2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型復(fù)習(xí)：最值模型之瓜豆模型(原理)圓弧軌跡型

最值模型之瓜豆模型O理）圓弧軌跡型

動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該壓

軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎,致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基

本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)

軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型解讀】

模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧

則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。

模型1-2.如圖，MPQ是直角三角形，4AQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

如圖，連結(jié)AO，作AM±AO,AOAM=k:l；任意時(shí)刻均有&P0S&QM，且相似比為k。

則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。

模型3.定義型:若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，

1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，4PB=90。,則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。

2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，4PB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。

【模型原理】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：』定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之

和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差的性質(zhì)求解。

m1（2023山東泰安統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt&OB的一條直角邊0B在x軸上，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（-6,4）；RtNOD中，AJ0D=90°,0D=44，ND=30°,連接BC，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接

AM.將RtNOD以點(diǎn)0為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AM的最小值是（）

血］2（2023四川廣元統(tǒng)考一模）如圖，線段AB為。0的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB=4,BC=2,點(diǎn)

P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt&CD，且使"CP=60°,連接0口，則

謝3（2023四川宜賓統(tǒng)考中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP,

線段BP以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，連接MQ.若AB=4,MP=1,則MQ的最小值為

應(yīng)）4（2023湖南統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=0,動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿B-C-

D-A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，將用BP沿AP對(duì)折，得到&BP,連接CB，則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)

過程中，線段CB的最小值為.

域5（2023山東統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，4BC=4AD=90°AB=5,AD=4,AD<

BC，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段AE上，4DF=ZBAE，則線段BF的最小值為.

國6（2023浙江金華九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A,C,N的坐標(biāo)分別為（-2,0）,（2,0）,（4,3）,以點(diǎn)。為圓

心、2為半徑畫。C,點(diǎn)P在。C上運(yùn)動(dòng)，連接AP，交。C于點(diǎn)Q,點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，連接MN，則

線段MN的最小值為.

函7（2023上江蘇連云港九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知矩形ABCD,AB=6,BC=4.P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),

且4PC=135°,若點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到點(diǎn)Q，則PQ的最小值為.

3

刖8（2023下陜西西安九年級(jí)校考階段練習(xí)）問題提出：

⑴如圖①，在&BC中，AB=AC,ZBAC=120°,BC=^.WJAB的長為；

問題探究：⑵如圖②，已知矩形ABCD,AB=4,BC=5,點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足4PB=

90。,連接CP，求線段CP的最小值；

問題解決：（3）如圖③所示，我市城市綠化工程計(jì)劃打造一片四邊形綠地ABCD，其中AD//BC,AD=

40m,BC=60m，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，且CEDE=1:2,"EB=60°,為了美化環(huán)境，要求四邊形

ABCD的面積盡可能大，求綠化區(qū)域ABCD面積的最大值.

圖1圖3

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

題.1（2023安徽合肥?？家荒＃┤鐖D，在MBC中，4=45°,AC=2,以AC為邊作等腰直角&CD,

連BD，則BD的最大值是（）

C.2eD.yru+

量且J2.（2023春廣東九年級(jí)專題練習(xí)）已知:如圖，在&BC中，4AC=30°,BC=4,&BC面積的最

大值是（）.

A

A.8+4火B(yǎng).8Q+4C.D.8+8內(nèi)

題目［3'（2022秋江蘇揚(yáng)州九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，A是。B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在。B外，已知AB=2,

BC=4,MCD是等邊三角形，則西CD的面積的最大值為（）

4（2023山東濟(jì)南一模）正方形ABCD中，AB=4,點(diǎn)E、F分別是CD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足

DE=CF,DF、AE相交于點(diǎn)G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角mHG使得4HG=90°,連接

BH.則BH的最小值為（）

A.2V-2B.2%/5,+2C.^/TU-D.^/TU+1Vzz

【題目|5.（2023上江蘇連云港九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖,在矩形ABCD中，已知AB=3.BC="|^是設(shè)邊

上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，連接CM，則CM的最小值

為.

