第14講概率（10個知識點6種題型強化訓(xùn)練）原卷版

第14講概率（10個知識點+6種題型+強化訓(xùn)練）知識導(dǎo)圖知識清單知識點一：隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示．我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．知識點"二：樣本點與樣本空間①樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點．②樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間．一般地，用Ω表示樣本空間，用w表示樣本點．③有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果w1，w2，…，wn，則稱樣本空間Ω＝{w1，w2，…，wn}為有限樣本空間．知識點"三：隨機事件隨機事件：一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示．我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，一般用大寫字母A，B，…表示．基本事件：只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．必然事件：包含了所有樣本點的事件．不可能事件：不包含任何樣本點的事件．注：每個事件都是樣本空間的子集.建立樣本空間，事實上就是建立隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型．因此，一個樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實際問題．在具體問題的研究中，描述隨機現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間．知識點四：事件的關(guān)系和運算(1)包含關(guān)系定義一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含義A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生符號表示B?A(或A?B)圖形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等，記作A＝B(2)并事件(和事件)定義一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)含義A與B至少一個發(fā)生符號表示A∪B(或A＋B)圖形表示(3)交事件(積事件)定義一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)含義A與B同時發(fā)生符號表示A∩B(或AB)圖形表示(4)互斥(互不相容)定義一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時發(fā)生符號表示A∩B＝?圖形表示(5)互為對立定義一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對立．事件A的對立事件記為eq\o(A,\s\up6(－))含義A與B有且僅有一個發(fā)生符號表示A∩B＝?，A∪B＝Ω圖形表示知識點五：概率及古典概型的概念對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．2.如果試驗具有以下兩個特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．知識點六：古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．1．從集合的角度理解古典概型的概率公式用集合的觀點來考察事件A的概率，有利于幫助我們生動、形象地理解事件A與基本事件的關(guān)系，有利于理解公式P(A)＝eq\f(k,n).如圖所示．把一次試驗中等可能出現(xiàn)的n個結(jié)果組成一個集合I，其中每一個結(jié)果就是I中的一個元素，把含m個結(jié)果的事件A看作含有m個元素的集合，則集合A是集合I的一個子集，故有P(A)＝eq\f(k,n).2．求解古典概型問題的一般思路(1)明確試驗的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗的可能結(jié)果(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果)．(2)根據(jù)實際問題情境判斷樣本點的等可能性．(3)計算樣本點總個數(shù)n及事件A包含的樣本點個數(shù)k，求出事件A的概率．P(A)＝eq\f(事件A包含的樣本點個數(shù),樣本空間的樣本點總數(shù))＝eq\f(k,n).知識點七"：概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推廣如果事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B)，易得0≤P(A)≤1.性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．方法與技巧：1．如何應(yīng)用互斥事件的概率加法公式(1)將一個事件的概率問題分拆為若干個互斥事件，分別求出各個事件的概率，然后利用互斥事件的概率加法公式求出結(jié)果．(2)運用互斥事件的概率加法公式解題時，首先要分清事件之間是否互斥，同時要學(xué)會把一個事件分拆為幾個互斥事件，做到不重不漏．(3)常用步驟：①確定各事件彼此互斥；②求各個事件分別發(fā)生的概率，再求其和．2．對立事件與P(A)＋P(B)＝1的關(guān)系(1)若A，B是對立事件，則P(A)＋P(B)＝1.(2)若P(A)＋P(B)＝1，則事件A和B不一定對立．例如：擲一枚均勻的骰子，記事件A為出現(xiàn)偶數(shù)點，事件B為出現(xiàn)1點或2點或3點，則P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1，顯然事件A與事件B不互斥，也不對立．知識點"八：相互獨立事件的定義和性質(zhì)1．定義：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱獨立．2．性質(zhì)：①如果A與B相互獨立，那么A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也都相互獨立．3．n個事件相互獨立對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任何一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立．獨立事件的概率公式(1)若事件A，B相互獨立，則P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，An相互獨立，則P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．4.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件互斥事件條件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響不可能同時發(fā)生的兩個事件符號相互獨立事件A，B同時發(fā)生，記作AB互斥事件A，B中有一個發(fā)生，記作A∪B(或A＋B)計算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)知識點九：頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．知識點十：隨機數(shù)的概念1．隨機數(shù)：要產(chǎn)生1～n(n∈N*)之間的隨機整數(shù)，把n個質(zhì)地和大小相同的小球分別標(biāo)上1,2,3，…，n，放入一個容器中，充分?jǐn)嚢韬笕〕鲆粋€球，這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù)．2．偽隨機數(shù)：計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長)，它們具有類似隨機數(shù)的性質(zhì)．因此，計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)不是真正的隨機數(shù)，我們稱它們?yōu)閭坞S機數(shù)．3．產(chǎn)生隨機數(shù)的方法：教材中給出了兩種產(chǎn)生隨機數(shù)的方法：①利用帶有PRB功能的計算器產(chǎn)生隨機數(shù)；②用計算機軟件產(chǎn)生隨機數(shù)，比如用Excel軟件產(chǎn)生隨機數(shù)．我們只要按照它的程序一步一步執(zhí)行即可．4．用隨機模擬估計概率的步驟(1)建立概率模型；(2)進行模擬試驗，可用計算器或計算機進行模擬試驗；(3)統(tǒng)計試驗結(jié)果．方法與技巧：1．頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化；概率卻是一個常數(shù)，是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)．2．在實際應(yīng)用中，只要試驗的次數(shù)足夠多，所得的頻率就可以近似地當(dāng)作隨機事件的概率．3．概率是頻率的穩(wěn)定值，根據(jù)概率的定義我們可知，概率越接近于1，事件A發(fā)生的頻數(shù)就越多，此事件發(fā)生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A發(fā)生的頻數(shù)就越少，此事件發(fā)生的可能性就越?。?．應(yīng)用隨機數(shù)計算事件的概率，在設(shè)計隨機試驗方案時，一定要注意先確定隨機數(shù)的范圍和每個隨機數(shù)所代表的試驗結(jié)果，其次要注意用幾個隨機數(shù)為一組時，每組中的隨機數(shù)是否能夠重復(fù)．對于一些較為復(fù)雜的問題，要建立一個適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)換成計算機或計算器能操作的試驗．知識復(fù)習(xí)題型一、有限樣本空間與隨機事件一、單選題1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）在一個袋子中裝有分別標(biāo)注1，2，3，4，5的五個小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的事件包含的樣本點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題2．（2324高一上·陜西漢中·期末）在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件產(chǎn)品，其中是隨機事件的是（

