2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圖形的相似與位似過關(guān)檢測（解析版）

專題19圖形的相似與位似過關(guān)檢測

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分,共30分）.

1.婺x10則工■等于（）

y7x-y

A.20C.10D.17

17TT

【答案】c

【解答】解：「Wh10

yT

??.設(shè)x=10左，y=7k,

x10k_10k_10

x-y10k-7k3k3

故選：C.

2.如圖所示，在△NBC中,DE//BC,若40=2,AB=6,則迪=)

EC

A.2B.111

33~24

【答案】c

【解答】解:■.■DE//BC,

.AD=AE

,DBEC，

AD=2,AB=6,

.'.DB=AB-AD=4,

.AE_-A-D-—=—1，

ECDB2

故選:C.

3.如圖,DF//AC,DE//BC,下列各式中正確的是（)

AE=BDAD=AB

CECDDEBC

【答案】￡*

【解答】解：“尸〃NC,

.?.延=史，所以/選項錯誤;

BDBF

■.■DE//BC,

，AE-

一義,所以C選項錯誤;

ECBD

而AD

麗-

-C-F,

BF

--

-AE-C-F,

CEBF

-：DE//CF,DF//CE,

■.四邊形DECF為平行四邊形，

：.CF=DE,

.?.嶇=邁，即坐=出，所以8選項錯誤；

CEBFDEBF

■：DE//BC,

.?.嶇gpAD=AB,所以。選項正確.

ABBCDEBC

故選：D.

4.如圖，△/BC與△。環(huán)位似，點O為位似中心.已知。/：0D=\-3,則△/BC與△￡>￡尸的面積比為

()

o

A.1：3B.2：34：5D.1：9

【答案】。

【解答】解：：AABC與RDEF位似，

??.△ABCs/\DEF,AB//DE,

/\OAB^/\ODE,

：.AB-DE=OA-OD=1：3,

.?.△N5c與△。跖的面積比為1：9,

故選：D.

5.如圖，△48。中，乙5=60。，48=6,BC=8.將△48C沿圖中的?！昙糸_.剪下的陰影三角形與原三

角形不相似的是（）

A60°/60

BD

。5c

【答案】。

【解答】解：/、ZC=ZC,乙DEC=LB=60°,

△DEC—dABC,

故/不符合題意;

B、???ZC=ZC,ACDE=AB,

：./XCDE^/XCBA,

故3不符合題意;

C、由圖形可知，BE=AB-AE=6-2=4,

BD=BC-CD=S-5=3,

??巫里普」

'BC短節(jié)T

.BE_BD

一而怎，

又AB=AB,

:.△BDE—4BAC,

故C不符合題意；

D、由已知條件無法證明△/￡＞、與△/3C相似，

故。符合題意，

故選：D.

6.如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為了測量學(xué)校旗桿的高度，小明同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保

持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到他剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已知小明的眼睛離地面高度

為1.6加，同時量得小明與鏡子的水平距離為2加，鏡子與旗桿的水平距離為12m,則旗桿高度為（）

【答案】C

【解答】解：如圖，由題意得，AB=1.6m,BC=2m,CD=12m,

根據(jù)鏡面反射可知：AACB=AECD,

■.■ABLBD,DELBD,

AABC=AEDC=9Q°,

/XACBs^ECD,

■ABCBRn1.62

EDCDED12

:.ED=9.6(m),

故選：C.

卞

/E

D

BC

7.在三角形A8O中，已知點/（-6,3）,8（-6,-4）,以原點O為位似中心，相似比為上，把△/B。

3

縮小，則點/的對稱點，的坐標(biāo)是（）

A.（-2,1）B.（-8,4）

C.（-8,4）或（8,-4）D.（-2,l）或（2,-1）

【答案】。

【解答】解：：以原點。為位似中心，相似比為工，把a(bǔ)/B?？s小，點/的坐標(biāo)為（-6,3）,

3

???點/的對稱點4的坐標(biāo)為（-6X_1,3X』.）或（6X_1,-3X_1）,即（-2,1）或（2,-1）,

3333

故選：D.

