三角恒等變換大題

...wd......wd......wd...三角恒等變換大題1.求函數(shù)y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．2.函數(shù)f(x)＝eq\f(4cos4x－2cos2x－1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,12)))的值；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時(shí)，求g(x)＝eq\f(1,2)f(x)＋sin2x的最大值和最小值．3.sin(eq\f(π,4)＋2α)·sin(eq\f(π,4)－2α)＝eq\f(1,4)，α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，求2sin2α＋tanα－eq\f(1,tanα)－1的值．4.α是第一象限角，且cosα＝eq\f(5,13)，求eq\f(sinα＋\f(π,4),cos2α＋4π)的值．5.sin(2α＋β)＝3sinβ，設(shè)tanα＝x，tanβ＝y(tǒng)，記y＝f(x)．(1)求證：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求f(x)的解析表達(dá)式；(3)假設(shè)角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域．6．函數(shù).〔Ⅰ〕求的定義域；〔Ⅱ〕設(shè)的第四象限的角，且，求的值。7.，，試求的值．8.函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanx)))sin2x＋msineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).(1)當(dāng)m＝0時(shí)，求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,4)))上的取值范圍；(2)當(dāng)tanα＝2時(shí)，f(α)＝eq\f(3,5)，求m的值．9.，．假設(shè)，求的單調(diào)的遞減區(qū)間；假設(shè)，求的值．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx－cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))－eq\f(1,2).(1)求f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．11.函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(eq\f(π,3))的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．12.〔1〕課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引化簡(jiǎn)的原則是形式簡(jiǎn)單，三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值．此題要充分利用倍角公式進(jìn)展降冪，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵．解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，由于函數(shù)z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值為zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值為zmin＝(1－1)2＋6＝6，故當(dāng)sin2x＝－1時(shí)，y取得最大值10，當(dāng)sin2x＝1時(shí)，y取得最小值6.變式遷移1解(1)f(x)＝eq\f(1＋cos2x2－2cos2x－1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝eq\f(2cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x)))＝eq\f(2cos22x,cos2x)＝2cos2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,12)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3).(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).∵x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴當(dāng)x＝eq\f(π,8)時(shí)，g(x)max＝eq\r(2)，當(dāng)x＝0時(shí)，g(x)min＝1.例2解題導(dǎo)引(1)這類問(wèn)題一般是先化簡(jiǎn)再求值；化簡(jiǎn)后目標(biāo)更明確；(2)如果能從條件中求出特殊值，應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，對(duì)切函數(shù)通常化為弦函數(shù)．解由sin(eq\f(π,4)＋2α)·sin(eq\f(π,4)－2α)＝sin(eq\f(π,4)＋2α)·cos(eq\f(π,4)＋2α)＝eq\f(1,2)sin(eq\f(π,2)＋4α)＝eq\f(1,2)cos4α＝eq\f(1,4)，∴cos4α＝eq\f(1,2)，又α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，故α＝eq\f(5π,12)，∴2sin2α＋tanα－eq\f(1,tanα)－1＝－cos2α＋eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)＝－cos2α＋eq\f(－2cos2α,sin2α)＝－coseq\f(5π,6)－eq\f(2cos\f(5π,6),sin\f(5π,6))＝eq\f(5\r(3),2).變式遷移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝eq\f(5,13)，∴sinα＝eq\f(12,13).∴eq\f(sinα＋\f(π,4),cos2α＋4π)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinα＋cosα,cos2α)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinα＋cosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(\f(\r(2),2),cosα－sinα)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(5,13)－\f(12,13))＝－eq\f(13\r(2),14).(2)cos(2α＋eq\f(π,4))＝cos2αcoseq\f(π,4)－sin2αsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)(cos2α－sin2α)，∵eq\f(π,2)≤α<eq\f(3,2)π，∴eq\f(3π,4)≤α＋eq\f(π,4)<eq\f(7,4)π.又cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)>0，故可知eq\f(3,2)π<α＋eq\f(π,4)<eq\f(7,4)π，∴sin(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(4,5)，從而cos2α＝sin(2α＋eq\f(π,2))＝2sin(α＋eq\f(π,4))cos(α＋eq\f(π,4))＝2×(－eq\f(4,5))×eq\f(3,5)＝－eq\f(24,25).sin2α＝－cos(2α＋eq\f(π,2))＝1－2cos2(α＋eq\f(π,4))＝1－2×(eq\f(3,5))2＝eq\f(7,25).