2024年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：四邊形綜合=專項鞏固復(fù)習(xí)(三)

九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題-【四邊形綜合】

專項鞏固復(fù)習(xí)（三）

選擇題

1.正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）

A.對角相等B.對角線互相平分

C.對角線相等D.對角線互相垂直

2.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD交于點0,若NA0B=60°,BD=6,則AB的長為

（）

3C.6D.2./3

3.如圖，在MBCD中，AE平分NBAD,交CD邊于E,AD=6,EC=4,則AB的長為（）

A.1B.6C.10D.12

4.如圖，點E,F,G,H分別是四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點.若AC^BD,則四

C.菱形D.正方形

5.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,點E是正方形ABCD的邊AD上的一點，點A關(guān)于BE

的對稱點為F,若NDFC=90°,則EF的長為（）

A__ED

0

Bc

A.yB.-2C.2—D.7—-

3510

6.如圖,在矩形ABCD中,AE，BD于點E,若NBAE=30°,則tanNDEC的值為（）

;D

產(chǎn)----------—

AVsRV3r101

A.D

232

7.如圖，在矩形ABCD中,點A的坐標是（1,0）,點C的坐標是（-2,4）,則BD的長

是（）

4-

A.^/17B.5C.373D.4^2

8.某款正方形地磚如圖所示，其中AE=BF=CG=DH,且NAFQ=NBGM=NCHN=ZDEP=

lS1M2

45。，若四邊形MNPQ的面積為S,四邊形AFQE面積為S,當AF=5V2,且彳二石一時,

12￡

AE的長為（）

AE_________D

BGC

A.272B.3C.4D.3>/2

9.七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，流行于世界各地.由邊長為2的正方形可以制作一

副中國七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示.分別用這兩副七巧板試拼如圖2中的平

行四邊形或矩形,則這兩個圖形中，中國七巧板和日本七巧板能拼成的個數(shù)分別是（）

10.四邊形具有不穩(wěn)定性，對于四條邊長確定的四邊形.當內(nèi)角度數(shù)發(fā)生變化時，其形狀也

會隨之改變.如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC，D，.若ND，

AB=30°,則菱形ABC，1的面積與正方形ABCD的面積之比是（）

A.1B.—C.亞D.返

222

11.如圖，有兩張矩形紙片ABCD和EFGH,AB=EF=2cm,BC=FG=8cm.把紙片ABCD交叉

疊放在紙片EFGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點D與點G重合.當兩張紙片交叉所

成的角a最小時，sina等于（）

12.如圖，已知AB=8,P為線段AB上的一個動點，分別以AP,PB為邊在AB的同側(cè)作菱形

APCD和菱形PBFE,點P,C,E在一條直線上，ZDAP=60°.M,N分別是對角線AC,BE

的中點.當點P在線段AB上移動時，點M,N之間的距離最短為（）

A.遍B.C.4D.3

填空題

13.如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，則NACB=度.

14.把nABCD放入平面直角坐標系中，若對角線的交點為原點，且A(3,-2),則點C的

坐標為.

15.平行四邊形ABCD中，AB、BC長分別為12和26,邊AD與BC之間的距離為8,則AB與

CD間的距離為.

16.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,ZB=60°,E是BC的中點，EF±

AB于點F,則ADEF的面積為平方單位.

17.如圖，在平行四邊形ABCD中，ZB=60",AB=6,BC=4,點E為邊AB上的一個動點,

連接ED并延長至點F,使得DE=2DF,以EC、EF為鄰邊構(gòu)造平行四邊形EFGC,連接EG,

則EG的最小值為.

18.如圖，在矩形ABCD中，BC=6,cosNCAB=4菖,P為對角線AC上一動點，過線段BP上

的點M作EF±BP,交AB邊于點E,交BC邊于點F,點N為線段EF的中點.若四邊形BEPF

的面積為18,則線段BN的最大值為

三.解答題

19.如圖，已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB>CE,連接BG,DE.

(1)求證：BG=DE；

(2)連接BD,若CG〃BD,BG=BD,求NBDE的度數(shù).

