2025年高考一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練07 立體幾何【含解析】

專題訓(xùn)練07立體幾何【原卷版】一、單選題1．設(shè)為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在使得是直角三角形；②存在使得是等邊三角形；③三條直線上存在四點(diǎn)使得四面體為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體，其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．二、多選題3．如圖，圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為是底面直徑，點(diǎn)在圓上且，點(diǎn)在母線，點(diǎn)是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在唯一的點(diǎn)，使得B．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為4C．若，則四面體的外接球的表面積為D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為4．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，其所有頂點(diǎn)均在球的球面上．已知點(diǎn)滿足，，過(guò)點(diǎn)作平面平行于和，平面分別與該正四面體的棱相交于點(diǎn)，則（

）A．四邊形的周長(zhǎng)是變化的B．四棱錐體積的最大值為C．當(dāng)時(shí)，平面截球所得截面的周長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，將正四面體繞旋轉(zhuǎn)90°后與原四面體的公共部分的體積為5．勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國(guó)機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對(duì)機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長(zhǎng)度為D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于26．設(shè)四面體的六條棱長(zhǎng)分別為，，…，，體積為，四個(gè)面的面積分別為，，，，面與面所成的內(nèi)二面角為，，，，為任意四個(gè)正實(shí)數(shù)，為空間里任意一點(diǎn)．下列不等式對(duì)任意滿足均為銳角的四面體恒成立的是（

）A．B．C．D．7．如圖，在直棱柱中，各棱長(zhǎng)均為2，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．三棱錐外接球的體積為B．異面直線與所成角的正弦值為C．當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小值為D．N是所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，若N到直線與的距離相等，則N的軌跡為拋物線8．如圖，正方體中，頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，頂點(diǎn)，B，C到的距離分別為，1，2，則（

）平面 B．平面平面C．直線與所成角比直線與所成角大 D．正方體的棱長(zhǎng)為三、填空題9．祖暅，字景爍，祖沖之之子，南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家．祖暅在數(shù)學(xué)上有突出的貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出下面的計(jì)算原理——祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．請(qǐng)同學(xué)們用祖暅原理解決如下問(wèn)題：如題圖，有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為的鐵球，再注人水，使水面與球正好相切（而且球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為________．10．所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，這兩個(gè)平行的面稱為上下底面，它們之間的距離稱為擬柱體的高．生產(chǎn)實(shí)際中，我們經(jīng)?？吹近S沙、碎石、灰肥等堆積成上下底面平行，且都是矩形的形狀，這種近似于棱臺(tái)的形體就是一種特殊的擬柱體（如圖所示），已知其高為h，上底面、下底面和中截面（經(jīng)過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的截面）面積分別為，和，請(qǐng)你用，，，h表示出這種擬柱體的體積V＝______．11．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，、分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).則下列結(jié)論中正確序號(hào)為______.①；②平面；③的余弦值的取值范圍是；④△周長(zhǎng)的最小值為四、解答題12．棱柱的所有棱長(zhǎng)都等于2，，平面平面，．（1）證明：；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置．13．正四棱錐的底面正方形邊長(zhǎng)是4，是在底面上的射影，，是上的一點(diǎn)，，過(guò)且與、都平行的截面為五邊形.（1）在圖中作出截面（寫出作圖過(guò)程）；（2）求該截面面積.14．查找并閱讀關(guān)于蜂房結(jié)構(gòu)的資料，建立數(shù)學(xué)模型說(shuō)明蜂房正面采用正六邊形面，底端是封閉的六角棱錐體的底，由三個(gè)相同的菱形組成（菱形的銳角為，鈍角為）的原因．15．2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船順利升空并于6.5小時(shí)后與天和核心艙成功對(duì)接，這是中國(guó)航天史上的又一里程碑，我校南蒼穹同學(xué)既是航天迷，又熱愛數(shù)學(xué)，于是他為正在參加期末檢測(cè)的你們編就了這道題目，如圖，是神舟十二號(hào)飛船推進(jìn)艙及其推進(jìn)器的簡(jiǎn)化示意圖，半徑相等的圓與圓柱底面相切于四點(diǎn)，且圓與與與與分別外切，線段為圓柱的母線.點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.已知圓柱，底面半徑為.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求二面角的余弦值；（4）如圖，是飛船推進(jìn)艙與即將對(duì)接的天和核心艙的相對(duì)位置的簡(jiǎn)化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進(jìn)艙共軸，即共線.