2024年河南省鄭州市聯(lián)考中考數(shù)學(xué)模擬試卷附答案解析

2024年河南省鄭州市名校聯(lián)考中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個正確的。

1.（3分）-2的相反數(shù)是（）

11

A.2B.-2C.-D.-4

22

2.（3分）“全民行動，共同節(jié)約”.我國141億人口如果都響應(yīng)國家號召每人每年節(jié)約1度電，一年可節(jié)

約電1410000000度.將“1410000000”用科學(xué)記數(shù)法表示，正確的是（）

A.14.1X108B.1.41X109

C.0.141X1O10D.1.41X1O10

3.（3分）古代中國建筑之魂一一傳統(tǒng)的樟卯結(jié)構(gòu).樟卯是中國古代建筑、家具及其它木制器械的主要結(jié)

構(gòu)方式，是在兩個木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式.如圖所示是樟卯結(jié)構(gòu)中的一個部件，它

的主視圖是（）

1_0

A.a2+a3—aB.(a-b)2—a2-b2,

C.(-3a)3=-27a3D.a3,o4=a3

5.(3分)如圖，直線。〃6,直角三角形如圖放置，NDCB=90；若Nl+/B=70°,則N2的度數(shù)為

6.（3分）下列命題中，真命題是（)

A.對角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的平行四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

7.（3分）若關(guān)于尤的方程m?-2x+l=0有實數(shù)根，則下列機的值中，不符合要求的是（）

A.2B.1C.0D.-1

8.（3分）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學(xué)和兩名女同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)異.若從以上三

名同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué)擔(dān)任主持人，則剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是（）

1112

A.一B.-C.-D.—

6323

9.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的等邊三角形AOP在第二象限，與x軸重合，將4

AO尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AiOPi,再作△4。尸1關(guān)于原點。的中心對稱圖形，得到△A2OP2,

再將△上。尸2繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△A3OP3,再作443。尸3關(guān)于原點。的中心對稱圖形，得

到△4。尸4,以此類推…，則點尸2024的坐標(biāo)是（)

D.(-2,0)

10.（3分）如圖1,在菱形A3。中，E為的中點,點廠沿AC從點A向點C運動，連接FE,FB.設(shè)

FA=x,FE+FB=y,圖2是點/運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則y的最小值是（

D.2

二、填空題（每小題3分，共15分）

n.（3分）若式子弁有意義，則實數(shù)x的取值范圍是---------------..

12.（3分）若一次函數(shù)y=a+3的圖象經(jīng)過點（2,9）,則相的值是

13.（3分）二仙坡是黃土高原“中國蘋果優(yōu)勢產(chǎn)業(yè)帶”的核心區(qū)，培育的12000多畝綠色果品基地.該基

地引進(jìn)培育了甲、乙、丙、丁四個品種的蘋果樹.為了了解每種蘋果樹的產(chǎn)量情況，從每個品種中隨機

抽取10棵進(jìn)行采摘，經(jīng)統(tǒng)計每種蘋果樹10棵產(chǎn)量的平均數(shù)無和方差?如下表：

甲乙丙丁

平均數(shù)以3）194196188191

方差S29.28.68.99.7

若從這四個品種中選出一種產(chǎn)量既高又穩(wěn)定的蘋果樹進(jìn)行種植，應(yīng)選的品種為.

14.（3分）如圖，扇形ABC圓心角為90°,將扇形A8C沿著射線8C方向平移，當(dāng)點B落到線段中

點E時平移停止，若衣的長為2m則圖中陰影部分的面積是.

BECF

15.（3分）如圖，正方形ABC。中，AB=2,E為邊CD的中點，連接AE,BE,P為邊上一動點，將

△ABP沿BP所在直線翻折，若點A的對應(yīng)點A恰好落在△A2E的邊上，則線段AP的長

為

A

B

三、解答題（本大題共8小題，共75分）

16.（10分）（1）計算：（TT-3）°-V8+（1）-2；

“%2-44-2%

⑵化簡：KG

17.（9分）甲、乙兩班各推選10名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，按照比賽規(guī)則，每人各投了10個球，根據(jù)兩個班

選手的進(jìn)球數(shù)，制作了如下統(tǒng)計圖及數(shù)據(jù)分析表.

