2024年中考數(shù)學(xué)最值問(wèn)題模型知識(shí)點(diǎn)梳理

2024年中考數(shù)學(xué)最值問(wèn)題模型知識(shí)點(diǎn)梳理匯總

最值問(wèn)題1-將軍飲馬

將軍飲馬：

1.標(biāo)志特點(diǎn)：折線段和最小、差最大問(wèn)題

2.基本方法：“翻折”

3.核心思想:

①在哪找點(diǎn)，關(guān)于誰(shuí)翻折；

②翻定（點(diǎn)）不翻動(dòng)（點(diǎn)）；

③異側(cè)和最小，同側(cè)差最大.

4.考點(diǎn)：①兩點(diǎn)之間線段最短；②點(diǎn)到直線垂線段最短

二.和最小：

1.模型1:如圖1,A、B為定點(diǎn),P為1上動(dòng)點(diǎn),求AP+BP最小值.

分析：①折線段和最小一“將軍飲馬”

②在/上找點(diǎn)，關(guān)于/翻折

③異側(cè)和最小，使得AP和BP在I的不同側(cè)，翻折定點(diǎn)那么翻折A、B都可以

解析:①翻折AP,則AP+BP=CP+PB澗C（兩點(diǎn)之間線段最短）

②所求P點(diǎn)為BC與1的交點(diǎn)

2.模型2:

⑴如圖2,A為定點(diǎn),B、C分別為k、b上的動(dòng)點(diǎn)，求△ABC周長(zhǎng)最小值?,

//'>

（2）如圖3,A、D為定點(diǎn),B、C分別為I、12上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長(zhǎng)最小值夕/

解析：

（1）①翻》折AB、AC貝?。軦B+BC+AC=BD+BC+CE>DE0,\-------h

以、\

...最小值為DE囪;'、；

囹/E

②所求B、C為DE與I1、卜的交點(diǎn).

⑵①翻折AB、DC則AB+BC+CD+AD（定值）=BE+BC+CF?EF+AD（定值）

②所求B、C為EF與I1、卜的交點(diǎn).

3.模型3:如圖4,A為定點(diǎn),B、C分別為直線1、OA上的動(dòng)點(diǎn)，試求AB+BC最小值.

解析:①翻折AB至DB,則AB+BC=BD+BC二DE（點(diǎn)到直線垂線段最短）②B、C為DE與直線1、OA的交點(diǎn).

4.模型4:“將軍飲馬有距離”

⑴如圖5,A、D為定點(diǎn),B、C為直線1上兩動(dòng)點(diǎn),BC為定值.求AB+BC+CD最小值？

（2）如圖6,A、D為定點(diǎn),B、C為直線11、12上的動(dòng)點(diǎn),BClh,求AB+BC+CD最小值?

解析：

（1）①BC為定值，只需求AB+CD最小即可;②平移AB至CE,則變成求CE+CD最小，基本將軍飲馬.

（2）①BC為定值,只需求AB+CD最小即可;②平移CD至BE,則變成求AB+BE最小,基本將軍飲馬.

一差最大

1.口訣：同側(cè)差最大

2.圖形如圖1所示.A、B為定點(diǎn),P為1上一動(dòng)點(diǎn),試求IPB-PA啟勺最大值與最小值.

解析1：“最大值”

①兩邊只差小于第三邊,IPB-PA區(qū)AB,當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí),取等號(hào)

②所以連接BA并延長(zhǎng)與1的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)

解析2:“最小值”

①絕對(duì)值具有非負(fù)性|PB-PA|NO,當(dāng)AP=PB時(shí)成立

②P為AB中垂線與1的交點(diǎn).

四.費(fèi)馬點(diǎn)：

1.標(biāo)志特征：“丫”線最值

2.圖形:如圖3,D為AABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn),試求DADB+DC的最小值.

解析：以^ABC一邊（例如AB）向外作等邊三角形，連接對(duì)角線CE,則CE即為.DA+DB+DC的最小值.