核心艙體兩側(cè)伸展出太陽(yáng)翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對(duì)接過(guò)程中，核心艙相對(duì)于推進(jìn)艙可能會(huì)相對(duì)作出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你求出在艙體相對(duì)距離保持不變的情況下，在艙體相對(duì)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線與平面所成角的正弦值的最大值.16．如圖，已知四棱錐中，平面，平面平面，且，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為的重心.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．18．如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個(gè)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過(guò)連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點(diǎn)與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長(zhǎng)為y．（1）設(shè)∠O1AO=(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí)，金屬條總長(zhǎng)y最?。?9．如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，把平面沿軸折起來(lái)，使軸正半軸和軸確定的半平面，與負(fù)半軸和軸所確定的半平面互相垂直．①若，求異面直線和所成角的大??；②若折疊后的周長(zhǎng)為，求的大?。?1．在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且平面.(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.五、雙空題22．如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個(gè)矩形折成一個(gè)空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點(diǎn)分別記為，，為的中點(diǎn)，則多面體的體積為_______；若點(diǎn)是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為__________．24．祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．即：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖①是一個(gè)橢圓球形瓷凳，其軸截面為圖②中的實(shí)線圖形，兩段曲線是橢圓的一部分，若瓷凳底面圓的直徑為4，高為6，則__________；利用祖暅原理可求得該橢圓球形瓷凳的體積為__________專題訓(xùn)練07立體幾何【解析版】一、單選題1．設(shè)為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在使得是直角三角形；②存在使得是等邊三角形；③三條直線上存在四點(diǎn)使得四面體為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體，其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題利用畫圖結(jié)合運(yùn)動(dòng)變化的思想進(jìn)行分析．我們不妨先將A、B、C按如圖所示放置，容易看出此時(shí)BC＜AB＝AC．現(xiàn)在，我們將A和B往上移，并且總保持AB＝AC（這是可以做到的，只要A、B的速度滿足一定關(guān)系），而當(dāng)A、B移得很高很高時(shí)，就得到①和②都是正確的；至于③，結(jié)合條件利用反證法的思想方法進(jìn)行說(shuō)明即可.【詳解】如圖，我們不妨先將A、B、C按如圖所示放置，容易看出此時(shí)，故，又，故，現(xiàn)在，將A和B往上移，并且總保持AB＝AC（這是可以做到的，只要A、B的速度滿足一定關(guān)系），而當(dāng)A、B移得很高很高時(shí)，不難想象將會(huì)變得很扁，也就是會(huì)變成“非常鈍”的一個(gè)等腰鈍角三角形，即，于是，在移動(dòng)過(guò)程中，從小于到大于的變邊過(guò)程中，總有一刻，，同時(shí)，故此時(shí)為等邊三角形，亦總有另一刻，，此時(shí)為直角三角形（而且還是等腰的）．這樣，就得到①和②都是正確的．至于③，如圖所示．為方便書寫，稱三條兩兩垂直的棱所公共頂點(diǎn)為共垂點(diǎn)．假設(shè)A是共垂點(diǎn)，那么由，，面，得面，即面，進(jìn)而面，面，從而三邊的長(zhǎng)就是三條直線的距離4、5、6，又由于，所以不是直角三角形，這與矛盾，假設(shè)不成立；同理可知，D是共垂點(diǎn)時(shí)也矛盾；假設(shè)C是共垂點(diǎn)，那么由，，面，得面，而，面，面，故面，故，又，故，從而BC為l1與l2的距離，于是，同理，又，故，矛盾，假設(shè)不成立；同理可知，B是共垂點(diǎn)時(shí)也矛盾；綜上，不存在四點(diǎn)A（i＝1，2，3，4），使得四面體A1A2A3A4為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體．故選：C．.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．2．如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先在圖中作出直線與平面所成的角，平面與底面所成的銳二面角，可得，同理得，再由和差化積公式得到，即可判斷A、C選項(xiàng)；再通過(guò)三角恒等變換得到，進(jìn)而得到，即，即可判斷B、D選項(xiàng).【詳解】如圖：延長(zhǎng)EF，AB交于M，延長(zhǎng)EG，AC交于N，延長(zhǎng)FG，BC交于D，易得MN為平面ABC和平面EFG的交線，又D在平面ABC和平面EFG上，則D在直線MN上，即M，N，D三點(diǎn)共線，由外角定理可得.過(guò)A作面EFG，垂足為P，過(guò)A作，垂足為Q，連接，易得即為直線與平面所成的角，則，又面EFG，面EFG，則，又，面，，所以面，面，則，則即為平面與底面所成的銳二面角，則，又，則，同理可得，則，又由，，則，故，A，C錯(cuò)誤；故，由可知，所以，即，整理可得，即，即，故，又，故，B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題3．如圖，圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為是底面直徑，點(diǎn)在圓上且，點(diǎn)在母線，點(diǎn)是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在唯一的點(diǎn)，使得B．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為4C．