表示甲班

甲7bc

乙a77

(1)寫出表格中a,b,c的值：a=,b=,c=；

(2)如果要從這兩個班中選出一個班參加學(xué)校的投籃比賽,你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個班比較合適？為什么？

kA

18.(9分)如圖，反比例函數(shù)尸三(x>0)和尸?(尤>0)的圖象如圖所示，點C(a,0)是無軸正半

軸上一動點，過點C作X軸的垂線，分別與y=[(x>0)和(%>o)的圖象交于點A,B.

(1)當(dāng)。=2時，線段48=/求A,8兩點的坐標(biāo)及左值.

(2)小明同學(xué)提出了一個猜想：“當(dāng)左值一定時，△048的面積隨。值的增大而減小.”你認(rèn)為他的猜

想對嗎？請說明理由.

y木

19.(9分)如圖1是開封府內(nèi)的清心樓，登上最高層，可以俯瞰開封府的全貌，尤其是欣賞到明鏡湖的園

林式美景，也能看到府外包公湖的場面.某數(shù)學(xué)興趣小組對清心樓的高度產(chǎn)生了興趣，于是開展了測量

“清心樓的高度”的實踐活動.具體過程如下：如圖2,線段AB表示清心樓，然后在地面上選取C,

。兩處分別測得/ACD和的度數(shù)；C,B,。三點在同一條直線上，測得地面上C,。兩點的距

離為49m,ZACD=45°,ZADB=62°,求清心樓AB的高度(結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin62°弋

0.88,cos62°七0.47,tan62°"1.88).

A

BD

圖1圖2

20.(9分)《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作，書中以23個定義、5個公設(shè)和5

個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題.我們的教科書中的幾何證明題就是根據(jù)書中

命題推理的.請根據(jù)你的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗解決以下問題：點。是△A8C的邊48上一點，與邊AC相

切于點E,與邊BC,分別相交于點。，F(xiàn),且DE=EF.

(1)求證：NC=90°；

(2)當(dāng)BC=6,AC=8時，求■的長.

21.(9分)某火鍋店為吸引客戶，推出兩款雙人套餐，如表是近兩天兩種套餐的收入統(tǒng)計:

數(shù)量收入

A套餐B套餐

第一天20次10次2800元

第一.天15次20次3350元

(1)求這兩款套餐的單價;

(2)A套餐的成本約為45元，8套餐的成本約為50元，受材料和餐位的限制，該火鍋店每天最多供

1

應(yīng)50個套餐，且A套餐的數(shù)量不少于B套餐數(shù)量的g,求火鍋店每天在這兩種套餐上的最大利潤；

(3)火鍋店后續(xù)推出增值服務(wù)，每個套餐可選擇再付10元即可加料，即在魚豆腐、面筋、川粉和蘑菇

中任選兩種涮菜.小明是這個火鍋店的常客，2022年他共花費1610元購買兩個套餐，其中A套餐不加

料的數(shù)量占總數(shù)量的士則小明選擇8套餐加料的數(shù)量為______個.

4

22.(10分)平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(1,0)、(3,0)兩點，點A、。在這條拋物線

上，它們的橫坐標(biāo)分別為m和m+3.

(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)-2WxWt時，y的取值范圍是-2r+5WyW15,求f的值；

(3)以線段AC為對角線作矩形ABCQ,軸(如圖).當(dāng)矩形ABC。與拋物線有且只有三個公共

點時，設(shè)第三個公共點為R若△ACF與矩形ABC。的面積之比為1：4,請直接寫出機的值.

23.(10分)綜合與實踐：折紙中的數(shù)學(xué)折紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，也是同學(xué)們喜歡的手工活動之一，

幸運星、紙飛機、千紙鶴、密信等折紙活動在生活中都廣為流傳的，通過折紙我們既可以得到許多美麗

的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識，折紙往往從長方形紙片開始，下面就讓我們帶著數(shù)

學(xué)的限光來探究一下有關(guān)長方形紙片的折疊問題，看看折疊長方形紙片蘊含著哪些豐富的數(shù)學(xué)知識.

