安徽省馬鞍山市2021屆高三數(shù)學第三次教學質(zhì)量監(jiān)測試題文含解析

PAGE21-安徽省馬鞍山市2025屆高三數(shù)學第三次教學質(zhì)量監(jiān)測試題文（含解析）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，則A∩B＝（）A．（0，3） B．（﹣1，0） C．（﹣∞，3） D．（﹣1，1）2．已知復數(shù)（i是虛數(shù)單位），z的共軛復數(shù)記作，則＝（）A． B． C． D．3．已知向量，，若與共線，則實數(shù)m＝（）A． B．5 C． D．14．第31屆世界高校生夏季運動會將于2024年8月在成都實行，舉辦方將招募志愿者在賽事期間為運動會供應詢問、交通引導、場館周邊秩序維護等服務．招募的志愿者需接受專業(yè)培訓，甲、乙兩名志愿者在培訓過程中進行了六次測試，其測試成果（單位：分）如折線圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲成果的中位數(shù)比乙成果的中位數(shù)大 B．甲成果的眾數(shù)比乙成果的眾數(shù)小 C．甲成果的極差比乙成果的極差小 D．乙的成果比甲的成果穩(wěn)定5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的s＝（）A．1011 B．1010 C．﹣1010 D．﹣10116．函數(shù)f（x）＝在[﹣π，π]上的圖象大致為（）A． B． C． D．7．若過點（2，﹣1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x+3y+3＝0的距離為（）A． B． C． D．8．在自然氣和煤氣還未普剛好，農(nóng)夫通常會用水稻秸稈作為生火做飯的材料．每年水稻收割結束之后，農(nóng)夫們都會把水稻秸稈收集起來，然后堆成如圖的草堆，供生火做飯運用．通常他們堆草堆的時候都是先把秸稈先捆成一捆一捆的，然后堆成下面近似成一個圓柱體，上面近似成一個圓錐體的形態(tài)．假設圓柱體堆了7層，每層所用的小捆草數(shù)量相同，上面收小時，每層小捆草數(shù)量是下一層的倍．若共用255捆，最上一層只有一捆，則草堆自上往下共有幾層（）A．13 B．12 C．11 D．109．已知函數(shù)（A＞0，ω＞0），若函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩對稱軸之間的距離為，則下列關于函數(shù)f（x）的敘述，正確的是（）A．關于點對稱 B．關于對稱 C．在上單調(diào)遞減 D．在（﹣，）上單調(diào)遞增10．將一個表面積為36π的木質(zhì)實心球加工成一個體積最大的圓柱，則該圓柱的底面半徑為（）A． B．3 C． D．11．已知橢圓經(jīng)過點（3，1），當該橢圓的四個頂點構成的四邊形的周長最小時，其標準方程為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）在x＝0處的切線與直線x﹣2y+1＝0垂直，若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k恰有一個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知命題“?x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，寫出這個命題的否定：．14．設alog43＝1，則＝．15．已知數(shù)列{an}滿意a1+2a2+3a3+?+nan＝2n，若，設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T2024＝．16．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為棱AD，DD1的中點，給出下列五個命題：①AD，B1C所成的角為；②B1C⊥BN；③三棱錐A﹣BDN的外接球的表面積為8π；④平面BMN截正方體所得的截面是等腰梯形；⑤以點A為球心，為半徑作球面，則該正方體表面被球面所截得的全部弧長的和為3π；其中真命題是．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分。17．已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且asinB＝2csinA．（1）若，求A；（2）若c＝2，且點D在BC的延長線上，滿意BC＝2CD＝4，求AD．18．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．雖然PM2.5只是地球大氣成分中含量很少的組分，但它對空氣質(zhì)量和能見度等有重要的影響．PM2.5粒徑小，富含大量的有毒、有害物質(zhì)且在大氣中的停留時間長、輸送距離遠，因而對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量影響很大．