〔題目〔6〕（2023春廣東深圳九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)G是&BC內(nèi)的一點(diǎn)，且/BGC=120°,西CF是等

邊三角形，若BC=3,則FG的最大值為

題目|7（2023江蘇泰州九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,在矩形ABCD中，AD=10,AB=16,P為CD的中點(diǎn)，連

接BP.在矩形ABCD外部找一點(diǎn)E,使得4EC+ZBPC=180。,則線段DE的最大值為.

目|8：（2023陜西渭南三模）如圖,在矩形ABCD中，AB=6,BC=5,點(diǎn)￡在直上，且CE4BE，點(diǎn)M

為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，使得4ME=45°,連接AM，則線段AM的最小值為

迎目19（2023江蘇揚(yáng)州三模）如圖,在等邊MBC和等邊小:DE中，AB=6,CD=4,以AB、AD為鄰邊

作平行四邊形ABFD，連接AF.若將NDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則線段AF的最小值是.

氯百|(zhì)1。（2023秋湖北武漢九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，&BC為等腰直角三角形，4AC=90°,AB=

AC=2JZ,點(diǎn)D為&BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，4DC=90。,以AC、CD為邊作平行四邊形ACDE，則CE的

最小值為

A

Ei

響11（2023福建泉州統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且AD=

EB=8,點(diǎn)F在BE上，BF=2,則以下結(jié)論:①CF的最小值為6；②DE的最小值為80-8；③CE=

CF；@DE+CF的最小值為10；正確的是.

「隨目|以（2021廣東中考真題）在9BC中，4BC=90°A3=2,BC=3.點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

ZADB-=45。,則線段CD長度的最小值為.

（JSS|13（2023廣東深圳市二模）如圖,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為AE

中點(diǎn)，G為DE上一點(diǎn)，BF=FG，則CG的最小值為.

遢目J14（2023秋廣東汕頭九年級(jí)?？计谥校┤缦聢D，在正方形ABCD中，AB=6,點(diǎn)E是以BC為直徑的

圓上的點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,得到線段DF，連接CF,則線段CF的最大值與最

小值的和.

［國目|15（2023陜西渭南統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,Q是矩形ABCD左側(cè)一點(diǎn),

連接AQ、BQ，且4QB=90°,連接DQ,E為DQ的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值為

-

16（2023安徽亳州統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）等腰直角&BC中，BAC=90°,AB5,點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，AD

=2,連接BD，將BD繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DE，連接AE，當(dāng)DAB=（填度數(shù)）度時(shí)，AE可以

取最大值，最大值等于

厘皂|17（2023河北廊坊統(tǒng)考二模）已知如圖，Z^BC是腰長為4的等腰直角三角形，4BC=90°,以A為

圓心，2為半徑作半圓A,交BA所在直線于點(diǎn)M,N.點(diǎn)E是半圓A上仟意一點(diǎn).連接BE，把BE繞點(diǎn)B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到BD的位置，連接AE,CD.

⑴求證：小BA四初BC；⑵當(dāng)BE與半圓A相切時(shí)，求弧EM的長；⑶直接寫出&CD面積的最大

值.

[gg|18（2022北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（a,b）,N.對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義:將點(diǎn)

P向右320）或向左（a<0）平移a個(gè)單位長度,再向上（b20）或向下（b〈0）平移b個(gè)單位長度，得到

點(diǎn)P',點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)

⑴如圖，點(diǎn)M（1,1）,點(diǎn)N在線段0M的延長線上，若點(diǎn)P（-2,0）,點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.