）A．5件都是正品 B．至少有1件次品C．有3件次品 D．至少有3件正品3．袋中裝有標(biāo)號分別為1，3，5，7的四個相同的小球，從中取出兩個，下列事件是樣本點的是（

）A．取出的兩球標(biāo)號為3和7B．取出的兩球標(biāo)號的和為4C．取出的兩球標(biāo)號都大于3D．取出的兩球標(biāo)號的和為8三、填空題4．某同學(xué)利用假期參加志愿者服務(wù)，現(xiàn)有，，，四個不同的地點，每天選擇其中一個地點，且每天都從昨天未選擇的地點中等可能地隨機選擇一個，設(shè)第一天選擇地點參加志愿者服務(wù)，則第四天也選擇地點的概率是，記第天（）選擇地點的概率為，試寫出當(dāng)時，與的關(guān)系式為.四、解答題5．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）試驗：連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況．設(shè)事件A表示隨機事件“第一次出現(xiàn)正面”，事件B表示隨機事件“3次出現(xiàn)同一面”，事件C表示隨機事件“至少出現(xiàn)一次正面”，試用樣本點表示事件A，B，C．6．有A，B，C，D四位同學(xué)站成一排照相，觀察他們的站隊順序.（1）寫出這個試驗的樣本空間；（2）用集合表示下列事件：“A在兩側(cè)”；“B，C兩人相鄰”.7．下面的三個游戲都是在袋子中裝球，然后從袋子中不放同地取球，分別計算三個游戲中甲獲勝的概率，你認(rèn)為哪個游戲是公平的？游戲1游戲2游戲3袋子中球的數(shù)量和顏色1個紅球和1個白球2個紅球和2個白球3個紅球和1個白球取球規(guī)則取1個球依次取出2個球依次取出2個球獲勝規(guī)則取到紅球→甲勝兩個球同色→甲勝兩個球同色→甲勝取到白球→乙勝兩個球不同色→乙勝兩個球不同色→乙勝題型二、事件的關(guān)系與運算一、單選題1．（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）如果事件與事件互斥，那么（