我國標準采納世衛(wèi)組織設定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下的空氣質(zhì)量為優(yōu)級；在35微克/立方米與75微克/立方米之間的空氣質(zhì)量為良級（含邊界值）；在75微克/立方米以上的空氣質(zhì)量為超標．為了解A城市2024年的空氣質(zhì)量狀況，從全年每天的PM2.5日均值數(shù)據(jù)中隨機抽取20天的數(shù)據(jù)作為樣本，日均值（單位：微克/立方米）如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．（1）求20天樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）在A城市共采集的20個數(shù)據(jù)樣本中，從PM2.5日均值在[70，90]范圍內(nèi)隨機取2天數(shù)據(jù)，求取到2天的PM2.5日均值均超標的概率；（3）以這20天的PM2.5日均值數(shù)據(jù)來估計一年的空氣質(zhì)量狀況，求A城市一年（按365天計算）中空氣質(zhì)量達到優(yōu)級、良級分別有多少天？（結果四舍五入，保留整數(shù)）19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，△PAD為等邊三角形，∠ABC＝60°，O為AD的中點．（1）證明：平面PAD⊥平面POC；（2）若AD＝2，，點M在線段PD上，PM＝3MD，求三棱錐P﹣OCM的體積．20．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點與雙曲線的右焦點重合．（1）求拋物線的標準方程；（2）若直線l過拋物線焦點F，與拋物線相交于P，Q兩點，求證：；（3）若直線l'與拋物線相交于M，N兩點，且，那么直線l'是否肯定過焦點F，請說明理由．21．已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當，x∈（1，+∞）時，求證：f（x）＞0．選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的極坐標方程為．（1）求曲線C1的一般方程與曲線C2的直角坐標方程；（2）設點M（0，﹣1），若曲線C1，C2相交于A，B兩點，求|MA|+|MB|的值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|2x+3|．（1）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤8；（2）已知關于x的不等式f（x）+|x+a|≤x+5，在x∈[﹣1，1]上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12個題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，則A∩B＝（）A．（0，3） B．（﹣1，0） C．（﹣∞，3） D．（﹣1，1）解：集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜0}＝（﹣1，0）．故選：B．2．已知復數(shù)（i是虛數(shù)單位），z的共軛復數(shù)記作，則＝（）A． B． C． D．解：∵，∴，|z|＝，則＝，故選：A．3．已知向量，，若與共線，則實數(shù)m＝（）A． B．5 C． D．1解：向量，，若與共線，可得：9＝2m﹣1，解得m＝5，故選：B．4．第31屆世界高校生夏季運動會將于2024年8月在成都實行，舉辦方將招募志愿者在賽事期間為運動會供應詢問、交通引導、場館周邊秩序維護等服務．招募的志愿者需接受專業(yè)培訓，甲、乙兩名志愿者在培訓過程中進行了六次測試，其測試成果（單位：分）如折線圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲成果的中位數(shù)比乙成果的中位數(shù)大 B．甲成果的眾數(shù)比乙成果的眾數(shù)小 C．甲成果的極差比乙成果的極差小 D．乙的成果比甲的成果穩(wěn)定解：甲的成果分別為90，93，92，94，96，93，乙的成果分別為93，94，91，95，92，93，A：∵甲成果的中位數(shù)為＝93，乙成果的中位數(shù)為＝93，∴A錯誤，B：∵甲成果的眾數(shù)為93，乙成果的眾數(shù)為93，∴B錯誤，C：∵甲成果的極差為96﹣90＝6，乙成果的極差為95﹣91＝4，∴C錯誤，D：∵甲成果的平均數(shù)為＝93，∴甲成果的方差為＝，∵乙成果的平均數(shù)為＝93，∴乙成果的方差為＝，∵＞，∴乙成果比甲成果穩(wěn)定，∴D正確．故選：D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的s＝（）A．