若，則四面體的外接球的表面積為D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為【答案】ACD【分析】對(duì)選項(xiàng)A：作E關(guān)于D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，利用對(duì)稱性與三點(diǎn)共線距離最短求解；對(duì)選項(xiàng)BD：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)F滿足的條件判斷其軌跡，求其長(zhǎng)度；對(duì)選項(xiàng)C：證明AE中點(diǎn)Q為四面體的外接球的球心即可.【詳解】設(shè)E關(guān)于D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故存在唯一的點(diǎn)，使得，故A正確；由題意知，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，則，對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為上底面圓的一條弦MN，到MN的距離為1，所以，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其軌跡長(zhǎng)為，故D正確；對(duì)選項(xiàng)C：在中，，為直角三角形，其外心為與的交點(diǎn)，且，而所以，所以Q為四面體的外接球的球心，球半徑為，所以球的表面積為，故C正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)立體幾何中動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題采用幾何法分析難度時(shí)可以用坐標(biāo)法去研究，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程可以方便的判斷出軌跡的形狀，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決.4．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，其所有頂點(diǎn)均在球的球面上．已知點(diǎn)滿足，，過(guò)點(diǎn)作平面平行于和，平面分別與該正四面體的棱相交于點(diǎn)，則（

）A．四邊形的周長(zhǎng)是變化的B．四棱錐體積的最大值為C．當(dāng)時(shí)，平面截球所得截面的周長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，將正四面體繞旋轉(zhuǎn)90°后與原四面體的公共部分的體積為【答案】BCD【分析】正四面體放入正方體中，證明平面平面，利用平行，利用表示出四邊形各邊的長(zhǎng)，計(jì)算周長(zhǎng)判斷選項(xiàng)A；利用表示四棱錐的體積，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究最值判斷選項(xiàng)B，利用外接球半徑和球心到截面的距離，得到截面圓的半徑，計(jì)算周長(zhǎng)，判斷選項(xiàng)C；兩個(gè)正四面體的公共部分為兩個(gè)相同的正四棱錐組合而成，計(jì)算體積判斷選項(xiàng)D．【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，知正四面體的棱長(zhǎng)為，故球心即為該正方體的中心，連接，設(shè)，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所?又平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，，，平面，所以平面平面．?duì)于A，如圖①，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，則，即，同理可得，，，，所以四邊形的周長(zhǎng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖①，由A可知，，且，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以四邊形為矩形，所以點(diǎn)A到平面的距離，故四棱錐的體積與之間的關(guān)系式為，則.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，故四棱錐體積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，正四面體的外接球即為正方體的外接球，其半徑．設(shè)平面截球所得截面的圓心為，半徑為，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，則，所以平面截球所得截面的周長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，如圖②，

將正四面體繞旋轉(zhuǎn)90°后得到正四面體，設(shè)，，，，連接，因?yàn)?，所以分別為各面的中心，兩個(gè)正四面體的公共部分為幾何體為兩個(gè)相同的正四棱錐組合而成，又，正四棱錐的高為，所以所求公共部分的體積，故D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正四面體的外接球問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為正方體的外接球，利用平面平面，用表示出四邊形各邊的長(zhǎng)，處理周長(zhǎng)和四棱錐的體積；截面問(wèn)題和兩個(gè)正四面體的公共部分，都離不開對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的分析和理解．5．勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國(guó)機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對(duì)機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長(zhǎng)度為D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于2【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)：求出正四面體的外接球半徑，進(jìn)而得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，得到答案；B選項(xiàng)，作出截面圖形，求出截面面積；C選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性得到交線所在圓的圓心和半徑，求出長(zhǎng)度；D選項(xiàng)，作出正四面體對(duì)棱中點(diǎn)連線，在C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上求出長(zhǎng)度.