）條件.A． B．C．與一定互斥 D．與一定獨立2．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）如果是互斥事件，那么（

）A．事件與必不互斥 B．是必然事件C．A與可能互斥 D．是必然事件3．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知事件兩兩互斥，若，，，則（）．A． B． C． D．二、多選題4．（2324高一上·安徽亳州·期末）中國四大名樓是一種泛稱，特指山西永濟鸛雀樓、江西南昌滕王閣、湖北武漢黃鶴樓、湖南岳陽岳陽樓．記事件“只去黃鶴樓”，事件“至少去兩個名樓”，事件“只去一個名樓”，事件“一個名樓也不去”，事件“至多去一個名樓”，則下列命題正確的是（

）A．E與H是互斥事件 B．F與I是互斥事件，且是對立事件C． D．5．（2223高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）拋一枚質(zhì)地均勻的骰子，記“向上的點數(shù)是4或5或6”為事件A，“向上的點數(shù)是1或2”為事件B，“向上的點數(shù)小于5”為事件C，“向上的點數(shù)大于3”為事件D，則（

）A．A與B是互斥事件，但不是對立事件 B．C．A與C是互斥事件 D．三、填空題6．（2223高一下·浙江寧波·期末）據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學(xué)在高一學(xué)期結(jié)束后，需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學(xué)已經(jīng)選擇了物理、化學(xué)兩門學(xué)科，還需要從生物、技術(shù)這兩門理科學(xué)科和政治、歷史、地理這三門文科學(xué)科共五門學(xué)科中再選擇一門，設(shè)事件“選擇生物學(xué)科”，“選擇一門理科學(xué)科”，“選擇政治學(xué)科”，“選擇一門文科學(xué)科”，現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①和是互斥事件但不是對立事件；

