數(shù)學(xué)中的小問(wèn)題大定理-不等式·理論·主意知識(shí)資料基礎(chǔ)卷王向東,蘇化明,王方漢-8

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。全文共頁(yè)-word可編輯不等式-理論-主意.基礎(chǔ)卷內(nèi)容簡(jiǎn)介本書(shū)是論述不等式的理論與主意的一本專門(mén)著作.第1章主要推薦了不等式的基本概念和基本理論.第2章全面系統(tǒng)地論述了各種類型的不等式及不等式組的解法.第3章總結(jié)了證明不等式的常用主意和基本技巧.本書(shū)可供不等式研究工作者以及高等師范類院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生和數(shù)學(xué)興趣者參考閱讀.圖書(shū)在版編目(CIP)數(shù)據(jù)不等式-理論-主意.基礎(chǔ)卷/王向東,蘇化明,王方漢編著.一哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2023年年.7ISBN978-7-5603-5412-5I.①不...II.①王...②蘇...③王...III.①不等式-研究IV.①01中國(guó)版本圖書(shū)館CIP數(shù)據(jù)核字(2023年年)第161682號(hào)策劃編輯劉培杰張永芹責(zé)任編輯張永芹劉立娟封面設(shè)計(jì)孫茵艾出版發(fā)行哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社社址哈爾濱市南崗區(qū)復(fù)華四道街10號(hào)郵編150006傳真0451-9網(wǎng)址http://hitpress.hit.edu.cn印刷哈爾濱市石橋印務(wù)有限公司開(kāi)本787?mm×960?mm?版次2023年年年7月第1版2023年年年7月第1次印刷書(shū)號(hào)ISBN978-7-5603-5412-5定價(jià)38.00元(如因印裝質(zhì)量問(wèn)題影響閱讀,我社負(fù)責(zé)調(diào)換)美國(guó)當(dāng)代聞名數(shù)學(xué)家L.C.Larson曾指出:“在數(shù)學(xué)的所有分支里,不等式都是實(shí)用的,并且不等式問(wèn)題也是數(shù)學(xué)中最有意義的問(wèn)題之一.”事實(shí)也正是這樣,因?yàn)閿?shù)學(xué)的基本結(jié)果往往是一些不等式而不是等式.這就難怪有如此眾多的數(shù)學(xué)工作者為之感興趣而持久專門(mén)從事不等式理論的研究,從而使不等式理論得到迅猛發(fā)展,至今方興未艾.另外,因?yàn)椴坏仁阶陨淼耐昝佬砸约白C實(shí)的艱難性,近年來(lái)不等式問(wèn)題又成了各種數(shù)學(xué)比賽,異常是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中的熱門(mén)題目.如第1屆至第31屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克共有近30道不等式的題目,此外還有許多極值問(wèn)題和涉及不等式或利用不等式主意求解的題目.特別應(yīng)該指出的是在數(shù)學(xué)教學(xué)中,無(wú)論是中學(xué)生或高等小學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生,他們普遍感到不等式是難點(diǎn),其問(wèn)題難做、無(wú)定法可尋.碰到此類問(wèn)題往往束手無(wú)策,一籌莫展.綜上所述,系統(tǒng)歸納、收拾不等式的理論與主意,編寫(xiě)一本反映我國(guó)不等式領(lǐng)域的最新研究成績(jī),為廣大中學(xué)師生、各種奧林匹克小學(xué)以及不等式研究者提供一本相應(yīng)的、合適的專題參考書(shū)是須要的.本書(shū)把國(guó)內(nèi)外浩如煙海的有關(guān)不等式的文獻(xiàn)舉行系統(tǒng)歸納、總結(jié)、收拾,按照有關(guān)邏輯順序,由淺入深,循序漸進(jìn),并吸收目前不等式研究的最新成績(jī),給人以耳目一新的感覺(jué).本書(shū)包括例題在內(nèi)證實(shí)了近千個(gè)不等式,其中大部分聞名的經(jīng)典不等式都給出了盡可能多的證實(shí)方法,這些主意都是國(guó)內(nèi)外在不同時(shí)期,由不同的作者所給出.值得指出的是其中有許多不等式是由我國(guó)數(shù)學(xué)工作者得到的,固然也包括了著者們的一些研究成績(jī).本書(shū)有別于同類書(shū)籍的最大特點(diǎn)是突出不等式的理論與主意(解法、證實(shí)主意、應(yīng)用技巧),系統(tǒng)性強(qiáng)、主意全面、新奇、獨(dú)到、巧妙,寬裕啟發(fā)性,內(nèi)容充實(shí),具有一定深度,對(duì)每一經(jīng)典不等式,從起源(原始形式)到各種推廣和改進(jìn),從各種各樣的證實(shí)主意到形形色色的應(yīng)用技巧以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系都給以詳細(xì)闡述.無(wú)疑本書(shū)充足體現(xiàn)了“全、深、透”的基本思想.不等式的內(nèi)容和主意是豐盛多彩的,需要指出的是本書(shū)是以論述初等不等式為主,基本上不涉及無(wú)窮不等式(即不等式中變量個(gè)數(shù)為無(wú)限)和導(dǎo)數(shù)、積分(即不等式的變量中含有導(dǎo)數(shù)或積分)不等式以及其他一些專門(mén)學(xué)科(諸如概率論、微分方程、泛函分析、數(shù)學(xué)計(jì)劃、變分不等式理論、控制論等)中的不等式.本書(shū)是作者們的一種嘗試,失誤和片面之處在所難免,誠(chéng)摯歡迎廣大同行與廣大讀者批評(píng)指正.同時(shí),我們也期待著有更多和更好的不等式方面的佳作問(wèn)世.張石生于四川大學(xué)《不等式·理論·主意》一書(shū)是論述不等式的理論與主意的一本專門(mén)著作.第1章是不等式的基本概念和基本理論,其中包括不等式的定義、分類及各種性質(zhì),并論述了不等式的同解原理以及不等式與平面區(qū)域的關(guān)系.第2章全面系統(tǒng)地論述了各種類型的不等式和不等式組的解法,詳細(xì)歸納了解不等式和不等式組的常用技巧.第3章總結(jié)了證實(shí)不等式的常用主意和基本技巧近三十多種,其中有些主意新奇、獨(dú)到、具有一定的啟發(fā)性.第3章前兩節(jié)的方法是初等的基本主意.第3節(jié)論述了凸函數(shù)的性質(zhì)、判定主意以及凸函數(shù)與不等式的關(guān)系,并利用凸函數(shù)主意證實(shí)了大量重要不等式.第4節(jié)主要闡述微積分知識(shí)在證實(shí)不等式當(dāng)中的應(yīng)用,并介紹了聞名的Mitrinovi?-Vasi?的λ-主意.第4章推薦了常見(jiàn)的經(jīng)典不等式,其中包括聞名的Bernoulli不等式、算術(shù)-幾何-調(diào)和平均不等式、冪平均與加權(quán)冪平均不等式、Cauchy不等式、Kantorovich不等式、H?lder不等式、Minkowski不等式、排序不等式、Jensen不等式、Rado不等式、Popoviciu不等式、Minle不等式、Aczél不等式、Carlson不等式、Young不等式、Laplace不等式和Karamate優(yōu)化不等式等,并研究了這些不等式的各種形式的推廣.異常是對(duì)這些經(jīng)典不等式,本書(shū)著重論述它們之間的互相聯(lián)系以及它們的各種應(yīng)用,使之系統(tǒng)化.同時(shí),我們對(duì)每一類經(jīng)典不等式都給出了各種可能的證實(shí)主意,其中有些主意是第3章的補(bǔ)充和擴(kuò)展.第5章是異常類型的不等式.其中第1節(jié)是三角不等式,推薦了證實(shí)三角不等式的常用主意,研究了三角形中的各種不等式.第2節(jié)是幾何不等式,推薦了聞名的等周問(wèn)題、Fermart問(wèn)題和Schwarz問(wèn)題,并研究了諸如Weisenb?ck不等式、Finsler-Hadwiger不等式、Pedoe不等式、Erd?s-Mordell不等式以及關(guān)于三角形的主要幾何不等式、多邊形的幾何不等式和關(guān)于四面體的不等式等,給出了它們的各種推廣與應(yīng)用,闡明了它們之間的關(guān)系.同時(shí)第5章最后一節(jié)還推薦了絕對(duì)值不等式、有關(guān)復(fù)數(shù)的不等式、數(shù)列不等式和函數(shù)不等式等.全書(shū)內(nèi)容豐盛、資料詳實(shí),并吸收了國(guó)內(nèi)外最新研究成績(jī).在本書(shū)的編寫(xiě)過(guò)程中,我們參閱了數(shù)學(xué)期刊中大量的有關(guān)文章和參考書(shū)籍,本書(shū)的出版得到了廣東省天然科學(xué)基金（S85、2023年年A）、廣東省大學(xué)省級(jí)重大項(xiàng)目（2023年年KZDXM063）、廣東省大學(xué)特色創(chuàng)新項(xiàng)目(2023年年KTSCX150)、佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)術(shù)出版基金、佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)科的資助.