專題9 構(gòu)造三角形中位線的四種常用方法（人教版）（解析版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

專題18.9構(gòu)造三角形中位線的四種常用方法【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共24題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生構(gòu)造三角形中位線的四種常用方法的理解！【題型1連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】1．（2023上·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，點(diǎn)D，E分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，F(xiàn)，M分別是AD，DE的中點(diǎn)，則FM的最小值為（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【答案】D【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質(zhì)．連接AE，作AH⊥BC于點(diǎn)H．由三角形中位線的性質(zhì)得FM=12AE，由垂線段最短可知當(dāng)AE最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)FM【詳解】解：連接AE，作AH⊥BC于點(diǎn)H．

∵點(diǎn)D，E分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴FM是△ADE的中位線，∴FM=1∴當(dāng)AE最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)FM的值最?。O(shè)BH=x，則CH=10?x，∵102∴x=2.8，∴AH=10∴FM的最小值為4.8．故選D．2．（2023下·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD為∠ABC的平分線，BC=3，AC=4，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為

【答案】1【分析】根據(jù)勾股定理得到AB=5，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠ABD=∠ADB，求得AB=AD=5，連接BF并延長(zhǎng)交AD于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=FG，AG=BC=3【詳解】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°∵BC=3，AC=4，∴AB=5，∵AD∥BC，∴∠ADB=∵BD為∠ABC∴∠ABD=∴∠ABD=∴AB=AD=5，連接BF并延長(zhǎng)交AD于G，

∵AD∥BC，∴∠AGF=∵F是AC的中點(diǎn)，∴AF=CF，在△AFG和△CFB中，∠AFG=∠CFB∠AGF=∠CBF∴△AFG≌△CFB(AAS∴BF=FG，AG=BC=3，∴DG=5?3=2，∵E是BD的中點(diǎn)，∴EF=1故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）【定理】如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)．根據(jù)畫出的圖形，可以得出：①DE與BC位置關(guān)系是．②DE與BC數(shù)量關(guān)系是．（2）【定理應(yīng)用】如圖②，已知矩形ABCD中，AD=6，CD=4，點(diǎn)P在BC上從B向C移動(dòng)，R、E、F分別是DC、AP、RP的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度．（3）【拓展提升】如圖③，△ABC中，AB=12，BC=16，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB=90°，則EF=．【答案】（1）①DE∥BC；②DE=1【分析】（1）利用兩邊成比例，夾角相等證明△ADE∽△ABC，即可證明；（2）連接AR，在Rt△ADR中求出AR，再由中位線的性質(zhì)求EF（3）在Rt△AFB中，利用斜邊的中線等于斜邊的一半，求出DF，再由中位線性質(zhì)求DE，即可求EF【詳解】解：（1）∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，∴ADAB∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴DE∥故答案為：①DE∥BC；②（2）如下圖，連接AR，∵E是AP的中點(diǎn)，F(xiàn)是PR的中點(diǎn)，∴EF=1∵R是CD的中點(diǎn)，CD=4，∴DR=1∵AD=6，∠D=90°，∴AR=A∴EF=10（3）∵BC=16，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE=1∵∠AFB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AB=12，∴DF=1∴EF=DE?DF=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的的判定及性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握中位線的定義及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外作等邊三角形ABM和等邊三角形CAN，D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)E．求證：DE=EF．【答案】見解析【詳解】證明：如圖，連接MC，BN．∵△ABM和△CAN是等邊三角形，∴∠BAM=∠CAN=60°，AM=AB，AN=AC，∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC，即∠MAC=∠BAN．在△MAC和△BAN中，AM=AB,∴△MAC≌△BAN(SAS)，∵D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點(diǎn)，∴DE=12MC，EF=5．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是邊BC的中點(diǎn)，E是邊AB上一點(diǎn)，且DE=DC

(1)用直尺和圓規(guī)在邊AC上作點(diǎn)F，使得△CDF≌△EDF；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下：①求CF的長(zhǎng)；②線段DF與線段AB的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．【答案】(1)見解析(2)①32；②DF=1【分析】此題考查作角平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等角對(duì)等邊證明邊相等，三角形中位線的性質(zhì)定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）作∠CDE的平分線，可得△CDF≌△EDF；（2）①由△CDF≌△EDF得到EF=CF，∠DEF=∠C=90°，利用CD=DE=BD=2推出∠B=∠BED，進(jìn)而得到∠A=∠AEF，證得AF=EF，即可求出AF=CF=12AC=32；②勾股定理求出AB=5【詳解】（1）如圖，連接EF，

