知識(shí)點(diǎn)大全-第8章《平面向量》-分享

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯滬教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大全一第8章平面向量第8章平面向量.18.1向量的概念和線性運(yùn)算.18.1.1向量的概念.18.1.2向量的加法和減法..18.1.2.1向量加法的平行四邊形法則.18.1.2.2向量加法的三角形法則.28.1.2.3向量加法的運(yùn)算律.28.1.2.4向量的減法.28.1.3實(shí)數(shù)與向量的乘法..28.1.3.1實(shí)數(shù)與向量乘法的定義.28.1.3.2向量平行的充要條件.28.1.3.3實(shí)數(shù)與向量乘法的運(yùn)算律.38.1.3.4向量的單位向量.38.2向量的數(shù)量積.38.2.1向量的投影.38.2.1.1投影向量的概念.38.2.1.2向量的夾角.38.2.1.3向量的數(shù)量投影.38.2.2向量的數(shù)量積的定義與運(yùn)算律.48.2.2.1數(shù)量積的定義.48.2.2.2數(shù)量積的運(yùn)算律.48.2.2.3向量數(shù)量積的變形公式與結(jié)論.48.2.3*極化恒等式..48.3向量的坐標(biāo)表示.58.3.1向量基本定理..58.3.1.1向量基本定理.58.3.1.2*三點(diǎn)共線的“爪型結(jié)論”.58.3.1.3*等和線.58.3.2向量的正交分解與坐標(biāo)表示.6作者WX:Math-J8.3.3向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示..68.3.4向量數(shù)量積與夾角的坐標(biāo)表示..68.4向量的應(yīng)用..78.4.1證實(shí)不等式.78.4.2定比分點(diǎn)公式.78.4.3三角形面積公式.78.4.4*飛馳定理..78.4.4.1飛馳定理:.78.4.4.2飛馳定理的推論:.88.4.5*三角形的四心與向量有關(guān)的結(jié)論..88.4.5.1外心.88.4.5.2重心.98.4.5.3內(nèi)心.98.4.5.4垂心.91.概念既有大小又有方向5.向量的坐標(biāo)表示模.1a)單位向量模為1設(shè)a=x1,y1b=x2,y2零向量模為00a⊥b?x1x2+y1y2=0a//ba=?bcos?a?SΔBOC:SΔCOA,SΔAOB=sin2A:sin2B:sin2C4.數(shù)量積作者WX:Math-J第8章平面向量8.1向量的概念和線性運(yùn)算8.1.1向量的概念（1）既有大小又有方向的量叫做向量(vector).常用有向線段(directedline-segment)表示向量,在物理學(xué)中常稱為矢量.向量的兩個(gè)要素:大小(一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù))與方向.（2）僅有數(shù)值（可以是隨意實(shí)數(shù)）而沒有方向的量稱為數(shù)量(scalar),又稱為標(biāo)量.（3）向量a的大小叫做a的模(modulus),記作a.（4）模為1的向量叫做單位向量(unitvector).規(guī)定模為0的向量叫做零向量(zerovector),記作0,可以認(rèn)為它具有隨意方向.（5）倘若兩個(gè)非零向量所在的直線平行或重合,那么稱這兩個(gè)向量平行.a//b表示a與b倘若兩個(gè)向量同方向且具有相同的模,它們就是同一個(gè)向量即為相等的向量.按照向量相等的定義,零向量都是相等的.常常通過證實(shí)共起點(diǎn)的兩向量平行來證實(shí)三點(diǎn)共線.（6）倘若一對(duì)平行向量a與b具有相等的模但方向相反,那么稱它們互為負(fù)向量,或者稱b為a的負(fù)向量,記作b=?8.1.2向量的加法和減法8.1.2.1向量加法的平行四邊形法則設(shè)給定兩個(gè)不平行的向量a、b,倘若以O(shè)為起點(diǎn),分離作OA=a,OB=b,那么以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB的對(duì)角線所表示的向量我們把這種作向量和的主意叫做向量加法的平行四邊形法則(parallelogramlaw).作者WX:Math-J8.1.2.2向量加法的三角形法則若以O(shè)為起點(diǎn)作向量OA=a,再以A為起點(diǎn)作向量AC=b,則銜接起點(diǎn)O與盡頭C得到向量OC,它就是a、異常地,a+08.1.2.3向量加法的運(yùn)算律交換律a+b結(jié)合律a+b提醒:平行四邊形法則要求參加加法的兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同,三角形法則要求參加加法的兩個(gè)向量的首尾相接.可推廣到A1A2+A28.1.2.4向量的減法已知向量a+b=c,那么向量b叫做向量c與向量a的差,記作求向量差的運(yùn)算,叫做向量的減法.向量的減法滿意c?a8.1.3實(shí)數(shù)與向量的乘法8.1.3.1實(shí)數(shù)與向量乘法的定義實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積是一個(gè)向量,記作λa.它的模λa當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa異常地,當(dāng)a=0或λ=0時(shí),8.1.3.2向量平行的充要條件向量b與非零向量a平行的充要條件是:存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λ作者WX:Math-J8.1.3.3實(shí)數(shù)與向量乘法的運(yùn)算律設(shè)a、b是向量,λ、μ∈R8.1.3.4向量的單位向量與非零向量a同方向的單位向量叫做向量a的單位向量,記作a0,有a0=1向量的加法、減法以及實(shí)數(shù)與向量的乘法,統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算(linearoperation).從一個(gè)或幾個(gè)向量出發(fā),通過線性運(yùn)算得到的新向量稱為本來那些向量的線性組合(linearcombination).8.2向量的數(shù)量積8.2.1向量的投影8.2.1.1投影向量的概念倘若向量AB的起點(diǎn)A和盡頭B在直線l上的投影分離為點(diǎn)A′和B′,那么向量A′B′叫做向量A8.2.1.2向量的夾角以一點(diǎn)O為起點(diǎn),作OA=a,OB=b,我們把射線OA、OB的夾角稱為向量a與8.2.1.3向量的數(shù)量投影易知OB′故向量b在向量a方向上的投影為bcos?