在此對(duì)作者們表示衷心地謝謝.我國(guó)聞名數(shù)學(xué)家四川大學(xué)教授張石生先生在百忙中為此書(shū)作序,他還向來(lái)協(xié)助本書(shū)的寫(xiě)作,并提出了許多珍貴的建議,在此我們也深表謝謝.王永率先生為全書(shū)繪制了插圖,宋春玲博士、何夏明碩士、何敏番碩士、吳楚芬博士等對(duì)書(shū)稿做了仔細(xì)的校對(duì),對(duì)他們的辛勤勞動(dòng)致以密切致謝.本書(shū)所論及的專題為大家所注目,但寫(xiě)起來(lái)總有力不從心之感,謹(jǐn)將我們之拙見(jiàn),作為一家之言,拋磚引玉,敬希廣大同仁們提出斧正.王向東2023年年.5目錄第1章不等式的基本理論//1.1不等式的概念與基本性質(zhì)//1.2不等式的解與解不等式//41.3不等式的同解原理//61.4不等式與區(qū)域//第2章不等式的解法//202.1整式不等式//2.2分式不等式//392.3無(wú)理不等式//432.4指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式//532.5絕對(duì)值不等式//652.6三角不等式//752.7反三角不等式//952.8羅列組合不等式//992.9含參數(shù)的不等式//2.10解不等式的異常主意//1122.11解不等式的統(tǒng)一主意//1222.12二元不等式(組)//133第3章不等式的證實(shí)//1563.1證實(shí)不等式的基本主意//1563.2證實(shí)不等式的常用技巧//1843.3凸函數(shù)與不等式//2553.4微積分主意//289參考文獻(xiàn)//313中外人名對(duì)照表//333經(jīng)典不等式卷及異常類型不等式卷目錄//337不等式的基本理論第章1.1不等式的概念與基本性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)生活中,我們不僅常常會(huì)碰到量與量之間的“相等”關(guān)系,而且還會(huì)碰到量與量之間的“不等”關(guān)系.事實(shí)上,客觀現(xiàn)實(shí)中,“相等”只是一種極端情況,“不等”才是一種普遍存在的現(xiàn)象,這恰好也說(shuō)明了為什么數(shù)學(xué)的基本結(jié)果往往是一些不等式而不是等式的緣故.在初等數(shù)學(xué)中,關(guān)于不等式的問(wèn)題,主要分為兩大類:一是絕對(duì)不等式的證實(shí);二是條件不等式的求解,即解不等式.為了解決這些問(wèn)題,并弄清晰解決這些問(wèn)題的邏輯,就必須建立不等式的基本理論.為此,我們先推薦不等式的基本概念和一些基本性質(zhì).形如a<b,a≤b;a>b,a≥b;a≠b的式子叫作不等式.這里a和b可能是實(shí)用符號(hào)“>”,“≥”,“<”,“≤”寫(xiě)出的不等式叫作有向不等式;用符號(hào)“≠”寫(xiě)出的不等式叫作無(wú)向不等式.用符號(hào)“>”和“<”寫(xiě)出的不等式叫作鄭重不等式;用符號(hào)“≥”和“≤”寫(xiě)出的不等式叫作非鄭重不等式.一個(gè)不等式兩邊的函數(shù)式的公共定義域叫作這個(gè)不等式的定義域.按照不同的要求,不等式可以按不同的主意分成幾種不同的類型.(1)算術(shù)不等式與非算術(shù)不等式不等式兩邊只浮上數(shù)字的不等式叫作算術(shù)不等式(或數(shù)值不等式);除了數(shù)字以外還浮上一個(gè)或幾個(gè)變量的函數(shù)式的不等式叫作非算術(shù)不等式.例如,2>1,2<π是算術(shù)不等式,而(2)絕對(duì)不等式、條件不等式與矛盾不等式在不等式的定義域內(nèi)(這個(gè)定義域固然是非空的),不論不等式中的函數(shù)的自變量取任何值,不等式總能成立,這樣的不等式叫作絕對(duì)不等式.不等式的定義域?yàn)镸,非空數(shù)集S?M,倘若惟獨(dú)用集合S里的數(shù)值代替不等式中函數(shù)式的自變量時(shí),不等式才干成立,倘若不等式的定義域是空集,或者在不等式的非空定義域內(nèi),不論用任何數(shù)值代替不等式中函數(shù)式的自變量,不等式總不能成立,這樣的不等式叫作矛盾不等式.顯然,算術(shù)不等式必是絕對(duì)不等式或矛盾不等式.(3)按不等式中函數(shù)式的特性來(lái)分類的不等式按函數(shù)式的類型來(lái)看,有從函數(shù)式自變量的個(gè)數(shù)來(lái)看,有一元的、二元的、多元的不等式.從函數(shù)式自變量的最高次數(shù)來(lái)看,有一次的、二次的、高次的不等式.從形式上看,還有絕對(duì)值不等式,羅列數(shù)、組合數(shù)不等式等.在兩個(gè)不等式中,倘若不等號(hào)的方向相同,那么這兩個(gè)不等式叫作同向不等式;倘若不等號(hào)的方向相反,那么這兩個(gè)不等式叫作異向不等式.不論是解決哪一類不等式的問(wèn)題,都必須對(duì)不等式舉行須要的變形.而這些變形所按照的都是不等式的基本性質(zhì).下面給出的不等式的性質(zhì),是就鄭重不等式而言的.對(duì)于非鄭重不等式,這些性質(zhì)依然成立.性質(zhì)1.1(對(duì)稱性)a>性質(zhì)1.2(傳遞性)a>性質(zhì)1.3(加法的單調(diào)性)a>推論1(移項(xiàng)法則)a+推論2(不等式的加法法則)a>性質(zhì)1.4?1a>b,推論1(不等式的乘法法則)a>b>推論2(不等式取倒數(shù)法則)a>推論3(不等式的乘主意則)a>b>性質(zhì)1.5(開(kāi)方的單調(diào)性)a>b>上述性質(zhì)是不等式的基本性質(zhì),而不是不等式的所有性質(zhì),而且這些基本性質(zhì)中的條件并非都是充要的.1.2不等式的解與解不等式我們知道,能夠使絕對(duì)不等式成立的函數(shù)式自變量的取值范圍正是該不等式的定義域;能使矛盾不等式成立的函數(shù)式自變量的取值范圍是空集;而能使條件不等式成立的函數(shù)式自變量的取值范圍是這個(gè)不等式定義域的非空真子集.這里有兩個(gè)集合,一個(gè)是能使不等式成立的函數(shù)式自變量的取值范圍,記作M;另一個(gè)是不等式的定義域,記作I.這兩個(gè)集合之間的關(guān)系是:絕對(duì)不等式I=M≠?;矛盾不等式I?M=?對(duì)于一個(gè)非算術(shù)不等式,求出或指出能使不等式成立的函數(shù)式自變量的取值范圍的過(guò)程,叫作解不等式.在解不等式時(shí),表示函數(shù)式自變量的字母普通叫作不等式的未知數(shù);所求出的能使不等式成立的未知數(shù)的數(shù)值,叫作不等式的解;一個(gè)含有未知數(shù)的不等式,它的所有的解組成的集合,叫作這個(gè)不等式的解集.這樣,解不等式也可以說(shuō)成是求不等式的解集的過(guò)程.因?yàn)榻^對(duì)不等式的解集就是不等式的定義域,要確定這一點(diǎn)就必須舉行論證.因此,對(duì)于一個(gè)絕對(duì)不等式(或附有某種條件的不等式),往往是需要證實(shí)的問(wèn)題.至于條件不等式,因?yàn)樗慕饧瞧涠x域的非空真子集,所以這里就有一個(gè)“求解”的問(wèn)題.需要指明的是,我們通常說(shuō)的解不等式普通是指解一元不等式.矛盾不等式的解集是空集,偶爾需求解,偶爾則需證實(shí).為了表示一元不等式的解集,下面我們給出區(qū)間的概念.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),而且a<b,我們把{x∣a≤x≤b}叫作閉區(qū)間,記作a,b(圖1.1);把{x∣a<x<b}叫作開(kāi)區(qū)間,記作a,b(圖1.2);把{x∣a≤x<b}叫作半閉區(qū)間圖1.1圖1.2圖1.3圖1.4實(shí)數(shù)集R也可以用區(qū)間表示為-∞,+∞,其中-∞表示負(fù)無(wú)窮大,+∞表示正無(wú)窮大.我們還把{x∣x≥a},{x∣x>a},{x∣x≤b},{圖1.5這樣,一元不等式的解集除了異常情況(解集為空集或解集由有限個(gè)元素組成)以外,都可以用區(qū)間表示.例如,不等式x-3<0的解集是-∞,3,不等式x+2≥0圖1.61.3不等式的同解原理為了求出不等式的解集,就要對(duì)不等式做適當(dāng)?shù)淖冃?這種變形必須使得新不等式與原不等式的解集相同(這種變形稱為同解變形).定義1.1倘若兩個(gè)不等式的解集相同,就稱這兩個(gè)不等式為同解不等式,或者稱這兩個(gè)不等式同解,或者等價(jià).兩個(gè)不等式A,B是同解不等式,普通可記為A?B.同解不等式定理1.1不等式fx>gx與gx證實(shí)設(shè)x=a是不等式fx>gx的隨意一個(gè)解,則fa>ga.由不等式性質(zhì)1.1可知ga<又設(shè)x=b是不等式gx<fx的隨意一個(gè)解,則所以x=b也是不等式fx綜上所述,不等式fx>gx與定理1.2設(shè)不等式fx>gx的定義域?yàn)镸,函數(shù)φx在M上存心義,那么不等式fx>證實(shí)類似于定理1.1,這里從略.