1011 B．1010 C．﹣1010 D．﹣1011解：n＝1，s＝0，第1次執(zhí)行循環(huán)體，S＝﹣1，n＝2；第2次執(zhí)行循環(huán)體，S＝﹣1+2，n＝3；第3次執(zhí)行循環(huán)體，S＝﹣1+2﹣3，n＝4；；第2024次執(zhí)行循環(huán)體，S＝﹣1+2﹣3+...﹣2024+2024＝1010，n＝2024；終止循環(huán)，輸出s＝1010．所以輸出s值為1010．故選：B．6．函數(shù)f（x）＝在[﹣π，π]上的圖象大致為（）A． B． C． D．解：∵f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，解除選項B，又f（）＝＞0，∴解除選項A和C，故選：D．7．若過點（2，﹣1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x+3y+3＝0的距離為（）A． B． C． D．解：設圓心為（a，b），由已知得，解得a＝1，b＝﹣1，或a＝5，b＝﹣5，所以圓心為（1，﹣1）或（5，﹣5）．當圓心為（1，﹣1）時，圓心到直線2x+3y+3＝0的距離d＝＝；當圓心為（5，﹣5）時，圓心到直線2x+3y+3＝0的距離d＝＝．故選：C．8．在自然氣和煤氣還未普剛好，農(nóng)夫通常會用水稻秸稈作為生火做飯的材料．每年水稻收割結束之后，農(nóng)夫們都會把水稻秸稈收集起來，然后堆成如圖的草堆，供生火做飯運用．通常他們堆草堆的時候都是先把秸稈先捆成一捆一捆的，然后堆成下面近似成一個圓柱體，上面近似成一個圓錐體的形態(tài)．假設圓柱體堆了7層，每層所用的小捆草數(shù)量相同，上面收小時，每層小捆草數(shù)量是下一層的倍．若共用255捆，最上一層只有一捆，則草堆自上往下共有幾層（）A．13 B．12 C．11 D．10解：設圓錐體有n層，由題意可知最上面一層只有一捆，所以第n層有1×2n﹣1捆，圓錐體的總捆數(shù)為＝2n﹣1，圓柱體堆了7層，總捆數(shù)為7×2n﹣1，草堆的總捆數(shù)為7×2n﹣1+2n﹣1﹣2n﹣1＝255，解得n＝6，所以自下往上共有6+7﹣1＝12層，故選：B．9．已知函數(shù)（A＞0，ω＞0），若函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩對稱軸之間的距離為，則下列關于函數(shù)f（x）的敘述，正確的是（）A．關于點對稱 B．關于對稱 C．在上單調(diào)遞減 D．在（﹣，）上單調(diào)遞增解：函數(shù)（A＞0，ω＞0），若函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩對稱軸之間的距離為，所以，故ω＝3，所以f（x）＝Asin（3x+），對于A：當x＝時，f（）＝Asin（）≠0，故A錯誤；對于B：當x＝時，f（）＝Asin（）＝≠±A，故B錯誤；對于C：當x時，，在該區(qū)間內(nèi)先增后減，故C錯誤；對于D：當x時，，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D．10．將一個表面積為36π的木質(zhì)實心球加工成一個體積最大的圓柱，則該圓柱的底面半徑為（）A． B．3 C． D．解：由球的表面積為36π，可得球的半徑為3，如圖，設圓柱的底面半徑為r，則高為2（0＜r＜3），∴V圓柱＝＝2π?＝2π≤2π?＝．當且僅當r2＝18﹣2r2，即r2＝6，r＝時，上式取等號．故選：C．11．已知橢圓經(jīng)過點（3，1），當該橢圓的四個頂點構成的四邊形的周長最小時，其標準方程為（）A． B． C． D．解：由題意橢圓經(jīng)過點（3，1），可得：（a＞b＞0），該橢圓的四個頂點構成的四邊形的周長l＝4．∴a2+b2＝（a2+b2）（）＝10+≥10+2＝16，當且僅當a2＝9b2時，即b＝，a＝3取等號．∴周長l的最小值：4×4＝16．∴橢圓方程：．故選：D．12．已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）在x＝0處的切線與直線x﹣2y+1＝0垂直，若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k恰有一個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．解：函數(shù)的導數(shù)為f′（x）＝ex（x2+m﹣1），可得f（x）在x＝0處的切線的斜率為m﹣1，由在x＝0處的切線與直線x﹣2y+1＝0垂直，可得m﹣1＝﹣2，解得m＝﹣1，則f（x）＝ex（x2﹣x﹣1），函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k恰有一個零點，即為f（x）＝k只有一個實根．由f（x）的導數(shù)為f′（x）＝ex（x2﹣2），當﹣2＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當x＞2或x＜﹣2時，f′（x）＞0，f（x）遞增．