②和是互斥事件也是對立事件；③；

④.其中，正確結(jié)論的序號是.（請把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都寫上）7．（2324高二上·廣東清遠(yuǎn)·期中）設(shè)為三個隨機事件，若A與是互斥事件，與是相互對立事件，且，則.四、解答題8．（2324高二上·新疆·期中）連續(xù)拋擲兩枚骰子，觀察落地時的點數(shù).記事件{兩次出現(xiàn)的點數(shù)相同}，事件{兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點數(shù)之差的絕對值為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為6}.(1)用樣本點表示事件，；(2)若事件，則事件E與已知事件是什么運算關(guān)系？9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）某城市有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報紙”，事件E為“一種報紙也不訂”.試判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，判斷它們是不是對立事件.（1）A與C；（2）B與E；（3）B與D；（4）B與C.題型三、古典概型一、單選題1．（2324高一下·河南·開學(xué)考試）珠算作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，是中華文明的鮮明體現(xiàn)．算盤的每個檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面的2顆珠叫“上珠”，梁下面的5顆叫“下珠”，則從算盤內(nèi)任取一顆珠子是“下珠”的概率為（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·浙江杭州·期中）已知某樣本空間中共有18個樣本點，其中事件有10個樣本點，事件有8個樣本點，事件有16個樣本點，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東梅州·一模）如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到9，就是一條移動路線.從1移動到數(shù)字的不同路線條數(shù)記為，從1移動到9的事件中，跳過數(shù)字的概率記為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題4．（2324高二下·四川綿陽·開學(xué)考試）九宮格的起源可以追溯到遠(yuǎn)古神話中的洛書，洛書上的圖案正好對應(yīng)著從1到9九個數(shù)字，并且縱向、橫向、斜向三條線上的三個數(shù)字的和（這個和叫做幻和）都等于15，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的三階幻方，已知幻和等于15的九宮格共有8種.根據(jù)洛書記載：“以五居中，五方皆為陽數(shù)，四隅為陰數(shù)”，其意思為：九宮格中5位于居中位置，四個頂角為偶數(shù)，其余位置為奇數(shù).如圖所示，若隨機填寫一組幻和等于15的九宮格數(shù)據(jù)，記事件”，則的值為.四、解答題5．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，小軍與小玲共同發(fā)明了一種“字母棋”，進行比勝負(fù)的游戲她們用四種字母做成10個棋子，其中A棋1個，B棋2個，C棋3個，D棋4個，“字母棋”的游戲規(guī)則為：①游戲時兩人各摸一個棋子進行比賽稱一輪比賽，先摸者摸出的棋子不放回；②A棋勝B棋，C棋；B棋勝C棋，D棋；C棋勝D棋；D棋勝A棋；③相同棋子不分勝負(fù)，(1)若小玲先摸，問小玲摸到C棋的概率是多少？(2)已知小玲先摸到了C棋，小軍在剩余的9個棋中隨機摸一個，問這一輪中小玲勝小軍的概率是多少？(3)已知小玲先摸一個棋，小軍在剩余的9個棋中隨機摸一個，問這一輪中小玲希望摸到哪種棋勝小軍的概率最大？6．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）在試驗“袋中有白球3個（編號為1，2，3）、黑球2個（編號為1，2），這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸1個，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結(jié)果分別記為，，，摸到黑球的結(jié)果分別記為，．求：(1)取到的兩個球都是白球的概率；(2)取到的兩個球顏色相同的概率；(3)取到的兩個球至少有一個是白球的概率．題型四、概率的基本性質(zhì)一、單選題1．（2122高一下·福建福州·期末）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的2球中至少有一個黃球”，事件“取出的2球至少有一個白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2324高二上·湖北·階段練習(xí)）設(shè)甲袋中有2個紅球和1個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取1球，記事件“從甲袋中任取1球是紅球”，記事件“從乙袋中任取1球是白球”，則（

）A． B．C． D．3．（2324高三上·湖北·期中）在正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點.取點，C，E，F(xiàn)，若一條直線過其中兩點，另一條直線過另外兩點，則（