(1)折紙1：如圖①，在一張長方形紙片上任意畫一條線段將紙片沿線段A8折疊(如圖②).

問題1：重疊部分的△ABC的形狀(是、不是)等腰三角形.

問題2：如果長方形紙片AB=4cm,BC=5cm,重疊部分△ABC的面積為cm1.

(2)折紙2：如圖③，長方形紙片ABCD,點E為邊CC上一點，將△BCE沿著直線BE折疊，使點C

的對應(yīng)點尸落在邊上，請僅用無刻度的尺子和圓規(guī)在圖③中找出點E的位置.

(3)折紙3：如圖④，長方形紙片4BCD,AB=5,BC=6,若點M為射線8C上一點，將沿著

直線AM折疊，折疊后點B的對應(yīng)點為方，當(dāng)點B恰好落在8c的垂直平分線上時，求8M的長.

備用圖

2024年河南省鄭州市名校聯(lián)考中考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個正確的。

1.（3分）-2的相反數(shù)是（）

1

A.2B.-2C.-D.-

2

【解答】解：-2的相反數(shù)是2,

故選：A.

2.（3分）“全民行動，共同節(jié)約”.我國141億人口如果都響應(yīng)國家號召每人每年節(jié)約1度電，一年可節(jié)

約電1410000000度.將“1410000000”用科學(xué)記數(shù)法表示，正確的是（）

A.14.1X108B.1.41X109

C.0.141X1O10D.1.41X1O10

【解答】解：1410000000=1.41X109,

故選：B.

3.（3分）古代中國建筑之魂一一傳統(tǒng)的樟卯結(jié)構(gòu).樟卯是中國古代建筑、家具及其它木制器械的主要結(jié)

構(gòu)方式，是在兩個木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式.如圖所示是樟卯結(jié)構(gòu)中的一個部件，它

【解答】解：它的主視圖是:

故選：C.

4.（3分）下列運算正確的是（）

A./+/=〃B.（a-b）2=cr-b2

C.（-3a）3=-27/D.a3,a4=a3

【解答】解：A、/與/不是同類項，不能合并，本選項不符合題意;

B、(a-b)2—a2-lab+lr^cr-b2,本選項不符合題意；

C>(-3a)3=-27a③，本選項符合題意；

D>a3*a4=tz7;#a3,本選項不符合題意；

故選：C.

5.(3分)如圖，直線直角三角形如圖放置，ZDCB=90°.若/l+NB=70°,則/2的度數(shù)為

【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)，Z3=Zl+ZB=70°,

'：a//b,ZDCB=90°,

；.N2=180°-Z3-90°=180°-70°-90°=20°.

A.對角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的平行四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

【解答】解：A.對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，故A是假命題，不符合題意;

B.對角線相等的平行四邊形是矩形，故B是真命題，符合題意；

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故C是假命題，不符合題意；

D.對角線相等且垂直平分的四邊形是正方形，故。是假命題，不符合題意；

故選：B.

7.（3分）若關(guān)于x的方程版-2尤+1=0有實數(shù)根，則下列機的值中，不符合要求的是（)

A.2B.1C.0D.-1

【解答】解：當(dāng)機=2時，A=（-2）2-4X2=-4,A<0,沒有實數(shù)根，故A符合題意；

當(dāng)機=2時，A=（-2）2-4X1=0,A=0,有實數(shù)根，故8不符合題意；

當(dāng)機=0時，原方程為：-2x+l=0,它是一元一次方程，有一個實數(shù)根，故C不符合題意；

當(dāng)m--1時，A=（-2）2-4X（-l）=8,A>0,有實數(shù)根，故D不符合題意，

故選:A.

8.（3分）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學(xué)和兩名女同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)異.若從以上三

名同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué)擔(dān)任主持人，則剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是（）

2

D.-

3

【解答】解:列表如下:

男女女

男（男，女）（男，女）

女（女，男）（女，女）

女（女，男）（女，女）

共有6種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的結(jié)果有4種，

42

剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率為:=--

63

故選：D.