①在圖中畫出點(diǎn)Q；②連接PQ，交線段ON于點(diǎn)T.求證：NT=30M；

（2）00的半徑為1,M是。0上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段0M上，且ON=tt<1,若p為。0外一點(diǎn)，點(diǎn)

Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ.當(dāng)點(diǎn)M在。0上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出PQ長的最大值與最小值的差傭含t的

式子表示）

國目（2023下廣東廣州九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，&BC為等邊三角形，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)

（點(diǎn)P不與A,C重合），連接BP,過點(diǎn)A作直線BP的垂線段，垂足為點(diǎn)D，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°得到線段AE，連接DE,CE.⑴求證：BD=CE；⑵連接CD，延長ED交BC于點(diǎn)F,若&BC的邊

長為2；

①求CD的最小值;②求EF的最大值.

?目|20（2023江蘇常州統(tǒng)考二模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-^X2+bx-3的圖像與x軸

交于點(diǎn)A和點(diǎn)B9,0，與y軸交于點(diǎn)C.⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；⑵若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，滿足

ZPCB+4CB=ZBC0，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；⑶若點(diǎn)Q在第四象限內(nèi)，且cosdQB=在y軸正半

0

備用圖

最值模型之瓜豆模型O理）圓弧軌跡型

動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該壓

軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎,致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基

本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)

軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型解讀】

模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧

則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。

模型1-2.如圖，MPQ是直角三角形，4AQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

如圖，連結(jié)AO，作AM±AO,AOAM=k:l；任意時(shí)刻均有&P0S&QM，且相似比為k。

則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。

模型3.定義型:若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，

1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，4PB=90。,則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。

2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，4PB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。

【模型原理】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：』定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之

和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差的性質(zhì)求解。

EJ1（2023山東泰安統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt&OB的一條直角邊0B在x軸上，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（-6,4）；RtNOD中，AJ0D=90°,0D=44，ND=30°,連接BC，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接

AM.將RtNOD以點(diǎn)0為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AM的最小值是（）

B.6/2-4C.2g-2

【答案】A

【分析】如圖所示，延長BA到E,使得AE=AB，連接0E,CE，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）得到BE=8,

再證明AM是Z^CE的中位線，得到AM=gcE；解RtNOD得到0C=4,進(jìn)一步求出點(diǎn)C在以。為

圓心,半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)點(diǎn)M在線段0E上時(shí)，CE有最小值,即此時(shí)AM有最小值，據(jù)此求出CE

的最小值，即可得到答案.

【詳解】解:如圖所示，延長BA到E,使得AE=AB，連接0E,CE,

VRtZ^OB的一條直角邊0B在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）,彳

；.AB=4,OB=6,AAE=AB=4,；.BE=8,!\\

?\*y

:點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，點(diǎn)A為BE中點(diǎn)，；.AM是西CE的中位線，

;.AM=±CE；VA/T

2\瓜\\

在RtAX）D中，40D=90°,0D=4^/3,ZD=30°,

；.0C=4OD=4,

?.?將RtROD以點(diǎn)0為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

???點(diǎn)C在以0為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)，

，當(dāng)點(diǎn)M在線段0E上時(shí)，CE有最小值,即此時(shí)AM有最小值,

V0E=JBE2+0B2=10,ACE的最小值為10-4=6,AAM的最小值為3,故選A.

另解:取BO的中點(diǎn)為Q（-3,0）,根據(jù)中位線可確定MQ=<0C=2,

故點(diǎn)M為以Q為圓心，MQ為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故AM的最小值為AQ-MQ=3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標(biāo)與圖形，含30度

角的直角三角形的性質(zhì)等等,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

血（2023四川廣元統(tǒng)考一模）如圖，線段AB為。0的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB=4,BC=2,點(diǎn)

P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt&CD，且使zDCP=60°,連接0口，則

0D長的最大值為.

【分析】作&0E，使得ZCE0=90°,zECO=60°,則CO=2CE,OE=2y/3,A）CP=zECD，由

NOPsRED，推出啜-=%=2,即ED=；0P=1儂長），由點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長，點(diǎn)D在半

徑為1的。E上，由此即可解決問題.