）A．兩條直線為異面直線是必然事件B．兩條直線互相垂直的概率為C．兩條直線互相平行與互相垂直是對立事件D．兩條直線都與直線垂直是不可能事件三、填空題4．（2324高二上·上海長寧·期末）一次考試，小明數(shù)學(xué)超過90分的概率是0.8，物理超過90分的概率是0.7，兩門都超過90分的概率是0.6，則他的數(shù)學(xué)和物理至少有一門超過90分的概率是．5．（2223高一下·全國·課時練習(xí)）已知，.（1）如果，那么，，；（2）如果A，B互斥，那么，，.四、解答題6．（2324高二上·貴州畢節(jié)·期中）為了備戰(zhàn)第33屆夏季奧林匹克運動會（2024法國巴黎奧運會），中國奧運健兒刻苦訓(xùn)練，成績穩(wěn)步提升．射擊隊的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如下表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次：(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率．7．（2223高一上·江西吉安·期末）甲、乙兩人進行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號分別為1，2，3，4，5的5個球，甲先隨機摸出一個球，記下編號，設(shè)編號為a，放回后乙再隨機摸出一個球，也記下編號，設(shè)編號為b，記錄摸球結(jié)果（a，b），如果，算甲贏，否則算乙贏．(1)求的概率；(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．題型五、事件的相互獨立性一、單選題1．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設(shè)甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至少有2人投中的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·云南貴州·二模）甲、乙兩人進行網(wǎng)球比賽，連續(xù)比賽三局，各局比賽結(jié)果相互獨立.設(shè)乙在第一局獲勝的概率為、第二局獲勝的概率為，第三局獲勝的概率為，則甲恰好連勝兩局的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·一模）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼輸入錯誤，該銀行卡將被鎖定．某人到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的5個密碼之一，他決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試．若密碼正確，則結(jié)束嘗試，否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定．則他至少嘗試兩次才能成功的概率是（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧·一模）猜燈謎是中國元宵節(jié)特色活動之一．已知甲、乙、丙三人每人寫一個燈謎，分別放入三個完全相同的小球，三人約定每人隨機選一個球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對自己寫的燈謎，并有的概率猜對其他人寫的燈謎，則甲獨自獲勝的概率為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2024·天津河?xùn)|·一模）某地區(qū)人群中各種血型的人所占比例如表1所示，已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任何一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血，小明是B型血，因病需要輸血，任找一個人，其血可以輸給小明的概率為；任找兩個人，則小明有血可以輸?shù)母怕蕿椋虯BABO該血型的人占比6．（2324高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至多有一人命中的概率為.三、解答題7．（2024·陜西榆林·二模）藍莓富含花青素，具有活化視網(wǎng)膜的功效，可以強化視力，防止眼球疲勞，是世界糧農(nóng)組織推薦的五大健康水果之一.截至2023年，全國藍?種植面積達到110萬畝，其中云南藍莓種植面積達到17.6萬畝，產(chǎn)量達到10.5萬噸，是藍莓鮮果產(chǎn)量第一省.已知甲農(nóng)戶種植了矮叢藍莓?高叢藍莓?兔眼藍莓3種藍莓，這3種藍莓年產(chǎn)量各自達到1000斤的概率分別為.(1)求這3種藍莓年產(chǎn)量都達到1000斤的概率；(2)求這3種藍莓中至多有1種藍莓年產(chǎn)量達到1000斤的概率.題型六、頻率與概率一、單選題1．（2122高二下·廣東佛山·期末）在6月6日第27個全國“愛眼日”即將到來之際，教育部印發(fā)《關(guān)于做系統(tǒng)2022年全國“愛眼日”宣傳教育工作通知》，呼吁青年學(xué)生愛護眼睛，保護視力．眾所周知，長時間玩可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有30%的學(xué)生每天玩超過2h，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩不超過2h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則該名學(xué)生近視的概率為（