9.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的等邊三角形AOP在第二象限，04與％軸重合，將4

AOP繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AiOP,再作△A1OP關(guān)于原點O的中心對稱圖形，得到4420尸2,

再將△AzO尸2繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△A3。尸3,再作△AsO尸3關(guān)于原點。的中心對稱圖形，得

【解答】解：如圖，過點尸作尸于點8,

???△AOP為等邊三角形，且邊長為2,

1

：.OP=OA=2,OB=^0A=1,ZAOP=6Q°,

：.PB=VOP2-OS2=V3,

.?.點P(-1,V3),

:將△AO尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△4OP1,

...點尸與點Pi關(guān)于y軸對稱，

...點R(l,V3),

:作△A1OP1關(guān)于原點0的中心對稱圖形，得至20P2,

.1.點P1于點P2關(guān)于原點對稱，

.?.點「2(-1，-V3),

:將△42。尸2繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△&3。尸3,

點尸3(-2,0),

同理”(2,0),P5(l,-V3),P6(-l,V3),....,

由此發(fā)現(xiàn)，從點P開始每變換6次一個循環(huán)，

點P2024與點P2重合，

，點P2024的坐標(biāo)是(一1,一V3).

故選：B.

10.(3分)如圖1,在菱形ABC。中，E為AB的中點，點廠沿AC從點A向點C運動，連接PE,FB.設(shè)

FA^x,FE+FB^y,圖2是點尸運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則y的最小值是()

Dy

-L

B可x

圖1圖2

A.|V3B.V3C.-V3D.2

3

【解答】解：如圖，連接BD,DE.DE、AC交于點凡BD、AC交于點O.

..?四邊形ABC。為菱形，

：.AC±BD,OB=OD.

.?.點8、。關(guān)于直線AC對稱.

：.FB=FD.

.\y最小=FB+FE=FD+FE=DE.

觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)點尸與A重合時,FE+FB=3,

即AE+AB=3>.

:點E是AB的中點，

：.AE=

1

解得：AB=2.

：.AE=EB=\,

當(dāng)點尸在點C處時，F(xiàn)E+FB=2+V7.

\'BC^AB=2,

：.FE=V7.

作CGLA8于點G.

.?.NG=90°.

設(shè)BG長x,

在RtZ\CBG中，CG2=CB1-BG2,

在RtZ\CEG中，CG2=CE2-EG2,

.\22-?=7-（1+x）2.

解得：尤=L

1

cosZCBG=2?

：.ZCBG=60°.

..?四邊形ABC。為菱形，

：.AD=BA=2,AD//CB,

：.ZDAB=6Q°.

.?.△BA。為等邊三角形.

J.DB^DA.

:點E是CB的中點，

J.DELAB.

：.ZDEA^90°.

：.DE=V3.

J.FB+FE的最小值為百.

的最小值是舊.

故選：B.

二、填空題（每小題3分，共15分）

A/X+1

11.（3分）若式子-有意義，則實數(shù)X的取值范圍是且S2

x-2--------------------------

【解答】解：???式子_■\/x+1_有意義，

x-2

:?x+lNO,%-2W0,

解得：了2-1且xW2,

故答案為：-1且％W2.

12.（3分）若一次函數(shù)y=mx+3的圖象經(jīng)過點（2,9）,則機的值是3.

【解答】解：依題意得：9=2m+3,

解得：m=3,

故答案為：3.

13.（3分）二仙坡是黃土高原“中國蘋果優(yōu)勢產(chǎn)業(yè)帶”的核心區(qū)，培育的12000多畝綠色果品基地.該基

地引進(jìn)培育了甲、乙、丙、丁四個品種的蘋果樹.為了了解每種蘋果樹的產(chǎn)量情況，從每個品種中隨機

抽取10棵進(jìn)行采摘，經(jīng)統(tǒng)計每種蘋果樹10棵產(chǎn)量的平均數(shù)尤和方差52如下表:

甲乙丙T

平均數(shù)元（如）194196188191

方差S29.28.68.99.7

若從這四個品種中選出一種產(chǎn)量既高又穩(wěn)定的蘋果樹進(jìn)行種植，應(yīng)選的品種為乙.