8.如圖，在等邊三角形A8C中，8c=6,點。是邊上一點，且5D=2,點尸是邊8C上一動點（。、P

兩點均不與端點重合），作乙。?￡=60°,PE交邊/C于點E.若CE=a,當(dāng)滿足條件的點尸有且只有

一個時，貝人的值為（）

A.4B.HC.旦D.5

32

【答案】C

【解答】解：；^ABC是等邊三角形，

Z5=ZC=60°,

ABDP+ABPD=180°-AB=120°,

:乙DPE=60°,

ABPD+ACPE=\20°,

乙BDP=乙CPE,

Z5=ZC=60°,

/\BDP^ACPE;

.BD_BP

"CP"CE'

.2BP

6-BP=a'

：.BP2-6BP+2a=0,

???滿足條件的點P有且只有一個，

???方程BP2-6BP+2a=0有兩個相等的實數(shù)根,

=62-4x2a=0,

故選：C

9.如圖，四邊形是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊：使。/邊落在。C邊上，點/落在

點H處,折痕為DE；使C3邊落在CD邊上，點2落在點G處，折痕為CF.若矩形HEFG與原矩形A

【答案】C

【解答】解：設(shè)HG=x,

,?,四邊形/BCD是矩形，

AA=AADH=90°,AD=BC=\,

由折疊得：AA=AAHE=9Q°,AD=DH=\,BC=CG=1,

???四邊形疝》?是矩形，

■：AD=DH,

四邊形4DHE是正方形,

：.AD=HE=1,

矩形HEFG與原矩形ABCD相似，

"ADDC'

?.?x—_―--1---,

11+x+l

解得：x=V2-1或x=-V2-1,

經(jīng)檢驗：x=V2-1或工=-V2-1都是原方程的根，

GH=V2-1,

.'.DC=2+x=V^+l,

故選：C.

10.如圖，正方形NBC〃的邊長為4,點￡,尸分別在邊DC,8C上，且8尸=CE,/￡平分4C4D,連接。

F,分別交/C于點G,M.尸是線段NG上的一個動點，過點尸作尸NL/C,垂足為N,連接尸"有

下列四個結(jié)論：

①4E垂直平分。河；

②PM+PN的最小值為3加；

③CF2=GE?AE；

④S/DM=6^2-

其中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

【答案】。

【解答】解：①,??四邊形ABCD是正方形，

:.AD=DC=BC,AADC=ADCB=90°,

：BF=CE,

：.BC-BF=DC-CE,

即CF=DE,

在△/￡?￡1和△/),中，

'AD=DC

?ZADE=ZDCF,

DE=CF

ZXADE經(jīng)ADCF(SAS),

乙DAE=ACDF,

ACDF+AADG=90°,

ADAE+AADG=90°,

AAGD=90°,

AAGM=90°,

乙AGM=AAGD,

???/E平分乙C/D,

乙MAG=ADAG,

又/G為公共邊，

AAGM^^AGD(ASA),

：.GM=GD,

XvAAGM=AAGD=90°,

r./E垂直平分。

故①正確；

②如圖，連接AD與/C交于點。，交/G于點H,連接

???四邊形/BCO是正方形，

：.ACVBD,

即DOLAM,

???/E垂直平分DW,

：.HM=HD,

當(dāng)點P與點H重合時，PM+PN的值最小，此時PM+PN=HM+HO=HD+HO=D0,即PM+PN的最小

值是。。的長，

???正方形ABCD的邊長為4,

,-.AC=BD=4&,

D0=yBD=2V2>

即PM+PN的最小值為272,

故②錯誤；

③?.ZE垂直平分DM,

ADGE=90°,

???AADC=90°,

乙DGE=AADE,

又乙DEG=AAED,

/\DGE^/\ADE,

.DE_GE

"AE"DE'

即DE2=GE-AE,

由①知CF=DE,

CF2=GE'AE,

故③正確；

④?.,/￡1垂直平分DM,

.■.AM=AD=4,

又D0=2加，

"△ADM9AM叩0卷X4X2亞=4近，

故④錯誤；

綜上，正確的是：①③，

故選：D.