【詳解】A選項(xiàng)，先求解出正四面體的外接球，如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則為等邊的中心，外接球球心為，連接，則為外接球半徑，設(shè)，由正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，此時(shí)我們?cè)俅瓮暾某槿〔糠掷章逅拿骟w，如圖所示：圖中取正四面體中心為，連接交平面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則，故A正確；B選項(xiàng)，勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過(guò)正四面體某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，如圖所示：面積為，B正確；C選項(xiàng)，由對(duì)稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點(diǎn)，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長(zhǎng)度等于，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，將正四面體對(duì)棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時(shí)連線長(zhǎng)度最大，如圖所示：連接，交于中點(diǎn)，交于中點(diǎn)，連接，則，則由C選項(xiàng)的分析知：，所以，故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于2，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】勒洛四面體考試中經(jīng)?？疾?，下面是一些它的性質(zhì)：①勒洛四面體上兩點(diǎn)間的最大距離比四面體的棱長(zhǎng)大，是對(duì)棱弧中點(diǎn)連線，最大長(zhǎng)度為，②表面6個(gè)弧長(zhǎng)之和不是6個(gè)圓心角為60°的扇形弧長(zhǎng)之和，其圓心角為，半徑為.6．設(shè)四面體的六條棱長(zhǎng)分別為，，…，，體積為，四個(gè)面的面積分別為，，，，面與面所成的內(nèi)二面角為，，，，為任意四個(gè)正實(shí)數(shù)，為空間里任意一點(diǎn)．下列不等式對(duì)任意滿足均為銳角的四面體恒成立的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】由三角形面積海倫公式得又，又均值不等式可知，∴，故選項(xiàng)C正確；類比三角形射影定理可知同理可得三個(gè)類似的式子，四式相乘得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；7．如圖，在直棱柱中，各棱長(zhǎng)均為2，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．三棱錐外接球的體積為B．異面直線與所成角的正弦值為C．當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小值為D．N是所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，若N到直線與的距離相等，則N的軌跡為拋物線【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，求出△ABC的外接圓半徑，進(jìn)而求出三棱錐外接球的半徑，求出體積；B選項(xiàng)，作平行線，找到異面直線與所成角，用余弦定理求出余弦值，進(jìn)而求出正弦值；C選項(xiàng)，將平面與平面沿著公共邊折疊到同一平面內(nèi)，利用勾股定理進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，由拋物線定義進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)樵谥崩庵?，各棱長(zhǎng)均為2，，所以△ABC為等邊三角形，設(shè)三棱錐外接球球心為O，則O在底面ABC的投影為△ABC的中心H，設(shè)△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理得：，所以△ABC外接圓半徑為，設(shè)三棱錐外接球的半徑為r，則，故三棱錐外接球的體積為，A正確；連接，，則，且從圖中可以看出為銳角，所以異面直線與所成角即為，由勾股定理得：，由余弦定理得：，故在△中，由余弦定理得：，所以，B錯(cuò)誤；將平面與平面沿著公共邊折疊到同一平面內(nèi)，如圖連接，與的交點(diǎn)即為取得最小值的M，此時(shí)的長(zhǎng)度即為最小值，其中，，由勾股定理得：，C正確；因?yàn)槠矫鍭BCD，故點(diǎn)N到直線的距離即為的長(zhǎng)，又因?yàn)槠矫鍭BCD，故在平面ABCD上，到一點(diǎn)N的距離等于到直線BC的距離，由拋物線的定義可知：N的軌跡為拋物線，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】求解立體幾何圖形的外接球或內(nèi)切球問(wèn)題，要能抓住關(guān)鍵點(diǎn)，比如球心的位置的確定，通常情況下先找球心在某個(gè)三角形或者四邊形中的投影來(lái)確定.8．如圖，正方體中，頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，頂點(diǎn)，B，C到的距離分別為，1，2，則（

）A．平面 B．平面平面C．直線與所成角比直線與所成角大 D．正方體的棱長(zhǎng)為【答案】BD【分析】根據(jù)點(diǎn)到面的距離的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、線面角的定義、面面相交的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】因?yàn)锽，C到的距離分別為1，2，顯然不相等，所以BC不可能與平面平行，因此選項(xiàng)A不正確；設(shè)的交點(diǎn)為，顯然是的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，C到的距離為2，所以O(shè)到的距離分別為1，而B到的距離為1，因此，即，設(shè)平面，所以，因?yàn)槭钦叫?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因此有平面，而，所以平面平面，因此選項(xiàng)B正確；設(shè)到平面的距離為，因?yàn)槠矫?，是正方形，點(diǎn)，B到的距離分別為，1，所以有，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，設(shè)直線與所成角為，所以，設(shè)直線與所成角為，所以，因?yàn)?，所以，因此選項(xiàng)C不正確；因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以在平面的射影與共線，顯然，如圖所示：由，，由（負(fù)值舍去），因此選項(xiàng)D正確，故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用點(diǎn)到面距離的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、填空題9．祖暅，字景爍，祖沖之之子，南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家．