證明：

Stepl:將^ABD向外旋轉(zhuǎn)60°,則可得

①AD=EF;②等邊ABDF-BD=DF

Step2:DA+DB+DC=CD+DF+EF>CE

最值問(wèn)題2一軌跡法

軌跡法：

1.標(biāo)志特點(diǎn)：遇"動(dòng)點(diǎn)”，找軌跡

2.考點(diǎn)：①兩點(diǎn)之間線段最短；②點(diǎn)到直線垂線段最短

3.軌跡類型：

①直線軌跡；

②圓軌跡；

二.軌跡找法

1.直線軌跡：

①直接看出；②瓜豆原理；③夾角定位法；7（動(dòng)’

（1）主要說(shuō)明：“夾角定位法”-7（^）'

如圖1,1為定直線，A為1上一定點(diǎn)，B為動(dòng)點(diǎn)，且AB與直線1夾角為定值，則B點(diǎn)的軌跡為直線L圖1

【示例】如圖2所示，等腰△ABC中,AB=AC,NB=3（T,D為BC上一動(dòng)點(diǎn)以AD為邊在右側(cè)作等腰△ADE,AD=AE,ZBAC=ZD

AE,則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為？￡

解析:①易證△ABD^AACE（SAS）

，NACE=30。,即E點(diǎn)軌跡為直線B。圖2°

②根據(jù)瓜豆原理，E點(diǎn)可以看做是D點(diǎn)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120。得到的點(diǎn)，則E的軌跡為BC繞點(diǎn)A旋卷120。的線段.

2.軌跡為圓：

①一中同長(zhǎng)（定義）；②定角對(duì)定邊（一般為90。）③瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)）

（1）一中同長(zhǎng)：如圖3,動(dòng)點(diǎn)A到定點(diǎn)O的距離為定值，則A點(diǎn)的軌跡為以O(shè)為圓心的圓.//'''i

:O（定點(diǎn)

、/J

、、/?

一，

圖3

【示例】如圖4.矩形ABCD中,AD=1,AB=5,E為AB上一動(dòng)點(diǎn),連接DE并將△ADE沿著DE翻折得到4DEF,則F點(diǎn)的軌跡為?

解析：TAD=DF=1,

???F是以D為圓心，1為半徑的圓，由于E點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到B,分析起始位置和終止位置，F(xiàn)的軌跡不完整，是一段弧線.

D)

圖4

⑵定角對(duì)定邊：“一般為90?！?/p>

如圖5,A為動(dòng)點(diǎn).滿足NA=90。,且ZA所對(duì)的邊BC長(zhǎng)度一定，則A點(diǎn)軌跡為以BC為直徑的圓，圓心為BC的中點(diǎn).

三.基本模型

1.點(diǎn)線軌跡：“點(diǎn)到直線垂線段最短”一斜二垂

如圖6,A為定點(diǎn),C為直線1上一動(dòng)點(diǎn),則ACNAB（垂線）

由此可推論：“斜二垂”

2.點(diǎn)圓軌跡：如圖1,A為定點(diǎn)，B為動(dòng)點(diǎn)（軌跡為以定點(diǎn)O為圓心的圓）,求AB的最大值與最小值.

解析：兩邊之差（第三邊（兩邊之和,.一>?（動(dòng)點(diǎn)）

■■d-r<AB<d+r^

即AB最大值為d+r,最小值為d-r（定點(diǎn)）*d。；

圖1

3.線線軌跡:如圖2.直線〃啊,A、B分別為。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AB的最小值.

解析：“斜二垂”X（動(dòng)點(diǎn)）1}

AB>4C,即AB最小值為AC

57病c'2

圖2

4.線圓軌跡：如圖3,A為圓O上動(dòng)點(diǎn)，B為直線1上動(dòng)點(diǎn)，則.AB>CD.