則x＝﹣2處，f（x）取得極大值3e﹣2，x＝2處，f（x）取得微小值﹣e2，則k的取值范圍是{﹣e2}∪（3e﹣2，+∞）．故選：C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知命題“?x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，寫出這個命題的否定：?x∈R，x2﹣x+1≥0．解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題：?x0∈R，x02﹣x0+1＜0的否定：?x∈R，x2﹣x+1≥0．故答案為：?x∈R，x2﹣x+1≥0．14．設alog43＝1，則＝．解：∵alog43＝1，∴a＝＝log34，∴＝＝＝，故答案為：．15．已知數(shù)列{an}滿意a1+2a2+3a3+?+nan＝2n，若，設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T2024＝．解：由a1+2a2+3a3+?+nan＝2n，可得n＝1時，a1＝2，n≥2時，a1+2a2+3a3+?+（n﹣1）an﹣1＝2（n﹣1），又a1+2a2+3a3+?+nan＝2n，兩式相減可得nan＝2，即有an＝，對n＝1也成立．可得＝＝2（﹣），則T2024＝2（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）＝2（1﹣）＝．故答案為：．16．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為棱AD，DD1的中點，給出下列五個命題：①AD，B1C所成的角為；②B1C⊥BN；③三棱錐A﹣BDN的外接球的表面積為8π；④平面BMN截正方體所得的截面是等腰梯形；⑤以點A為球心，為半徑作球面，則該正方體表面被球面所截得的全部弧長的和為3π；其中真命題是①④⑤．解：①∵A1D∥B1C，∴AD，B1C所成的角即為AD，A1D所成的角，在正方形ADD1A1中，易知AD，A1D所成的角為，故①正確；②取A1D1中點E，連接NE，則NE∥A1D，A1D∥B1C，∴NE∥B1C，而，，故BE2≠BN2+NE2，則BN與NE不垂直，即BN與B1C不垂直，故②錯誤；③三棱錐A﹣BDN的外接球半徑為，其表面積為4πR2＝33π，故③錯誤；④連接BC1，則BC1∥MN，∴平面BMN截正方體所得的截面為等腰梯形，故④正確；⑤易知正方體的面對角線長為，在弧D1B1上取點F，則A1F＝2，A1A＝2，∴，∴弧長，又正方體表面被球面所截得的這樣的全等的弧共有三個，故全部弧長的和為π+π+π＝3π，故⑤正確；故答案為：①④⑤．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分。17．已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且asinB＝2csinA．（1）若，求A；（2）若c＝2，且點D在BC的延長線上，滿意BC＝2CD＝4，求AD．解：（1）因為asinB＝2csinA，由正弦定理得sinAsinB＝2sinCsinA，因為sinA＞0，所以sinB＝2sinC，即b＝2c，因為，由余弦定理得cosA＝＝＝，由A為三角形內(nèi)角得A＝；（2）因為c＝2，b＝2c＝4，a＝4，由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝，故cos∠ACD＝﹣，△ACD中，由余弦定理得，＝34，故AD＝．18．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．雖然PM2.5只是地球大氣成分中含量很少的組分，但它對空氣質(zhì)量和能見度等有重要的影響．PM2.5粒徑小，富含大量的有毒、有害物質(zhì)且在大氣中的停留時間長、輸送距離遠，因而對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量影響很大．我國標準采納世衛(wèi)組織設定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下的空氣質(zhì)量為優(yōu)級；在35微克/立方米與75微克/立方米之間的空氣質(zhì)量為良級（含邊界值）；在75微克/立方米以上的空氣質(zhì)量為超標．為了解A城市2024年的空氣質(zhì)量狀況，從全年每天的PM2.5日均值數(shù)據(jù)中隨機抽取20天的數(shù)據(jù)作為樣本，日均值（單位：微克/立方米）如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．