定理1.3在不等式fx>gx的定義域(1)倘若φx>0,那么不等式fx>gx(2)倘若φx<0,那么不等式fx>gx證實(shí)(1)設(shè)x=a是fx>gx的隨意一個(gè)解,則有fa>ga,且φa>0.由不等式性質(zhì)1.4可知反之,若x=a是不等式fxφx>gxφx的隨意一個(gè)解,則有faφa>gaφa,且綜上所述,(1)得證.(2)的證實(shí)留給讀者完成.例如,由定理1.3知,若x>1x同解.我們可以用類似于證實(shí)定理1.3的主意證實(shí)如下的定理.定理1.4不等式fxgx>0與fxgx>0同解;定理1.5若fx,gx在不等式fx>gx的定義域上都非負(fù),則不等式fx>gx例如,由定理1.4知2同解;由定理1.5知4同解.定理1.6不等式fx>gx與fmx>gm證實(shí)這個(gè)定理要分三種情況舉行:1fx>gx≥0;例如,由定理1.6知,不等式3同解.1.4不等式與區(qū)域從1.2節(jié)我們知道,一元不等式的解集可以用數(shù)軸上的點(diǎn)集表示出來(lái),這個(gè)點(diǎn)集也叫作數(shù)的區(qū)間.那么,二元不等式fx,y>0或gx,y<0一、平面上的初等區(qū)域設(shè)y=f1x,y=f2x都是定義在a,b上的延續(xù)函數(shù),且在a,b上f1x<f2x(圖1.7).又設(shè)x=φ?qǐng)D1.7圖1.8定義1.2坐標(biāo)平面xOy上所有滿意a的點(diǎn)的集合,叫作一個(gè)開(kāi)的初等區(qū)域,簡(jiǎn)稱為開(kāi)區(qū)域.其中a可能是-∞,b可能是+∞,c可能是-∞,d可定義1.3將初等開(kāi)區(qū)域與限制它的曲線合并而得的點(diǎn)集,即滿意a的點(diǎn)的集合,叫作一個(gè)閉的初等區(qū)域,簡(jiǎn)稱為閉區(qū)域.類似地,可以定義半開(kāi)的初等區(qū)域(簡(jiǎn)稱半開(kāi)區(qū)域)和半閉的初等區(qū)域(簡(jiǎn)稱半閉區(qū)域).例1已知區(qū)域D1,D2,(1)a<(2)0≤(3)x>在平面xOy上分離作出這些區(qū)域.解區(qū)域D1,D2,D31.11所示.圖1.9圖1.10圖1.11例2已知下列陰影部分所表示的區(qū)域的邊界的方程,試寫(xiě)出各區(qū)域的解析表達(dá)式.解(1)m≤x<(2)-R≤x(3)-3<x(4)0≤x<+∞(5)1)2)a≤x<+∞圖1.12圖1.13圖1.14圖1.15圖1.16二、二元一次不等式表示的區(qū)域定義1.4平面xOy上所有滿意二元一次不等式Ax+By+C∨0A,B不全為零可行解組成的集合稱為可行域).這里“∨”表示“>”,“<”,“≥”,“≤”四種中的一種.我們知道,平面上隨意一條直線把平面分成了一條邊界線和兩個(gè)開(kāi)區(qū)域這三個(gè)部分.為了決定已知的不等式表示的區(qū)域,我們給出半平面的概念.右(左)方半平面:直線L:Ax+By+C=0A≠0,沿其正方向運(yùn)動(dòng),在直線L右(左)側(cè)的半平面叫作右(左)方半平面圖1.17上(下)方半平面:直線L:By+C=0B≠0,沿其正方向運(yùn)動(dòng),在直線L上(下)側(cè)的半平面叫作上(下)方半平面.如圖圖1.18定理1.7二元一次不等式Ax+By+C>0<0表示的區(qū)域是直線L:Ax+By+證實(shí)(1)若點(diǎn)P0x0,y0滿意不等式Ax+By+C>x(4.1)在直線L上取點(diǎn)P1xA所以x(4.2)由(4.1)與(4.2)知,x0>x1.又點(diǎn)P0x0,y0,P1x1,y0都在直線y=y0上,故點(diǎn)(2)若點(diǎn)Px0,y0在直線L:Ax+By+C=0的右方半平面,過(guò)點(diǎn)P因?yàn)辄c(diǎn)P0在點(diǎn)P1的右側(cè),所以因?yàn)锳>0,所以AA而點(diǎn)P1x1,y0在直線L:Ax+By+C=按照(1)與(2)可知,當(dāng)A>0時(shí),不等式Ax+By+C>0表示的區(qū)域是直線至于當(dāng)A>0時(shí),不等式Ax+By+C<0表示的區(qū)域是直線L:定理1.8二元一次不等式By+C>0<0表示的區(qū)域是直線L:By+C=0的上例3作出下面的不等式組表示的區(qū)域x(4.3)(4.4)解在平面上作出直線LL區(qū)域(4.3)在L1的左方,區(qū)域(4.4)在L2的右方,原不等式組表示的區(qū)域就是區(qū)域(4.3)與區(qū)域(4.4)的公共區(qū)域(例4作出下面的不等式組表示的區(qū)域x(4.5)(4.6)(4.7)解在平面上作出直線LLL區(qū)域(4.5)在L1的左方,區(qū)域(4.6)在L2的左方,區(qū)域(4.7)在L3的右方,原不等式組表示的區(qū)域就是區(qū)域(4.5)～區(qū)域(4.7)的公共區(qū)域.這個(gè)區(qū)域是以A-1,0圖1.19圖1.20三、二元二次不等式表示的區(qū)域定義1.5平面xOy上所有滿意二元二次不等式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F∨0A,B,C不全為零我們知道,一個(gè)二元二次方程表示一條圓錐曲線,為簡(jiǎn)便計(jì),這里只研究具有標(biāo)準(zhǔn)形式(非退化)的圓錐曲線方程所對(duì)應(yīng)的不等式表示的區(qū)域.定理1.9在曲線fx,y=0所劃分的每個(gè)平面開(kāi)區(qū)域Di內(nèi),多項(xiàng)式fx定理1.10不等式x2a2+y2b2>1x2b2+(圖1.21,圖1.22)圖1.21圖1.22證實(shí)由定理1.9,只需在橢圓x的外部任取一點(diǎn)Px,f的符號(hào)即可.設(shè)橢圓x2a2+y2b2P即x收拾,得a令b2=a2-c2類似地,我們可以得到關(guān)于拋物線、雙曲線劃分平面為兩個(gè)區(qū)域的結(jié)論,分離見(jiàn)圖1.23圖?1.28.圖1.23圖1.24圖1.25圖1.26第1章不等式的基本理論圖1.27圖1.28例5畫(huà)出滿意y<x2解原不等式組即為x(4.8)(4.9)區(qū)域(4.8)在拋物線x2=y的外部,區(qū)域(4.9)在拋物線y2=x的外部.原不等式組表示的區(qū)域就是區(qū)域(4.8)圖1.29不等式的解法第2章2.1整式不等式一、一元一次不等式形如ax+b>0,ax+b<0a≠0的不等式叫作一元一次不等式.一元一次不第一步:不等式兩邊同時(shí)加上-b,得等價(jià)不等式(這個(gè)步驟也叫作移項(xiàng)變形ax第二步:將上面得到的不等式兩邊同除以a:倘若a>0,那么不等式變?yōu)閤倘若a<0,那么不等式變?yōu)檫@樣,就得到了不等式的解集:當(dāng)a>0時(shí),解集為-a<0時(shí),解集為例1解不等式3x解去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)可得5x>-13.兩邊同除以5,得x>-135.所以原不等式的解集評(píng)注為節(jié)約篇幅,在未異常聲明的情況下,以后不等式的解普通沒(méi)有寫(xiě)成集合的形式,不再一一說(shuō)明.二、一元二次不等式形如ax2+bx+c>x2>m和x2<不等式x2>m(1)當(dāng)m≥0時(shí),(2)當(dāng)m<0時(shí),不等式x2<m(1)當(dāng)m>0時(shí),(2)當(dāng)m≤0時(shí),對(duì)于普通的一元二次不等式,借助二次函數(shù)的圖像來(lái)解是比較簡(jiǎn)便的.為此,記y=這樣,不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集,就是能使二次函數(shù)值y>0不等式·理論·主意(基礎(chǔ)卷)a>0的圖像y海浦(a>0不等式的(a>0a>0的根xΔxx(x1<x20.58x有兩個(gè)相等實(shí)根0.58a沒(méi)有實(shí)根DIST例2解不等式2x解因?yàn)閍Δ解得x1=-12,x2=1例3解不等式3x解因?yàn)閍Δ解得x所以-例4不等式ax2+abx+b>0的解集是解若a=0,原不等式即為b>若a≠0,二次函數(shù)y=ax2+abx+b的圖像與x考慮a>0(圖2.1(a)),當(dāng)2<x<3時(shí),有考慮a<0(圖2.1(b)),當(dāng)2<x<3,y=ax2+abx+b>0圖2.1例5解不等式5x解原不等式等價(jià)于5所以不等式的解為0≤評(píng)注對(duì)形如a<x<b的“兩邊夾”不等式,它等從以上例題可看出,在解一元二次不等式時(shí)都是借助二次函數(shù)的圖像,“看圖說(shuō)話”得出解集的.這種利用圖像解決問(wèn)題的主意,叫作圖像法.下面我們研究一元二次不等式與它的解集之間的邏輯.為此,設(shè)一元二次不等式的普通形式是a為決定起見(jiàn),可令a>0.倘若a<0,可將不等式的兩邊同乘以(1)倘若Δ=b2-4ac>0,二次三項(xiàng)式ax2+bxa(1.1)或a(1.2)由式(1.1),可得x或x所以ax2+bx+c>0此時(shí),我們注重二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)a>0和二次三項(xiàng)式的符號(hào)ax2+bx+c>0,都是正的;倘若原不等式的二次項(xiàng)系數(shù)a<0,原不等式也是ax2+bx+c<0,都是負(fù)的.