2024年新高考高三數(shù)學復習階段性復習：利用導數(shù)研究函數(shù)的零點A卷(解析版)

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點A卷(解析版)

(本試卷滿分60分，建議用時：40分鐘)

一、單項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的)

1.若函數(shù)〃“=丁-3》+2的零點的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】=3x+2的定義域為R,且用%)=3/-3.

當x>l或尤<一1時，/'(力=3/一3>0,當T<x<l時，/,(^)=3X2-3<0,故/(力=/一3%+2在

ST，(l,+w)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減，又〃-1)=-1+3+2=4>0,/(1)=1-3+2=0,

〃一2)=-8+6+2=0,故函數(shù)“x)=d—3x+2的零點的個數(shù)為2.

故選C.

2.函數(shù)〃力=2三—6x+m有三個零點，則實數(shù)優(yōu)的取值范圍是()

A.[-4,4]B.(T,4)C.(-co,-4][4,+<?)D.(—8,-4)(4,+8)

【答案】B

【解析】由題意得r(x)=6f-6,當X<-1時，制x)>0,/⑺單調(diào)遞增，當時，r(x)<0,/(%)

單調(diào)遞減，當1>1時，>0,/(x)單調(diào)遞增，據(jù)此可得函數(shù)在x=—l處取得極大值，在x=l處

=-2+6+m>0

取得極小值，結(jié)合題意，得:一，解得T<m<4,所以實數(shù)機的取值范圍是(T,4).

/⑴=2-6+根<0

故選B.

3.設(shè)廣(X)是函數(shù)“X)的導函數(shù)，y=/'(x)的圖象如圖所示，則下列說法不正確的是()

A.函數(shù)/(x)有三個零點B.函數(shù)/(x)有兩個極小值點

C.函數(shù)/（X）有一個極大值點D.函數(shù)/（X）有兩個單調(diào)遞減區(qū)間

【答案】A

【解析】記函數(shù)y=/'（x）與X軸的三個交點橫坐標從左往右依次為芯,9,馬,則由圖可知：當xe（OR時，

r（x）<0,/（元）在（0,占）上單調(diào)遞減；當了€（再,無2）時，>0,/（元）在（再,％）上單調(diào)遞增；當工€。2，兀3）

時，f,（x）<0,Ax）在（％,三）上單調(diào)遞減；當.（孫+刃）時，>0,f（x）在（電，+°°）上單調(diào)遞增；故

函

數(shù)/（九）有兩個極小值點：王,馬；有一個極大值點%，故BCD選項正確.

不能確定函數(shù)〃尤）的零點個數(shù)，A錯誤.

故選A.

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4.若函數(shù)/（%）=ln%+a%2—5%—，在［1,4］上恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.ln2-2,-1B.（ln2-2,1）C.,2—2,—：D.（ln2-2,|

【解析】f\x）=-+-x-一二----------=-------------（1W%W4）.

x222x2x

當1WXV2時，/（x）W0,/（%）單調(diào)遞減；當2<xW4時，/（x）20,7（元）單調(diào)遞增.所以/（%）在

7（2）<0,

l=2處有極小值/（2）=1112+1-3—。=1112—2—。，因為/（x）在［1,4］上有2個零點，所以■⑴與0,

/（4）三0,

a>ln2-2,

解得JaW—之，因為（21n2—2）—（―9）=21n2—2111^--=1-->0，所以

4\4/444

aW2In2-2.

21n2-2>--,所以ln2—2<aW—&.故選C.

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二、多項選擇題（本題共1小題，每小題5分，共5分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

1nx

5.對于函數(shù)〃x）=—，下列說法正確的有（）

x

A.“X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（l,y）B.f（x）在X=e處取得極大值

C./(X)有兩個零點D./(2)</(^)</(3)

【答案】BD

【解析】由函數(shù)〃x)=—的定義域為x?O,y),且尸3=一三.

當xw(O,e)時，/^)>0,單調(diào)遞增；當xe(e,+?))時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，所以“力的遞

增區(qū)間為(0,e),遞減區(qū)間為(e,+s),所以A錯誤；

又由當x=e時，函數(shù)/(力取得極大值，所以B正確；

因為當0<x<l時，/(x)<0；當%>1時;〃x)>0恒成立，所以函數(shù)只有一個零點，所以C錯誤；

因為八2)=寫=￥=/(4),因為函數(shù)〃尤)在(e,+8)上單調(diào)遞減，且3<兀<4,所以

/(3)>/(JI)>/(4)=/(2),所以D正確.

故選BD.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中橫線上)

6.若方程2d—3尤2—12%+左=0有三個不同實根，則實數(shù)人的取值范圍是.

