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永年二中高三學(xué)檢測考試數(shù)學(xué)試卷時量:120分鐘分值:150分一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定集合,再求交集.【詳解】根據(jù)題意,,所以.故選:C2.若正數(shù)x,y滿足則的最小值是()A. B. C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解.【詳解】由題設(shè)及,可得.所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,此時符合題意.所以的最小值為4.故選:C.3.已知,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和與差的余弦公式代入計算可得結(jié)果.【詳解】因為,又,則可得.所以,故選:A.4.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則可以為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由排除D,由奇偶性排除B,由在時的單調(diào)性即可排除C,最后驗證A符合題意即可.【詳解】對于D,函數(shù)中,,所以排除D;對于B,顯然,都為奇函數(shù),為偶函數(shù),且也是奇函數(shù),理由如下:的定義域為全體實數(shù),且,所以是奇函數(shù)所以,為偶函數(shù),為奇函數(shù),所以排除B;對于C,當(dāng)時,(由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷),同時單調(diào)遞增,且同時非負(fù),所以在時也單調(diào)遞增,所以排除C;經(jīng)檢驗A選項符合題意.故選:A.5.下列函數(shù)中,其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析:確定函數(shù)過定點(1,0)關(guān)于x=1對稱點,代入選項驗證即可.詳解:函數(shù)過定點(1,0),(1,0)關(guān)于x=1對稱的點還是(1,0),只有過此點.故選項B正確點睛:本題主要考查函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖像,屬于中檔題.6.設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且f2+x=f-x,當(dāng)時,,則的值為(A.2 B.1 C.-1 D.-2【答案】D【解析】【分析】由題意求出函數(shù)的周期,再利用奇偶性代入求值即可.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù),且f2+x則,所以,所以函數(shù)的周期為,所以.故選:D.7.已知,是函數(shù)的圖象上兩個不同的點,則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB;舉例判斷CD即可.【詳解】由題意不妨設(shè),因為函數(shù)是增函數(shù),所以,即,對于選項AB:可得,即,根據(jù)函數(shù)是增函數(shù),所以,故B正確,A錯誤;對于選項D:例如,則,可得,即,故D錯誤;對于選項C:例如,則,可得,即,故C錯誤,故選:B8.已知定義域為的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,且滿足,,則()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù),由得,進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性,判斷各選項不等式.【詳解】依題意令,則,因為在上恒成立,所以在上恒成立,故在上單調(diào)遞減,所以,,故A不正確;所以,即,即,故B不正確;又,即,即,故C錯誤;因為,即,即,故D正確;故選:D.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性,即可比較函數(shù)值的大小.二、多選題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.設(shè),其中為的共軛復(fù)數(shù),則()A.的實部為2 B.的虛部是C. D.在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)的點在第二象限【答案】AC【解析】【分析】首先由共軛復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)相等求得即可判斷AB,結(jié)合模的計算公式以及復(fù)數(shù)的幾何意義可依次判斷CD.【詳解】設(shè),因為,所以,所以,所以,所以,,所以,,對于A,所以的實部為2,所以A正確;對于B,的虛部是,所以B錯誤;對于C,,所以C正確;對于D,,所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,所以D錯誤.故選:AC.10.下列論述正確的有()A.若兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為,則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強(qiáng)B.數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為38C.若隨機(jī)變量,且,則D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為1,則數(shù)據(jù)的方差為4【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合相關(guān)性的含義,可判定A不正確.根據(jù)百分位數(shù)的概念及求法,可判定B正確;根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性,可判定C正確;根據(jù)數(shù)據(jù)的方差性質(zhì)的計算公式,可判定D正確;【詳解】對于A中,若兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為,因為,所以組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強(qiáng),A錯誤;對于B,數(shù)據(jù)排序,共8個數(shù)據(jù),則,所以數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為38,B正確;對于C,若隨機(jī)變量,且,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性,,則,C正確;對于D,樣本數(shù)據(jù)的方差為1,則數(shù)據(jù)的方差為,D正確.故選:BCD.11.已知函數(shù),則下列說法錯誤的是()A.