AD

二、填空題（本題共6題，每小題2分，共12分）。

11.若四條線段。，b,c,d成比例，其中b=3,c=4,d=6,則a=2.

【答案】2.

【解答】解：根據(jù)題意得m3=4：6,

所以a=2.

故答案為：2.

12.已知八ABCs4DEF,其相似比為2：3,則它們的周長之比為2：3.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：?.?△/BCsaOEF,其相似比為2：3,

.,.它們的周長比為2：3,

故答案為2：3.

13.已知線段。=3cm,6=4?！ǎ敲淳€段a、6的比例中項等于_2^3_cm.

［答案】見試題解答內(nèi)容

［解答］解：；線段a=3cm,b=4cm,

???線段a、b的比例中項=X4=2我°九

故答案為：2Vs.

14.如圖，AB//CD//EF,如果/C：CE=2：3,BF=10,那么線段。立的長為6.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：

.BD=AC=2_

"DFCEE，

■,BF=10,

；.DF=10x3=6；

5

故答案為：6.

15.如圖，在△48。中，點。為3c邊上的一點，S.AD=AB=2,ADLAB.過點。作DE_L4D,DE交A

。于點E.若?！?1,則△ABC的面積為4.

【解答】解：■■■ABVAD,AD1DE,

...乙BAD=LADE=90。,

.'.DE//AB,

/_CED=/_CAB,

?:乙C=LC,

:./\CEDsdCAB,

<DE=1,AB=2,BPDE：AB=1：2,

???S^DEC：S^ACB=1：4,

,,S四邊形48DE:S^ACB—3：4,

S四邊形4BDE=SLABD+SLADE=-1-X2x2+-Lx2x1=2+1=3,

S^ACB=4,

故答案為：4.

16.如圖，四邊形A8CD是正方形，點E在C8的延長線上，連接NE,/尸，/￡交CD于點個連接跖,

點〃是斯的中點，連接38,則下列結(jié)論中：

①BE=DF；

②乙BEH=ABAH；

③里

CF2

④若N2=4；DF=1,則△AE77的面積為3.

2

［答案】①②③.

【解答】解：①四邊形ABCD是正方形，

：.AB=AD,AADC=/_BAD=/LABC=90°,

；.乙ABE=9Q°=LADE,

■.-AE1AF,

AEAF=ABAD=90°,

/_BAE=Z_DAF,

/\ABE^/\ADF(ASA),

:?BE=DF,

故①的結(jié)論正確；

②:AABE*ADF,

：.AE=AF,

???”點跖的中點,

??.AH工EF,

乙BEH=乙BAH,

故②的結(jié)論正確；

③?：乙AGH=LEGB,AAHG=AEBG=90°,

/\AGH^/\EGB,

.AGGH

,/(AGE=乙HGB,

叢AGE—AHGB,

乙AEG=乙HBG,

'：AE=AF,乙EAF=90。,

A/LAEF=45°,

/.AHBG=45°,

乙CBH=45°,

過H作HKLBC于點K,

是好的中點，

，於是△CEF的中位線,

■.CF=2HK,

?.2〃8K=45°,

：.BH=42HK,

.BHV2

,--=---,

CF2

故③的結(jié)論正確；

④???48=4；DF=1,

:.BE=DF=1,CF=4-1=3,

:.HK=1.CF=3.,

22

13

?SABEH=7BE-HK=7，

故④的結(jié)論錯誤；

???正確的是：①②③.

故答案為：①②③.

三、解答題（本題共7題，共58分）。

17.（6分）已知：a：b-c=3：4：5.

（1）求代數(shù)式3a-b+c的值;

2a+3b-c

（2）如果3a-b+c=10,求匹b、c的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：:a：b：c=3：4：5,

?,?設(shè)a=3左，b=4k,c=5k,

（1）3a-b+c=9k-4k+5k=10.