祖暅在數(shù)學(xué)上有突出的貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出下面的計(jì)算原理——祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．請(qǐng)同學(xué)們用祖暅原理解決如下問(wèn)題：如題圖，有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為的鐵球，再注人水，使水面與球正好相切（而且球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為________．【答案】【分析】根據(jù)祖暅原理，當(dāng)圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等時(shí)，球柱的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積，由這個(gè)原理求球體和水接觸的部分與沒和水接觸部分為的體積，得出水的體積，再轉(zhuǎn)化為圓錐求高.【詳解】如圖1，已知圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等，根據(jù)祖暅原理，半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，球柱的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積.下面證明如圖1中陰影截面面積相等：證明：設(shè)半球中陰影截面圓的半徑為，球體半徑為，則，截面圓面積；圓柱中截面小圓半徑，大圓半徑為，則截面圓環(huán)的面積，所以，又高度相等，所以球柱的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積.如圖2，設(shè)球體和水接觸的上部分為，沒和水接觸的下部分為，小半球相當(dāng)于圖1半球的截面上半部分，其體積等于圖1中截面之上的圓柱體積減去相應(yīng)圓臺(tái)體積.已知球體半徑為，為等邊三角形，，，根據(jù)祖暅原理，設(shè)圖2中軸截面為梯形的圓臺(tái)體積為，設(shè)將球取出時(shí)容器中水的深度為，底面圓的半徑為，則，.，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題是關(guān)于祖暅原理的一道綜合性應(yīng)用的立體題目,難度較大,需要很強(qiáng)的空間想象能力.（1）本題關(guān)鍵是理解祖暅原理，當(dāng)圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等時(shí)，半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，球柱的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積；（2）求不規(guī)則幾何體的體積要適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行分割，轉(zhuǎn)化為容易求的幾何體的體積.10．所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，這兩個(gè)平行的面稱為上下底面，它們之間的距離稱為擬柱體的高．生產(chǎn)實(shí)際中，我們經(jīng)?？吹近S沙、碎石、灰肥等堆積成上下底面平行，且都是矩形的形狀，這種近似于棱臺(tái)的形體就是一種特殊的擬柱體（如圖所示），已知其高為h，上底面、下底面和中截面（經(jīng)過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的截面）面積分別為，和，請(qǐng)你用，，，h表示出這種擬柱體的體積V＝______．【答案】【分析】利用臺(tái)體的體積減去若干棱錐的體積來(lái)求得擬柱體的體積.【詳解】根據(jù)擬柱體的定義，任一擬柱體都可看作是過(guò)某棱臺(tái)的若干頂點(diǎn)，截去個(gè)倒立小棱錐與個(gè)正立小棱錐后余的凸多面體.當(dāng)時(shí)，就是原棱臺(tái)，即棱臺(tái)是特殊的擬柱體.設(shè)原棱臺(tái)的高為，上底面、下底面、中截面面積分別為，擬柱體的上底面、下底面、中截面的面積分別是，和，設(shè)截去的個(gè)倒立小棱錐的底面面積分別是，截去的個(gè)正立小棱錐的底面面積分別是，那么擬柱體的體積為①，因?yàn)槔忮F的中截面面積等于底面面積的，所以，即②，由棱臺(tái)的中截面性質(zhì)可知，所以③，將③代入②得：，從而可知，代入①并整理得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查擬柱體的體積的求法，在立體幾何教材中有擬柱體的體積的推導(dǎo)過(guò)程.圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、圓臺(tái)、棱臺(tái)、球、球冠、球缺等各有自己的體積公式，但這些公式，都可以統(tǒng)一為擬柱體公式.11．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，、分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).則下列結(jié)論中正確序號(hào)為______.①；②平面；③的余弦值的取值范圍是；④△周長(zhǎng)的最小值為【答案】①④【分析】①連接，根據(jù)正方體性質(zhì)有，結(jié)合在面上的投影為即可判斷；②③構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面的法向量及方向向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示判斷線面關(guān)系，同理求線線角的關(guān)于參數(shù)m的余弦值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值，即可判斷余弦值的范圍；④將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，展開正方體側(cè)面研究最小情況即可判斷.【詳解】①連接，即，又、分別為、的中點(diǎn)，則，所以，而在面上的投影為，又，即，所以，正確；②如下圖示，，，，則，，若是面的一個(gè)法向量，則，令即，而，，則，所以，僅當(dāng)時(shí)，即平面，故錯(cuò)誤；③如下圖，，，，故，，所以，且，，則，令，則，而，，所以，存在，則上，遞增；上，遞減；所以上有，由時(shí)，時(shí)，故時(shí)，故錯(cuò)誤；④由△周長(zhǎng)為，而，要使周長(zhǎng)最小只需最小，將與展開成一個(gè)平面，如下圖示：當(dāng)共線時(shí)，最小為，所以周長(zhǎng)的最小值為，正確.故答案為：①④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：②③構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷線面關(guān)系、求線線角余弦值關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷最值.四、解答題12．棱柱的所有棱長(zhǎng)都等于2，，平面平面，．（1）證明：；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置．