∵CD=DE,∠CDF=∠EDF,DF=DF∴△CDF≌△EDF；（2）①∵△CDF≌△EDF，∴EF=CF，∠DEF=∠C=90°，∵BC=4，D是邊BC的中點(diǎn)，DE=DC．∴CD=DE=BD=2∴∠B=∠BED∵∠A+∠B=90°,∠DEB+∠AEF=90°∴∠A∴AF=EF∴AF=CF=1②∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=∵AF=CF∴DF是△ABC的中位線，∴DF∥故答案為：DF=12AB6.（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC邊上的一定點(diǎn)，P是CD邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），M，N分別是AE、PE的中點(diǎn)，記MN的長(zhǎng)度為a，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，a不斷變化，則a的取值范圍是【答案】4<a<5/5>a>4【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，，連接AC，AP，先由矩形的性質(zhì)和勾股定理求出AC=10，再證明MN是△AEP的中位線，得到MN=12AP，由AD<AP<AC得到8<2MN<10【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，∴AC=A∵M(jìn)，N分別是AE、PE的中點(diǎn)，∴MN是△AEP的中位線，∴MN=1∴AD<AP<AC，∴8<2MN<10，∴4<MN<5，即4<a<5，故答案為：4<a<5．7.（2023下·湖北黃岡·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AD上，連接CF交AE于點(diǎn)G，且CG=GF=AF，若BD=46，則CD的值為【答案】2【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理．連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OG，令BD與CF交于點(diǎn)M，根據(jù)矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等和余角的性質(zhì)可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，設(shè)OG=GM=x，則CG=GF=AF=2x，用x表示出CD和AD，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OG，令BD與CF交于點(diǎn)M，∵GF=AF，∴∠FAG=∠FGA，∵四邊形ABCD為矩形，∴BD=AC=46，OB=OD∵CG=GF，∴OG為△CAF的中位線，∴AF=2OG，OG∥∴∠FDM=∠MOG，∵AE⊥BD，∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°，∴∠GMO=∠MDF，∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，∴OG=GM，設(shè)OG=GM=x，則CG=GF=AF=2x，∴FD=FM=FG?MG=2x?x=x，∴CF=4x，在Rt△DCF中，由勾股定理得，CD=F在Rt△ADCDC即15x解得x=2，∴CD=15故答案為：2158.（2023下·廣西桂林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F，G分別是CD，CE的中點(diǎn)，則FG的長(zhǎng)為（

A．5 B．102 C．13 D．【答案】D【分析】CE平分∠BCD可得∠DCE=∠BCE，根據(jù)矩形ABCD可得△BCE是等腰直角三角形，所以BC=AD=BE=3，從而可求EA=2，連接DE，由勾股定理得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線定理可求FG的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠BEC=∠DCE，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE，∴∠BCE=∠BEC，∴BC=AD=BE=3，∵AB=CD=5，∴AE=AB?BE=2，連接DE，如圖，

∴DE=A∵點(diǎn)F、G分別為CD、∴FG=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟記性質(zhì)與定理是解題關(guān)鍵．【題型2利用角平分線垂直構(gòu)造三角形的中位線】1.（2023下·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，AD⊥BD，且AD平分∠BAC，連接DE．若AB=10，DE=2，則AC的長(zhǎng)為（）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題目條件判斷△ADB≌△ADH，得出AH=AB=10，BD=DH，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到CH=4，最后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：延長(zhǎng)AC，BD交于點(diǎn)H，∵AD⊥BD，AD平分∠BAC∴∠ADB=∠ADH，∠BAD=∠HAD在△ADB和△ADH中，∠BAD=∠HADAD=AD∴△ADB≌△ADHASA∴AH=AB=10，BD=DH，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴DE=∴CH=4，∴AC=AH?CH=6，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等，三角形中位線的判定及性質(zhì)，掌握三角形中位線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.（2023下·河北邯鄲·八年級(jí)校考期中）在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，CE平分∠ACB，AE⊥CE于點(diǎn)E．

(1)求證：DE∥(2)若AC=5，BC=7，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）根據(jù)CE平分∠ACB，AE⊥CE，運(yùn)用ASA易證明△ACE≌△FCE．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得AE=EF，CF=AC，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的中位線定理即可求解．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)AE交BC于F，