【解答】解：因為丙、丁的平均數(shù)比甲、乙的平均數(shù)小，

而乙的方差比甲的小，

所以乙的產(chǎn)量既高產(chǎn)又穩(wěn)定，

所以產(chǎn)量既高又穩(wěn)定的蘋果樹進(jìn)行種植，應(yīng)選的品種是乙；

故答案為：乙.

14.（3分）如圖，扇形圓心角為90°,將扇形ABC沿著射線方向平移，當(dāng)點3落到線段中

點E時平移停止，若前的長為2m則圖中陰影部分的面積是3

【解答】解：：扇形ABC圓心角為90°,左的長為如,

廠=4,

：.AB=BC^4,

:點E是8C的中點，

:.BE=2,

?'?S陰影=S扇形DEF+S矩形ABED-S扇彩BAC=S矩形ABED=2X4=8.

故答案為：8.

15.（3分）如圖，正方形A8CD中，AB=2,E為邊C。的中點，連接AE,BE,P為邊AO上一動點，將

沿8尸所在直線翻折，若點A的對應(yīng)點A恰好落在△ABE的邊上，則線段AP的長為1MV5-1

【解答】解：分兩種情況：

①如圖所示，當(dāng)點A落在AE上時,

'：AP=A'P,AB=A'B,

...8尸垂直平分AE,

/ABP+/BAE=90°=ZDAE+ZBAE,

：./ABP=ZDAE,

X".'AB=AD,ZBAP=ZADE=90°,

：.AABP^ADAE(ASA),

J.AP^DE,

:正方形ABC。中，AB=2,E為邊C￡＞的中點,

：.DE=1,

；.AP=1；

②如圖所示，當(dāng)點A落在BE上時，連接PE,

設(shè)AP=x,貝ij。尸=2-無，A'P=x,

由折疊可得，A3=AB=2,N2AP=NB4P=90°,

RtABCE中，BE=“2+22=同

.?.A'E=V5-2,

??A'P2+A'E2=PE1=PEr+DE1,

；./+(V5-2)2=(2-x)2+l2,

解得x=V5—1.

：.AP=y/5-l.

綜上所述，線段AP的長為1或有-L

故答案為：1或小一1.

三、解答題(本大題共8小題，共75分)

16.(10分)(1)計算：(n-3)°-V8+(1)-2；

X2-44-2x

(2)化簡:-7+(%一)?

X2-4%+4X-2

【解答】解：(1)原式=1-2V2+4

=5-2V2;

(%+2)(2—2)%2—2%—4+2%

(2)原式=-4-----------------------

。-2)2x—2

_x+2.%2—4

x—2x—2

=x+2.x-2

%—2(%+2)(x-2)

—_x_+_2?----1---

―x-2x+2

1

x=2'

17.,按照比賽規(guī)則，每人各投了10個球，根據(jù)兩個班

班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲7bC

乙a77

(1)寫出表格中a,b,c的值：a—7,b—7,c—7；

(2)如果要從這兩個班中選出一個班參加學(xué)校的投籃比賽,你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個班比較合適？為什么？

【解答】解：(1)甲班10名同學(xué)進(jìn)球數(shù)從小到大排列為：5、5、5、7、7、7、7、8、9、10,

所以中位數(shù)6=竽=7,

乙班10名同學(xué)進(jìn)球數(shù)從小到大排列為：5,5,7,7,7,7,7,8,8,9,7出現(xiàn)的次數(shù)最多，

1

平均數(shù)為：—X(5X2+7X5+8X2+9X1)=7(個)，

10

，〃=7,。=7

故答案為：7,7,7；

(2)乙班，理由如下：

甲班選手進(jìn)球數(shù)的方差為：S,2=^x[(10-7)2+(9-7)2+(8-7)2+4X(7-7)2+3X(5-7)