由式(1.2),可得x或x所以ax2+bx+此時(shí),我們同樣注重到二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)和二次三項(xiàng)式的符號(hào)相反,其不等式的解集在兩根之間.于是,我們得出ax2+bx+c>0或ax首先,求出二次三項(xiàng)式的兩根x1,x2,第二,看見(jiàn)二次項(xiàng)系數(shù)a與二次三項(xiàng)式的符號(hào):同號(hào)兩根之外,異號(hào)兩根之間.最后,就可直接寫(xiě)出不等式的解集來(lái).評(píng)注解此類不等式的過(guò)程中,固然首先計(jì)算出Δ=b2-4ac>0,利用不同的主意(因式分解、配方、求根公式)求出兩根x1,x2.但詳細(xì)計(jì)算和求法過(guò)程可以不必寫(xiě)出,只寫(xiě)出兩根的求得結(jié)果即可.倘若不等式是不小于或不大于的符號(hào)時(shí),(2)倘若Δ=b2-4ac=0,二次三項(xiàng)式ax2+bx+c=ax+b2a2,而x+b2a2≥0,當(dāng)x≠-b2a時(shí),x+b2a2恒為正數(shù).倘若a>0,則ax+b2a2>0對(duì)于x所以,ax2+bx+c>0或ax2+倘若二次項(xiàng)系數(shù)a與二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的符號(hào)同向,解集是x≠-b2a的所有實(shí)數(shù)(3)倘若Δ=b2-無(wú)實(shí)根存在.此時(shí)a因?yàn)閤則4當(dāng)a>0a當(dāng)a<0a此時(shí),依然由二次項(xiàng)系數(shù)a與二次三項(xiàng)式的符號(hào)的相同或相反來(lái)決定不等式的解集.當(dāng)二者相同時(shí),其解集為全體實(shí)數(shù);當(dāng)二者相反時(shí),其解集為空集.上述三個(gè)方面的研究,是從判別式和式子的推算而得出結(jié)論的.倘若這種研究與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像特征結(jié)合起來(lái)看,更能直觀地得出同樣的結(jié)論.這里異常需要注重的是:同向和異向是指二次項(xiàng)的系數(shù)a的正、負(fù)符號(hào)和二次三項(xiàng)式的值的正、負(fù)符號(hào),都用不等號(hào)“>”或“<”表示,而視其方向同大于或同小于謂之同向,例6解不等式:(1)ax(2)x2解(1)因?yàn)棣?當(dāng)Δ=41-a1+a>0,即-1<a<x1)當(dāng)0<a<1時(shí),因?yàn)閍>0,所以x1<x2,2)當(dāng)-1<a<0時(shí),因?yàn)閍<0,所以x當(dāng)Δ=41-a1+a=0,1)當(dāng)a=1時(shí),有x+12>0,同向2)當(dāng)a=-1時(shí),有x-12當(dāng)Δ=41-a1+a<0時(shí):當(dāng)a>0時(shí),另外,當(dāng)a=0時(shí),原不等式變?yōu)?x>0,此時(shí),不(2)由x==此時(shí)Δ=當(dāng)m≠1±2時(shí),有Δ>1)當(dāng)m<1-2或m12)當(dāng)1-2<m<0和m當(dāng)m=1±2時(shí),有Δ=例7求滿意下列不等式組的整數(shù)xx(1.3)(1.4)解由式(1.3),得x所以-由式1.4,得2所以x它們的公共部分為(圖2.2)-所以所求整數(shù)x=-圖2.2例8若不等式組x(1.5)(1.6)的整數(shù)解惟獨(dú)-2,則k應(yīng)取怎樣的值?解由式(1.5),得x故x(1.7)又因?yàn)閤=-2滿意式2所以k(1.8)由式1.6,得x結(jié)合式(1.8),故有-(1.9)要使式(1.7)與(1.9)的公共部分為整數(shù)惟獨(dú)-2,如圖2.3所示,所以-2<-k≤3圖2.3評(píng)注在解不等式組時(shí),倘若在同一條數(shù)軸上分別標(biāo)出各個(gè)不等式的解集,那么它們的交集(即不等式組的解集)就一目了然了.例9p為什么實(shí)數(shù)時(shí),x7的兩根α和β分離滿意0<解令y因a=7>0,0<α<f于是有f即p從而-2<p<-1圖2.4例10關(guān)于x的方程x的兩根均大于2,求實(shí)數(shù)m的范圍.解因a=1>0,兩根均大于f的圖像的位置必如圖2.5所示,此時(shí)必須滿意Δ即m解之得-5圖2.5評(píng)注在研究一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí),普通是利用二次函數(shù)的圖像,轉(zhuǎn)化成解一次或二次不等式組得出結(jié)果.三、一元高次不等式形如fx=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+?+an-1x+an>0(或<0)的不等式解一元高次不等式,通常用分析的主意或列表的主意.例11解不等式x解原不等式即為x因?yàn)閤恒成立,所以不等式的解集為R.例12解不等式x解把各因式的根按從小到大的順序羅列,可得下表:各因式根的符號(hào)因式x-++++x--+++x++x+x+2+-+-+由上表可知,原不等式的解是-2<x<-1評(píng)注對(duì)于次數(shù)較低有實(shí)根的不等式(指對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式有實(shí)根),用列表法還是較為簡(jiǎn)便的.但是,對(duì)于次數(shù)較高的不等式,列表法就顯得很繁瑣了.按照多項(xiàng)式的理論,一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)必然可以分解到不可再分為止,成為一次因子和二次因子之積,每個(gè)因子可以是單重的或多重的.設(shè)實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式為fxx其中pi定理2.1若實(shí)系數(shù)一元n次多項(xiàng)式f(1.10)沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則(1)不等式fx>0的解集為R;(2)不等式fx<證實(shí)由實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理知,n必為偶數(shù).令n=2f對(duì)于x2+pjΔ所以x恒成立,故a恒成立.因此不等式fx>0的解集為R,不等式fx<定義2.1若φx=x-xknk,則稱φx有nk定理2.2若實(shí)系數(shù)一元n次多項(xiàng)式f有k個(gè)相異的實(shí)根x1,x2,?,xk,這k個(gè)實(shí)根分(-∞,+∞)為k+1個(gè)開(kāi)區(qū)間,則(1)在最右一個(gè)開(kāi)區(qū)間,即xk,+∞內(nèi),fx為正;2fx在每個(gè)奇(證實(shí)用fx=i=0naixia0>0,ai為實(shí)數(shù))的所有k個(gè)相異實(shí)根排成遞增序列,并且在左右兩端分離寫(xiě)-∞和+∞.如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解fxf其中g(shù)x是fx的所有有實(shí)根的一次因子的連乘積,φx是fx的所有沒(méi)有實(shí)根的二次因子的連乘積.因φx恒正,故fxg(1.11)這里nj為根的重?cái)?shù),顯然k(1)在開(kāi)區(qū)間xk,+∞內(nèi),式(1.11)的各因子均為正,故gx(2)隨意考察一個(gè)根xjj=1,2,3,?,k,若xj是奇重根,則知一次因子x-xj在xj的右鄰開(kāi)區(qū)間內(nèi)為正,在xj的左鄰開(kāi)區(qū)間內(nèi)為負(fù).因?yàn)閚j為奇數(shù),所以x-xjnj在xj的相鄰兩區(qū)間內(nèi)有相反的符號(hào),而gx的其余各因子中的每一個(gè)一次因子在xj的左右鄰開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)無(wú)變化,所以gx在奇重根類似地研究,得fx在偶重根的左鄰和右鄰開(kāi)區(qū)間內(nèi)有相同的符號(hào).證畢因?yàn)閒x在奇重根、偶重根的左鄰和右鄰開(kāi)區(qū)間內(nèi)分離有相反、相同的符號(hào),因此,奇重根也叫作變號(hào)根,偶重根也叫作保號(hào)根倘若我們知道了多項(xiàng)式所有的根的特性(保號(hào)根或變號(hào)根),就可以畫(huà)出反映這個(gè)多項(xiàng)式符號(hào)的暗示圖來(lái).這個(gè)圖叫作多項(xiàng)式的符號(hào)圖.例13畫(huà)出多項(xiàng)式f的符號(hào)圖.解多項(xiàng)式有四個(gè)根:-3,0,1,3,其中0,1是保號(hào)根,-3,3是變號(hào)根.在數(shù)軸上標(biāo)出由定理2.2知,當(dāng)x∈3,+∞時(shí),fx>0,故畫(huà)一條曲線從右上方與數(shù)軸相遇,再按從右到左的方向,圖2.6例14研究函數(shù)y的值何時(shí)為正,何時(shí)為負(fù).解多項(xiàng)式的根是-5,-2,1,4,7,其中保號(hào)根是-2,7,變號(hào)根是-5,1,4.