2a+3b-c6k+12k-5k13

(2)3(z-b+c=10,

■■.9k-4k+5k=10,

解得左=1,

-'-a=3,6=4,c=5.

18.（8分）如圖，在△48C中，AB=AC,AD_L/C于點D

（1）在邊上求作點￡,使（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，連接DE,若48=6,DE=2.求。。的長.

(2)A.

3

：.BE=CE,

,.DE=2,

：.BC=4,

?/△ACEs^BCD,

-AC-CEpn6_2

BCCD4CD

解得CD=A.

3

19.(8分)如圖，在△48C中，D,E分別是4C,48上的點，AADE=AB,AB=10,AD=8,DE=4.

(1)求證：/\ADE^/\ABC-,

(2)求8C的長.

【答案】（1）見解析；

（2）BC的長為5.

【解答】（1）證明：AADE=AB,又乙4=乙4,

AADE-^AABC；

（2）解：由（1）得：/\ADEs/\ABC,處理，

ABBC

即旦，，

10BC

解得：BC=5,

答：2。的長為5.

20.（8分）如圖，在△N3C和△/￡>￡中，ABAD=ACAE,乙ABD=LACE.求證:

（1）AB-AE=AC-AD.

（2）/\ADE^IXABC.

［答案】見解答.

【解答】證明：(1).:乙BAD=LCAE,乙ABD=LACE,

AABDs△ACE,

.AB=AD

'ACAE'

:.AB，AE=AC?AD；

(2)'：/\ABD^/\ACE,

：.ABAD=ACAE,延=世，

ACAE

乙BAD+乙DAC=ADAC+ACAE,

即48/C=ADAE,

AB-AD

而AE

-AC

ABAE

AD

LADE—AABC.

21.（8分）如圖，李華晚上在路燈下散步.已知李華的身高48=肌燈柱的高。P=。，P'=1,兩燈柱之

間的距離。O'=m.

（1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a,求他影子/C的長;

（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（D4+/C）是否是定值？請說明理由;

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）由已知：/8〃。尸,

△ABC—AOPC.

.-.-AC=-A-B,

OCOP

*.*OP=/,AB=h,OA=a,

----A--C---=—h，

a+AC1

:?解得：AC矍

1-h

(2)-：AB//OP,

AABC-/XOPC,

.AB=AC=h

OP"OCV

即AC二h,即AC=h

OC-AC1-hOA1-h

同理可得：DA汽?0,A，

1-h

22.(10分)如圖，RtA/ISC,4c=90°,AC=12cm,3C=5c%.點尸從點C出發(fā)，以2c加/s的速度沿。

/向點/勻速運(yùn)動，同時點0從點2出發(fā)，以lcm/s的速度沿8C向點C勻速運(yùn)動，當(dāng)一個點到達(dá)終點

時，另一個點隨之停止.

(1)求經(jīng)過幾秒后，△PC。的面積等于△NBC面積的看？

(2)經(jīng)過幾秒，APC。與△48C相似？

【答案】(1)經(jīng)過2秒或3秒后，△PC。的面積等于面積的工；(2)經(jīng)過世秒或至秒，△PCQ

51129

與△N8C相似.

【解答】解：(1)設(shè)經(jīng)過t秒后，△尸。。的面積等于△NBC面積的工，

5

貝lj,PC=2t,BQ=t,CQ=5-t,

；」x2fx(5-/)=AxAx12x5,

225

整理得戶-5/+6=0,

解得n=2,fe=3,

,.-0</<5,

經(jīng)過2秒或3秒后，△PC。的面積等于△NBC面積的工.

5

(2)①設(shè)經(jīng)過x秒后△PCQs/\ACB,

.AC=PC

'BCCO"

-.--1-2-.--2-x-,

55-x

解得戈=9，

11

②設(shè)經(jīng)過X秒后△尸CQsABCA,

.BC=PC

"ACCO"

?.?—5-―--2-x,

125-x

解得X=生；

29

23.(10分)綜合與探究

在矩形ABCD的CD邊上取一點E