【答案】(1)證明見解析；(2)二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是．(3)存在，點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1C＝CP．【詳解】解：連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3∴AO2+A1O2=A12∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，所以A1O⊥底面ABCD∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，…………2分（Ⅰ）由于，則∴BD⊥AA1……4分（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1CK*s^5#u的法向量設(shè)⊥平面AA1D則得到……6分所以二面角D—A1A—CK*s^5#u的平面角K*s^5#u的余弦值是……8分（Ⅲ）假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP//平面DA1C1設(shè)，則得……9分設(shè)，則設(shè)得到……10分又因?yàn)槠矫鍰A1C1則·即點(diǎn)P在C1CK*s^5#u的延長(zhǎng)線上且使C1C=CP……12分法二：在A1作A1O⊥AC于點(diǎn)O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直K*s^5#u的性質(zhì)定理知，A1O⊥平面ABCD，又底面為菱形，所以AC⊥BD（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°∴AO=AA1·cos60°=1所以O(shè)是ACK*s^5#u的中點(diǎn)，由于底面ABCD為菱形，所以O(shè)也是BD中點(diǎn)由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C過(guò)O作OE⊥AA1于E點(diǎn)，連接OE，則AA1⊥DE則∠DEO為二面角D—AA1—CK*s^5#u的平面角……6分在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°∴AC=AB=BC=2，∴AO=1，DO=在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=，DE=∴cos∠DEO=∴二面角D—A1A—CK*s^5#u的平面角K*s^5#u的余弦值是……8分（Ⅲ）存在這樣K*s^5#u的點(diǎn)P連接B1C，因?yàn)锳1B1ABDC∴四邊形A1B1CD為平行四邊形．∴A1D//B1C在C1CK*s^5#u的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使C1C=CP，連接BP……10分因B1BCC1，∴BB1CP∴四邊形BB1CP為平行四邊形則BP//B1C，∴BP//A1D∴BP//平面DA1C1……12分13．正四棱錐的底面正方形邊長(zhǎng)是4，是在底面上的射影，，是上的一點(diǎn)，，過(guò)且與、都平行的截面為五邊形.（1）在圖中作出截面（寫出作圖過(guò)程）；（2）求該截面面積.【答案】（1）作圖見解析；（2）.【解析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理即可作出截面；（2）先由題中的條件得出為正四棱錐，因此得出截面是由兩個(gè)全等的直角梯形組成，再由題中的條件求出直角梯形的上底、下底和高即可求出截面面積.【詳解】解：（1）由題可知，是上的一點(diǎn)，過(guò)且與、都平行的截面為五邊形，過(guò)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)作，交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，，∴，，，∴，所以，，，，共面，平面，∵，平面，∴平面，同理平面.所以過(guò)且與、都平行的截面如下圖：（2）由題意可知，截面，截面，∴，，，，，而是在底面上的射影，，∴平面，，∴，且，所以平面，則，∴，又∵，為正四棱錐，∴，故，于是，因此截面是由兩個(gè)全等的直角梯形組成，因，則為等腰直角三角形，，∴，同理得，，設(shè)截面面積為，所以，所以截面的面積為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是作出截面，再利用線面平行，線面垂直等條件證明截面是由兩個(gè)全等的直角梯形組成的.14．查找并閱讀關(guān)于蜂房結(jié)構(gòu)的資料，建立數(shù)學(xué)模型說(shuō)明蜂房正面采用正六邊形面，底端是封閉的六角棱錐體的底，由三個(gè)相同的菱形組成（菱形的銳角為，鈍角為）的原因．【答案】理由見解析.【分析】蜂房是蜜蜂用來(lái)盛蜂蜜的在體積一定的情況下，為了節(jié)約空間，蜜蜂建造蜂房時(shí)，首先希望蜂房既對(duì)稱而又有規(guī)律，而正多邊形正好符合這一要求，我們知道并非任意的正多邊形都能鋪滿平面的，那么能鋪滿整個(gè)平面的正多邊形又有哪些呢？誰(shuí)最佳呢？這也就是我們要回答問(wèn)題：為什么蜂房正面采用正六邊形面，底端是封閉的六角棱錐體的底，由三個(gè)相同的菱形組成（菱形的銳角為，鈍角為）？因?yàn)槊鄯浣ㄔ旆浞繒r(shí)需要使用材料（蜂臘）最少，在空間(體積)一定的情況下，這種形狀容積最大.用正六邊形才能蜂臘的用料最小.菱形的大小不影響蜂房的容積，只影響蜂房的表面積，但會(huì)影響到制造蜂房所用的材料；蜂房的底能夠無(wú)間隙地粘合在一起.【詳解】數(shù)學(xué)模型I：能鋪滿平面的正多邊形有哪些？在周長(zhǎng)一定的情況下，哪種面積最大？數(shù)學(xué)模型I的求解：由于正邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于，要將平面鋪滿，則有：，解得，故時(shí)，符合要求.當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，正三角形的面積為；正四邊形的面積為；正六邊形的面積為.此時(shí)有：，所以正六邊形是最佳的設(shè)計(jì).數(shù)學(xué)模型Ⅱ：蜂房口的正六邊形及蜂房的容積一定的情況下，問(wèn)題是底面菱形的各角分別多大時(shí)，蜂房的表面積最??？數(shù)學(xué)模型Ⅱ求解：假定六棱柱的邊長(zhǎng)是，先求的長(zhǎng)度，是腰長(zhǎng)為1，夾角為的等腰三角形.以為對(duì)稱軸作一個(gè)三角形(圖3).三角形是等邊三角形.因此，，即得.把圖4的表面分成六份，把其中之一攤平下來(lái)，得出圖7的形狀.從一個(gè)寬為的長(zhǎng)方形切去一角，切割處成邊.以為腰，為高作等腰三角形.問(wèn)題:怎樣切才能使所作出的圖形的面積最小?假定被切去的三角形的高是.從矩形中所切去的面積等于.現(xiàn)在看所添上的三角形的面積。AP的長(zhǎng)度是，因此的長(zhǎng)度等于因而三角形的面積等于.問(wèn)題再變而為求的最小值的問(wèn)題.令，故，兩邊平方，整理得因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，故二次方程判別式，而必大于，因此的最小值為，即.