2.3 等腰三角形的性質(zhì)定理（2）浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課件

浙教版八年級(jí)上等腰三角形的性質(zhì)定理——第二課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)2.會(huì)利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理、判斷、計(jì)算和作圖2.等腰三角形性質(zhì)定理1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.可以說成“在同一個(gè)三角形中,等邊對(duì)等角”幾何語言：ACB∵AB=AC，∴∠B=∠C1.等腰三角形的軸對(duì)稱性：你已經(jīng)知道等腰三角形的哪些性質(zhì)？等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是頂角平分線所在的直線.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分線.在圖中找出所有相等的線段和相等的角.由此你發(fā)現(xiàn)了等腰三角形還有哪些性質(zhì)？相等的線段:AB=AC,BD=CD相等的角:∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高線互相重合，簡(jiǎn)稱等腰三角形三線合一等腰三角形性質(zhì)定理2：（1）∵AB=AC，∠1=∠2，∴AD⊥BC，BD=CD.（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD；（3）∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD,AD⊥CD；ADCBADCB幾何語言表述：ADCB12已知△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，求證：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．證明：∵AB=AC，

AD=AD，

BD=CD，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．

∴∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠ADB=90°，即有AD⊥BC．證明：等腰三角形中，底邊上的高線、中線、頂角的平分線重合．講授新知證明：如圖，延長(zhǎng)AD，交BC于點(diǎn)E.∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分線的定義）而AD=AD（公共邊）∠ADB=∠ADC（已知）∴△ABD≌△ACD（ASA）∴AB=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）例3

已知：如圖，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC求證：AD⊥BCABCDE∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定義）∵AE是等腰三角形ABC頂角的平分線∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一）即AD⊥BC將一把三角尺和一個(gè)重錘如圖放置，就能檢查一根橫梁是否水平，你知道為什么嗎？

因?yàn)閳D中的三角尺是等腰三角形.當(dāng)重錘線經(jīng)過三角尺斜邊（底邊）的中點(diǎn)時(shí)，重錘線（底邊上的中線）與底邊上的高疊合（等腰三角形三線合一），即三角尺的斜邊與重錘線垂直，可以確定三角尺的斜邊與橫梁是水平的.否則梁就不是水平.

講授新知例4已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BC=a，底邊BC=a，底邊BC上的高線長(zhǎng)為h.作法如圖：ha1.作線段BC=a；2.作線段BC的垂直平分線MN，交BC于點(diǎn)D；3.在直線MN上截取DA=h，連結(jié)AB、AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.m如圖，已知∠α和線段a,用直尺和圓規(guī)作一個(gè)等腰三角形，使它的頂角等于∠α，底邊上的中線等于a.am1.

以線段a為半徑,A為頂點(diǎn)畫弧交AM,AM于BC

2.用任意半徑,分別以BC點(diǎn)為半徑畫弧相交,連接交點(diǎn)與A點(diǎn),此線為角A的角平分線.它與上一個(gè)圓弧相交于D點(diǎn).

3.通過D點(diǎn)做一條直線使其垂直于直線AD1.已知：在△ABC中，AB=AC，O為不同于A的一點(diǎn)，且OB=OC，則直線AO與底邊BC的關(guān)系為（）

A．平行B．AO垂直且平分BCC．斜交D．AO垂直但不平分BCB講授新知【解析】連接AO并延長(zhǎng)，如圖：

在△ABO和△ACO中，AB=ACBO=COAO=AO

∴△ABO≌△ACO（SSS），

∴∠BAO=∠CAO，

∴AO垂直且平分BC（等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的高線、底邊上的中線互相重合）．m2.如圖，線段OD的一個(gè)端點(diǎn)O在直線a上，以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線a上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)？（并用直尺與圓規(guī)畫出相應(yīng)的等腰三角形）如圖，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．3.如圖，房屋的頂角∠BAC=100°，過屋頂A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù).ABDC解：在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）

=40°(三角形內(nèi)角和定理)又∵AD⊥BC（已知）∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合）∴∠BAD=∠CAD=50°m4.如圖：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F(xiàn)為垂足，求證：①AC=AD；②CF=DF．證明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，

∴△ABC≌△AED（SAS）∴AC=AD；

②∵AF⊥CD，AC=AD，

∴CF=FD（三線合一性質(zhì)）．5.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長(zhǎng)為______．【解析】∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)E，

∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，

∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，

∴BM=ME，EN=CN，

∴MN=ME+EN，

即MN=BM+CN．

∵BM+CN=9

∴MN=9.9如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分別是兩腰上的高，且BD、CE相交于O．

（1）請(qǐng)你寫出三類不同的正確的結(jié)論；

（2）設(shè)∠CBD=α，∠A=β，試找出α與β之間的一種關(guān)系等式，并給予適當(dāng)?shù)恼f明（友情提示：∠ABC=∠ACB）．解：（1）三類不同的正確結(jié)論是：

①△CEB≌△BDC；②∠ABD=∠ACE；③AE=AD；

（2）α與β之間的一種關(guān)系式是β=2α．

其理由是：

∵BD⊥AC，

∴∠CBD+∠ACB=90°，

即α+∠ACB=90°．

∵AB=