng)力多邊形自行閉合，即合力，于是平面匯交力系平衡；反之，若平面匯交力系平衡，即合力。所以，平面匯交力系平衡的充分必要條件是：力多邊形自行閉合，或平面匯交力系的合力等于0，即

(2-2)求解平面匯交力系平衡問(wèn)題的幾何法的解題步驟：（1）選取研究對(duì)象；（2）畫(huà)受力圖；（3）作封閉力多邊形；（4）求解未知量。用比例尺和量角器在圖上量出未知量的大小和方向角，或者用三角公式或者用平面幾何知識(shí)來(lái)計(jì)算未知量。前者稱(chēng)為幾何作圖法，后者稱(chēng)為半幾何法，統(tǒng)稱(chēng)幾何法。

解（1）取銷(xiāo)釘C為研究對(duì)象；（2）畫(huà)銷(xiāo)釘C的受力圖，如圖2-2（b)示；（3）作封閉力三角形，如圖2-2(c)示。圖2-2由于封閉的力三角形與三角形ABC相似，故解得也可給P一定比例，量出FCA和FCB的大小，如取比例尺為1cm=5kN，作出封閉的力三角形后，由比例尺量得

例2.1

AC和BC兩桿用鉸鏈C連接，兩桿的另一端分別鉸支在墻上，如圖2-2(a)示。在點(diǎn)C懸掛重10kN的物體，已知AB=AC=2m,BC=1m,如桿重不計(jì)，求兩桿所受的力。例2-2

已知壓路機(jī)碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉過(guò)h=8cm的障礙物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。①選碾子為研究對(duì)象②取分離體畫(huà)受力圖解：rFNA又由幾何關(guān)系：當(dāng)碾子剛離地面時(shí)NA=0,這時(shí)拉力F和自重及支反力NB構(gòu)成一平衡力系。由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于23.1kN。F=11.5kN,NB=23.1kN所以此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。已知：

,各桿自重不計(jì)；求：

桿及鉸鏈

的受力.例2-3按比例量得用幾何法，畫(huà)封閉力三角形.解：為二力桿，取

桿，畫(huà)受力圖.§2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法一.力在坐標(biāo)軸上的投影與力沿軸的分解（1）二.平面匯交力系合成的解析法(a)(b)(c)將（b）代入（a）式，并注意i和j為常矢量，則有(d)（今后為了便于書(shū)寫(xiě)，將下標(biāo)“i”省略。）比較(c)、(d)等式兩邊，可得上式即為合力投影定理，即合力在任一軸上的投影，等于其各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。上述投影定理不僅對(duì)力矢適用，對(duì)于其它矢量也同樣成立。根據(jù)式（1）可求得合力矢的大小和方向余弦為（2）三、平面匯交力系的平衡方程平衡條件平衡方程（3）即平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。式（3）稱(chēng)為平面匯交力系的平衡方程。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量。

這里要指出，為了避免利用式（3）解聯(lián)立方程，在選擇投影軸時(shí)，最好使兩投影軸其中之一垂直一個(gè)未知量，這樣可以使方程求解未知量簡(jiǎn)化；另外，受力圖中的未知力的指向未知，可以假設(shè)，若計(jì)算結(jié)果為正值，表示假設(shè)指向與力的實(shí)際指向相同，反之，若計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表示假設(shè)指向與力的實(shí)際指向相反；同時(shí)，在后面計(jì)算中，則不必更正力的負(fù)值符號(hào)，直接以負(fù)值代入方程計(jì)算。

求：此力系的合力.解：用解析法例2-3已知：圖示平面共點(diǎn)力系；已知：求：系統(tǒng)平衡時(shí)，桿AB、BC受力。例2-4系統(tǒng)如圖，不計(jì)桿、輪自重，忽略滑輪大小，P=20kN；解：AB、BC桿為二力桿，取滑輪B（或點(diǎn)B），畫(huà)受力圖。用解析法，建圖示坐標(biāo)系解得：解得：解析法求平面匯交力系反力的步驟：（1）取研究對(duì)象，畫(huà)研究對(duì)象的受力圖；反力方向若不確定，可以假設(shè)。（2）建立直角坐標(biāo)系：使其中一個(gè)坐標(biāo)軸垂直于一個(gè)未知力；若平面匯交力系中反力是對(duì)稱(chēng)的，則沿對(duì)稱(chēng)方向建立坐標(biāo)軸。（3）列出平面匯交力系的平衡方程，求出未知反力。注意：根據(jù)平面力系平衡方程求反力，一定要先考慮思路后列方程，盡量做到一個(gè)方程含有一個(gè)未知量，避免解聯(lián)立方程。例2-5

圖示四連桿機(jī)構(gòu)，在A、B點(diǎn)分別作用FA、FB，求：機(jī)構(gòu)平衡時(shí)FA與FB力的關(guān)系。解:ABCD300600450B300600FBA=FAB[A]A450[B]例2-6