當(dāng)時(shí)取最小值，即在一棱上過(guò)處（圖5中點(diǎn)）以及與該棱相鄰的二棱的端點(diǎn)（圖5中，點(diǎn)）切下來(lái)洴上去的圖形的表面積最小.設(shè)，由余弦定理得，并將代入可得.因此得出.【點(diǎn)睛】建模的關(guān)鍵是圍繞蜂房是蜜蜂用來(lái)盛蜂蜜的在體積一定的情況下，為了節(jié)約空間和蜂房既對(duì)稱而又有規(guī)律，材料最少的原則.15．2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船順利升空并于6.5小時(shí)后與天和核心艙成功對(duì)接，這是中國(guó)航天史上的又一里程碑，我校南蒼穹同學(xué)既是航天迷，又熱愛數(shù)學(xué)，于是他為正在參加期末檢測(cè)的你們編就了這道題目，如圖，是神舟十二號(hào)飛船推進(jìn)艙及其推進(jìn)器的簡(jiǎn)化示意圖，半徑相等的圓與圓柱底面相切于四點(diǎn)，且圓與與與與分別外切，線段為圓柱的母線.點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.已知圓柱，底面半徑為.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求二面角的余弦值；（4）如圖，是飛船推進(jìn)艙與即將對(duì)接的天和核心艙的相對(duì)位置的簡(jiǎn)化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進(jìn)艙共軸，即共線.核心艙體兩側(cè)伸展出太陽(yáng)翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對(duì)接過(guò)程中，核心艙相對(duì)于推進(jìn)艙可能會(huì)相對(duì)作出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你求出在艙體相對(duì)距離保持不變的情況下，在艙體相對(duì)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）具體見解析；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）先證明AM∥ON，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出AE的長(zhǎng)度，利用線面垂直求出長(zhǎng)度即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出內(nèi)切圓的半徑，得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，用法向量夾角公式即可解得；（4）將矩形PQRS視作靜止，則作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，寫出坐標(biāo)，用空間向量線面角公式求出夾角的正弦值.【詳解】（1）如圖1，分別是點(diǎn)M、N在線段AC上的投影，則為AO的中點(diǎn)，為OC的三等分點(diǎn).所以，，所以,所以AM∥ON，如圖2，又因?yàn)槠矫鍮DN，ON平面BDN，所以AM∥平面BDN.（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)，所以,,若OE⊥平面BDN，則，即時(shí)，OE⊥平面BDN.（3）設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由題意可知是等腰直角三角形，所以，因?yàn)?，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令x=1，則，同理可得平面的法向量，所以，由圖可知二面角為銳角，則其余弦值為.（4）將矩形PQRS作為參照物，不妨設(shè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則，即，，所以易知y軸⊥平面PQRS，則平面PQRS的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面PQRS所成角為，所以若，則；若，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，.【點(diǎn)睛】證明線面平行應(yīng)首先證明線面平行或者面面平行；存在性問(wèn)題一般是先假設(shè)存在，若求出結(jié)果不產(chǎn)生矛盾則命題成立，否則不成立；二面角和線面角問(wèn)題用公式直接解出即可；但應(yīng)注意的是最值問(wèn)題一般會(huì)結(jié)合基本不等式或者導(dǎo)數(shù)，如果式子復(fù)雜應(yīng)該先換元.16．如圖，已知四棱錐中，平面，平面平面，且，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為的重心.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）過(guò)作于，利用面面垂直的性質(zhì)定理可知平面，進(jìn)而可知，又由已知可知，再利用線面垂直的判定定理證得平面，進(jìn)而證得；（2）連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，以為原點(diǎn)，分別以，所在的直線為，軸，以過(guò)且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，即，再利用向量夾角公式即可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）過(guò)作于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，平面，平面?又平面，平面，，又，平面，平面，.（2）連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，以為原點(diǎn)，分別以，所在的直線為，軸，以過(guò)且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)，平面，平面，，同理，又，平面，，又是的重心，是的中點(diǎn)，，由（1）知，，，，，，解得，，設(shè)，則，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查線線垂直，及線面角的求法，利用空間向量求立體幾何?？疾榈膴A角：設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩直線所成的角為(),；②直線與平面所成的角為(),；③二面角的大小為(),17．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，寫出多邊形表面的所有內(nèi)角即可.（2）設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，設(shè)第個(gè)面的棱數(shù)為，所以，按照公式計(jì)算總曲率即可.【詳解】（1）由題可知：四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和.可以從整個(gè)多面體的角度考慮，所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.由圖可知：四棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形.