【答案】(-7,20)

【解析】由2%3一3/一12%+左=0,可得2d—3/—12%=—左，貝！J關(guān)于元的方程2/—3f—12%=—女有三個不

同實根，即函數(shù)/(%)=2兀3一3%2一12%與函數(shù)y=-k的圖象有三個不同的交點，

/'(%)=6/一6x—12=6(%—2)(%+1),令廣(%)>0解得兄<一1或X>2,令/'(%)<0解得一1v九<2,所以函

數(shù)/(幻在單調(diào)遞增，(-1,2)單調(diào)遞減，(2,+8)單調(diào)遞增，

/(X)極大值="T)=7,“X)極小值=〃2)=—20,作出函數(shù)/(X)的圖象如下，

由圖可知一20<—左<7,解得一7<左<20.

故答案為(-7,20).

7.若函數(shù)〃力=2尤3一方2+1(。€2在(0,+8)內(nèi)有且只有一個零點，則〃無)在［—2,2］上的最大值與最小

值的和為.

【答案】-22

【解析】因為函數(shù)，(x)=2x3_/+i在e,+8)內(nèi)有且只有一個零點，即方程2d-+i=o在(0,+力)內(nèi)只

有一個根，即a=2x+x-2在(。,+°°)內(nèi)只有一個根.

令g(x)=2x+x-2,可得g〈x)=2-2二，再令g，(x)=。，解得*=1.

當0cxe1時,g〈x)<0,g(x)單調(diào)減,當x>l時，g［x)>0,g(x)單調(diào)增,所以當尤=1時，g(x)有最

小值g⑴=3,即0=3,所以函數(shù)/(彳)=2三一3一+1,貝I］/'(x)=6/-6x=6x(%-1).

令/''(x)=0時，解得再=0,3=1.

當一2Vx<0時，/^)>0,單調(diào)遞增；當0<x<l時，f'(x)<Q,〃尤)單調(diào)遞減；當1<%<2時，

f\x)>0,單調(diào)遞增，又由〃-2)=-27"(0)=1,〃1)=0,/(2)=5,故函數(shù)在［-2,2］上的最大值

為5,最小值為-27,最大值與最小值的和為-22.

故答案為-22.

8.已知函數(shù)〃司=(尤2+》-5)/，若函數(shù)g(尤)=［〃同了-(4-2)〃彳)-2.恰有5個零點，貝段的取值范

圍是,

【答案】

【詳解】函數(shù)g(x)恰有5個零點等價于關(guān)于x的方程［了⑺丁-(〃-2)/("-24=0有5個不同的實根.

由［〃明2-(4-2)〃耳-2a=。得=a或〃x)=-2.a^/(x)=(x2+x-5)e\所以

f\x)=(x2+3%-4)ex=(x+4)(x-l)ex,由得了<—4或x〉l,由/'(兄)<0,得Tv%vl,

則“X)在(-8,-4)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(T,l)上單調(diào)遞減.因為〃_4)=3,”1)=-3e,當X-+8時，

〃尤)一內(nèi)，當X--8時，/⑺-0,所以可畫出“X)的大致圖象：

由圖可知〃力=-2有2個不同的實根，則〃”=。有3個不同的實根，所以

故答案為［o，/］.

四、解答題(本大題共2小題，每小題10分，共20分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

9.已知函數(shù)/(x)=ar-lnx-2.

(1)當a=l時，求函數(shù)“X)的極值；

(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).

1x—1

【解析】(1)當”=1時，/(x)=x-lnx-2(x>0),/V)=l?-=—(x>0).令解(x)>0,貝!］尤>1；令

XX

f，?<0,則0<x<l,故函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+?),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；當x=l時，函數(shù)取

極小值/(1)=1-山1-2=-1,無極大值.

(2)f(x)=ax-kix-2=O,因為x>0,所以a=足尤+2,記g(X)=也無十？,有g(shù)'(x)二］乎,

XXX

令g，(x)>0,則0<x<L令g，(x)<0,則x>L故g(x)在(0,3上單調(diào)遞增，在(L+刈上單調(diào)遞減，從

eeee

而gOOmax=gd)=e.如圖所示：

因此當a>e時，直線>=。與，=8。)的圖像沒有交點；當。=6或。40時，直線y=。與y=g(x)的圖像有

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個交點；當y=a時，直線y=a與y=g(x)的圖像有2個交點.

綜上，當a〉e時，函數(shù)/(x)沒有零點；當a=e或aWO時，函數(shù)/(x)有1個零點；當0<a<e時，函

數(shù)了(元)有2個零點.

10.已知函數(shù)/(x)=e*3-1.

X

(1)求曲線>=/(%)在點(L〃i))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(x)=〃尤)-，有兩個零點4Z(其中玉<%)，求實數(shù)”的取值范圍.

【解析】(1)由〃x)=e一當一1,貝I］k(x)=e、-T竺，所以〃l)=e-l,即切點坐標為(l,e—1),切線

斜率f(l)=e-l,故切線方程為y-(e-l)=(e-D(x-l),即(efx,O.

(2)由題意g(%)=0有兩個不等的正根，等價于lax-x=a有兩個不等的實根，設(shè)

//(%)=xex-lnx-x(x>0),貝!Jhf^x)=(x+l)ex