2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測評四十五利用空間向量求二面角與空間距離含解析新人教B版

PAGE核心素養(yǎng)測評四十五利用空間向量求二面角與空間距離(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,平面OAB的一個法向量為n=(2,-2,1),已知點P(-1,3,2),則點P到平面OAB的距離d等于 ()A.4 B.2 C.3 D.1【解析】選B.P點到平面OAB的距離為d=QUOTE=QUOTE=2.2.三棱錐A-BCD中,平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1,n2,若<n1,n2>=QUOTE,則二面角A-BD-C的大小為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE或QUOTE D.QUOTE或QUOTE【解析】選C.如圖所示,當(dāng)二面角A-BD-C為銳角時,它就等于<n1,n2>=QUOTE;當(dāng)二面角A-BD-C為鈍角時,它應(yīng)等于π-<n1,n2>=π-QUOTE=QUOTE.3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2QUOTE,E為CC1的中點,則直線AC1與平面BED的距離為 ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選D.以D為原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2QUOTE),E(0,2,QUOTE),易知AC1∥平面BDE.設(shè)n=(x,y,z)是平面BDE的法向量.則QUOTE取y=1,則n=(-1,1,-QUOTE)為平面BDE的一個法向量.又QUOTE=(2,0,0),所以點A到平面BDE的距離是d=QUOTE=QUOTE=1.故直線AC1到平面BED的距離為1.4.如圖,點C在圓錐PO的底面圓O上,AB是直徑,AB=8,∠BAC=30°,圓錐的母線與底面成的角為60°,則點A到平面PBC的距離為 ()A.QUOTE B.2QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.如圖,過點O作AB的垂線Ox,以O(shè)x,OB,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-2QUOTE,2,0),P(0,0,4QUOTE).設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),則QUOTE所以QUOTE所以y=QUOTEz=-QUOTEx,所以取m=(-1,QUOTE,1),因為QUOTE=(0,4,4QUOTE),所以d=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以點A到平面PBC的距離為QUOTE.5.(多選)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=QUOTE,AB=4,AC,BD交于點E,則 ()A.M為PB的中點B.二面角B-PD-A的大小為QUOTEC.若O為AD的中點,則OP⊥OED.直線MC與平面BDP所成的角為QUOTE【解析】選ABC.如圖①,連接ME,因為PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.因為四邊形ABCD是正方形,所以E為BD的中點,所以M為PB的中點.如圖②,取AD的中點O,連接OP,OE.因為PA=PD,所以O(shè)P⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD,且OP?平面PAD,所以O(shè)P⊥平面ABCD.因為OE?平面ABCD,所以O(shè)P⊥OE.因為四邊形ABCD是正方形,所以O(shè)E⊥AD.如圖②,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,0,QUOTE),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-QUOTE).設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z),則即QUOTE令x=1,則y=1,z=QUOTE.于是n=(1,1,QUOTE).平面PAD的法向量為p=(0,1,0),所以cos<n,p>=QUOTE=QUOTE.由題意知二面角B-PD-A為銳角,所以它的大小為QUOTE.由題意知MQUOTE,C(2,4,0),=QUOTE.設(shè)直線MC與平面BDP所成角為α,則sinα=|cos<n,>|==QUOTE,所以直線MC與平面BDP所成角不為QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖所示,P是二面角α-AB-β棱上一點,分別在α,β內(nèi)引射線PM,PN,若∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,則二面角α-AB-β大小為________.

【解析】如圖,過M在α內(nèi)作MF⊥AB,過F在β內(nèi)作FN⊥AB交PN于點N,連接MN.因為∠MPB=∠NPB=45°,所以△PMF≌△PNF.設(shè)PM=1,則MF=NF=QUOTE,PM=PN=1,又因為∠MPN=60°,所以MN=PM=PN=1,所以MN2=MF2+NF2,所以∠MFN=90°.答案:90°7.在四面體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=PC=a,則點P到平面ABC的距離為________.

【解析】依據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P-xyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).過點P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于點H,則PH的長即為點P到平面ABC的距離.因為PA=PB=PC,所以H為△ABC的外心.又因為△ABC為正三角形,所以H為△ABC的重心,可得H點的坐標(biāo)為QUOTE,QUOTE,QUOTE.所以PH=QUOTE=QUOTEa.所以點P到平面ABC的距離為QUOTEa.答案:QUOTEa8.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1,點M是線段DC1上的動點,則點M到直線AD1距離的最小值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【解析】設(shè)M(0,m,m)(0≤m≤a),=(-a,0,a),直線AD1的一個單位方向向量s0=-QUOTE,0,QUOTE,由=(0,-m,a-m),故點M到直線AD1的距離d==QUOTE=QUOTE,根式內(nèi)的二次函數(shù)當(dāng)m=-QUOTE=QUOTE時取最小值QUOTEQUOTE2-a×QUOTE+QUOTEa2=QUOTEa2,故d的最小值為QUOTEa.答案:QUOTEa三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA1(1)求證:CD=C1D.(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.(3)求點C到平面B1DP的距離.【解析】(1)連接AB1,交BA1于點O,連接OD.因為B1P∥平面BDA1,B1P?平面AB1P,平面AB1P∩平面BA1D=OD,所以B1P∥OD.又因為O為B1A因為C1D∥AA1,所以C1為A1P的中點.所以DC1=QUOTEAA1=QUOTECC1,所以C1D=CD.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1-xyz,則B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,QUOTE,所以QUOTE=(1,0,0),QUOTE=(1,0,1),QUOTE=0,1,QUOTE.設(shè)平面BA1D的一個法向量為n=(x1,y1,z1).由QUOTE得QUOTE令z1=2,則x1=-2,y1=-1,所以n=(-2,-1,2).又QUOTE=(1,0,0)為平面AA1D的一個法向量,所以cos<n,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.由圖形可知二面角A-A1D-B為銳角,所以二面角A-A1D-B的平面角的余弦值為QUOTE.(3)因為C(0,1,1),D0,1,QUOTE,B1(1,0,0),P(0,2,0),所以QUOTE=0,0,-QUOTE,QUOTE=1,-1,-QUOTE,QUOTE=0,1,-QUOTE.設(shè)平面B1DP的一個法向量為m=(x2,y2,z2).由QUOTE得QUOTE令z2=2,則x2=2,y2=1,所以m=(2,1,2).所以點C到平面B1DP的距離d=QUOTE=QUOTE.10.(2024·全國卷Ⅲ)如圖,邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧QUOTE所在平面垂直,M是QUOTE上異于C,D的點. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)證明:平面AMD⊥平面BMC.(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.【解析】(1)由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因為BC⊥CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因為M為QUOTE上異于C,D的點,且DC為直徑,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM?平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時,M為