所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形組成，則其總曲率為：.（2）設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，所以有設(shè)第個(gè)面的棱數(shù)為，所以所以總曲率為：所以這類多面體的總曲率是常數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的新定義問(wèn)題，能夠正確讀懂“曲率”的概率是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．18．如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個(gè)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過(guò)連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點(diǎn)與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長(zhǎng)為y．（1）設(shè)∠O1AO=(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí)，金屬條總長(zhǎng)y最?。敬鸢浮浚?），（，）．（2）當(dāng)角滿足（）時(shí)，金屬條總長(zhǎng)y最?。窘馕觥浚?）在直角三角形OAO1中，利用三角函數(shù)的定義，用表示，其中由實(shí)際問(wèn)題可得θ的范圍，最后把吊燈12條側(cè)棱，6條底邊，1條頂懸長(zhǎng)相加表示y，得答案；（2）為了方便運(yùn)算，只令，利用求導(dǎo)的方式得極值，此時(shí)即為最小值.【詳解】（1）在直角三角形OAO1中，，，由，所以，所以θ的范圍是，其中，．從而有，所以，（，）．（2）令，所以，令，則，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．函數(shù)的單調(diào)性與關(guān)系列表如下：0+極小值所以當(dāng)，其中時(shí)取得最小值，即y最?。十?dāng)角滿足（）時(shí)，金屬條總長(zhǎng)y最小．【點(diǎn)睛】本題看似考查立體幾何問(wèn)題，實(shí)則考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先建模，將實(shí)物分解并轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，其定義域需滿足實(shí)際情況，還考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于難題.19．如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由邊角邊證得，即，在等腰三角形中由三線合一證得，在菱形中由菱形的對(duì)角線垂直證得，由線面垂直的判定定理說(shuō)明即得證；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，平面即為平面，平面即平面，由（1）得平面平面，平面平面，所以過(guò)做，由面面垂直的性質(zhì)則平面，故即為直線與平面所成角（若研究直線與平面所成角的正弦值則線段等比例擴(kuò)大2倍結(jié)果不變），在菱形ABCD中求出BD，作，由和勾股定理可求得，由余弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系求得，，進(jìn)而求得，最后由正弦函數(shù)定義可求得答案；也可以利用建立空間直角坐標(biāo)系的方式運(yùn)算求解.【詳解】（1）連接交于，因?yàn)?，，，所以，故又因?yàn)闉榱庑螌?duì)角線交點(diǎn)，即是線段的中點(diǎn)，所以又四邊形為菱形，故而，所以平面方法二：因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在為的平分線，又四邊形為菱形，故為的平分線，則直線故平面平面，而平面平面，又四邊形為菱形，故所以平面（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，平面即為平面，平面即平面由（1）得平面平面，平面平面，所以過(guò)做，則平面，故即為直線與平面所成角（若研究直線與平面所成角的正弦值則線段等比例擴(kuò)大2倍結(jié)果不變）因?yàn)樗睦馀_(tái)中，所以，由菱形有，且∠ABC=，所以，作，因?yàn)?，則，，所以，則，，，故.法二：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，平面即為平面，平面即平面，設(shè)直線與平面所成角為過(guò)作，垂足為，因?yàn)?，所以建系，以為軸，作軸，設(shè)平面的法向量為，則，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面垂直的證明，還考查了空間線面角正弦值的運(yùn)算，屬于難題.20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，把平面沿軸折起來(lái)，使軸正半軸和軸確定的半平面，與負(fù)半軸和軸所確定的半平面互相垂直．①若，求異面直線和所成角的大??；②若折疊后的周長(zhǎng)為，求的大?。敬鸢浮浚?）（2）①②或【分析】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，的周長(zhǎng)是，從而得，于是可得，從而得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，折疊后建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，寫出此時(shí)各點(diǎn)坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，用向量數(shù)量積計(jì)算向量夾角可得異面直線所成的角．②設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，設(shè)設(shè)折疊前，，則折疊后，，由韋達(dá)定理得，折疊前后兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差為，在空間直角坐標(biāo)系中，由兩點(diǎn)間距離公式得一等式，結(jié)合韋達(dá)定理所得可求得，從而得，得到傾斜角．【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，由橢圓的性質(zhì)可知：，，則的周長(zhǎng)，即，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）①設(shè)直線：，代入橢圓方程，解得：，，則，，折疊后主要是四點(diǎn)位置．擦去橢圓如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，，，異面直線和所成角為，則，∴異面直線和所成角的大??；②折疊后對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，如圖設(shè)折疊前，，則，，由，，則，設(shè)折疊前直線方程為，則，整理得：，則，，