:C〕d（動(dòng)點(diǎn)）

（動(dòng)點(diǎn)）BD

圖3

最值問(wèn)題3-胡不歸與阿氏圓

胡不歸問(wèn)題（變速問(wèn)題

1.問(wèn)題形式:如圖1,A、C為定點(diǎn),B為直線CB上一動(dòng)點(diǎn)，求AB+kBC的最小值（l<k<0）

2.特征：動(dòng)點(diǎn)在直線上

3.解題步驟:如圖2

Stepl:異側(cè)造RtACBT,使得sinC=k

Step2:作BT±CT,則BT=kBC,系數(shù)化“1”

，AB+kBC=AB+BT>AT'

【點(diǎn)撥】作圖時(shí)，以BC為斜邊在異側(cè)找直角邊=卜1^

二邛可波羅尼斯圓

I.問(wèn)題形式:如圖3,A、C為定點(diǎn),B為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，求AB+kBC的最小值（l<k<0）

2.特征:①動(dòng)點(diǎn)在圓上;②隱含條件:r=kOC

3.解題步驟:如圖4

Step）:以BC與圓心框出△CBO,并取OT=kr（T為定點(diǎn)）

Step2:易證△BOT^ACOB(SAS)

/.BT=kBC

AB+kBC=AB+BT>AT

最值問(wèn)題4-代數(shù)法

一.代數(shù)法

1.求函數(shù)解析式:①二次函數(shù);②like函數(shù)（均值不等式）；

2.解題思路：以主動(dòng)點(diǎn)作為自變量，求出函數(shù)解析式進(jìn)而求得最值

二.基本函數(shù)類型：

1.二次函數(shù):y=ax2+bx+c（a*0）

利用配方法或圖像法直接求解最值，這里不作詳細(xì)講解

【例1】（2019自編）如圖2,等腰△ABC中,D為BC上一動(dòng)點(diǎn)E為AC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD、DE,D、E滿足N1=NB=NC,若AB=

5,BC=6,則在D移動(dòng)過(guò)程中,CE的最大值為.

解析:B為主動(dòng)點(diǎn),即自變量,設(shè)BD為x,則CD=6-x,易證：

△ABD^ACDE,則CE=史券=言竺當(dāng)x=3時(shí),CE最大值

2.Like函數(shù)y=ax+2,這里只作ax>0,bx>0時(shí)候的探索

bx

核心技巧：均值不等式"a+b>2而，

【例2】（1）求函數(shù)y=x+5（x>0）的最小值；⑵求函數(shù)曠=6乂十]（?0）的最小值；

解析M)y=x+j>2lx-[=2,即y的最小值為2

(2)y=6x+^>2J6x-^=2V2

[例3]（2018成都B27改編）如圖3,已知RtAABC中高AD=3,則A4BC面積的最小值為2.解析：B點(diǎn)可動(dòng)，設(shè)BD為x,由射影定理可

知CD=?

■-S=l(x+^42］兄9=9

ABC圖3

第5講旋轉(zhuǎn)

一、基本性質(zhì)：

1、性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)邊相等；②對(duì)應(yīng)角相等；③旋轉(zhuǎn)角相等(對(duì)應(yīng)邊的夾角，第3個(gè)用8字)

2、必記:①轉(zhuǎn)60。,兩個(gè)等邊4;②轉(zhuǎn)90。.兩個(gè)等腰直;③轉(zhuǎn)120。,兩個(gè)1:1:V3

3、基本模型

【模型1半角模型】

如圖,已知正方形ABCD中，NMAN=45。,則有：

(1)MN=BM+DN;A/口

(2)CACMN=2x,正方形邊長(zhǎng)；

222

(3)EF=BE+DF;B~

(4)AM平分NBMN,AN平分NDNM;圖

(5)A到MN距離等于正方形邊長(zhǎng)；

(6)△AEN、△AFM都是等腰直角三角形(初三證);

【模型2"丫”字模型】(略一寒假已重點(diǎn)講解)

【模型3費(fèi)馬點(diǎn)】“丫”字模型的特殊轉(zhuǎn)法

如圖,已知△ABC,I￡AABC內(nèi)找一點(diǎn)P,使得PA+PB+PC的值最小，求最小值？爾、

Step2:連接對(duì)頂點(diǎn)AD,則AD即為PA+PB+PC的最小值\/

【備注】暫時(shí)記住，不需要知道為什么！Y

4、一條線段的最值問(wèn)題：①點(diǎn)到直線垂線段最短；②兩邊只差〈第三邊(兩邊之和(共線可取等)

⑴如圖所示，D點(diǎn)從△ABC中BC邊的B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在此過(guò)程中AD的最值為？

解析:①垂直時(shí).即ADi為AD最小值;②越遠(yuǎn)離Di,AD越長(zhǎng),則此圖中AB即為AD最大值.