【詳解】解:如圖，作R0E，使得4E0=90°,4C0=60°,

則CO=2CE,0E=2^3,A)CP=ZECD,

VZCDP=90°,ZDCP=60°,ACP=2CD,

corp

???%二詈二2,AZ^OPs"ED,

CECD

.?.冷=需=2,即ED=-LOP=i儂長)，

:點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長，，點(diǎn)D在半徑為1的。E上，

,."0DWOE+DE=22+1,

/.0D的最大值為24+1,故答案為：24+1.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用

輔助線,構(gòu)造相似三角形解決問題,屬于中考?jí)狠S題.

血（2023四川宜賓統(tǒng)考中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP,

線段BP以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，連接MQ.若AB=4,MP=1,則MQ的最小值為

【分析】連接BM，將BM以B中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,由P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心,

1為半徑的半圓，可得：Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，再根據(jù)“圓外一定點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)

的距離，在圓心、定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線時(shí)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離最短'，所以當(dāng)M、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，MQ

的值最小，可求ME='2BM=從而可求解.

【詳解】解，如圖，連接BM，將BM以B中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,

,.T的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，

AQ的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，

如圖，當(dāng)M、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，MQ的值最小，

:四邊形ABCD是正方形，

ACD=AB=BC=4,4=90°,

??,M是CM的中點(diǎn),

/.CM=2,；.BM=V'CM2+BC2=^^^+4?=

由旋轉(zhuǎn)得：BM=BE,=^/2BM=2^/10,

/.MQ=ME-EQ=2y/TU-1,

/?MQ的值最小為2/TO-1.故答案：2/TO-l.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理,動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最小值問題，掌握相關(guān)的性質(zhì),

根據(jù)題意找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

勘）4（2023湖南統(tǒng)考中考真題）如圖,在矩形ABCD中，AB=2,AD=。,動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿B-C-

D-A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，將用BP沿AP對(duì)折，得到&BP,連接CB，則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)

過程中，線段CB的最小值為.

【答案】4T-2/-2+m

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出B在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而分類討論當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)

P在DC上時(shí)，當(dāng)P在AD上時(shí)，即可求解.

【詳解】解：：在矩形ABCD中，AB=2,AD=77,

ABC=AD=AC=JBC2+AB2=?+4=^/TT,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，YAB=AB=2AB在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，如圖所示，此時(shí)CB>JTT-2

當(dāng)P在AD上時(shí)，如圖所示，此時(shí)CB>，n-2

綜上所述，CB的最小值為JTT-2,故答案為：JTT-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題，圓外一點(diǎn)到圓上的距離的最值問題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

」(2023山東統(tǒng)考中考真題)如圖，在四邊形ABCD中，4BC=ZBAD=90°AB=5,AD=4,AD<

BC，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段AE上，4DF=ZBAE，則線段BF的最小值為

【答案】何-2/-2+圖

【分析】設(shè)AD的中點(diǎn)為。，以AD為直徑畫圓，連接0B，設(shè)0B與。0的交點(diǎn)為點(diǎn)F,證明/)FA=90°,

可知點(diǎn)F在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到0B與。0的交點(diǎn)F時(shí)，線段BF有最小值，據(jù)此

求解即可.

【詳解】解:設(shè)AD的中點(diǎn)為。，以AD為直徑畫圓，連接0B，設(shè)0B與。0的交點(diǎn)為點(diǎn)F,

?.ZBC=ZBAD=90°,AAD〃BC,，/)AE=4EB,

VZADF=ZBAE,.\ZDFA="BE=90°,

；?點(diǎn)F在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，

，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到0B與。0的交點(diǎn)F時(shí)，線段BF有最小值，

,ZAD=4,.*.AO=OF=.IAD=2,,

/.BO=J52+22=

BF的最小值為8-2,

故答案為：V29-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識(shí),根據(jù)題意分析得到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌

跡是解題的關(guān)鍵.

