2025年高考一輪復習-微專題1-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【含解析】

微專題1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【原卷版】1已知函數(shù)f(x)=(3sinx+acosx)cosx的圖象關(guān)于點-π6,32對稱,則下列結(jié)論正確的是 A.f(x)的最小正周期是πB.f(x)在2π3C.π3,0是函數(shù)f(D.先將f(x)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的12,再將所得圖象向左平移π12個單位長度,得到函數(shù)g(x)=3cos4x2筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,假定在水流量穩(wěn)定的情況下,筒車上的每一個盛水桶都沿逆時針方向做勻速圓周運動,筒車的中心O到水面的距離為1.5m,筒車的半徑為2.5m,筒車每秒轉(zhuǎn)動π12rad,如圖所示,開始時盛水桶M在P0處,到水面的距離為3.5m,則9秒后盛水桶M到水面的距離約為(參考數(shù)據(jù):2≈1.4) ()A.1.2m B.1.15mC.0.35m D.0.3m3(多選題)已知函數(shù)f(x)=sinπ2+2x+sinx,則 (A.f(x)的最小正周期為πB.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2C.f(x)在區(qū)間-πD.若x∈-π6,a時,f(x)的最小值為0,4如圖,某水庫有一個半徑為1百米的半圓形小島,其圓心為C且直徑MN平行于壩面,壩面上的點A滿足AC⊥MN,且AC的長度為3百米,為便于游客到小島觀光,打算從點A到小島建三段棧道AB,BD與BE,水面上的點B在線段AC上,且BD,BE均與圓C相切,切點分別為D,E,其中棧道AB,BD,BE和小島在同一個平面上.此外在半圓形小島上再修建棧道ME,DN以及MN,則需要修建的棧道總長度的最小值為百米.

微專題1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【解析版】1已知函數(shù)f(x)=(3sinx+acosx)cosx的圖象關(guān)于點-π6,32對稱,則下列結(jié)論正確的是 (A.f(x)的最小正周期是πB.f(x)在2π3C.π3,0是函數(shù)f(D.先將f(x)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的12,再將所得圖象向左平移π12個單位長度,得到函數(shù)g(x)=3cos4x[解析]f(x)=(3sinx+acosx)cosx=32sin2x+a·1+cos2x2=32sin2x+a2cos因為f(x)的圖象關(guān)于點-π6,32對稱,所以f-π6+x+f-π6-x=3,故f-π3+f(0)=3,所以32sin-2π3+a2cos-2π3+a2+a=3,所以-34-a4+a2+a=3,解得a=3,所以f(x)=32sin2x+32cos2x+32=3sin2x+π3+32.函數(shù)f(x)的最小正周期是2π2=π,故A錯誤;當x∈2π3,4π3時,2x+π3∈5π3,3π,所以函數(shù)f(x)在2π3,4π3上先增后減,故B錯誤;因為當x=π3時,fπ3=32,所以π3,0不是函數(shù)f(x)圖象的對稱中心,故C錯誤;先將f(x)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的12,可得y=32筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,假定在水流量穩(wěn)定的情況下,筒車上的每一個盛水桶都沿逆時針方向做勻速圓周運動,筒車的中心O到水面的距離為1.5m,筒車的半徑為2.5m,筒車每秒轉(zhuǎn)動π12rad,如圖所示,開始時盛水桶M在P0處,到水面的距離為3.5m,則9秒后盛水桶M到水面的距離約為(參考數(shù)據(jù):2≈1.4) (B)A.1.2m B.1.15mC.0.35m D.0.3m[解析]設(shè)θ為水平方向與OP0的夾角,則2.5sinθ+1.5=3.5,得sinθ=45,所以cosθ=35,則9秒后盛水桶M到水面的距離為2.5sinθ+9×π12+1.5=2.5sinθcos3π4+2.5cosθsin3π4+1.5=6-3(多選題)已知函數(shù)f(x)=sinπ2+2x+sinx,則 (BDA.f(x)的最小正周期為πB.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2C.f(x)在區(qū)間-πD.若x∈-π6,a時,f(x)的最小值為0,[解析]由題意,函數(shù)f(x)=sinπ2+2x+sinx=cos2x+sinx.對于選項A,因為f(x+π)=cos(2x+2π)+sin(x+π)=cos2x-sinx≠f(x),所以函數(shù)f(x)的最小正周期不是π,故選項A錯誤;對于選項B,因為fπ2+x=cos(π+2x)+sinπ2+x=-cos2x+cosx,fπ2-x=cos(π-2x)+sinπ2-x=-cos2x+cosx=fπ2+x,所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2對稱,故選項B正確;對于選項C,因為f(x)=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1=-2sinx-142+98,當x∈-π6,π3時,sinx∈-12,32,所以當sinx∈-12,14時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當sinx∈14,32時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,由復合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間-π6,π3上先增后減,故選項C錯誤;對于選項D,由選項C可知,當sinx∈-12,14時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當sinx∈14,1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當sinx=-12時,函數(shù)f(x)=-2×916+98=0,當sinx=14時,函數(shù)f(x)4如圖,某水庫有一個半徑為1百米的半圓形小島,其圓心為C且直徑MN平行于壩面,壩面上的點A滿足AC⊥MN,且AC的長度為3百米,為便于游客到小島觀光,打算從點A到小島建三段棧道AB,BD與BE,水面上的點B在線段AC上,且BD,BE均與圓C相切,切點分別為D,E,其中棧道AB,BD,BE和小島在同一個平面上.此外在半圓形小島上再修建棧道ME,DN以及MN,則需要修建的棧道總長度的最小值為

2π3+5百米.

[解析]如圖,連接CD,CE,由題意得CD=CE=1.由對稱性,設(shè)∠CBE=∠CBD=θ,因為CD⊥BD,CE⊥BE,所以BE=BD=CDtanθ=1tanθ,BC=CDsinθ=1sinθ,易知∠MCE=∠NCD=θ,所以ME和ND的長均為θ.因為AC=3,所以AB=AC-BC=3-1sinθ∈(0,2),故sinθ∈13,