多項(xiàng)式的符號(hào)圖如圖2.7所示,由此圖知,當(dāng)圖2.7例15解不等式-解不等式兩邊同乘以-1,得x-2,-1,0,1由圖可知,不等式的解集是x∈圖2.8例16解不等式1解對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式的根為-12,3,72.由圖2.9可知,不等式的解為圖2.9例17解不等式3解對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式的奇重根(變號(hào)根)為-43,1,32,偶重根(保號(hào)根)為-1.由圖2.10可知,不等式的解為x圖2.102.2分式不等式分母中含有未知數(shù)的不等式叫作分式不等式.解分式不等式(這里指鄭重不等式)的理論根據(jù)是不等式的同解原理(見(jiàn)第1章1.4節(jié)),即f或f于是,解分式不等式的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為解整式不等式的問(wèn)題.例1解不等式2解原不等式等價(jià)于x由圖2.11可知,原不等式的解集為x<-5或-1圖2.11例2解不等式1解把原不等式變?yōu)?即x從而原不等式?x2-4x+8x+2x-2>0由圖2.12可知圖2.12例3解不等式4x解把原不等式變?yōu)?即4所以x由圖2.13可知,不等式的解集為-1<x<1評(píng)注解分式不等式時(shí),普通應(yīng)回避使用“去分母”這一個(gè)步驟.因?yàn)樵谌シ帜笗r(shí),不等式兩邊要同乘以一個(gè)含x的式子.這個(gè)式子是正還是負(fù),必須分離討論.既然如此,這個(gè)主意固然不宜采用.因此,解分式不等式時(shí),普通是先移項(xiàng),使不等式的右邊為零,再將左邊通分,然后得到一個(gè)與它等價(jià)的整式不等式,從而獲解.圖2.13例4解不等式x2解原不等式變?yōu)閤由圖2.14可知,不等式的解集為-2<x<0或0圖2.14例5解不等式x2解x?由圖2.15可知,不等式的解集為-7<x<-2或0<例6解不等式1x圖2.15解把原不等式變?yōu)閤即x因?yàn)閤所以原不等式故x≤2且評(píng)注普通地,分式不等式f(或<0)等價(jià)于不等式組f對(duì)于一個(gè)非鄭重不等式Fx≥0,它等價(jià)于Fx>0或Fx=0.這就是說(shuō),一個(gè)非鄭重不等式的解集是與之相應(yīng)的鄭重不等式的解集和方程的解集的并集f例7解不等式x2解把原不等式變?yōu)閤?(2.1)(2.2)由式2.1,得-4≤x≤-2由式(2.2),得x≠-2且綜合得-4<x<-2或2≤x評(píng)注消去不等號(hào)兩邊的分式,得到的不等式與原不等式不一定同解.這時(shí)還要添上一個(gè)使得分式的分母非零的不等式,即f2.3無(wú)理不等式根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式叫作無(wú)理不等式.對(duì)于無(wú)理不等式,通常是先把不等式的兩邊同時(shí)乘方,變成有理不等式再求解.本節(jié)主要研究含二次根號(hào)的一元無(wú)理不等式的解法.對(duì)于這類不等式,普通要把兩邊同時(shí)平方.而不等式兩邊平方以后,不但可能使不等式產(chǎn)生增解,而且也可能使不等式發(fā)生遺解.為什么會(huì)發(fā)生這些情況呢?緣故是不等式兩邊平方后得到的新不等式未必與原不等式同解.在什么情況下,不等式兩邊平方后得到的新不等式與原不等式同解呢?我們有如下定理.定理2.3當(dāng)a>0時(shí),不等式fx<a與不等式組fx<a2fx≥0同解;當(dāng)證實(shí)當(dāng)a>0時(shí),設(shè)不等式fx<a的解集為M,不等式組f任取x1∈M,則fx1<a,故再取x2∈N,則0≤fx2<a因此M=N,即不等式fx<a與不等式組當(dāng)a<0時(shí),由fx≥0知定理2.4(1)當(dāng)a>0時(shí),不等式fx>a與不等式組(2)當(dāng)a=0時(shí),不等式fx>a與不等式(3)當(dāng)a<0時(shí),不等式fx>a與不等式證實(shí)類似于定理2.3,故從略.定理2.5不等式fx<f同解.證實(shí)設(shè)不等式fx<gx的解集為M,不等式gx>0,f任取x1∈M,則fx1<gx1.f即x∈又任取x2∈f故fx2<gx2,即x2定理2.6不等式fx>f同解.證實(shí)設(shè)不等式fx>gx的解集為M;又設(shè)fx>0的解集為A;fx=0的解集為B;M任取x1∈M,則fxf所以x=所以M又任取x2∈f所以x2∈M,即再任取x3∈f所以x3∈M,即A因此M定理2.7不等式fx?f同解.證實(shí)類似于定理2.6,故從略.評(píng)注從定理2.3定?理2.7可以看出,解關(guān)于二次根式的不等式時(shí),所遵循的原則是:(1)解不等式是在其定義域上舉行的,根號(hào)內(nèi)的式子應(yīng)非負(fù);(2)二次根式表示非負(fù)數(shù);(3)不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)時(shí),才干施行平方變形.例1解不等式x+解考慮不等式的定義域,有x≥02x-1≥0,所以x≥12.在定義域x?x≥x(3.1)(3.2)現(xiàn)將區(qū)間12,+∞分成兩個(gè)子區(qū)間12(1)當(dāng)12≤x≤2左邊所以不等式(3.2)無(wú)解.(2)當(dāng)x>2時(shí),有2x>0,x解得x>例2解不等式x-解原不等式的定義域?yàn)?≤x≤92現(xiàn)將區(qū)間5,9分成兩個(gè)子區(qū)間5,(1)當(dāng)5≤x≤152顯然無(wú)解.(2)當(dāng)152<x≤2解得14例3解不等式x2解考慮不等式的定義域,有x所以x≤-2或xx上式兩邊平方,得2現(xiàn)將區(qū)間-∞,-2]∪[-1,+∞劃分成三個(gè)(1)當(dāng)x∈(-∞,-2]∪-x恒正,故不等式2x<x2-x+1顯然成立,(2)當(dāng)x∈0,+∞2兩邊平方,得3所以-結(jié)合此時(shí)條件x>0,得對(duì)(1)與(2)的解集求并集,所以原不等式的解集為x普通地,在解含有兩個(gè)無(wú)理式的不等式fx+gx+c?0時(shí),首先要決定這個(gè)不等式的定義域,再按照需要把定義域分成幾個(gè)子區(qū)間,然后在這些子區(qū)間上對(duì)不等式例4解不等式x+解不等式的定義域?yàn)閤≥2x在定義域上不等式兩邊均非負(fù).上式兩邊平方,得2再次兩邊平方,得4所以x結(jié)合不等式的定義域x≥2,有x例5解不等式x+解不等式的定義域?yàn)閤≥2.把原不等式兩邊平方6現(xiàn)將定義域區(qū)間[2,+∞)分成兩個(gè)子區(qū)間[2(1)當(dāng)2≤x<66兩邊均非負(fù),兩邊平方,得3所以23(2)當(dāng)6≤x<+∞6的左邊小于或等于0,右邊大于0,不等式顯然成立,故6≤對(duì)(1)與(2)的解集求并集,原不等式的解集為x普通地,在解含有三個(gè)無(wú)理式的不等式時(shí),仍按“逐次平方,同解變形”的原則處理.例6解不等式4x解原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組解集的并集:(1)x4(2)x4由(1),得x或x所以x由2,得x解之得x∈?故原不等式的解為x例7解不等式32解不等式的定義域?yàn)閤≥13上式兩邊取立方,得2即2在定義域上,這個(gè)不等式兩邊均非負(fù),兩邊平方,得x所以x因此1<x<2例8解不等式24解不等式的定義域?yàn)閤≥34所以4x-3>1或4x-例9解不等式6x解令412x1所以t故t所以12解得2<例10解不等式x+解不等式的定義域?yàn)閤≥0x上式兩邊平方,得3在定義域內(nèi)此不等式恒成立,故不等式的解集為{x普通地,在解非二次根式的無(wú)理不等式時(shí),依然遵循解二次根式不等式的原則,把無(wú)理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式來(lái)求解.2.4指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式一、指數(shù)不等式指數(shù)里含有未知數(shù)的不等式叫作指數(shù)不等式,形如ax>b或ax<解基本指數(shù)不等式的理論按照是指數(shù)函數(shù)y=a(1)當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=ax是增函數(shù),這時(shí)任取x1,x2∈R,若x1<x(2)當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=ax是減函數(shù),這時(shí)任取x1,x2∈R,若x1<下面我們研究不等式ax>b(1)當(dāng)a>1,b>0時(shí),原不等式即為ax(2)當(dāng)0<a<1,b>(3)當(dāng)a>0,b<0時(shí),因這樣我們可以得到基本指數(shù)不等式的解集,如下表:不等式解集條件aaa>1log-∞0<a-∞loga>0R?例1解不等式0.2x解原不等式變形為1所以原不等式等價(jià)于3解之得x<-1或x>1例2解不等式3x解原不等式即為9?