」(2023浙江金華九年級(jí)校考期中)如圖，點(diǎn)A,C,N的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),(4,3),以點(diǎn)C為圓

心、2為半徑畫。C,點(diǎn)P在。C上運(yùn)動(dòng)，連接AP,交。C于點(diǎn)Q,點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，連接MN，則

線段MN的最小值為

【答案】3

【分析】本題考查了垂徑定理，90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑，勾股定理.熟練掌握弦中點(diǎn),連接圓心與中

點(diǎn)，明確點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

如圖，連接CM，由垂徑定理可得，4MA=90°,則M在以AC為直徑的。。上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接ON交。

0于M，當(dāng)0、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，線段MN的值最小，由勾股定理得，ON=5,根據(jù)線段MN的最小值為

MN=ON-0M，計(jì)算求解即可.

【詳解】解:如圖，連接CM,

???點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，

二由垂徑定理可得，ZCMA=90°,

/.M在以AC為直徑的。0上運(yùn)動(dòng)，

如圖，連接ON交。。于M,

...當(dāng)0、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，線段MN的值最小，

AGO的半徑為_^AC=2,

由勾股定理得，ON=J4-O2+3-02=5,

線段MN的最小值為MN=ON-0M=3,故答案為：3.

函7（2023上江蘇連云港九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),

且ZBPC=135°,若點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)Q，則PQ的最小值為

【答案】2/7-4

【分析】在矩形ABCD外，以邊BC為斜邊作等腰直角三角玻0C,40C=90。,再以點(diǎn)0為圓心，0C

為半徑作。0,點(diǎn)P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且4PC=135°,所以點(diǎn)P在。。的劣弧BC上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)

P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)Q，所以AP=AQ,ZPAQ=90°,則PQ=JAPz+AQ?=,所以當(dāng)

AP最小時(shí)，pQ最小，然后連接A0，交。。于P,此時(shí)，AP最小，則PQ也最小，最后過點(diǎn)。作0E±

BC于E,OF±AB交AB延長線于F,利用勾股定理求出OA,0P的長，從而求得AP，即可求解.

【詳解】解:在矩形ABCD外，以邊BC為斜邊作等腰直角三角翔0C,ZBOC=90°,再以點(diǎn)0為圓心,

0C為半徑作。0,如圖，

:點(diǎn)P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且4PC=135°,

.?.點(diǎn)P在。0的劣弧BC上運(yùn)動(dòng)，

..?點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到點(diǎn)Q,

；.AP=AQ,zPAQ=90°,

；.pQ=JAP2+AQ2=/AP

...當(dāng)AP最小時(shí)，pQ，連接AO，交。。于P,此時(shí)，AP最小，則PQ也最小，

在RtNOC中，；BC=4,0B=0C,

Z.OB=0C=2^,/.OP=OB=2JI,

過點(diǎn)0作0E±BC于E,OF±AB交AB延長線于F，,BE=CE=0E=

-1.BC=2,

VOE±BC,OF±AB,：.^DEB=zDFB=90°

:矩形ABCDAZABC=90°，ZEBF=90°.?.四邊形OEBF正方形，

ABF=OF=0E=2,；.AF=AB+BF=6+2=8,

在Rt&FO中，由勾股定理，得0A=JAF2+OF2=#82+22=2?7,

Z.AP=OA-OP=2717-2yfZAPQ=72AP=°2^/17-=2網(wǎng)-4,故答案為：2臼-4.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓滿的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助圓，得出AP取最

小值的點(diǎn)P位置是解題的關(guān)鍵.

域8（2023下陜西西安九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問題提出：

⑴如圖①，在AABC中，AB=AC,4AC=120°,BC=46,則AB的長為；

問題探究：⑵如圖②，已知矩形ABCD,AB=4,BC=5,點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足4PB=

90°,連接CP,求線段CP的最小值；

問題解決：（3）如圖③所示，我市城市綠化工程計(jì)劃打造一片四邊形綠地ABCD，其中AD//BC,AD=

40m,BC=60m，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，且CEDE=1:2,4EB=60°,為了美化環(huán)境，要求四邊形

ABCD的面積盡可能大，求綠化區(qū)域ABCD面積的最大值.