20.綜合與實踐

(1)問題發(fā)現(xiàn)：正方形ABCD和等腰直角4EBF按如圖1所示的方式放置，點F在AB上,

連接AE,CF,則AE,CF的數(shù)量與位置關(guān)系為；

(2)類比探究：如圖2,正方形ABCD保持固定，等腰直角4EBF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)角為a(0VaW360。)，請問(1)中的結(jié)論還成立嗎？說明你的理由；

(3)拓展延伸：在(2)的條件下，若AB=2BF=4,在等腰直角4EBF的旋轉(zhuǎn)過程中，

當CF為最大值時，請直接寫出DE的長.

EB

21.如圖，正方形ABCD中，AB=x/5,在邊CD的右側(cè)作等腰三角形DCE,使DC=DE,記N

CDE為a(00<a<90°),連接AE,過點D作DG^AE,垂足為G,交EC的延長線于

點F,連接AF.

(1)求NDEA的大小(用a的代數(shù)式表示)；

(2)求證：4AEF為等腰直角三角形；

(3)當CF=近時，求點E到CD的距離.

22.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有很多典型的基本圖形.

(1)如圖①，ZiABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線I經(jīng)過點A,BD,直線I,CE,直

線I,垂足分別為D、E.試說明4ABD之a(chǎn)CAE：

(2)如圖②，△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點D、A、F在同一條直線上，BD±DF,

AD=3,BD=4.則菱形AEFC面積為；

(3)如圖③，分別以Rt^ABC的直角邊AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG,連接

EG,AH是aABC的高，延長HA交EG于點I,若AB=6,AC=8,求Al的長度.

23.我們知道，平行四邊形的對邊平行且相等，利用這一性質(zhì)，可以為證明線段之間的位置

關(guān)系和數(shù)量關(guān)系提供幫助.

重溫定理，識別圖形

(1)如圖①，我們在探究三角形中位線DE和第三邊BC的關(guān)系時，所作的輔助線為“延

長DE到點F,使EF=DE,連接CF"，此時DE與DF在同一直線上且DE=》F,又可證

圖中的四邊形為平行四邊形，可得BC與DF的關(guān)系是,于是推導(dǎo)出了“DE

〃BC,DE=”BC”.

尋找圖形，完成證明

(2)如圖②，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，4BEH是等腰直角三角形，ZEBH

=90°,連接CF、CH.求證CF=、/品E.

構(gòu)造圖形，解決問題

(3)如圖③，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是菱形，ZABC=ZAEF=12O°,連接BE、

CF.直接寫出CF與BE的數(shù)量關(guān)系.

③

參考答案

選擇題

1.解：因為正方形的對角相等，對角線相等、垂直、且互相平分，矩形的對角相等，對角

線相等，互相平分，

所以正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是對角線互相垂直.

故選:D.

2.解：??.四邊形ABCD是矩形，

.'.0A=—AC,0B=-^-BD=3,AC=BD=6,

22

.'.OA=OB,

ZAOB=6O°,

「.△AOB是等邊三角形，

AB=0B=3,

故選：B.

3.解：,?"四邊形ABCD是平行四邊形，

/.BA/^CD,AB=CD,

ZDEA=ZEAB,

???AE平分NDAB,

ZDAE=ZEAB,

/.ZDAE=ZDEA,

.*.DE=AD=6,

CD=CE+DE=6+4=10,

AB=CD=10.

故選：C.

4.解：???點E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點,

??.EF是aABC的中位線，GH是4ACD的中位線，F(xiàn)G是4BCD的中位線，EH是4ABD的中

位線，

/.EF//AC,GH〃AC,FG//BD,EH〃BD,

???EF〃GH,FG〃EH,

二四邊形EFGH是平行四邊形，

又,「AC_LBD,

.,.EF±FG,

ZEFG=90°,

四邊形EFGH是矩形；

故選：B.

5.解：如圖，延長EF交CD于M,連接BM,

?.?四邊形ABCD是正方形，

.,.AB=BC,ZA=ZBCD=90°,

...將4ABE沿直線BE對折得到aBEF,

.-.ZBFE=ZBFM=90°,AB=BF=BC

在RtABFM與RtABCM中，

[BF=BC

IBM=BM,

.'.RtABFM^RtABCM(HL),

/.MF=MC,

.\ZMFC=ZMCF,

ZMFG4-ZDFM=90°,ZMCF+ZFDM=90°,

/.ZMFD=ZMDF,

??.MD=MF=MC,

,「正方形ABCD的邊長為2,

,-.MF=MC=DM=1,

設(shè)AE=EF=x,

'.'DE2+DM2=EM2,

BP(2-X)2+12=(x+1)2,

2

解得：x號.