所以0≤評(píng)注對(duì)于形如afx<agx的指數(shù)不等式,普通是利用指數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性,把它變?yōu)榇鷶?shù)不等式fx<gx或例3解不等式2x解把原不等式變?yōu)??-故x>評(píng)注對(duì)于形如afx<bgx的不等式,普通利用兩邊取對(duì)數(shù)的主意例4求不等式4<的整數(shù)解.解原不等式即為16<即4令2x-t所以-2<t<8,即0評(píng)注對(duì)于形如afx2+p?a例5解不等式x2解原不等式即為x它的解集是下面的兩個(gè)不等式組解集的并集:(1)x>(2)0<由(1),得x>16,由(2),得0<x<1.所以原不等式的解為評(píng)注當(dāng)fx>0時(shí),形如fxg(1)fx(2)0<再求它們的解集的并集.二、對(duì)數(shù)不等式在對(duì)數(shù)符號(hào)后面含有未知數(shù)的不等式叫作對(duì)數(shù)不等式.形如logafx>b或logaf解對(duì)數(shù)不等式時(shí),要異常注重不等式的定義域.例如不等式log當(dāng)a>1時(shí),它等價(jià)于不等式組當(dāng)0<a<1時(shí),這里實(shí)際上還用到了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.就是當(dāng)a>1時(shí),y=logax是增函數(shù),若logax1>logax2,則x1>x2>0;當(dāng)例6解不等式log解原不等式的定義域?yàn)閤所以0(4.1)把原不等式變?yōu)閘og由此得x即2所以x(4.2)綜合(4.1)與(4.2),得0<x<12評(píng)注對(duì)形如logafx>logagxlog或者log例7解不等式log9解把原不等式變?yōu)閘og它等價(jià)于log所以1即10解之,得log評(píng)注對(duì)于含有多層對(duì)數(shù)符號(hào)的對(duì)數(shù)不等式,應(yīng)該從外到內(nèi)一層一層地去掉對(duì)數(shù)符號(hào).例8解不等式2log解考慮原不等式的定義域,有l(wèi)og所以x>1log故log所以log即log亦即log解之,得-6<log3x≤-log3所以,原不等式的解為x≥評(píng)注有些對(duì)數(shù)不等式可以用換元法把它變成代數(shù)不等式來(lái)解,就能得到基本對(duì)數(shù)不等式.三、底元對(duì)數(shù)不等式有一類對(duì)數(shù)不等式,其中對(duì)數(shù)的底數(shù)含有未知數(shù),甚至底數(shù)和真數(shù)都含有未知數(shù),例如loggxN>b和loggxfx下面我們研究底元對(duì)數(shù)不等式loggxfx>首先,考慮定義域,有g(shù)再考慮對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.那么,應(yīng)該就gx>1和0<gx<1兩種情況(1)fx(2)fx例9解不等式2log解原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組解集的并集:(1)log3(2)0<由(1)解得x>39,由(2)解得1<x<3.對(duì)上述解集求并集,得例10設(shè)x為整數(shù),且2<logx30<解因?yàn)閘ogx30>2>0,所以log所以x2<30<x3,解之得330<x<30.又因例11解不等式logkx解應(yīng)用換底公式,把原不等式變?yōu)閘g所以3因?yàn)?lg2x+3lglg由0<k<1知lgk<lgx>-lgk,解之得0<x四、冪指數(shù)不等式形如gxfx?a的不等式,它的底數(shù)、指數(shù)里都含有未知數(shù),我們把這一類不等式叫作冪指數(shù)不等式.解這類不等式,普通是用兩邊取對(duì)數(shù)的f或f這樣就轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)不等式了.例12解不等式xlog解把原不等式兩邊平方,得x上式兩邊取對(duì)數(shù),得log解之得log2x<-2或log2x>2,例13解不等式a2解當(dāng)a>1時(shí),原不等式兩邊取對(duì)數(shù)2即2解得logax<12或logax>4當(dāng)0<a<1時(shí)2即2解得12<logax例14解不等式x解原不等式兩邊取以0.5為底的對(duì)數(shù),得1收拾,得log從而解得-所以1即得18五、指對(duì)數(shù)不等式有一類指數(shù)不等式,它的指數(shù)里含有對(duì)數(shù)未知元,這種不等式叫作指對(duì)數(shù)不等式.解這類不等式,主意同于解普通的指數(shù)不等式.例15解不等式2log解原不等式等價(jià)于log它等價(jià)于下面的兩個(gè)不等式組log解得x>1或例16解不等式x2解原不等式兩邊同乘以x>0x不等式的解集是下面兩個(gè)不等式解集的并集:(1)x>(2)0<由1,得x>1-3<log2x<1,即1<x<2,由2,得0<x<例17解不等式log0.3解原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組解集的并集:(1)log0.3(2)log0.3由(1)解得2<x<3,由(2)解得x>4.所以,原不等式的解為例18解不等式log解考慮原不等式的定義域,有l(wèi)og所以x因此x∈把原不等式變?yōu)閘og所以log(4.3)或log(4.4)由式(4.3),得-由式(4.4),得x所以,原不等式的解集為(-∞,-∪[-2.5絕對(duì)值不等式含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式叫作絕對(duì)值不等式.不等式x?aa>0,a<x<b0定理2.8(1)x2(2)x2>a2?(3)a<x<b0<a評(píng)注利用關(guān)于基本絕對(duì)值不等式的同解原理(定理2.8)是解決一些最容易的絕對(duì)值不等式的常用主意.例1解不等式x>解原不等式的兩邊非負(fù),同時(shí)平方得x所以x<-例2解不等式x+解當(dāng)x-3≤0時(shí),不等式顯然無(wú)解x故原不等式的解集為空集.評(píng)注兩邊平主意,這也是解絕對(duì)值不等式的一種有效的主意.不過(guò),這時(shí)要審查不等式兩邊是否同時(shí)非負(fù),須要時(shí)還需舉行研究.例3解不等式x-解因?yàn)閤所以原不等式等價(jià)于x于是不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組解集的并集:(1)x≥(2)x<由(1)解得x∈?,由(2)解得1<x<3.故原不等評(píng)注有些不等式不便于用平主意去掉絕對(duì)值符號(hào),那么就要用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)得到普通的不等式.例4解不等式x+解如下表:-∞-2x-++x--+原不等式的解集是下面的三個(gè)不等式組解集的并集:(1)x<-(2)-7(3)x≥由(1)解得x<-7,由(2)解得-7≤x<2,由(3)解得評(píng)注對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,通常是利用絕對(duì)值的意義將絕對(duì)值符號(hào)去掉,化成普通的不等式來(lái)解.為此,先求出各個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn),這些零點(diǎn)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就把數(shù)軸劃分成若干個(gè)區(qū)間.再就每個(gè)區(qū)間舉行研究,分離將絕對(duì)值符號(hào)去掉.我們看到,用絕對(duì)值的意義把絕對(duì)值符號(hào)去掉來(lái)解不等式,這種主意是樸素的,但偶爾顯得比較瑣碎麻煩.下面我們給出一種簡(jiǎn)便主意.定理2.9(1)fx<g(2)fx>gx?這里只給出定理中情形(1)的證實(shí),情形(2)的證明類似,故從略.證實(shí)當(dāng)gx≤f都是矛盾不等式,故它們的解集都為?,因此f當(dāng)gx>0時(shí),由絕對(duì)值不等式的同解原理(定f實(shí)際上,定理2.9是對(duì)定理2.8的推廣.例5解不等式xx解原不等式等價(jià)于-由-x-1x+1<xx+1得-2x+1x+1<0,所以x<-1評(píng)注利用定理2.9解不等式,可以省去分段討論的過(guò)程.例6解不等式x2解原不等式變?yōu)閤?(5.1)(5.2)由不等式(5.1),得x即x或x解之得x<1或x<0或x>1,即x由不等式(5.2),得x即x或x解之得-1<x<2或x所以,原不等式的解集為{x∣x<1或例7解不等式x2解原不等式等價(jià)于x(5.3)或x(5.4)由式(5.3),得2所以2解之,得x所以x∈?由式(5.4),得2所以-故得4所以,原不等式的解集為{={評(píng)注利用廣義絕對(duì)值不等式同解原理(即定理2.9)解形如fx±gx?