2024惠州市某中學(xué)高三3月份模擬考試新高考數(shù)學(xué)試題及答案解析

惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三3月份模擬考試新高考數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列伍“｝的前13項(xiàng)和為52,則（-2/+%=（）

A.256B.-256C.32D.-32

2.將函數(shù)/（x）=sin2x的圖象向左平移。0三。<（個(gè)單位長度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則9的值為（）

3.下列函數(shù)中，值域?yàn)镽的偶函數(shù)是（）

A.y=x2+iB.y^ex-e-xC.y=lg|%|D.丁=斤

4.已知集合A=[xeZ|囁三。1,則集合4真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

5.雙曲線C：二—與=1（?！?,b>0）的離心率是3,焦點(diǎn)到漸近線的距離為0,則雙曲線C的焦距為（）

ab

A.3B.372C.6D.672

6.已知二—=o+2i（aeR）,i為虛數(shù)單位，則。=（）

l-2i

A.&B,3C.1D.5

7.學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí).某班共有36名學(xué)生且全部選考

物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中，這兩科等級(jí)均為4的學(xué)生有5人，這兩科中僅

有一科等級(jí)為A的學(xué)生，其另外一科等級(jí)為3,則該班（）

7級(jí)

ABCDE

科N

物理1016910

化學(xué)819720

A.物理化學(xué)等級(jí)都是B的學(xué)生至多有12人

B.物理化學(xué)等級(jí)都是3的學(xué)生至少有5人

C.這兩科只有一科等級(jí)為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生至多有18人

D.這兩科只有一科等級(jí)為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生至少有1人

8.如圖，四面體ABC。中，面版和面5CD都是等腰直角三角形，AB=0NBAD=NCBD=—,且二面角

2

A-血-C的大小為:，若四面體ABC。的頂點(diǎn)都在球。上，則球。的表面積為（）

3

A

22K28萬7127r

A.B.C.—D?—

3323

9.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為（）

工［

正視圖記視圖

俯視圖

A.24萬B.287rC.32萬D.36"

10.秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的

秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入x的

值為2,則輸出的n值為(

開始

.

/輸/

v

v=10>k=9

A.9x210-2B.9x210+2C.9x2"+2D.9x2u-2

11.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③z

是直線，x、y是平面；④無、y、z均為平面.其中使“x_Lz且、，2=>%〃丁”為真命題的是()

A.③④B.①③C.②③D.①②

12.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)

中國四大名著：《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不

同的閱讀計(jì)劃共有()

A.120種B.240種C.480種D.600種

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)/(尤)是定義在(0,+。)上的函數(shù)，且對(duì)任意。>0力>0,若經(jīng)過點(diǎn)的一次函

數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(c,0),且a、b、c互不相等，則稱。為a*關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為監(jiān)(。力).當(dāng)

f(x)=(%>0)時(shí)，場(。力)為a,b的幾何平均數(shù)J法.(只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)

14.已知兩點(diǎn)4-1,0),8(1,0),若直線x—y+a=0上存在點(diǎn)P(x,y)滿足AP3P=0,則實(shí)數(shù)。滿足的取值范圍

是.

15.如圖，直線/是曲線y=/(x)在x=3處的切線，貝！I八3)=.

16.已知函數(shù)/（x）=alnx—圖象上一點(diǎn)（2J（2）處的切線方程為y=—3x+21n2+2,則。+匕=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù);'（xblnx-g以2+法，函數(shù)〃尤）在點(diǎn)（I"⑴）處的切線斜率為o.

（1）試用含有"的式子表示沙，并討論/（￡）的單調(diào)性；

⑵對(duì)于函數(shù)/（X）圖象上的不同兩點(diǎn)A（WK）,6（%，%），如果在函數(shù)/（X）圖象上存在點(diǎn)

加（%,%乂/?%，七）），使得在點(diǎn)M處的切線〃/A6,則稱存在“跟隨切線”.特別地，當(dāng)/=電工時(shí)，又稱

AB存在“中值跟隨切線”.試問：函數(shù)/（%）上是否存在兩點(diǎn)A,3使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A,3的坐

標(biāo)，若不存在，說明理由.