故選：B.

6.解：過點C作CF_LBD于點F,設(shè)CD=2,

在4ABE與4CDF中，

rZAEB=ZCFD

，ZABE=ZCDF,

,AB=CD

.-.△ABE^ACDF(AAS),

.-.AE=CF,BE=FD,

,/ZBAE=30",

.■,AE=CF=73,BE=FD=1,

,/ZBAE=ZADB=30°,

/.BD=2AB=4,

.1.EF=4-2X1=2,

?Man々EC喘考,

7.解：連接AC,如圖：

?.?四邊形ABCD是矩形，

.,.BD=AC,

???點A的坐標是(1,0),點C的坐標是(-2,4),

■,-AC=V(-2-l)2+(4-0)2=5>

BD=AC=5,

故選：B.

■.?四邊形ABCD是正方形，

ZA=ZB=90°,AB=AD=BC,

■.■AE=BF=CG=DH,

.-.AF=BG,

.,.△AEF^ABFG(SAS),

.1.EF=FG,ZAFE=ZBGF,

ZBGF+ZBFG=90°,

ZAFE+ZBFG=90°,

/.ZEFG=90",

ZEFQ4-ZGFM=9O°,

,/ZDEP=45",

ZAEQ=135°,

,/zA+zAECh-ZAF(kZEQF=360°,

/.ZEQF=90°,

同理NFMG=NHNG=NEPH=9O°,

/.ZPQF=ZQMG=ZMNP=9O°,

四邊形QPNM是矩形，

；NMF"/MGF=90°,

ZEFQ=ZFGM,

又???EF=FG,ZEQF=ZFMG=90°,

/.△EQF^AFMG(AAS),

/.FQ=MG,EQ=FM,

同理可證：EQ=HP=NG,FQ=EP=NH,

.?.EQ=HP=NG=FM,FQ=EP=MG=NH,

.'.MQ=MN,

J四邊形QPNM是正方形，

如圖，過點Q作QK^AF于K,過點E作ERLKQ于R,

ZAFQ=ZDEP=45°,

/.ZAFQ=ZKQF=ZREQ=ZRQE=45°,

/.KF=KQ,ER=RQ,

'.■QK±AF,ER±KQ,ZA=90°,

??.四邊形AKRE是矩形，

,,.AK=ER=QR,AE=KR,

0."AF=5V2,

.,.AK+KF=5亞，

???四邊形AFQE面積為S2=^KF2WXAKX(KF-AK+KF)=-^KF2+AK*KF-^AK2=10>/3(F

-KF2-25,

四邊形MNPQ的面積為S|=MQ2=(FQ-FM)2=(揚F—6AK)2=8KF2+100—40&KF,

..￡1=32

,s2-4r

,8防2-40泥郎+100二32

lCh/2KF-KF2-25415

.-.KF(不合題意舍去)，KF=N2,

11822

.■.AK=^^,

2

.-.AE=KR=平-乎=2五,

故選:A.

9.解：中國七巧板和日本七巧板能拼成的個數(shù)都是2,如圖所示:

用中國的七巧板拼

日本七巧板的拼法

故選:D.

10.解：根據(jù)題意可知菱形ABC，D，的高等于AB的一半，

菱形ABC'D，的面積為正方形ABCD的面積為AB。.

菱形ABC'D，的面積與正方形ABCD的面積之比是高.

故選：B.

11.解：如圖，..?四邊形ABCD和四邊形EFGH是矩開九

ZADC=ZHDF=90°,CD=AB=2cm,

.'.ZCDM=ZNDH,且CD=DH,zH=ZC=90°,

/.△CDM^AHDN(ASA),

??.MD=ND,且四邊形DNKM是平行四邊形，

二四邊形DNKM是菱形，

.*.KM=MD,

■「sina=sinZDMC=-^p-,

MD

當點B與點E重合時，兩張紙片交叉所成的角a最小，

設(shè)MD=KM=acm,貝l]CM=8-a(cm),

■/MD2=CD2+MC2,

.'.a2=4+(8-a)2，

-.a=-1r7(cm、),

4

2

rn?0

.'.sina=sinZDMC="-=17

MD--17

.「四邊形APCD,四邊形PBFE是菱形，ZDAP=60°,

/.ZAPC=120°,ZEPB=60°,

VM,N分別是對角線AC,BE的中點，

ZCPM-ZAPC=6O°,zEPN=-i-ZEPB=30°,

/.ZMPN=60°+30°=90°,

設(shè)PA=2a,貝l]PB=8-2a,PM=a,PN=g(4-a),

MN=Ja2+[?(4-a)]2=j472-24a+48=j4(a-3)2+i2,

.?.a=3時，MN有最小值，最小值為2y”，

故選：B.