圖1圖2圖3

【答案】⑴4；（2）^29-2；（3）2000^m2

【分析】⑴作AH±BC于點(diǎn)H，利用等腰三角形的性質(zhì)可得ZB=30°,BH=2』,然后利用銳角三角函

數(shù)的知識(shí)可求得AB的長；（2）由題意可知，點(diǎn)P在以AB為直徑，以AB的中點(diǎn)。為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

0,P,C共線時(shí)，線段CP的值最小，利用勾股定理求出0C的長即可求解；（3）延長AE、BC，相交于點(diǎn)

F.由△:EFS/^EA，求出CF=20m，作EG//AD交AB于點(diǎn)G，作AN±BC于點(diǎn)N，交EG于點(diǎn)M,

可得MNAM=1:2,設(shè)MN=x,AM=2x,求出S=丁S0.,所以當(dāng)&EF的面積最大時(shí)，綠化區(qū)

梯形ABCD4/SEP

域ABCD的面積最大，求出BEF的面積即可求解.

【詳解】⑴如圖1,作AHXBC于點(diǎn)H.

圖1圖2

,ZAB=AC,zBAC=120°,BC=4代=30°,BH=；BC=2G.

VcosB=B-,,-.AB=空?=4.故答案為：4；

AB瓜

2

⑵如圖2,：4PB=90°,.?.點(diǎn)P在以AB為直徑，以AB的中點(diǎn)。為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)0,P,C共線

時(shí)，線段CP的值最小.,ZAB=4,AOB=yAB=2,AOC=,52+2z=J29，

，段CP的值最小值=網(wǎng)-2；

⑶如圖3,延長AE、BC，相交于點(diǎn)F.

cpCP

VAD〃BC,???"EFS/^DEA,土,

ADDE

VCEBE=1:2,AD=40m,ACF=20m,.\BF=60+20=80m.

作EG〃AD交AB于點(diǎn)G,作AN±BC于點(diǎn)N,交EG于點(diǎn)M,

「AD//BC,/.AD//EG〃BC,VCEDE=1:2,.,.MNAM=1:2,設(shè)MN=x,AM=2x,

1115

貝IJS=±X40+603x=150x,S=X80x=40x,.'.S=22_S

梯形ABCD2及EF2梯形ABCD4BEF

，當(dāng)ZBEF的面積最大時(shí)，綠化區(qū)域ABCD的面積最大.

當(dāng)E在BF的中點(diǎn)時(shí)，dBEF的面積最大.

連接BE,FE,0E,0E交BF于點(diǎn)H，則BH=FH=4BF=40m.

ZAEB=60°,.\ZBEF=zBEF=120°,AZEBH=30°.

Vtan30°=*，；.EH=卑X40=當(dāng)巴n,

Dnoo

.1\z40</31600^/3.15e

??SQ=—XVQ80nX—J：—=-------2—m2,...s二—QS=o2n0n0n0^m2.

BEF233梯形ABCD4Z^BEFv

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì),

勾股定理等知識(shí)，難度較大，屬中考?jí)狠S題.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

I'[1（2023安徽合肥校考一模）如圖，在9BC中，4=45。,AC=2,以AC為邊作等腰直角MCD

連BD，則BD的最大值是（）

A.jio-yfxB.1yiu+C.2/1D.+JI

【答案】D

【分析】如圖所示，以AC為斜邊，在AC右側(cè)作等腰直角加0C，過點(diǎn)。作0E1AD交DA延長線于E,

連接OD，則ZA0C=90°,0C=0A=疙，zdDAC=45°,先證明點(diǎn)B在以0為圓心，嫄為半徑的圓周上

運(yùn)動(dòng)（AB右側(cè)），故當(dāng)點(diǎn)0在線段BD上時(shí)，BD最大,再求出0E,DE的長，進(jìn)而利用勾股定理求出0D的

長即可得到答案.