A

(2)如圖所示,AB=a,BC=b,求線段AC的最值？C

解析:a-b<AC<a+b/\DB

AaB5

【備注】三角形的確定為問(wèn)題線段+旋轉(zhuǎn)中心眾當(dāng)有90。時(shí).旋轉(zhuǎn)中心一般為斜邊中點(diǎn)

5、旋轉(zhuǎn)兩種方式：

⑴轉(zhuǎn)條件：①找到等長(zhǎng)共頂點(diǎn)以及旋轉(zhuǎn)中心；②找到想要轉(zhuǎn)移的條件線段確定三角形；③構(gòu)造等腰三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

⑵轉(zhuǎn)問(wèn)題：①找到等長(zhǎng)共頂點(diǎn)以及旋轉(zhuǎn)中心；②找到想要轉(zhuǎn)移的問(wèn)題線段確定三角形；③構(gòu)造等腰三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

【備注】?jī)煞N旋轉(zhuǎn)方式優(yōu)先主推旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，這是最簡(jiǎn)潔的方式！

【例題展示】(2018自編)點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),BC=3,AB=2,以AC為邊作等邊△ACD,連接BD,則線段BD的最大值為一

(法一)“轉(zhuǎn)條件”

【思路】如圖所示，利用條件AB、BC以及等長(zhǎng)線段AC確定旋轉(zhuǎn)△ABC

【解析】繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)△ABC至八AED處,易證等邊4ABE（轉(zhuǎn)60。,兩個(gè)等邊）D

???AB=BE=AE=2,BC=DE=3

ADE-BE<BD<DE+BE

即1<BD<5

???3013ax=5

（法二）“轉(zhuǎn)問(wèn)題”

【思路】如圖所示，利用條件BD以及等長(zhǎng)線段AD確定旋轉(zhuǎn)八ABD

【解析】繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)△ABD至^DCE處,易證等邊4DBE（轉(zhuǎn)（60。,兩個(gè)等邊）

.,.BD=BE=DE,AB=CE=2

?.,DC-CE<BE<DC+CE

即19ES5

A3。國(guó)ax=BE曰ax=5

第6講幾何變化之旋轉(zhuǎn)

一、幾何變化之旋轉(zhuǎn)（“手拉手”全等逆過(guò)程）

1、標(biāo)志:①等線段②共端點(diǎn)

1,①等線段:AB=AC;②共端點(diǎn):公共端點(diǎn)A;③旋轉(zhuǎn):將^ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ACE處

【警示】線段之和必先證明“三點(diǎn)共線”

3、作用：轉(zhuǎn)移線段、角度.

4、性質(zhì)：（1）角度：對(duì)應(yīng)角相等、旋轉(zhuǎn)角相等；（2）對(duì)應(yīng)邊相等：兩組等腰三角形

【點(diǎn)撥1】“旋轉(zhuǎn)角相等”

如圖2所示,△ABD當(dāng)△ACE

NBAC=NDAE=NBFC（其中ZBFC需使用“8”字證明相等）

[點(diǎn)撥2]①旋轉(zhuǎn)90。,兩個(gè)等腰RtA;②旋轉(zhuǎn)60°,兩個(gè)等邊4

（1）如圖3,將^ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。至4ACE處,則

有:①等腰R3ABC、②等腰RtAADE

☆等腰RtA:AB:AC:BC=1:1:V2

（2）如圖4,將4ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60。至八ACE處,貝

有:①等邊△ABC、②等邊R3ADE

等邊△:AB:AC:BC=1:1:1

5、常見(jiàn)的等線段共端點(diǎn)：①相等線段；②等腰三角形；③正方形；④中點(diǎn)；⑤斜邊中線

6、解決問(wèn)題：(1)線段關(guān)系：和差關(guān)系(截長(zhǎng)補(bǔ)短)、平方關(guān)系(勾股定理)