）A． B． C． D．2．（2324高一上·河南·期末）下列說法中，正確的是（

）A．某種彩票中獎的概率是，因此買100張該種彩票一定會中獎B．做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是C．若事件兩兩互斥，則D．任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則點數(shù)和是3的倍數(shù)的概率是二、填空題3．（2223高一下·湖南湘西·期末）“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象.某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進行調(diào)查：在隨機抽取的50人中，有15人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對態(tài)度，若該地區(qū)有9600人，則可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的有人.三、解答題4．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）甲?乙兩人準(zhǔn)備參加某電視臺舉辦的地理知識搶答賽.比賽規(guī)則為：每輪比賽每人隨機在題庫中抽取一道題作答，答對得1分，答錯或不答得0分，最后得分多的獲勝.為了在比賽中取得比較好的成績，甲?乙兩人在比賽前進行了針對性訓(xùn)練，訓(xùn)練后的答題情況如下表：甲乙練習(xí)題目個數(shù)120120答錯個數(shù)2420若比賽中每個人回答正確與否相互之間沒有影響，且用頻率代替概率.(1)估計甲?乙兩人在比賽時答對題的概率；(2)設(shè)事件“某輪比賽中甲得1分或乙得1分”，求.5．年上半年數(shù)據(jù)顯示，某省某市空氣質(zhì)量在其所在省中排名倒數(shù)第三，(可吸入顆粒物)和(細(xì)顆粒物)分別排在倒數(shù)第一和倒數(shù)第四，這引起有關(guān)部門高度重視，該市采取一系列“組合拳”治理大氣污染，計劃到2020年底，全年優(yōu)?良天數(shù)達到180天.下表是2020年9月1日到9月15日該市的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)，其中空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為，，，，和大于六檔，對應(yīng)空氣質(zhì)量依次為優(yōu)?良?輕度污染?中度污染?重度污染?嚴(yán)重污染.日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日13日14日15日AQI指數(shù)49741151928012310913810573919077109124PM2.53629761128985403259354559537989PM107686148199158147708312175969063113140（1）指出這15天中PM2.5的最小值及PM10的極差；（2）從這15天中任取連續(xù)2天，求這2天空氣質(zhì)量均為輕度污染的概率；（3）已知2020年前8個月(每個月按30天計算)該市空氣質(zhì)量為優(yōu)?良的天數(shù)約占55%，用9月份這15天空氣質(zhì)量優(yōu)?良的頻率作為2020年后4個月空氣質(zhì)量優(yōu)?良的概率(不考慮其他因素)，估計該市到2020年底，能否完成全年優(yōu)?良天數(shù)達到180天的目標(biāo).6．（2023·全國·模擬預(yù)測）魯班鎖是一種廣泛流傳于中國民間的智力玩具，相傳由春秋末期到戰(zhàn)國初期的魯班發(fā)明，它看似簡單，卻凝結(jié)著不平凡的智慧，易拆難裝，十分巧妙，每根木條上的花紋是賣點，也是手工制作的關(guān)鍵．某玩具公司開發(fā)了甲、乙兩款魯班鎖玩具，各生產(chǎn)了100件樣品，樣品分為一等品、二等品、三等品，根據(jù)銷售部市場調(diào)研分析，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下（單件成本利潤率＝利潤÷成本）：甲款魯班鎖玩具一等品二等品三等品單件成本利潤率10%8%4%頻數(shù)106030乙款魯班鎖玩具一等品二等品三等品單件成本利潤率7.5%5.5%3%頻數(shù)503020(1)用頻率估計概率，從這200件產(chǎn)品中隨機抽取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率；(2)若甲、乙兩款魯班鎖玩具的投資成本均為20000元，且每件的投資成本是相同的，分別求投資這兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤．7．（2122高一上·湖南株洲·開學(xué)考試）為響應(yīng)垃圾分類處理，改善生態(tài)環(huán)境，某小區(qū)將生活垃圾分成三類：廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分別記為a，b，c.并且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，“廚余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分別記為A，B，C.(1)若小明將一袋分好類的生活垃圾隨機投入一類垃圾箱，請寫出投放正確的概率；(2)為了了解居民生活垃圾分類投放的情況，現(xiàn)隨機抽取了某天三類垃圾箱中總共100噸的生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）ABCa401010b3243c226①請根據(jù)以上信息，試估計“廚余垃圾”投放正確的概率；②調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在“可回收垃圾”中塑料類垃圾占，每回收1噸塑料類垃圾可獲得0.7噸二級原料，某城市每天大約產(chǎn)生2000噸生活垃圾.假設(shè)該城市對每天產(chǎn)生的垃圾箱中的垃圾全部分類處理，那么按樣本中的投放垃圾與按規(guī)范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少噸塑料類垃圾的二級原料？8．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）2024年甲辰龍年春節(jié)來臨之際，赤峰市消費者協(xié)會開展消費環(huán)境建設(shè)基層行活動，實地調(diào)研了甲、乙兩家商場，對顧客在兩家商場消費體驗的滿意度進行現(xiàn)場調(diào)研，從在甲、乙兩家消費的顧客中各隨機抽取了100人，每人分別對各自的商場進行評分，滿分均為60分．整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分為6組：、、、、、，得到甲商場分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙商場分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：乙商場分?jǐn)?shù)頻數(shù)分?jǐn)?shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)235154035(1)在抽樣的100人中，求對甲商場評分低于30分的人數(shù)；(2)從對乙商場評分在范圍內(nèi)的人中隨機選出2人，求2人評分都在范圍內(nèi)的概率．(3)如果從甲、乙兩家商場中選擇一家消費，你會選擇哪一家？請說明理由．強化訓(xùn)練一、單選題1．將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點向上的概率是A． B． C． D．2.算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位…，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大?。F(xiàn)在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下?lián)芤涣Ｉ现椋蠐?粒下珠，得到的數(shù)為質(zhì)數(shù)（除了1和本身沒有其它的約數(shù)）的概率是（