有三個極值點 B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項,對求導(dǎo)后判斷函數(shù)單調(diào)性,即可判斷極值點個數(shù);對于B選項,結(jié)合A選項求解的函數(shù)單調(diào)性和極值點的值,根據(jù)零點存在定理可判斷零點個數(shù);對于C選項利用函數(shù)平移,構(gòu)造,判斷的奇偶性,進(jìn)一步得到對稱中心;對于D選項,根據(jù)條件直接求出切線方程即可判斷結(jié)果;【詳解】對于A選項,由,定義域為R,可得,令,可得,因為,得或,,得,即在單調(diào)遞減,在,單調(diào)遞增,即是有極大值點,是有極小值點,故A選項錯誤;對于B選項,由A可知極大值為f-3極小值,,由在單調(diào)遞增和零點存在定理可知,在存在1個零點,因為在單調(diào)遞減和單調(diào)遞增,極小值f33>0,所以在恒大于0所以有一個零點,故B選項錯誤;對于C選項,可設(shè),得,則為奇函數(shù),所以圖像關(guān)于對稱,將向上平移1個單位可得,故函數(shù)關(guān)于對稱,故C選項正確;對于D選項,由A知,令,解得,則,,所以切線方程為和,即和,故D選項錯誤;故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的方法即可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,注意函數(shù)的定義域.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義域可得,解得或,由于是單調(diào)遞增函數(shù),所以要求的遞增區(qū)間,只需求二次函數(shù)的遞增區(qū)間即可,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得的遞增區(qū)間為,結(jié)合函數(shù)定義域可得的遞增區(qū)間為,故答案為:.13.某同學(xué)參加學(xué)校組織的數(shù)學(xué)知識競賽,在4道四選一的單選題中,有3道有思路,有1道完全沒有思路,有思路的題每道做對的概率均為,沒有思路的題只好任意猜一個答案.若從這4道題中任選2題作答,則該同學(xué)2道題都做對的概率為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)排列組合以及概率的乘法公式,再分兩個題目都有思路和一個有思路一個沒有思路討論即可求解.【詳解】設(shè)事件A表示“兩道題全做對”,若兩個題目都有思路,則;若兩個題目中一個有思路一個沒有思路,則;故.故答案為:.14.已知定義在R上的函數(shù)滿足,則曲線y=fx在點處的切線方程為_____________.【答案】【解析】【分析】利用方程組法求出函數(shù)解析式,然后利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率,由點斜式可得切線方程.【詳解】因為,所以,聯(lián)立可解得,所以,所以.所以曲線在點處的切線方程為,故所求的切線方程為.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)與函數(shù),其中.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,求的取值范圍;【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是(2)【解析】【分析】(1)借助導(dǎo)數(shù)研究其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得其單調(diào)區(qū)間;(2)若,可得不等式恒成立,若,即,構(gòu)造函數(shù)后借助導(dǎo)函數(shù)求出其最大值即可解.小問1詳解】的定義域為,又已知,,令,得,即的單調(diào)減區(qū)間為,令,則,即的單調(diào)增區(qū)間為;【小問2詳解】由題意得gx=e若,不等式恒成立,若,即,令hx=ln當(dāng)時,,hx單調(diào)遞增,當(dāng)時,,hx單調(diào)遞減,故,故的取值范圍為.16.增強(qiáng)青少年體質(zhì),促進(jìn)青少年健康成長,是關(guān)系國家和民族未來的大事.某高中為了解本校高一年級學(xué)生體育鍛煉情況,隨機(jī)抽取體育鍛煉時間在(單位:分鐘)的50名學(xué)生,統(tǒng)計他們每天體育鍛煉的時間作為樣本并繪制成如下的頻率分布直方圖,已知樣本中體育鍛煉時間在60,70的有5名學(xué)生.(1)求a,b的值;(2)若從樣本中體育鍛煉時間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取4人,設(shè)X表示在的人數(shù),求X的分布列和均值.【答案】(1),(2)分布列見解析,【解析】【分析】(1)體育鍛煉時間在的頻率為,可求,利用面積和等于,可求;(2)樣本中體育鍛煉時間在有5名學(xué)生,在的有3名學(xué)生,可得,利用超幾何分布可求分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】因為體育鍛煉時間在的頻率為,所以,又因為,所以【小問2詳解】樣本中體育鍛煉時間在的有5名學(xué)生,在的有3名學(xué)生則,,,,所以X的分布列為X0123P所以.17.如圖,在三棱柱中,為底面的重心,點分別在棱上,且(1)求證:平面;(2)若底面,且三棱柱的各棱長均相等,求平面與平面DOG的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)線面平行的判斷定理,轉(zhuǎn)化為證明線線平行,利用平行線比例關(guān)系,構(gòu)造輔助線,即可證明;(2)根據(jù)底面特點,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求平面與平面的法向量,根據(jù)向量公式求二面角的余弦值.【小問1詳解】如圖,連接并延長,交于,延長線段,交于,連接.因為為底面的重心,所以,又,所以,所以,所以.因為,所以,所以.因為平面,平面,所以平面.【小問2詳解】取的中點為,連接.因為底面,且三棱柱的各棱長均相等,所以直線兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)三棱柱的棱長為6,則,所以.設(shè)平面的法向量為n=x則,即,可取易知平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為,則,即平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)fx(1)當(dāng)時,求曲線y=fx在點1,(2)若函數(shù)gx=fx【答案】(1)(2)0,【解析】【分析】(1)求出f'1、(2)轉(zhuǎn)化為y=a,y=lnxx【小問1詳解】當(dāng)時,fx=lnxf'1=1-4+2=-1所以曲線y=fx在點1,即;【小問2詳解】gx由gx=0得y=a,令hxh'x=1-2lnx當(dāng)時,h'x<0,hx且時,hx>0,h所以0<x<1時,h所以若函數(shù)gx則0<a所以實數(shù)的取值范圍為0,12e19.已知函數(shù).(1)若當(dāng)且僅當(dāng),求的值.(2)若,且,求的最小值;(3)證明:曲線是中心對稱圖形.【答案】(1)(2)的最小值為-2(3)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)題設(shè)可判斷即;(2)求出后根據(jù)可求的最小值;(3)設(shè)為圖象上任意一點,可證關(guān)于的對稱點為也在函數(shù)的圖像上,從而可證對稱性;.【小問1詳解】因為,所以,解得,所以的定義域為,當(dāng)且僅當(dāng),由于的圖象是連續(xù)的,故為的一個解,所以即
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