填空題(共6小題)

13.解：由圖可知：形成的最中間的圖形為正六邊形，

??.正六邊形的外角和為360°,

ZACB=36O-4-6=60°.

故答案為60.

14.解：???平行四邊形是中心對稱圖形,

所以當其對角線的交點為原點時，則A點與C點關(guān)于原點對稱,

,/A(3,-2),

.,.C(-3,2).

故答案為：(-3,2).

15.解：如圖，過點A作AELBC于點E、AF^CD于點F.

■."AB=12,BC=26,AE=8,

.,.26X8=12XAF,

R1?

即AB與CD間的距離為壁.

故答案是：等.

16.解：在平行四邊形ABCD中,AB〃CD,

/.ZB=ZECG,

YE為BC的中點，

.,.BE=CE=-^-BC=-i-X4=2,

在4BEF和4CEG中，

"NB=ZECG

<BE=CE,

kZBEF=ZCEG

.■,△BEF^ACEG(ASA),

.-.BF=CG,

ZB=60°,

ZFEB=30°,

.-.BF=^BE=1,

EFS

???平行四邊形ABCD的對邊CD=AB=3,

「.DG=CD+CG=3+1=4,

'/EF±AB,AB//CD,

.\DG±FG,

.?.S△際/F.DG吾X狙X4=2Vi

故答案為：2日.

17.解：作CH_LAB于點H,

?.,在。ABCD中，ZB=60°,BC=4,

，CH=2代，

■.,四邊形ECGF是平行四邊形，

.■.EF〃CG,

.'.△EOD^AGOC,

.EO=ED

■'GO-GC'

,.■DE=2DF,

.-.DF=^DE,

2'

,DE=2_

"W~3,

,DE=_2

"CG~3'

''OG"S''

???當EO取得最小值時，EG即可取得最小值,

當EOLCD時,E0取得最小值，

，CH=EO,

；.E0=2畬,

；.G0=3\/^,

，EG的最小值是56,

故答案為：5M.

.二設(shè)AC=5x,AB=4x,

AC2-AB2=BC2,

.'.9x2=36,

.,.x=2（負值舍去），

.,.AB=8,AC=10,

???四邊形BEPF的面積為18,

EFXBP=18,

2

EFXBP=36,

???點N為線段EF的中點，ZEBF=900,

.-.BN=—EF,

2

當EF取最大值時，BN有最大值，

，當BP取最小值時，EF取最大值,

當BPLAC時,BP有最小值,

此時，SAABC='XABXBC=3><ACXBP,

.,BP=62￡8=24

105'

36需15

■-EF-

□

11515

「?BN的最大值=全片=今，

故答案為：尋.

4

三.解答題(共5小題)

19.(1)證明：..?四邊形ABCD和四邊形CEFG為正方形,

.,.BC=DC,CG=CE,ZBCD=ZGCE=90°,

ZBCG=ZDCE,

/.△BCG^ADCE(SAS),

/.BG=DE；

(2)連接BE,

■：CG//BD,

ZDCG=ZBDC=45°,

ZBCG=ZBCI>ZDCG=90o+45°=135°.

,/ZGCE=90°,

ZBCE=360°-ZBCG-ZGCE=360°-135°-90°=135°

/.NBCG=NBCE.

-."CG=CE,BC=BC,

.-.△BCG^ABCE(SAS),

.-.BG=BE.

■.■由(1)可知BG=DE,

.-.BD=BE=DE,

??.△BDE為等邊三角形，

ZBDE=60°.