∵CE平分∠ACB，AE⊥CE于點(diǎn)E，∴∠ACE=∠FCE，∠AEC=∠FEC=90°，在△ACE和△FCE中，∠ACE=∠FCECE=EC∴△ACE≌△FCE．∴AE=EF，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴DE是△ABF的中位線．∴DE∥（2）∵△ACE≌△FCE，∴CF=AC=5，∵DE是△ABF的中位線．∴DE=1故DE的長(zhǎng)為1．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3.（2023下·山西運(yùn)城·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，過點(diǎn)C作CD⊥BD于點(diǎn)D，E是邊AC的中點(diǎn)，連接DE，若DE=2，BC=10，則AB的長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．7 D．9【答案】A【分析】如圖，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線和垂線證得BF=BC，DF=CD，再利用中位線的性質(zhì)得到AF=2DE，即可計(jì)算AB=BF-AF，求得答案．【詳解】如圖，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠CBD，∵CD⊥BD，∴△FBC是等腰三角形（三線合一），∴BF=BC=10，DF=DC，∴D是CF的中點(diǎn)，∵E是邊AC的中點(diǎn)，∴DE是△CAF的中位線，∴AF=2DE=4，∴AB=BF?AF=6；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做出輔助線，利用等腰三角形和中位線的性質(zhì)解答．4.（2023上·山東東營(yíng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=9cm，AC=5cm，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，線段DE的長(zhǎng)為【答案】2cm【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，中位線平行于第三邊且等于第三邊長(zhǎng)度的一半．延長(zhǎng)CD交AB于F，證明△ADF≌△ADCASA，則DF=CD，AF=AC=5cm，BF=AB?AF=4cm，可證DE是△BCF的中位線，根據(jù)DE=【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB于F，由題意知，∠FAD=∠CAD，∠ADF=∠ADC=90°，在△ADF和△ADC中，∵∠FAD=∠CADAD=AD∴△ADF≌△ADCASA∴DF=CD，AF=AC=5cm，∴D是CF的中點(diǎn)，BF=AB?AF=4cm，又∵E是BC的中點(diǎn)，∴DE是△BCF的中位線，∴DE=12BF=2∴DE的長(zhǎng)為2cm故答案為：2cm5.（2023下·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=13，BC=5，AD，BE分別平分∠BAC、∠ABC，∠ADC=∠BEC=90°，連接

【答案】2【分析】利用勾股定理求得AC=12，分別延長(zhǎng)CD、CE交AB于點(diǎn)F、G，證明△ADC≌△ADF和△BEC≌△BEG，推出CD=DF，AC=AF=12，CE=EG，BC=BG=5，得到DE是△AFG的中位線，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=13，∴AC=13分別延長(zhǎng)CD、CE交AB于點(diǎn)F、G，

∵AD分別平分∠BAC，∠ADC=∠ADF=90°，又AD=AD，∴△ADC≌△ADFASA∴CD=DF，AC=AF=12，同理△BEC≌△BEGASA∴CE=EG，BC=BG=5，∴DE是△AFG的中位線，∴DE=1∵FG=AF+BG?AB=12+5?13=4，∴DE=1故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，證明DE是△AFG的中位線是解題的關(guān)鍵．【題型3已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】1．（2023上·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=3,AC=4，平面上有一點(diǎn)P，連接AP，CP，且CP=2，取AP的中點(diǎn)M．連接BM，則BM的最小值為（

A．10 B．655 C．13?1【答案】C【分析】令A(yù)C中點(diǎn)為點(diǎn)N，連接MN,BN，則AN=12AC=2，根據(jù)勾股定理求出BN=13，由中位線定理得出MN=12CP=1，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得出BM>13?1【詳解】解：令A(yù)C中點(diǎn)為點(diǎn)N，連接MN,BN，∵點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，∴AN=1根據(jù)勾股定理可得：BN=A∵點(diǎn)M為AP中點(diǎn)，點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，CP=2，∴MN=1∴在△BMN中，BM>BN?MN，即BM>13當(dāng)點(diǎn)B、M、N在同一直線上時(shí)，BM=BN?MN，此時(shí)BM取最小值13?1故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，中位線定理，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方；三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半；三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．2．（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門一中?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點(diǎn)，連CE，設(shè)CE的最大值為m，最小值為n，則m+n=

【答案】6【分析】取AB的中點(diǎn)F，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出AB=2BC=6，利用三角形中位線定理推出EF=12BD=32【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出BD=BC=3，如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF、CF，∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=6，BF=FA=BC=CF=3，∵E、F分別是AD、AB的中點(diǎn)，∴EF=1如圖，當(dāng)AD在AB上方時(shí)，

此時(shí)，如果C、E、F三點(diǎn)共線，則CE有最大值，最大值為CF+EF=3+32=4.5如圖，當(dāng)AD在AB下方時(shí)，此時(shí)，如果C、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，CE有最小值，最小值為CF?EF=3?32=1.5∴n+n=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，分類討論求得CE的最大值和最小值是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=43，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，連接AD，以AD為邊向左側(cè)作等邊△ADE，連接CE，則CE=