φx的不等式,顯得這對(duì)于形如ax+b?cx+d的不等式,求解普通方法是把它變?yōu)榈葍r(jià)的兩個(gè)不等式組(見(jiàn)定理2.6).如果令ax+b=u2u例8解不等式loga解令logax-1=u2,u???-?所以,當(dāng)a>1時(shí),有a≤x<a2;當(dāng)對(duì)于一些異常的不等式,還可以用更簡(jiǎn)捷的主意來(lái)解.定理2.10設(shè)不等式的定義域?yàn)镸,對(duì)于任何x∈M,都有ff證實(shí)由定理2.9知f其中fx<-gx與題設(shè)條件ff定理2.11設(shè)不等式的定義域?yàn)镸,對(duì)于任何x∈M,都有ff證實(shí)由定理2.9知f由已知fx+gf例9解不等式x<解因?yàn)閤x所以原不等式等價(jià)于x即x解得3定理2.12設(shè)不等式的定義域?yàn)镸,若存在常數(shù)m≥n>0,使得對(duì)任何mf則f證實(shí)先證實(shí)fx>gx的解必為fx若fx>g(1)fx(2)fx(3)0≥在情形1與2中顯然有fx>gx成立.在情形3中,由0≥fmf但這與已知mfx+ngx≥再證實(shí)fx>gx的解必為若f(5.5)且有mf(5.6)注重到m≥nm(5.7)倘若fx<0,-即mf但這與式(5.6)矛盾,故知fx≥0.這樣式(5.5)可寫(xiě)成fx>gx,這就表明fx>定理2.13設(shè)不等式的定義域?yàn)镸,若存在常數(shù)m>n>0,使得對(duì)于任何mf則f證實(shí)顯然fx<gx的解必為fx<gx的解.下面證實(shí)fx若f(5.8)且當(dāng)m>n>0mf(5.9)由式(5.8)和(5.9),知m>所以fx于是式(5.8)可寫(xiě)成fx<gx,這表明fx<gx例10解不等式x2解原不等式的定義域?yàn)镽.對(duì)于任何x∈R,都3由定理2.12知,原不等式同解于x解之得x<-1或例11解不等式x2解原不等式可以改成x因?yàn)?由定理2.13知x又因4所以,原不等式等價(jià)于x解得1<2.6三角不等式含有未知數(shù)的三角函數(shù)的不等式叫作三角不等式.一、基本三角不等式若Tx表示基本三角函數(shù)sinx,cosx,tanx,cotx中的一種,則不等式Tx因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù),而且在同一個(gè)周期內(nèi)自變量與函數(shù)之間不一定是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,所以不能像解對(duì)數(shù)不等式那樣處理.因?yàn)槿呛瘮?shù)具有周期性,因此解三角不等式時(shí),只要先求出它在某一個(gè)基本周期內(nèi)的解,那么它的解集就容易得到了.怎樣求基本三角不等式在一個(gè)周期內(nèi)的解呢?下面我們推薦三角函數(shù)線法和三角函數(shù)圖像法.1.三角函數(shù)線法例1解不等式(1)sinx≤-1解(1)作正弦為-12的角的終邊OP1,OP2,在-3π2,π22(2)作正弦為-12的角的終邊O-π2,3π2內(nèi)O2.16(b)所示,所以不等式的解為2圖2.16例2解不等式sinx解作正弦為34的角的終邊OP1,OP2,在-3π2,π2內(nèi)2例3解不等式(1)cosx>3解(1)作余弦為32的角的終邊OP1,OP2(圖2.18(a)),在[-π,π6,2圖2.17(2)作余弦為32的角的終邊OP1,OP2(圖2.18(b)),在[0,2π)2圖2.18例4解不等式(1)tanx≤3解(1)作正切為3的角的終邊OT(圖2.19(a)),在-π2,π2內(nèi)OBkπ(2)作余切為-1的角的終邊OS,在0,π內(nèi)OS,OA'表示的角是3πkπ圖2.19評(píng)注從例1至例4看出,利用三角函數(shù)線解基本三角不等式Tx?a(1)利用三角函數(shù)線作出角x的終邊,使得T(2)在一個(gè)基本周期內(nèi),找出終邊所對(duì)應(yīng)的角α和β(對(duì)于正、余切不等式,α和β中有一個(gè)取為周期區(qū)間的界值).普通來(lái)說(shuō),選定區(qū)間的情況如下表所示:第2章不等式的解法(a<1a<1半年扇形區(qū)域圖2023年年2023年年選取區(qū)間cosa<1半年〉六扇形區(qū)域圖[-L’19選取區(qū)間第2章不等式的解法cottan主金光北扇形區(qū)域圖(14,010)(2,171)選取區(qū)間(3)在單位圓中作出扇形區(qū)域圖,在選定的區(qū)間內(nèi)決定不等式的解α<(4)按照三角函數(shù)的周期,對(duì)α,β分離加上基本周期的k倍,即加上2kπ或kπk∈Z,這樣就得到了三角不等式的全體解(即解集){x2.三角函數(shù)圖像法解基本三角不等式,還可以用三角函數(shù)圖像法.所謂三角函數(shù)圖像法,就是先作出三角函數(shù)在某一個(gè)長(zhǎng)度為基本周期的區(qū)間內(nèi)的圖像,“看圖說(shuō)話”,找出不等式在這個(gè)區(qū)間的解,再得到不等式的全體解.至于選定哪一個(gè)區(qū)間,可參看前面評(píng)注中的表格.例5利用三角函數(shù)圖像解不等式:(1)sinx(2)sinx(3)cosx(4)cosx(5)tanx(6)cotx解分離作出yyyyyy的圖像.由圖可知,不等式的解列表如下:不等式在一個(gè)周期內(nèi)的圖像不等式的解sin2kπ-5πsin2kπ-π6cos2kπ+π續(xù)表〉不等式在一個(gè)周期內(nèi)的圖像不等式的解cos2kπ-π6tankπ-π2<cotkπ<x≤評(píng)注用三角函數(shù)圖像法解基本三角不等式時(shí),選取恰當(dāng)?shù)膮^(qū)間是很重要的.否則,所得的解集從形式上就會(huì)較為棘手.例如對(duì)于解不等式sinx≤-12,如果挑選區(qū)間-集是(圖2.20)x2這個(gè)結(jié)果顯然沒(méi)有以區(qū)間-3π2,π圖2.20普通地,基本三角不等式的解集如下表所示:不等式在一個(gè)周期內(nèi)的圖像不等式的解sinx<在-3π2,π22k-1πsinx>在-π2,32kπ+arcsina<x<cosx<在[0,2π)2kπ+arccosa<續(xù)表不等式在一個(gè)周期內(nèi)的圖像不等式的解cosx>在[-π,π)2kπ-arccosatan在-π2,πkπ-π2tan在-π2,πkπ+arctanacot在0,π內(nèi)kπ+arccota<cot在0,π內(nèi)kπ<x二、普通的三角不等式有些容易的三角不等式,可以通過(guò)三角恒等變形或者利用解代數(shù)不等式的主意,把它化成一個(gè)或幾個(gè)基本的三角不等式來(lái)求解.解含有復(fù)角的三角不等式,可以先把復(fù)角看作是一個(gè)整體,用解基本三角不等式的主意決定這個(gè)復(fù)角的范圍,再得出原不等式的解集.例6解不等式(1)sinx>sin--cos解(1)作表示sin40°的正弦線(圖2.21(a)),在區(qū)間-90°,270°內(nèi),終邊k(2)原不等式即cosx作表示cos144°的余弦線(圖2.21(b)),在0°,360°內(nèi),終邊OP1,Ok圖2.21評(píng)注對(duì)于形如Tx∨Ta的三角不等式,可又如圖2.22知,sin2xkπ例7解不等式4解把原不等式變?yōu)?解得22由圖2.23知2或2圖2.22圖2.23例8解不等式cosx解把原不等式變?yōu)閏os即cos解得-由圖2.24知,60°<x<arccos或240°<x<270圖2.24例9解不等式2sin解原不等式等價(jià)于sin即0所以-由圖2.25知kπ所以2圖2.25評(píng)注在解三角不等式時(shí),三角變形和代數(shù)變形往往是同時(shí)舉行的.例10解不等式組cosx解因?yàn)閏osx≤32,(1)0<cos(2)cosx(3)-1由(1),得(圖2.26)2或2由2,得x由(3),得(圖2.27)2對(duì)不等式組1～3的解集求并集2或2圖2.26圖2.27評(píng)注關(guān)于正余弦的齊次不等式,把它化成關(guān)于正切的不等式時(shí),要對(duì)余弦值就三種情況舉行研究,這三種情況是:余弦值為正數(shù)、零和負(fù)數(shù).因此解這種不等式比相應(yīng)的三角方程要復(fù)雜一些.例11求函數(shù)y=cos2解考慮定義域,有cos(6.1)(6.2)由式(6.1),得2即kπ由式(6.2),得3即3所以-解之得kπ對(duì)式(6.1)與(6.2)的解集求交集,由圖2.28知不等式的解為kπ評(píng)注作扇形區(qū)域圖是求三角不等式解集的交集或并集的一種簡(jiǎn)便實(shí)用的主意.例12解不等式sinx解原不等式等價(jià)于sin即sin第2章不等式的解法圖2.28所以,0≤sinx<-2或2例13解不等式22解原不等式等價(jià)于2即2亦即cos結(jié)合考慮cosx≤1,有kπ評(píng)注解關(guān)于三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的不等式fTx∨0時(shí),可把三角函數(shù)Tx看成一個(gè)變?cè)蟪隼?4解不等式cotx解顯然x≠π2,故原不等式的解集是下面兩個(gè)(1)0<(2)π2由(1),得0<由2,得arccos1所以,原不等式的解為0例15解不等式sinx解對(duì)不等式分如下幾點(diǎn)求解.