22]（八

18.（12分）已知橢圓C：^-+4=1（?>^>0）的左、右焦點(diǎn)分別為《，工，離心率為一，且過點(diǎn)1，/.

ab21z）

（1）求橢圓C的方程；

TT

（2）過左焦點(diǎn)耳的直線/與橢圓。交于不同的A,8兩點(diǎn)，若44工3=5,求直線/的斜率上

19.（12分）一酒企為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，決定新建一個(gè)底面為長方形MNPQ的室內(nèi)發(fā)酵館，發(fā)酵館內(nèi)有一個(gè)無蓋長方體

發(fā)酵池，其底面為長方形如圖所示），其中ADAA5.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模，設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米3,

深2米.若池底和池壁每平方米的造價(jià)分別為200元和150元，發(fā)酵池造價(jià)總費(fèi)用不超過65400元

（1）求發(fā)酵池AD邊長的范圍；

（2）在建發(fā)酵館時(shí)，發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和力米的走道（b為常數(shù)）.問:發(fā)酵池的邊長如何設(shè)計(jì),

可使得發(fā)酵館占地面積最小.

20.(12分)已知圓M：(x+26)+y2=64及定點(diǎn)N(2百,0),點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)3在ML上，點(diǎn)G在

上，且滿足Mi=2N3，GBNA=b，點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

111

(2)設(shè)斜率為k的動(dòng)直線/與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，與直線y=/》和y=—彳x分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)陽〉-

時(shí)，求AOPQ(。為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(%)=。加+%2-(。+2)為其中aeR

(I)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,”2))處切線的傾斜角為?，求。的值；

(II)已知導(dǎo)函數(shù)廣⑺在區(qū)間(1，e)上存在零點(diǎn)，證明:當(dāng)尤e(l,e)時(shí)，f(x)>-e2.

22.(10分)已知拋物線G:y2=2px,焦點(diǎn)為p，直線/交拋物線G于A,8兩點(diǎn)，交拋物線G的準(zhǔn)線于點(diǎn)C,如圖

Q

所示，當(dāng)直線/經(jīng)過焦點(diǎn)口時(shí)，點(diǎn)尸恰好是AC的中點(diǎn)，且忸[=

CJ

I

——]

DLF\

(1)求拋物線G的方程；

(2)點(diǎn)。是原點(diǎn)，設(shè)直線。4,08的斜率分別是勺狀2,當(dāng)直線/的縱截距為1時(shí)，有數(shù)列｛4｝滿足

2

q=1,左=—=4(4+2),設(shè)數(shù)歹U,念->的前n項(xiàng)和為Sn,已知存在正整數(shù)m使得m<S2020<m+l,

求m的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.

【詳解】

由%=13%=52,%=4,得(—2)%+%=(—2『=256.選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.

2、D

【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.

【詳解】

將將函數(shù)=sin2x的圖象向左平移。個(gè)單位長度,

可得函數(shù)g(x)=sin[2(尤+0)]=sin(2尤+2夕)

/rr^rr〃＜77"

又由函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，所以20=耳+癡/eZ,解得9=i+光-/eZ,

7TJT

因?yàn)?K°＜一,當(dāng)k=0時(shí)，(p=-,故選D.

24

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且

yeR,滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但＞20,不滿足條件，故選C.

考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域.

4、C

【解析】

解出集合A,再由含有幾個(gè)元素的集合，其真子集的個(gè)數(shù)為2"-1個(gè)可得答案.

【詳解】

解：由得4={%€2|—3<xWO}={—2,—1,0}

所以集合A的真子集個(gè)數(shù)為23-1=7個(gè).

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查利用集合子集個(gè)數(shù)判斷集合元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用，含有九個(gè)元素的集合，其真子集的個(gè)數(shù)為2"-1個(gè)，屬于基礎(chǔ)

題.

5、A

【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離，可得人，然后根據(jù)尸=。2-/"=￡,可得結(jié)果.

a

【詳解】

由題可知：雙曲線的漸近線方程為法土分=0

取右焦點(diǎn)尸(c,0),一條漸近線/：法—4=0

則點(diǎn)R至心的距離為"上=3,由^+a2=c2

揚(yáng)+?