【詳解】解:如圖所示，以AC為斜邊，在AC右側(cè)作等腰直角90C，過點(diǎn)。作0E±AD交DA延長線于

E，連接OD,Az^OC=90°,0C=0A=乎AC=國,⑷AC=45°,

V^BC=45°,.?.點(diǎn)B在以0為圓心，為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)（AB右側(cè)），

二當(dāng)點(diǎn)0在線段BD上時(shí)，BD最大，：&CD是以AC為邊的等腰直角三角形，

，4AD=90°,AD=AC=2,...ZDAE=45°,A^AOE是等腰直角三角形，

Z.AE=0E=與0卜=1,；.DE=AE+AD=3,在RtA）OE中，由勾股定理得OD=JOE2+DE2=

g

ABD的最大值=DO+B0=JTO+故選D.

【點(diǎn)睛】不能退主要考查了圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最大值問題，勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì)與判

定,正確作出輔助線確定，序的軌跡是解題的關(guān)鍵.

（2023春廣東九年級(jí)專題練習(xí)已知:如圖，在MBC中，4AC=30。,BC=4,9BC面積的最

大值是（）.

A

B.8Q+4C.88D.8+8y/3

【答案】A

【分析】作&BC的外接圓。0,連接OB,0C，當(dāng)&BC的BC邊上的高經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，&BC面積的最

大，此時(shí)&BC是等邊三角形，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解:作&BC的外接圓。0,連接OB,0C，當(dāng)&BC的BC邊上的高經(jīng)過點(diǎn)0時(shí)，&VBC面積的

最大，如圖，過點(diǎn)。作0DXBC，并延長D0交。0于點(diǎn)A,連接AB，AC，

VZBAC=30°,/.ZBOC=60°,VOB=0C,Z.ZDBC是等邊三角形，

ZBOD=30°,0B=0A=BC=4,.\0D=2串,AS=X4X4+2率=8+4—,故選A.

△ABC2

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，找出&BC面積的最大時(shí)點(diǎn)A的

位置時(shí)關(guān)鍵.

［題目|3（2022秋江蘇揚(yáng)州九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，A是。B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在。B外，已知AB=2,

BC=4,MCD是等邊三角形，則西CD的面積的最大值為（）

C.4囚+8D.6

【答案】A

【分析】以BC為邊向上作等邊三角形BCM，連接DM，證明兇1CM四&CB得到DM=AB=2,分析出

點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，DM長為半徑的圓，在求出點(diǎn)D到線段BC的最大距離,即可求出面積

的最大值.

【詳解】解:如圖，以BC為邊向上作等邊三角形BCM，連接DM

,/zd)CA=zMCB=60°,/.ZDCA-ZACM=zMCB-z^CM，即zDCM=ZACB,

DC=AC

在&CM和&CB中，4CM=4CB，，加CMgMCBSAS,Z.DM=AB=2,

MC=BC

.?.點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，DM長為半徑的圓，要使NCD的面積最大，則求出點(diǎn)D到線段BC

的最大距離，：西CM是邊長為4的等邊三角形，.?.點(diǎn)M到BC的距離為2g,

.?.點(diǎn)D到BC的最大距離為2JI+2,；.&CD的面積最大值是9><4義2/J+2=4—+4,故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓的問題,解決本題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造全等三角形找到動(dòng)點(diǎn)D的軌跡圓，再

求出圓上一點(diǎn)到定線段距離的最大值.

〔題目|4；（2023山東濟(jì)南一模）正方形ABCD中，AB=4,點(diǎn)E、F分別是CD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足

DE=CF,DF、AE相交于點(diǎn)G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角&HG使得4HG=90°,連接

BH.則BH的最小值為（）

-r

A.25/5"-2B.2^/5,+2C.%/TU1LD.%/TU+yfZ

【答案】c

【分析】首先證明4GD=90°,從而0G=AAD=2,再根據(jù)/DAG=ZHAM，可求MH=可知點(diǎn)H

的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MH為半徑的圓，從而可求BH最小值.

