人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)5.3.2.3導(dǎo)數(shù)在函數(shù)有關(guān)問題及實(shí)際生活中的應(yīng)用【同步教學(xué)課件】

第五章第三課時(shí)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)有關(guān)問題及實(shí)際生活中的應(yīng)用1.能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題.2.體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.3.能利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際問題.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過學(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).2.借助實(shí)際問題的求解，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.函數(shù)圖象的畫法函數(shù)f(x)的圖象直觀地反映了函數(shù)f(x)的性質(zhì).通常，按如下步驟畫出函數(shù)f(x)的圖象：(1)求出函數(shù)f(x)的________；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)及函數(shù)f′(x)的______；(3)用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的______，并得出f(x)的________與______；(4)確定f(x)的圖象所經(jīng)過的一些特殊點(diǎn)，以及圖象的__________；(5)畫出f(x)的大致圖象.定義域零點(diǎn)單調(diào)性極值正負(fù)變化趨勢(shì)2.用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路函數(shù)導(dǎo)數(shù)點(diǎn)睛1.思考辨析，判斷正誤(1)用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題要先求定義域.()(2)方程xex＝2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(

)√×C解析由題意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1時(shí)，f′(x)的最小值為－1，即原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是－1.C解析由題意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).當(dāng)0<x<9時(shí)，y′>0；當(dāng)x>9時(shí)，y′<0.故當(dāng)x＝9時(shí)，y取得極大值，也是最大值.4.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)關(guān)于產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為y1＝17x2，生產(chǎn)成本y2(萬元)關(guān)于產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為y2＝2x3－x2，已知x>0，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)該產(chǎn)品________千臺(tái).解析由題意，利潤y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0).y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＝0舍去)，當(dāng)x∈(0，6)時(shí)，y′>0，當(dāng)x∈(6，＋∞)時(shí)，y′<0，∴函數(shù)在(0，6)上為增函數(shù)，在(6，＋∞)上為減函數(shù).則當(dāng)x＝6時(shí)，y有最大值.6課堂互動(dòng)題型剖析2題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象B當(dāng)x<0時(shí)，y<0，排除A；當(dāng)x<3時(shí)，y′>0，當(dāng)x>3時(shí)，y′<0，∴函數(shù)在(0，＋∞)上先增后減.故選B.當(dāng)x<0時(shí)，y<0，排除A；當(dāng)x→＋∞時(shí)，y→0.故選B.根據(jù)解析式判斷函數(shù)的圖象時(shí)，綜合應(yīng)用各種方法：如判斷函數(shù)的奇偶性，定義域、特殊值和單調(diào)性，有時(shí)還要用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，甚至最值等.思維升華【訓(xùn)練1】

函數(shù)f(x)＝ex2－2x2的圖象大致為(

)A題型二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根問題f′(x)及f(x)隨x的變化情況如下表：x(0，e1－a)e1－a(e1－a，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

極大值

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e1－a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e1－a，＋∞).(2)當(dāng)a≤1時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).①當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞減.又f(1)＝0，故f(x)在區(qū)間(0，e]上只有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)a<1時(shí)，1－a>0，e1－a>1，綜上，當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，e]上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a<1時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，e]上無零點(diǎn).與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，討論圖象與x軸的位置關(guān)系.(或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題)確定參數(shù)的取值范圍.思維升華解

對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－b，(2)若方程f(x)＝k有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解

由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.∴當(dāng)x<－2或x>2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<2時(shí)，f′(x)<0.題型三導(dǎo)數(shù)在生活實(shí)際問題中應(yīng)用(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤最大.所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.故當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤最大.于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)

極大值42

解決利潤最大問題的思路及注意點(diǎn)(1)利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤＝收入－成本”建立函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值.(2)求解此類問題需注意兩點(diǎn)：①售價(jià)要大于或等于成本，否則就會(huì)虧本；②銷量要大于0，否則不會(huì)獲利.思維升華【訓(xùn)練3】

某電子公司開發(fā)一種智能手機(jī)的配件，每個(gè)配件的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件，通過改進(jìn)工藝，每個(gè)配件的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果每個(gè)配件的銷售價(jià)提高的百分率為x(0<x<1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2，記改進(jìn)工藝后該電子公司銷售該配件的月平均利潤是y(元). (1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；解改進(jìn)工藝后，每個(gè)配件的銷售價(jià)為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x2)件，則月平均利潤y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1).(2)改進(jìn)工藝后，試確定該智能手機(jī)配件的售價(jià)，使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.解y′＝5a(4－2x－12x2)，角度2用料最省、成本(費(fèi)用)最低問題而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小？并求最小值.當(dāng)0≤x<5時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元.在實(shí)際生活中關(guān)于用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、用時(shí)最短等問題，一般情況下都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值.若求出極值點(diǎn)(注意根據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的極值點(diǎn))后，函數(shù)在該點(diǎn)附近滿足“左減右增”，則此時(shí)唯一的極小值就是所求的函數(shù)的最小值.思維升華【訓(xùn)練4】

已知A，B兩地相距200千米，一只船從A地逆水航行到B地，水速為8千米/時(shí)，船在靜水中的航行速度為v千米/時(shí)(8<v≤v0).若船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)與其在靜水中的航行速度的平方成正比，當(dāng)

v＝12千米/時(shí)時(shí)地，船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)為720元.為了使全程燃料費(fèi)最省，船在靜水中的航行速度v應(yīng)為多少？解設(shè)船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)為y1元，比例系數(shù)為k(k>0)，則y1＝kv2.∵當(dāng)v＝12時(shí)，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，則y1＝5v2.令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.若v0≥16，當(dāng)v∈(8，16)時(shí)，y′<0，y為減函數(shù)；當(dāng)v∈(16，v0]時(shí)，y′>0，y為增函數(shù).故當(dāng)v＝16千米/時(shí)時(shí)，y取得極小值，也是最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最省.若v0<16，則v∈(8，v0]，且y′<0，y在(8，v0]上為減函數(shù).故當(dāng)v＝v0時(shí)，y取得最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最省.1.運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理求解零點(diǎn)存在或者零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的關(guān)鍵是尋找合適的零點(diǎn)區(qū)間.本題還可以采取分離變量法把零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題，往往歸結(jié)為函數(shù)的最大值或最小值問題.