（1）求20天樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）在A城市共采集的20個數(shù)據(jù)樣本中，從PM2.5日均值在[70，90]范圍內(nèi)隨機取2天數(shù)據(jù)，求取到2天的PM2.5日均值均超標的概率；（3）以這20天的PM2.5日均值數(shù)據(jù)來估計一年的空氣質(zhì)量狀況，求A城市一年（按365天計算）中空氣質(zhì)量達到優(yōu)級、良級分別有多少天？（結果四舍五入，保留整數(shù)）解：（1）20天樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：＝（16+20+24+27+32+36+37+40+42+54+57+62+63+65+71+76+78+82+85+93）＝53．（2）在A城市共采集的20個數(shù)據(jù)樣本中，PM2.5日均值在[70，90]的數(shù)據(jù)有6個，其中PM2.5日均值超標的數(shù)據(jù)有5個，從PM2.5日均值在[70，90]范圍內(nèi)隨機取2天數(shù)據(jù)，基本領件總數(shù)n＝＝15，取到2天的PM2.5日均值均超標包含的基本領件個數(shù)m＝＝10，∴取到2天的PM2.5日均值均超標的概率P＝＝＝．（3）以這20天的PM2.5日均值數(shù)據(jù)來估計一年的空氣質(zhì)量狀況，這20天的PM2.5日均值數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量達到優(yōu)級的天數(shù)為5天，空氣質(zhì)量達到良級的天數(shù)為10天，∴A城市一年（按365天計算）中空氣質(zhì)量達到優(yōu)級的天數(shù)為：365×≈91（天），空氣質(zhì)量達到良級的天數(shù)為：365×≈183（天）．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，△PAD為等邊三角形，∠ABC＝60°，O為AD的中點．（1）證明：平面PAD⊥平面POC；（2）若AD＝2，，點M在線段PD上，PM＝3MD，求三棱錐P﹣OCM的體積．【解答】（1）證明：依據(jù)題意可得，PA＝PD，AO＝OD，∴PO⊥AD，又∵底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，∴CO⊥AD，又∵PO∩OC＝O，PO、OC?平面POC，∴AD⊥平面POC，又AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面POC；（2）解：在等邊三角形PAD中，∵AD＝2，∴OP＝OC＝，又，∴OP2+OC2＝PC2，即PO⊥OC，∴S△POC＝＝．由（1）可知，AD⊥平面POC，又PM＝3MD，∴＝＝．20．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點與雙曲線的右焦點重合．（1）求拋物線的標準方程；（2）若直線l過拋物線焦點F，與拋物線相交于P，Q兩點，求證：；（3）若直線l'與拋物線相交于M，N兩點，且，那么直線l'是否肯定過焦點F，請說明理由．解：（1）拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點（，0）與雙曲線的右焦點（，0）重合，可得＝，解得p＝4，所以拋物線的方程為y2＝8x：（2）證明：設直線l的方程為x＝my+2，與拋物線的方程y2＝8x聯(lián)立，可得y2﹣8my﹣16＝0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），可得y1y2＝﹣16，x1x2＝＝4，則?＝x1x2+y1y2＝4﹣16＝﹣12；（3）設直線l'的方程為x＝sy+t，與拋物線的方程y2＝8x聯(lián)立，可得y2﹣8sy﹣8t＝0，設M（x3，y3），N（x4，y4），可得y3y4＝﹣8t，x3x4＝＝t2，則?＝x3x4+y3y4＝t2﹣8t＝﹣12，解得t＝2或t＝6，所以直線l'的方程為x＝sy+2或x＝sy+6，可得直線l'恒過定點（2，0）或（6，0），不肯定經(jīng)過焦點F（2，0）．21．已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當，x∈（1，+∞）時，求證：f（x）＞0．【解答】（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），當a＝時，f（x）＝lnx﹣＝lnx+，∴f′（x）＝．令f′（x）＝0，得x＝或x＝2，∴當x∈（0，）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當x∈（，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．綜上，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（，1），（1，2）；（2）證明：要證f（x）＞0，即證lnx﹣＞0（a，x＞1）成立，即證＞0