(1)當(dāng)2kπ≤x≤2kπ不等式即為sinx>cosx,所以2(2)當(dāng)2kπ+π2<x≤2k+1π時(shí),sinx≥2(3)當(dāng)2k+1π<x≤2kπ+3π2時(shí),sinx2(4)當(dāng)2kπ+3π2<x<2k+1π時(shí),sinx2對(duì)1～4的解集求并集2評(píng)注解含有絕對(duì)值符號(hào)的三角不等式時(shí),普通要分象限對(duì)原不等式舉行研究.2.7反三角不等式在反三角函數(shù)符號(hào)后面含有未知數(shù)的不等式叫作反三角不等式.解反三角不等式的基本思路是去掉反三角函數(shù)符號(hào),變成與原不等式等價(jià)的普通不等式來(lái)解.例1解不等式arcsin-解原不等式等價(jià)于-解得-1評(píng)注解反三角不等式時(shí),倘若要去掉反三角函數(shù)符號(hào),那么必須考慮反三角函數(shù)的定義域和函數(shù)的單調(diào)性.例2解不等式arcsinx解原不等式等價(jià)于arcsin所以,-1例3解不等式arccosx解原不等式的定義域?yàn)?1(1)當(dāng)-1≤x≤0時(shí),不等式arccos(2)當(dāng)0<x≤1arccos即x<1-結(jié)合考慮0<x≤1,由1與2可知,原不等式的解為-1≤x例4解不等式arctanx解原不等式的定義域?yàn)閤∈R且(1)當(dāng)x<0時(shí),(2)當(dāng)x>0時(shí),由arctanx+arctan1x=π2知,原不等式可化為arctan1x≤π4,所以1x≤1,解得x<0或x≥1.結(jié)合考慮x評(píng)注解關(guān)于反三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)不等式時(shí),把反三角函數(shù)看作一個(gè)主元先求解.例5解不等式arccosx解原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組的解集的并集(1)-(7.1)(7.2)(7.3)(2)0(7.4)(7.5)(7.6)記(1)與(2)的解集分離為A,B.解式(7.1),得-1≤x<1,解式(7.2),得-34arccos式(7.3)是成立的,所以A=在式(7.4)的條件下0并且,有-再注重到函數(shù)y=sinx在-π2,π2上是增函數(shù),sin(7.7)由式(7.4),得1≤x≤3,所以(7.7)的兩邊同時(shí)平方,得sin即1解得4所以Bx=所以原不等式的解集為A=2.8羅列組合不等式羅列數(shù)、組合數(shù)符號(hào)后面含有未知數(shù)的不等式分別叫作羅列不等式、組合不等式.定理2.14n1證實(shí)n不等式·理論·主意(基礎(chǔ)卷)???例1解不等式A20解原不等式等價(jià)于2解得4<x≤8x例2解不等式Am解原不等式即為m即m解得m<1(舍去)或m>5,所以,評(píng)注解羅列不等式,利用定理2.14或羅列數(shù)的公式Amn=mm-1?(1)在正整數(shù)范圍內(nèi)求解;(2)在Amn中,在解組合不等式時(shí)也要注重上述兩點(diǎn).例3解不等式C解因CC所以原不等式等價(jià)于2(8.1)(8.2)由式(8.2),得1>所以,23-2n<2n,解得n>234.再結(jié)合考慮式普通地,關(guān)于組合不等式有如下的結(jié)論:定理2.15設(shè)0≤n1(1)Cm(2)Cm證實(shí)(1)由0≤n1<n2≤m,不妨設(shè)nC??<??(2)證實(shí)從略,留給讀者自己完成.例4解不等式C419解不等式的定義域是1≤x≤20,x∈Z.因x解得x=評(píng)注函數(shù)fx=Cmx的定義域是例5解不等式C105解原不等式即為C10518<C105(1)18<(2)18>解(1),得172<x<43,解(2),得x∈?.例6解不等式組C21解注重到n-4<nn所以n解得272<n≤22例7解不等式C21解原不等式等價(jià)于C(8.3)(8.4)不等式(8.3)等價(jià)于x或x解得192不等式(8.4)等價(jià)于23或23解得2≤x{例8解不等式C43解因x+2<x于43所以x解之得-所以-又因?yàn)閤+2為整數(shù)x2.9含參數(shù)的不等式解含有參數(shù)的不等式,普通要對(duì)參數(shù)舉行分類討論,分類是研究的前提與關(guān)鍵.下面著重談?wù)劮诸惖姆椒?并以此為線索研究含參數(shù)的不等式的解法.一、按未知項(xiàng)的系數(shù)符號(hào)分類因?yàn)榘巡坏仁絻蛇呁艘哉龜?shù)與同乘以負(fù)數(shù)所得的不等式的方向不同,偶爾含有未知數(shù)的最高項(xiàng)的系數(shù)可能為零,這個(gè)不等式的次數(shù)有變化,因此,我們常常對(duì)含有參數(shù)的未知項(xiàng)系數(shù)舉行研究.例1解不等式ax解(1)當(dāng)a=0時(shí),原不等式為一次不等式-2x+(2)當(dāng)a≠0時(shí),原不等式為二次不等式,其兩個(gè)根為1)當(dāng)a<0時(shí),x1>x2,所以2)當(dāng)0<a<1時(shí),x13)當(dāng)a=1時(shí),x1=x4)當(dāng)a>1時(shí),x1>x所以原不等式的解集為:當(dāng)a<0時(shí),當(dāng)a=0時(shí),當(dāng)0<a<1當(dāng)a=1時(shí),當(dāng)a>1時(shí),例2解不等式x2解原不等式移項(xiàng)、通分,得x(1)當(dāng)2a+1>x1)若-12<a<0,則2)若a=0,則x<03)若a>0,則x<-4a(2)當(dāng)2a+1<0,即x此時(shí)有6a<-4a,二、按對(duì)應(yīng)方程的根的大小分類倘若與不等式對(duì)應(yīng)的方程的根不止一個(gè),而且這些根的表達(dá)式里含有參數(shù),那么,決定這些根之間的大小順序關(guān)系,就成為解不等式的關(guān)鍵,也是我們分類討論的根據(jù).例3解不等式組m(9.1)(9.2)解由式(9.1)得,當(dāng)m>1時(shí),x>m-2m-1;當(dāng)m=1時(shí),x∈R;當(dāng)下面考慮式(9.1)與(9.2)解集的交集:(1)當(dāng)m>1時(shí)m所以m-2x(2)當(dāng)m=1時(shí),顯然有(3)當(dāng)m<1時(shí),若m>-12,x若m≤-12,則x綜上所述,原不等式的解為:當(dāng)m≤-12時(shí),x∈?;當(dāng)-m-2m-1;當(dāng)m評(píng)注含有參數(shù)的分式不等式,普通要化成不等式組來(lái)解.例4解不等式3x解由定理2.5可知,原不等式與下面的不等式組等價(jià)a(9.3)(9.4)(9.5)由式(9.3),得a>1.利用a>1x(9.6)把式(9.5)變形為a(9.7)或a(9.8)令a2-2a-2=0,得a1=1-3,a2=1(1)當(dāng)1<a<1+3時(shí),有x注重到a即a所以x∈?.此時(shí),方程組(9.8)x(9.9)又注重到a于是有a那么,對(duì)式(9.6)與(9.9)求交集,得a(2)當(dāng)a=1+3時(shí),有a-所以x∈?.此時(shí)方程組(9.8)-所以x(9.10)同時(shí),式(9.6)即為x(9.11)對(duì)式(9.10)與(9.11)求交集,得x≤-(3)當(dāng)a>1+3時(shí),有ax(9.12)注重到a對(duì)式(9.6)與(9.12)求交集,得x此時(shí)方程組(9.8)即為x(9.13)對(duì)式(9.6)與(9.13)求交集,得x≤-綜上所述,原不等式的解為:當(dāng)1<a<1+當(dāng)a=1+3當(dāng)a>1+3時(shí),x≤-評(píng)注對(duì)于含有參數(shù)的無(wú)理不等式,要按照2.3節(jié)中的有關(guān)定理,把它化為等價(jià)的有理不等式組,再進(jìn)行研究求解.三、在解指數(shù)不等式或?qū)?shù)不等式時(shí),要對(duì)其底數(shù)舉行研究例5解不等式xlog解(1)當(dāng)a>1時(shí),兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)2所以,logax<12或logax>4,解之得(2)當(dāng)0<a<1時(shí),兩邊取以a1所以a4例6解不等式xlog解(1)當(dāng)a>1時(shí),原不等式兩邊取對(duì)數(shù)log所以loga2x>2,即logax<-2或log(2)當(dāng)0<a<1時(shí)log所以-2<logax<四、當(dāng)不等式中浮上多個(gè)參數(shù)時(shí),更應(yīng)該慎重處理不等式中浮上多個(gè)參數(shù)時(shí),可以考慮將它們擴(kuò)散在一起,當(dāng)作一個(gè)參數(shù)處理.例7解不等式log≥解先求不等式的定義域-所以x(9.14)(1)當(dāng)m≥1時(shí),不等式組1即x∈?(2)當(dāng)0<m<1時(shí)0即0所以原不等式的定義域?yàn)?<1)當(dāng)0<a2-1<1,即-2-即2因?yàn)?<m<1,所以2m+1>0,故x≤mm和m即m并考慮到0<m02)當(dāng)a2-1>1,