已知如圖P、Q，求平衡時(shí)=？地面的反力ND=？滑輪的大小、自重與繩的摩擦不計(jì)。解：研究球受力如圖，選投影軸列方程為由①得①②由②得例2-7

已知：P，a

求：A、B處約束反力。2a

PaABCD解：（1）取剛架為研究對(duì)象（2）畫(huà)受力圖

FBxy解上述方程，得（3）建立坐標(biāo)系，列方程求解

FA

BMFAC

FBCFBAFBCFCBFMFNC

已知：F，

例2-8求：物塊M的壓力。解：（1）取銷(xiāo)釘B為研究對(duì)象（2）取擋板C為研究對(duì)象解得解得力對(duì)物體可以產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)--取決于力的大小、方向；

轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)--取決于力矩的大小、方向。一、力對(duì)點(diǎn)的矩+-§2-3平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念和計(jì)算力矩：力繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量。AFBd①是代數(shù)量。當(dāng)F=0或d=0時(shí)，=0。③是影響轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立因素。⑤

=2⊿AOB=F

d,2倍⊿形面積。說(shuō)明：②F↑,d↑轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)明顯。④單位N

m或kN

m

定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和 即：二、合力矩定理由合力投影定理有： [證]Od=Ob+Oc又∵解:直接按定義按合力矩定理例2-7求:已知:例2-8已知：如圖F、Q、l,求：和 解：①用力對(duì)點(diǎn)的矩法

②應(yīng)用合力矩定理

例

求F對(duì)A點(diǎn)的矩。解一：應(yīng)用合力矩定理解二：由定義三、力矩與合力矩的解析表達(dá)式·力矩的平衡力矩的平衡方程，該方程最多解一個(gè)未知力。例2-9求：已知：平衡時(shí)，

桿的拉力.由力矩平衡條件解得解：

為二力桿，取踏板由合力矩定理得解：取微元如圖例2-10求：已知：合力及合力作用線位置.例2-11求：3.力

沿什么方向拉動(dòng)碾子最省力，及此時(shí)力

多大？？2.欲將碾子拉過(guò)障礙物，水平拉力

至少多大？1.水平拉力

時(shí)，碾子對(duì)地面及障礙物的壓力？已知：解:1.取碾子，畫(huà)受力圖.用幾何法，按比例畫(huà)封閉力四邊形2.碾子拉過(guò)障礙物，應(yīng)有用幾何法解得解得

3.§2-4平面力偶理論一.力偶和力偶矩1.力偶由兩個(gè)等值、反向、不共線的（平行）力組成的力系稱(chēng)為力偶，記作兩個(gè)要素a.大小：力與力偶臂乘積b.方向：轉(zhuǎn)動(dòng)方向力偶矩力偶中兩力所在平面稱(chēng)為力偶作用面.力偶兩力之間的垂直距離稱(chēng)為力偶臂.2.力偶矩+— 二、平面力偶的性質(zhì)性質(zhì)1：力偶既沒(méi)有合力，力偶在任意坐標(biāo)軸上的投影等于零，力偶不能和力平衡，力偶只能和力偶平衡。性質(zhì)2：力偶對(duì)其所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無(wú)關(guān)，因此力偶對(duì)剛體的效應(yīng)用力偶矩度量。注意：O點(diǎn)是任取的FF'dOxAB性質(zhì)3：平面力偶等效定理作用在同一物體同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要它的力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則該兩個(gè)力偶彼此等效。兩個(gè)推論：①力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)，而不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。②只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。=已知：任選一段距離d三.平面力偶系的合成和平衡條件=====平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。平面力偶系的平衡方程最多解一個(gè)反力。平面力偶系平衡的充要條件，有如下平衡方程結(jié)論：平面力偶系合成結(jié)果還是一個(gè)力偶,其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和。解得解：由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，其受力圖為例2-12求：光滑螺柱

所受水平力.已知：例2-13求：平衡時(shí)的及鉸鏈

處的約束力.已知解：取輪,由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì),畫(huà)受力圖.解得解得

取桿

，畫(huà)受力圖.例2-14：圖示桿BC上固定銷(xiāo)子可在桿AD的光滑直槽中滑動(dòng)，已知：L=0.2m，M1=200N·m，a=300，求：平衡時(shí)M2。解：[BC]:

Mi=0,FCLsin300–M1=0,

得:FC=FB=2000N[AD]:Mi=0,M2–FC’L/sin300=0, 得：M2=800N·m。M1aBADLCM2FCFC’FBFA[BC]M1BCA[AD]M2D[例2-15]圖示桿系，已知m，l。求A、B處約束力。解：1、研究對(duì)象二力桿：AD2、研究