）A． B． C． D．3．（2223高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）如圖，用K?A1?A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)，當(dāng)K正常工作且A1?A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K?A1?A2正常工作的概率依次是0.9?0.7?0.7，則系統(tǒng)正常工作（

）A．0.441 B．0.782 C．0.819 D．0.94．某地天氣預(yù)報中說未來三天中該地下雪的概率均為0.6，為了用隨機模擬的方法估計未來三天中恰有兩天下雪的概率，用計算機產(chǎn)生之間的隨機整數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機數(shù)1，2或3時，表示該天下雪，其概率為0.6，每3個隨機數(shù)一組，表示一次模擬的結(jié)果，共產(chǎn)生了如下的20組隨機數(shù)：則據(jù)此估計該地未來三天中恰有兩天下雪的概率為（

）A． B． C． D．5.中國古典樂器一般按“八音”分類．這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最先見于《周禮?春官?大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（páo）、竹”八音．其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器，現(xiàn)從“金、石、土、革、絲、木”任取“兩音”，則“兩音”同為打擊樂器的概率為（）A． B． C． D．6.（2324高一下·江西·開學(xué)考試）現(xiàn)有張完全相同的卡片，分別寫有字母、、、、，從中任取一張，看后再放回，再任取一張.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母為”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母為”，丙表示事件“兩次抽取卡片的字母相鄰”，丁表示事件“兩次抽取卡片的字母不相鄰”，則（

）A．乙與丁相互獨立 B．甲與丙相互獨立C．丙與丁相互獨立 D．甲與乙相互獨立7.（2324高二下·上海青浦·階段練習(xí)）袋子中有大小和質(zhì)地相同的12個小球，分別為紅球、黃球、綠球、黑球，從中任取一個球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，問得到黃球的概率是（

）A． B． C． D．8．下列說法正確的個數(shù)有（

）（1）擲一枚質(zhì)地均勻的的骰子一次，事件M=“出現(xiàn)偶數(shù)點”，N=“出現(xiàn)3點或6點”.則和相互獨立；（2）袋中有大小質(zhì)地相同的3個白球和1個紅球.依次不放回取出2個球，則“兩球同色”的概率是；（3）甲乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶率為0.8，乙的中標(biāo)率為0.9，則“至少一人中靶”的概率為0.98；（4）柜子里有三雙不同的鞋，如果從中隨機地取出2只，那么“取出的鞋不成雙”的概率是；A． B．2 C．3 D．4二、多選題9．從裝有2個紅球和2個白球的紅袋內(nèi)任取兩個球，那么下列事件中關(guān)系正確的是（

）A．“至少有一個紅球”與“都是白球”是對立事件B．“至少有一個白球”與“至少有一個紅球”是互斥事件C．“恰好有一個白球”與“恰好有2個白球”是互斥事件D．“都是紅球”與“都不是紅球”是對立事