【答案】2【分析】取AB中點(diǎn)H，連接CH，DH，由SAS可知△ACE≌△AHD，可得EC=DH，進(jìn)而由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，取AB中點(diǎn)H，連接DH，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，點(diǎn)H是AB的中點(diǎn)，∴∠CAB=60°，AH=CH=BH=4，∴△ACH是等邊三角形，∴AC=AH，∵△ADE是等邊三角形，∴AE=AD，∠EAD=60°=∠CAB，∴∠EAC=∠BAD，在△ACE和△AHD中，AC=AH∠EAC=∠DAH∴△ACE≌△AHDSAS∴EC=DH，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4∴AB=2AC∴A解得：AC=4，∵D,H分別為BC,BA的中點(diǎn)，∴DH=2∴EC=DH=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，中位線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．4．（2023上·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）先把下面直角三角形的性質(zhì)和已知補(bǔ)充完整，再證明．求證：直角三角形_______的中線等于斜邊的一半.已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：_________．

【答案】見解析【分析】本題考查了直角三角形的特征，與三角形中位線有關(guān)的證明，線段垂直平分線的性質(zhì)，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則DE是△ABC的中位線，得出DE∥AC，推出DE⊥BC，從而得到CD=BD，由此即可得證，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：CD=1證明：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，

，∵D、E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，∵∠ACB=90°，∴∠DEB=∠ACB=90°，DE⊥BC，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CD=BD，∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD=1∴CD=15．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，D在AC上，△ABC與△CDE均為等邊三角形，F(xiàn),H,G分別是BC,CE,AD的中點(diǎn)，連接FH,HG,GH．求證：△FGH為等邊三角形．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，取CD的中點(diǎn)M，連接MH，得出△CMH為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)得出CF=MG，進(jìn)而可證出△FCH≌△GMH，由此得出HF=HG，∠FHG=60°【詳解】取CD的中點(diǎn)M，連接MH，∵△ABC與△CDE均為等邊三角形，∴BC=AC，∵F，H，G分別是BC，CE，AD的中點(diǎn)，∴CF=1∴CM=CH，又∠MCH=∠DCE=60°，∴△CMH為等邊三角形，∴MH=CH，∴∠GMH=180°?∠CMH=180°?60°=120°，又∠FCH=∠ACB+∠MCH=60°+60°=120°，∴∠FCH=∠GMH，又MG=DG+DM=1∴CF=MG，在△FCH和△GMH中，CH=HM∴△FCH≌△GMH（SAS）∴HF=HG，∴∠CHF+∠FHM=∠MHG+∠FHM，∴∠CHM=∠FHG，∴∠FHG=60°，∴△FGH為等邊三角形，6．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線FE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若AB=CD=2，∠FEC=45°，求EF的長(zhǎng)．【答案】EF=【詳解】解：如圖，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接EH和FH．∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴EH=12AB，F(xiàn)H=∴∠HFE=∠FEC=45°．∵AB=CD=2，∴EH=FH=1，∴∠HEF=∠HFE=45°．∴∠EHF=180°?∠HFE?∠HEF=90°，∴EF=F7．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)．若AB=10，CD=8求MN長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】1<MN<9【詳解】解：如圖，連接BD，取BD的中點(diǎn)P，連接PM，PN．∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴PM是△ABD的中位線，∴PM=1同理可得PN=1在△PMN中，∵PM?PN<MN<PM+PN，∴1<MN<9．【題型4利用倍長(zhǎng)法構(gòu)造三角形的中位線】1．（2023下·黑龍江伊春·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，A．32 B．2 C．52【答案】C【分析】延長(zhǎng)BC到E使BE=AD，則四邊形ACED是平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CM=12DE=【詳解】：延長(zhǎng)BC到E使BE=AD，∵AD∥∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE=AD=6，AB=DE∵BC=3，∴C是BE的中點(diǎn)，∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，∴CM=1∵AC⊥BC，∴AB=A∴CM=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD、正方形AEFG的邊長(zhǎng)分別為4和1，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接DF，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接CM，則線段CM的最大值為（

）．A．32 B．42 C．52【答案】D【分析】本題主要考查了、三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、勾股定理，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)P，使CP=DC，連接PF，AP，AF，由三角形中位線定理可得PF=2CM，由正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得AP=42+82=45，AF=【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)P，使CP=DC，連接PF，AP，AF，，∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，CP=DC，∴CM是△DFP的中位線，∴PF=2CM，∵正方形ABCD、正方形AEF