⑵線段的計(jì)算

⑶問(wèn)題轉(zhuǎn)化

二、半角模型：(90。夾45。)

如圖，已知正方形ABCD中，NMAN=45。,則有：

(1)MN=BM+DN;

(2)CCMN=2x正方形邊長(zhǎng)；

(3)EF2=BE2+DF2;

圖

(4)AM平分NBMN,AN平分NDNM;10

(5)A到MN距離等于正方形邊長(zhǎng)；

(6)△AEN、△AFM都是等腰直角三角形(初三證);

【示例證明1]"MN=BM+DN”

如圖11,將^ADN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP處

???ND=NABP=90。，Z1=Z2

AP=AN

VZABP+ZABM=180°

圖U

???P、B、M三點(diǎn)共線(旋轉(zhuǎn)輔助線要證明三點(diǎn)共線)

???41+42=90°-45°=45°

AZ1+Z3=45°

NPAM=NMAN

又?.?AP=AN,AM=AM

.,.△APM也△ANM(SAS)

???PB+BM=MN

即MN=BM+DN

【示例證明2VEF2=BE2+DF2"

如圖12,將將△ADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP處,連接PE

JZADF=ZABP=45°,Z1=Z2

AP=AF

，ZPBE=90°

PB2+BE2=PE2

易證△APE之AAFE(SAS)

EF2=BE2+DF2

三、“丫”字模型:

1、“丫”字：平面內(nèi)一點(diǎn)向三角形（主要是等腰三角形）三個(gè)頂點(diǎn)的連線形成的“丫”字圖形.其中,a、b.c稱之為“丫”線,中心點(diǎn)O稱

之為“丫”點(diǎn).

2、“丫”字的分類:

①內(nèi)丫：當(dāng)丫點(diǎn)。在三角形內(nèi)部時(shí)，我們稱之為內(nèi)丫，如圖14

②線丫：當(dāng)丫點(diǎn)。在三角形邊上時(shí)，我們稱之為線丫，如圖15圖13

③外丫：當(dāng)丫點(diǎn)0在三角形外部時(shí)，我們稱之為外丫，如圖16

3、問(wèn)題類型:

⑴證明a、b、c的和差關(guān)系（含系數(shù)），利用旋轉(zhuǎn)截長(zhǎng)補(bǔ)短；

（2）證明a、b、c的平方關(guān)系

（3）求解線段長(zhǎng)度及角度

4、?？既惖妊切危?/p>

①等邊三角形；②等腰直角三角形；③120。等腰三角形；

圖17gIS圖19

5、重要結(jié)論：

⑴“內(nèi)丫”

I）等邊三角形：

等邊△ABC,AB=AC;D為內(nèi)部一點(diǎn)，當(dāng)b2+a2=c?時(shí)，旋轉(zhuǎn)△4B0,則有結(jié)論:

①B、D、E“不”共線;

②NADB=NAEC=90°+60°=150°;

B

II)等腰直角三角形：

等腰RtAABC,AB=AC;D為內(nèi)部一點(diǎn),當(dāng)/+(V2a)2=c?時(shí),旋轉(zhuǎn)△ABD.則有結(jié)論:

①B、D、E三點(diǎn)共線；

②ZADB=ZAEC=90°+45°=135°;

III)120。等腰三角形：

等腰△ABC,AB=AC;,ZBAC=120°,D為內(nèi)部一點(diǎn)，當(dāng)b2+(V3a)2=cZ時(shí),旋轉(zhuǎn)△ABD,則有結(jié)論：

①B、D、E“不”共線；

B1，

②ZADB=ZAEC=90°+30°=120°;

⑵“線丫”

I)等邊三角形：

等邊△ABC,D為BC上一點(diǎn),旋轉(zhuǎn)△ABD至&ACE,連接DE,則有結(jié)論：

A

①/DCE=60°+60°=120°;/U

②已知a、b、c中任意兩條邊可以求第三條邊；

II)等腰直角三角形：

等腰RtAABC中,D為BC上一點(diǎn),旋轉(zhuǎn)△ABD至&