【詳解】解:如圖，取AD中點(diǎn)0,連接0G，以A0為斜邊作等腰直角三角形A0M,

則AM二乎AO=。，在AADE和/^CF中，

AD二CD

4DE=ZDCF,??.AADE2勾CF（SAS）,AZDAG=ZCDF,

DE二CF

VZADG+zCDF=90°,AZADG+ZDAG=90°,AZAGD=90°,

&DG是直角三角形，???0G=^AD=2,???&HG為等腰直角三角形，

zDAG+4AM=zHAM+4AM,AzDAG=ZHAM,

又丁祟二S-二彩,S&OG，，去二殍，「.MH=V2,

AbUA乙UU乙

點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MH為半徑的圓，

如圖，連接BM，交圓M于H，過點(diǎn)M作MP±AB于點(diǎn)P,

,/ZDAE+ZBAH=45°,zDAG=?AH,

.?.々AM=41AH+ZBAH=45°,A^APM為等腰直角三角形，

,/AM=平,；.AP=MP=亭X>/7=1,.,.BP=4-1=3,

在RtZBPM中，BM=、/BP2+PM2=J10,；.BH=BM-MH=%/10-平.

/.BH的最小值為JIU-平.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確構(gòu)造輔助線,利用三角形相似以及點(diǎn)和圓的知識(shí)解決.

【題目|5.（2023上江蘇連云港九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖,在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4〃>^^是風(fēng)邊

上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，連接CM，則CM的最小值

為.

【答案】2

【分析】本題考查圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值，軸對(duì)稱的性質(zhì),矩形的性質(zhì).連接AM，得到AM=AB=3,

進(jìn)而得到點(diǎn)M在以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)A,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，線段CM的長度最小,求出此

時(shí)CM的長度即可.解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡.

【詳解】解:連接AM，:點(diǎn)B和M關(guān)于AP對(duì)稱，，AB=AM=3,

在以A圓心，3為半徑的圓上，，當(dāng)A,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，

,/AC=y/3^=5,AM=AB=3,ACM=5-3=2,故答案為：2.

IE目6（2023春廣東深圳九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)G是&BC內(nèi)的一點(diǎn)，且/BGC120°,9CF是等

邊三角形，若BC=3,則FG的最大值為

【答案】2遮

【分析】如圖，作西FC的外接圓。0,連接0G,OF,0C，過點(diǎn)。作OHJLCF于點(diǎn)H.說明B,F,C,G

四點(diǎn)共圓，求出OF，利用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論.

【詳解】解:如圖，作西FC的外接圓。0,連接0G,OF,0C，過點(diǎn)。作OH±CF于點(diǎn)H.

V^CF是等邊三角形，

ZBFC=ZFBC=60",CB=CF=3,

,/ZBGC=120°,

.?.點(diǎn)G在NCF的外接圓上，

.".0G=OF=0C,

V0H±CF,.??FH=CH二

VZF0C=2ZFBC=120°,

ZDFC=A)CF=30°,

VFGW0F+0G=2/L/.FG的最大值為20.故答案為：2四?

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形,圓的有關(guān)知識(shí)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔

助線，構(gòu)造輔助圓解決問題,屬于中考?？碱}型.

題目|7（2023江蘇泰州九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,在矩形ABCD中，AD=10,AB=16,P為CD的中點(diǎn)，連

接BP.在矩形ABCD外部找一點(diǎn)E,使得/BEC+/BPC=180。,則線段DE的最大值為.

13

【分析】以BP的中點(diǎn)0為圓心，OB為半徑畫圓,可得所畫圓是RtNCP的外接圓，弦BC右側(cè)圓弧上任意

一點(diǎn)E與BC構(gòu)成的ZBEC，使得四邊形BPCE是圓內(nèi)接四邊形，，可得4EC+ZBPC=180°,連接DO

并延長與圓的交點(diǎn)即為DE的最長距離，作OH±DC于點(diǎn)H,OH是NBC的中位線，，根據(jù)勾股定理求

出0P和0