20.解：(1)延長CF交AE于G,如圖1所示：

?.?四邊形ABCD是正方形，

ZABC=90°,AB=CB,

ZABE=ZCBF=90°,

??.△EBF是等腰直角三角形，

J.ZEBF=90°,BE=BF,

"AB=CB

在AABE和ACBF中，，ZABE=ZCBF,

tBE=BF

.-.△ABE^ACBF(SAS),

.-.AE=CF,ZBAE=ZBCF,

■/ZBCF+ZBFC=90°,ZAFG=ZBFC,

ZBAE+ZAFG=9O°,

ZAGF=9O°,

.-.AE±CF；

故答案為：AE=CF,AE±CF；

(2)(1)中的結(jié)論依然成立，理由如下：

延長CF交AE于G,交AB于H,如圖2所示：

,/ZEBF=ZABC=90°,

/.ZABE=90°-ZABF,ZCBF=90°-ZABF,

/.ZABE=ZCBF,

"AB=CB

在AABE和ACBF中，＜/ABE=/CBF,

RE=BF

.-.△ABE^ACBF(SAS),

.-.AE=CF,ZBAE=ZBCF,

■.■ZBCF+ZBHC=9O°,ZAHG=ZBHC,

ZBAE+ZAHG=90°,

ZAGH=9O°,

.-.AE±CF；

(3)在等腰直角4EBF的旋轉(zhuǎn)過程中，當CF為最大值時，點F在CB的延長線上，如圖

3所示：

則點E在AB的延長線上，

■.?四邊形ABCD是正方形，

ZA=90°,AD=AB=4,

,.,AB=2BF=4,

,-.BE=BF=2,

AE=AB+BE=6,

=2

■■-DEVAD+AE2=\l42+62=2V13-

圖3

E

圖1

21.解：(1)...四邊形ABCD為正方形

.,.AD=CD,ZADC=90°,

-.■DC=DE,

.-.AD=DE,

.?.△DAE為等腰三角形，

ZDAE=ZDEA,

ZCDE=a,

ZADE=ZADC4-ZCDE=9O°+a,

.烏

AZDEA=180°-ZADE

221

(2),.-DC=DE,ZCDE=a,

.1.ZDCE=NDEC=、O°-/0DEo—色

22,

.-.ZAEF=ZDEC-ZDEA=45°,

,.?DG±AE,AD=DE,

.,.AG=EG,ZAGF=ZEGF=90°,

\-GF=GF,

.,.△AGF^AEGF,

??.AF=EF,

ZEAF=ZAEF=45°,

/.ZAFE=180°-ZEAF-ZAEF=90°,

「.△AEF為等腰直角三角形；

(3)過點E作EHLCD于點H,連接AC,

???四邊形ABCD為正方形，

AB=BC=DC=\/5,ZABC=90°,

22

在RSABC中，AC=VAB+BC=\/T0'

由(2)知，AF=EF,ZAFE=90",

22

在RSAFC中，ftp=VAC-FC=2A/2-

EF=AF=CF+CE=/2+CE=2V2,

",-CE=\,f2,

過點D作DM^CE于點M,

■.■DC=DE,

1J5

.-.CM=EM=—CE=^.,

22'

在RtZiDCM中，DM《三啦,

S&CE*E.DM=1O>EH,

CE?DM亞3r,

二點E至IJCD的距離為-

AD

22.(1)證明：:BD，直線I,CE，直線I,

ZBDA=ZCEA=9O°,

ZBAC=90°,

NBAANCAE=90°

ZBAI>ZABD=90o,

ZCAE=ZABD

rZABD=ZCAE

在4ABD和4CAE中，</BDA=NCEA,

、AB二AC

.,.△ABD^ACAE(AAS)；

(2)解：連接CE,交AF于0,如圖②所示：

:四邊形AEFC是菱形，

/.CE±AF,

ZC0A=ZADB=90°,

同(1)得：ZiABD2aCAO(AAS),

.'.0C=AD=3,0A=BD=4,

.'.S=-^-OA*OC=—X4X3=6,

△AOC22

.'.S=4S=4X6=24,

菱形AEFCAAOC

故答案為：24；

(3)解：過E作EM^HI的延長線于M,過點G作GNLHI于N,如圖③所示:

/.ZEMI=ZGNI=90°,

???四邊形ACDE和四邊形ABFG都是正方形，

ZCAE=ZBAG=90°,AC=AE=8,AB=AG=6,

同(1)得：ZkACHgZ\EAM(AAS),AABH^AGAN(AAS),

/.EM=AH=GN,

rZEIM=ZGIH

在△EMI和AGNI中，，/EMI=/GNI=90°,

tEM=GN

.-.△EMI^AGNI(AAS),

.-.EI=GI,

.?"是EG的中點，

ZCAE=ZBAG=ZBAC=90°,