解題的一般方法如下： (1)設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域； (2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，則不需與端點(diǎn)處函數(shù)值比較，f(x0)即是所求的最大值或最小值.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使兩個(gè)非負(fù)數(shù)的立方和最小，則應(yīng)分為(

) A.2和6 B.4和4 C.3和5 D.以上都不對(duì)B解析設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，則其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當(dāng)0≤x＜4，y′<0；當(dāng)4<x≤8時(shí)，y′>0.所以當(dāng)x＝4時(shí)，y最小.2.某工廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料場(chǎng)的長和寬應(yīng)分別為(單位：米)(

) A.32，16 B.30，15 C.40，20 D.36，18A3.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)為偶函數(shù)，且在(0，1)上存在極大值，則f′(x)的圖象可能為(

)C解析根據(jù)題意，f(x)為偶函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)f′(x)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可以排除B，D.又由于函數(shù)f(x)在(0，1)上存在極大值，則其導(dǎo)數(shù)圖象在(0，1)上存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號(hào)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號(hào)為負(fù)，結(jié)合選項(xiàng)可以排除A，只有C選項(xiàng)符合題意，故選C.4.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0).已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.設(shè)存款利率為x，x∈(0，0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為(

) A.0.0162 B.0.0324 C.0.0243 D.0.0486B解析依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486).所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，則y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去).當(dāng)0<x<0.0324時(shí)，y′>0；當(dāng)0.0324<x<0.0486時(shí)，y′<0.所以當(dāng)x＝0.0324時(shí)，y取得最大值，即當(dāng)存款利率為0.0324時(shí)，銀行獲得最大收益.5.若方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

) A.[－2，2] B.[0，2] C.[－2，0] D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)A解析方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，則－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.令y＝x3－3x，x∈[0，2]，則y′＝3x2－3，令y′>0，解得x>1，因此函數(shù)在[0，1)上單調(diào)遞減，在(1，2]上單調(diào)遞增，又x＝1時(shí)，y＝－2；x＝2時(shí)，y＝2；x＝0時(shí)，y＝0，∴函數(shù)y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，∴m∈[－2，2]，故選A.二、填空題6.已知函數(shù)f(x)＝x4＋9x＋5，則f(x)的圖象在(－1，3)內(nèi)與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________.1解析f′(x)＝4x3＋9，當(dāng)x∈(－1，3)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(－1，3)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(－1)＝－3<0，f(0)＝5>0，所以f(x)的圖象在(－1，3)內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).7.若函數(shù)f(x)＝x2ex－a恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.解析

令g(x)＝x2ex，則g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2).令g′(x)＝0，得x＝0或－2，∴g(x)在(－2，0)上單調(diào)遞減，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增.由f(x)＝0有一個(gè)實(shí)根，得Δ≤0(Δ是方程f′(x)＝0的根的判別式)或f(x1)·f(x2)>0(x1，x2是f(x)的極值的點(diǎn)).①由Δ≤0，得a＝0；②令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a(a≠0)，三、解答題9.如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最小？解

設(shè)廣告的高和寬分別為xcm，ycm，令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函數(shù)在(140，＋∞)上單調(diào)遞增，在(20，140)上單調(diào)遞減，∴S(x)的最小值為S(140).當(dāng)x＝140時(shí)，y＝175.即當(dāng)x＝140，y＝175時(shí)，S取得最小值24500，故當(dāng)廣告的高為140cm，寬為175cm時(shí)，可使廣告的面積最小.10.用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？解設(shè)長方體的寬為xm，則長為2xm，從而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x).令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1.故在x＝1時(shí)V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值.從而最大體積V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此時(shí)長方體的長為2m，高為1.5m.故當(dāng)長方體的長為2m，寬為1m，高為1.5m時(shí)，體積最大，最大體積為3m3.11.(多選題)設(shè)x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的有(

) A.a＝－3，b＝2 B.a＝－3，b＝－3 C.a＝－3，b>2 D.a＝1，b＝2BCD解析

記f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，必有一實(shí)根，D項(xiàng)滿足題意；當(dāng)a<0時(shí)，由于選項(xiàng)中只有a＝－3，故只考慮a＝－3即可.此時(shí)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；x∈(－1，1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)極大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)極小值＝f(1)＝b－2，只有一個(gè)實(shí)根，則需滿足f(x)極大值<0或f(x)極小值>0，則b<－2或b>2，B、C項(xiàng)滿足.故選BCD.12.某批發(fā)商以每噸20元購進(jìn)一批建筑材料，若以每噸M元零售，銷售N(單位：噸)與零售價(jià)M(單位：元)有如下關(guān)系：N＝8300－170M－M2，則該批材料零售價(jià)定為________元時(shí)利潤最大，利潤的最大值為________元.3023000解析設(shè)該商品的利潤為y元，由題意知，y＝N(M－2