∴cos(2α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)(cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),2)×(－eq\f(24,25)－eq\f(7,25))＝－eq\f(31\r(2),50).例3解題導(dǎo)引此題的關(guān)鍵是第(1)小題的恒等式證明，對(duì)于三角恒等式的證明，我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標(biāo)恒等式的異同，特別是分析和要求的角之間的關(guān)系，再分析函數(shù)名之間的關(guān)系，則容易找到思路．證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡(jiǎn)，左右歸一或變更論證．對(duì)于第(2)小題同樣要從角的關(guān)系入手，利用兩角和的正切公式可得關(guān)系．第(3)小題則利用基本不等式求解即可．(1)證明由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα.(2)解由(1)得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝2tanα，即eq\f(x＋y,1－xy)＝2x，∴y＝eq\f(x,1＋2x2)，即f(x)＝eq\f(x,1＋2x2).(3)解∵角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，∴0<α≤eq\f(π,3)，0<x≤eq\r(3)，設(shè)g(x)＝2x＋eq\f(1,x)，則g(x)＝2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取“＝〞)．故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，eq\f(\r(2),4)]．變式遷移3證明因?yàn)樽筮叄絜q\f(2sinxcosx,[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1])＝eq\f(2sinxcosx,sin2x－cosx－12)＝eq\f(2sinxcosx,sin2x－cos2x＋2cosx－1)＝eq\f(2sinxcosx,－2cos2x＋2cosx)＝eq\f(sinx,1－cosx)＝eq\f(sinx1＋cosx,1－cosx1＋cosx)＝eq\f(sinx1＋cosx,sin2x)＝eq\f(1＋cosx,sinx)＝右邊．所以原等式成立．課后練習(xí)區(qū)1．D[∵0<α<π，3sin2α＝sinα，∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝eq\f(1,6)，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(1,6).]2．C[因?yàn)棣粒玡q\f(π,4)＋β－eq\f(π,4)＝α＋β，所以α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))).所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22).]3．B[∵eq\f(1,2)＝cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝eq\f(1,4).又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，∴sinα＝－eq\f(1,2).]4．B[f(x)＝2tanx＋eq\f(1－2sin2\f(x,2),\f(1,2)sinx)＝2tanx＋eq\f(2cosx,sinx)＝eq\f(2,sinxcosx)＝eq\f(4,sin2x)∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝eq\f(4,sin\f(π,6))＝8.]5．C[由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化簡(jiǎn)變形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，∴cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝1(舍)．∴sinB＝eq\f(\r(3),2).]6．－eq\f(24,7)解析因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕?，又sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(24,7).7．1－eq\r(2)解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1，∴當(dāng)sin(2x＋eq\f(π,4))＝－1時(shí)，函數(shù)取得最小值1－eq\r(2).8.eq\f(1,2)解析∵eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝－eq\r(2)(sinα＋cosα)＝－eq\f(\r(2),2)，∴cosα＋sinα＝eq\f(1,2).9．解(1)∵sin2α＝2sinαcosα，∴cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，…………(2分)∴原式＝eq\f(sin40°,2sin20°)·eq\f(sin80°,2sin40°)·eq\f(1,2)·eq\f(sin160°,2sin80°)＝eq\f(sin180°－20°,16sin20°)＝eq\f(1,16).……………………(6分)(2)原式＝eq\f(3－4cos2α＋2cos22α－1,3＋4cos2α＋2cos22α－1)………(9分)＝eq\f(1－cos2α2,1＋cos2α2)＝eq\f(2sin2α2,2cos2α2)＝tan4α.………(12分)10．解f(x)＝eq\r(3)sinxcosx－cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x－1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1.…………(4分)(1)T＝eq\f(2π,2)＝π，故f(x)的最小正周期為π.…………………(6分)(2)因?yàn)?≤x≤eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6).所以當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)時(shí)，f(x)有最大值0，……………(10分)當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝0時(shí)，f(x)有最小值－eq\f(3,2).……………(12分)11．解(1)f(eq\f(π,3))＝2coseq\f(2π,3)＋sin2eq\f(π,3)－4coseq\f(π,3)＝－1＋eq\f(3,4)－2＝－eq\f(9,4).………………………(4分)(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－eq\f(2,3))2－eq\f(7,3)，x∈R.………………(10分)因?yàn)閏osx∈[－1,1]，所以，當(dāng)cosx＝－1時(shí)，f(x)取得最大值6；當(dāng)cosx＝eq\f(2,3)時(shí)，f(x)取得最小值－eq\f(7,3).…………………(14分)解(1)當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cosx,sinx)))sin2x＝sin2x＋sinxcosx＝eq