高中二年級下學期數(shù)學《導數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用》課件

導數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用年級：高二（下）學科：數(shù)學（人教A版）

導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（1）函數(shù)的單調(diào)性（2）函數(shù)的極值（3）函數(shù)的最大（小）值新課引入導數(shù)在研究實際問題中的應(yīng)用

導數(shù)是解決諸如增長率、膨脹率、效率、密度速度、加速度以及用料最省、利潤最大等實際問題的基本工具。新課引入問題

飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響？

（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？你想從數(shù)學上知道它的道理嗎？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？探究新知例1

某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是

分，其中

（單位：cm）是瓶子的半徑.已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.

（1）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？

（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？

一瓶半徑為

的球形瓶裝飲料的容積為

cm3

，1cm3

等于1mL，故瓶內(nèi)所裝飲料為mL，出售1mL飲料，制造商可獲利0.2分，瓶內(nèi)飲料的利潤為

分.又每個瓶子的制造成本是

分，因此每瓶飲料的利潤為

分.問題1每瓶飲料的利潤怎么表示？

每瓶飲料的利潤=瓶內(nèi)飲料的利潤

-每個瓶子的制造成本

記問題2函數(shù)

的定義域是什么？函數(shù)

的定義域是.問題3如何求每瓶飲料利潤的最大值和最小值呢？

可利用導數(shù)研究該函數(shù)的最大（?。┲?即求函數(shù)

的最大（?。┲?問題4利用導數(shù)研究函數(shù)

在區(qū)間

的最大（小）值的基本步驟是什么？求出導函數(shù)

；令

，求出對應(yīng)方程的根；分析根左右兩側(cè)

的正負、

的單調(diào)性，確定

的極值點；將極值與端點值進行比較，進而求出最大（?。┲?解：由題意可知，每瓶飲料的利潤是：求導得令解得當

時，當

時，當半徑

時，

，

單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑

時，

，

單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低.（1）瓶子半徑為6cm時，利潤最大.此時每瓶飲料的利潤為

（2）瓶子半徑為2cm時，利潤最小.解：因此

，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤為負值.

此時

分.問題5如果我們不用導數(shù)工具，直接從函數(shù)

的圖象上觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

當

時，

即瓶子的半徑是3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當

時，利潤才為正值.

當

時，利潤為負值，即飲料的利潤不夠飲料瓶的成本；問題6

當

時，

是減函數(shù)，你能解釋它的實際意義嗎？

當

時，瓶子半徑

越大，每瓶飲料的利潤越低，制造商虧損得越多.

問題7通過對此問題的解決，如何回答開始的問題呢？

以等量的球形瓶裝飲料為例，因為小包裝的半徑小，其成本比大包裝的高，要想保持一定的利潤，就需要提高其銷售價格，所以比較起來等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些.由例（1）知，飲料瓶半徑為6cm時，利潤最大，所以飲料瓶越大飲料公司的利潤越大.問題

飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響？

（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？你想從數(shù)學上知道它的道理嗎？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？利用導數(shù)解決實際問題的基本思路實際問題用函數(shù)表示的數(shù)學問題利用導數(shù)解決數(shù)學問題實際問題的答案知識小結(jié)例2學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128

dm2，上、下兩邊各空2

dm，左、右兩邊各空1

dm.如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白的面積最小？版心知識應(yīng)用

由題知，版心的面積是固定的，也即版心的高和寬的乘積是固定的，

但版心的高和寬是變化的. 版心問題1：怎樣合理引入變量？變量的取值范圍是什么？則版心的寬為dm，可設(shè)版心的高為dm，變量

四周空白面積=整張海報的面積-版心的面積上、下兩邊各空2

dm，所以海報的高為

左、右兩邊各空

1

dm，所以海報的寬為

四周空白面積與變量之間的函數(shù)關(guān)系為：問題2：引入的變量與四周空白面積的函數(shù)關(guān)系是怎樣的？版心

我們遵循著利用導數(shù)研究函數(shù)的最大（?。┲档牟襟E來研究函數(shù)

的最小值.

問題3：如何求四周空白面積的最小值？版心當

單調(diào)遞增.解：設(shè)版心的高為

dm

，則版心的寬為dm,則

四周空白面積為求導得

因此,是函數(shù)

的極小值點，也是最小值點.

此時版心的寬為8dm.答:當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小.解得當

單調(diào)遞減；令解：設(shè)版心的高為

dm

，則版心的寬為dm

四周空白面積為答:當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小.由基本不等式得：當且僅當

，即

時，

取最小值72.

此時版心的寬為8dm.問題4：除開導數(shù)工具，你還有其它方法求四周空白面積的最小值嗎？問題5：以上兩種方法哪種更簡便？哪種更具一般性？

基本不等式、導數(shù)都是求函數(shù)最值的重要手段，但基本不等式求最值必須滿足一“正”，二“定”、三“相等”，三者缺一不可.因而導數(shù)更具一般性，是解決更為復雜函數(shù)最值的重要工具。課堂小結(jié)1、利用導數(shù)解決實際問題的基本思路2、利用導數(shù)解決實際問題過程是一個典型的數(shù)學建模過程.實際問題用函數(shù)表示的數(shù)學問題利用導數(shù)解決數(shù)學問題實際問題的答案建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型實際問題的解決課后作業(yè)1.在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大