4=2.6；

乙班選手進(jìn)球數(shù)的方差為：S；=^x[(9-7)2+2X(8-7)2+5X(7-7)2+2X(5-7)2]=1.4；

根據(jù)題意得：兩個班成績的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)相同，但甲班選手進(jìn)球數(shù)的方差大于乙班選手進(jìn)球數(shù)

的方差，

...乙班選手成績更穩(wěn)定，

應(yīng)選乙班.

k

18.(9分)如圖，反比例函數(shù)y=芻和(尤A>°)的圖象如圖所示，點C(a,0)是無軸正半

kA

軸上一動點，過點。作x軸的垂線，分別與丁=1(x>0)和>=￡(x>0)的圖象交于點A,B.

(1)當(dāng)。=2時，線段AB，，求A,8兩點的坐標(biāo)及左值.

(2)小明同學(xué)提出了一個猜想：“當(dāng)女值一定時，△048的面積隨。值的增大而減小.”你認(rèn)為他的猜

想對嗎？請說明理由.

y

6卜

【解答】解：由題意可知：點C為⑶0）,則點2坐標(biāo)為（a,［點A坐標(biāo)為（〃，一）.

攵\\

--l3!

(1)當(dāng)〃=2時，則點A為(2,2z7

：.BC=3.

9

\9AB=

3

：.AC=AB-BC=去

._3

,*-2—2,

k=-3.

???點A為（2,一個，點8為（2,3）,女的值為-3.

（）由題意可知：AB=---=―,OC=a.

2CLClCL

S/^OAB—2AB,OC=2?a,—-—=2（6-k）———2k+3.

值一定，

：.AOAB的面積一定，

小明猜想不正確.

19.（9分）如圖1是開封府內(nèi)的清心樓，登上最高層，可以俯瞰開封府的全貌，尤其是欣賞到明鏡湖的園

林式美景，也能看到府外包公湖的場面.某數(shù)學(xué)興趣小組對清心樓的高度產(chǎn)生了興趣，于是開展了測量

“清心樓的高度”的實踐活動.具體過程如下：如圖2,線段表示清心樓，然后在地面上選取C,

D兩處分別測得NAC。和/AD2的度數(shù)；C,B,。三點在同一條直線上，測得地面上C,。兩點的距

離為49機，ZACD=45°,ZADB=62°,求清心樓AB的高度（結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin62°?

0.88,cos62°仁0.47,tan62°仁1.88）.

圖1圖2

【解答】解：由題意知：AB-LCD.

在RtZXABC中，

VZAC￡)=45°,

：.ZCAB=ZACD=45°.

：.BC=AB.

在RtZXAB。中，

AR

VsinZAC￡)=gg,

??""一tan乙ADB

AB

~tan62°

AB

x188

等艮

?；CB+BD=CD,

25

：.AB+^AB=49.

.?.48^19.83^20(機).

答:清心樓42的高度約為20〃z.

20.(9分)《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作，書中以23個定義、5個公設(shè)和5

個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題.我們的教科書中的幾何證明題就是根據(jù)書中

命題推理的.請根據(jù)你的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗解決以下問題：點。是△A8C的邊A8上一點，與邊AC相

切于點E,與邊3C,AB分別相交于點。，F(xiàn),且DE=EF.

(1)求證：ZC=90°；

(2)當(dāng)BC=6,AC=8時，求A尸的長.

C

E

【解答】(1)證明：連接OE、BE,

,:DE=EF,

：.DE=EF,

：.ZDBE=NABE,

;OB=OE,

：.ZOEB=ZABE,

：.ZDBE=ZOEB,

：.OE//BC,

：.ZAEO=ZC,

???。0與邊AC相切，

ZAEO=90°,

：.ZC=90°；

（2）解：設(shè)。。的半徑為r,

在RtZXABC中，ZC=90°,BC=6,AC=8,

則AB=y]BC2+AC2=V62+82=10,

*：OE〃BC,

：.AAOE^AABC,

OEAOr10-r

—=—,即-=----，

BCAB610

解得：r=苧，

155

：.AF=10-^-x2=^.