在上式中,實(shí)數(shù)bcos?a,b?稱為向量b在向量a方向上的數(shù)量投影.它是一個(gè)數(shù)量,其絕對(duì)值等于向量b在向量a方向上的投影的模.當(dāng)?作者WX:Math-J為負(fù),當(dāng)?a,b?=π8.2.2向量的數(shù)量積的定義與運(yùn)算律8.2.2.1數(shù)量積的定義設(shè)a與b是兩個(gè)非零向量,定義a與b的數(shù)量積(scalarproduct)a?b=abcos?a,b?,又稱為內(nèi)積(innerproduct)或點(diǎn)積(dotproduct).記號(hào)中間的“.約定a?a簡(jiǎn)記為a2,即為規(guī)定零向量與隨意向量的數(shù)量積為0.a?b的幾何意義:a?b等于其中一個(gè)向量a的模a與另一個(gè)向量b在向量a的方向上的數(shù)量投影b8.2.2.2數(shù)量積的運(yùn)算律設(shè)a、b和c是向量,λ向量數(shù)量積的交換律:a?b向量數(shù)量積對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律:λa?向量數(shù)量積對(duì)加法的分配律:a?b8.2.2.3向量數(shù)量積的變形公式與結(jié)論(1)cos?a（2）a⊥b當(dāng)且僅當(dāng)a（3）a?b≤ab8.2.3*極化恒等式在△ABC中,M為邊(1)AB?(2)AM?結(jié)論:在平行四邊形中,四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和.作者WX:Math-J8.3向量的坐標(biāo)表示8.3.1向量基本定理8.3.1.1向量基本定理倘若e1與e2是平面上兩個(gè)不平行的向量,那么該平面上的隨意向量a,都可唯一地表示為e1與e2的線性組合,即存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ與μ,使得給定平面上的一組向量,倘若平面上的隨意向量都可以唯一地表示成這組向量的線性組合,那么就稱這組向量是平面向量的一個(gè)基.那么向量基本定理還可以表述成:平面上隨意兩個(gè)不平行的向量都組成平面向量的一個(gè)基.8.3.1.2*三點(diǎn)共線的“爪型結(jié)論”(1)“爪”字型圖:在△ABC中,D是BBD:CD=m:n,則異常地,倘若AD是BC邊上的中線,則A（2）對(duì)任向來線AB外一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線AB上?存在實(shí)數(shù)λ,使O8.3.1.3*等和線平面內(nèi)一組基OA,OB及任一向量若點(diǎn)P在直線AB上或者在平行于AB的直線上,則λ+μ=k(定值),反之也成立,我們把直線A①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí),k=②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)O和直線AB之間時(shí),k∈③當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí),k∈④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)O時(shí),k=0⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱,則定值k互為相反數(shù);(C)定值k的絕對(duì)值大小與等和線到點(diǎn)O的距離成正比.作者WX:Math-J8.3.2向量的正交分解與坐標(biāo)表示把向量a寫成所在平面上兩個(gè)不平行向量e1與e2的線性組合的過程稱為a關(guān)于e1與e2的分解(decomposition)在e在平面直角坐標(biāo)系中隨意一個(gè)向量a關(guān)于x軸與y軸正方向上的單位向量i與j的正交分解a=xi+yj稱為向量a在這個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分解(coordinatedecomposition),從而有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y則稱為向量向量的這種表示法稱為它的坐標(biāo)表示(coordinaterepresentation),可以直接用向量的坐標(biāo)x,y作從原點(diǎn)O出發(fā)的向量OA=a,才干用A點(diǎn)坐標(biāo)x,y表示向量a的坐標(biāo),把向量OA稱為8.3.3向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)x1,y1、x2,y2xλ對(duì)平面上隨意兩點(diǎn)Px1,y1與Qx設(shè)a=x,y,則8.3.4向量數(shù)量積與夾角的坐標(biāo)表示給定兩個(gè)坐標(biāo)表示的向量a=x1,y1（1）它們的數(shù)量積a（2）夾角的余弦值cos（3）a⊥b的充要條件是x1x2+8.4向量的應(yīng)用8.4.1證實(shí)不等式柯西-施瓦茲不等式(Cauchy-SchwarzInequality)已知x1、x2、y1、y28.4.2定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式已知P是直線P1P2上一點(diǎn),且P1P=λPP2(λ為實(shí)數(shù),且λ≠?x2,y2.則點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y注:當(dāng)λ=0時(shí),點(diǎn)P與P1重合;當(dāng)λ>0時(shí),點(diǎn)P在線段P1P2上;當(dāng)?1<λ<0時(shí),點(diǎn)P在線段P2P1的使用定比分點(diǎn)公式可易推得三角形重心坐標(biāo)公式:已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分離是x1,y8.4.3三角形面積公式在△ABC中,設(shè)CA=a=x1,則S=18.4.4*飛馳定理8.4.4.1飛馳定理:飛馳定理:設(shè)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),△BOC,△AO作者WX:Math-J證實(shí):如圖2延伸