21.(9分)某火鍋店為吸引客戶，推出兩款雙人套餐，如表是近兩天兩種套餐的收入統(tǒng)計:

數(shù)量收入

A套餐8套餐

第一天20次10次2800元

第二天15次20次3350元

(1)求這兩款套餐的單價；

(2)A套餐的成本約為45元，2套餐的成本約為50元，受材料和餐位的限制，該火鍋店每天最多供

應(yīng)50個套餐，且A套餐的數(shù)量不少于8套餐數(shù)量的g求火鍋店每天在這兩種套餐上的最大利潤；

(3)火鍋店后續(xù)推出增值服務(wù)，每個套餐可選擇再付10元即可加料，即在魚豆腐、面筋、川粉和蘑菇

中任選兩種涮菜.小明是這個火鍋店的?？?，2022年他共花費1610元購買兩個套餐，其中A套餐不加

料的數(shù)量占總數(shù)量的士則小明選擇8套餐加料的數(shù)量為5個.

4

【解答】解：(1)設(shè)A套餐的銷售單價為〃元，B套餐的銷售單價為b元，

根據(jù)題意得：｛譽"黑=嫖"

115a+20b=3350

解得.[a=90

用牛倚.匕=ioo,

答：A套餐銷售單價為90元，3套餐銷售單價為100元；

(2)設(shè)售出A套餐機個，則售出5套餐(50-機)個，

根據(jù)題意得：m>(50-m),

解得：m>拳

設(shè)火鍋店每天的總利潤為w元，貝！J卬=(90-45)m+(100-50)(50-m),

?"=-5m+2500.

??,-5<0,

??.w隨機的增大而減小,

又：心手，且加為正整數(shù)，

當(dāng)機=9時，w取得最大值，最大值=-5X9+2500=2455.

答：火鍋店每天在這兩種套餐上的最大利潤為2455元；

(3)設(shè)小明選擇A套餐不加料數(shù)量為x個，A套餐加料和8套餐不加料共y個，則8套餐加料數(shù)量為

(3x-y)個，

根據(jù)題意得：90x+100y+110(3尤->)=1610,

.,.y—42x-161.

'.'x,y,3x-y均為正整數(shù),

.(x=4

?%=7，

3x-y=5,

/.小明選擇B套餐加料的數(shù)量為5個.

故答案為：5.

22.(10分)平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+bx+c經(jīng)過(1,0)、(3,0)兩點，點A、C在這條拋物線

上，它們的橫坐標(biāo)分別為機和m+3.

(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)-2WxWt時，y的取值范圍是-2r+5WyW15,求，的值；

(3)以線段AC為對角線作矩形ABC。，軸(如圖).當(dāng)矩形ABC。與拋物線有且只有三個公共

點時，設(shè)第三個公共點為「若△ACF與矩形A8CD的面積之比為1：4,請直接寫出機的值.

【解答】解：(1)將點(1,0)、(3,0)代入y=xL+bx+c,得:

拋物線的解析式為y=f-4x+3；

(2)y=x1-4尤+3=(x-2)2-1,

...拋物線最小的函數(shù)值為-1,對稱軸為尤=2,

:當(dāng)/W2時，

-2WxWt在對稱軸的左側(cè)，y隨尤值的增大而減小，

當(dāng)x=t時，y—t2-4r+3=-2t+5,當(dāng)x=-2時，y=15,

解得t=1一V5或t=1+百>2(舍去)，

t=1-V3；

當(dāng)t>2時，最小值為-2f+5=-1,

t=3,滿足條件，

：.t=1-^3或f=3；

(3)當(dāng)矩形ABC。與拋物線有且只有三個公共點時，存在如圖所示的兩種情況：

①當(dāng)點P在CD上時，

由(3)矢口，點A(m,相2-4〃z+3),點C(m+3,m2+2m'),則點尸(1-m,m2+2m),

,.?△43與矩形42。的面積之比為1：4,

,11

貝U-XFCXAD^4x3XA￡>,

24

即FC^1.5,

則m+3-=1.5,

解得：機=-i；

4,

②如圖，當(dāng)點尸在A3上時，