所以匕=0，則,2—/=2

▽ca/2c2

又一二3n—=9n〃———

aa9

X3

所以c?----=2=>。=一

92

所以焦距為：2c=3

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線漸近線方程，以及。力,之間的關(guān)系，識(shí)記常用的結(jié)論：焦點(diǎn)到漸近線的距離為人，屬基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡得答案.

【詳解】

由一--=a+2i,得l+2i=a+2i,解得a=1.

l-2i

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為4,化學(xué)等級(jí)為5的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為3,化學(xué)等級(jí)為A的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表

格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】

根據(jù)題意可知，36名學(xué)生減去5名全4和一科為A另一科為3的學(xué)生10-5+8-5=8人（其中物理4化學(xué)3的有5

人，物理3化學(xué)4的有3人），

表格變?yōu)椋?/p>

ABCDE

物理10—5—5=016-3=13910

化學(xué)8—5—3=019-5=14720

對(duì)于A選項(xiàng)，物理化學(xué)等級(jí)都是3的學(xué)生至多有13人，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)物理。和。，化學(xué)都是3時(shí)，或化學(xué)C和D,物理都是B時(shí)，物理、化學(xué)都是3的人數(shù)最少，至少

為13—7—2=4（人），B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，在表格中，除去物理化學(xué)都是3的學(xué)生，剩下的都是一科為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生，

因?yàn)槎际?的學(xué)生最少4人，所以一科為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生最多為13+9+1—4=19（人），

C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，物理化學(xué)都是3的最多13人，所以兩科只有一科等級(jí)為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生最少14-13=1（人）,

D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.

8、B

【解析】

分別取3D、的中點(diǎn)M、N,連接AM、MN、AN,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角A—的平面角為

ZAMN=—,然后分別過點(diǎn)〃作平面曲的垂線與過點(diǎn)N作平面5C。的垂線交于點(diǎn)。，在WAOAW中計(jì)算出

OM,再利用勾股定理計(jì)算出Q4,即可得出球。的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案.

【詳解】

如下圖所示，

分別取6。、CD的中點(diǎn)M、N,連接40、MN、AN,

由于AABD是以N&4O為直角等腰直角三角形，4為5。的中點(diǎn)，

jr

ZCBD=-,且加、N分別為BD、CD的中點(diǎn)，所以，MNHBC,所以，MN±BD,所以二面角A—C

2

97T

的平面角為NAMN=—,

3

AB=AD=V2>則BD=4AB?+AD?'=2，且BC=2，所以，AM=^BD=1,MN=3BC=1,

AABD是以NS4D為直角的等腰直角三角形，所以，AABZ）的外心為點(diǎn)"，同理可知，A3CD的外心為點(diǎn)N,

分別過點(diǎn)M作平面ABD的垂線與過點(diǎn)N作平面5CD的垂線交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。在平面內(nèi)，如下圖所示，

27r7171

由圖形可知，ZOMN=ZAMN-ZAMO=-------=-,

326

I—ivny473

在RtAOMN中,四匚cosNOMN上,：）[，

OM2型

2

所以，0A=y]OM2+AM2=^~

3

所以，球。的半徑為R=亙，因此，球。的表面積為4〃R2=4〃X(^]=空工.

33

3IJ

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中等

題.

9、C

【解析】

由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為2/，高為1的等腰三角形，側(cè)棱長為4,利用正弦定

理求出底面三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，

即可求解球的表面積.

【詳解】

由三視圖可知，

幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為2/，高為1的等腰三角形,

側(cè)棱長為4,如圖:

A

由底面邊長可知，底面三角形的頂角為120,

由正弦定理可得2A。=--—=4,解得AD=2,

sin120

三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，

所以=A/22+22=2夜，

該幾何體外接球的表面積為：S=4??(2@2=32〃.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的左，V的值，當(dāng)左=-1時(shí)，不滿足條件左..0,跳出循環(huán)，輸出V

的值.

【詳解】

解：初始值V=l。，x=2,程序運(yùn)行過程如下表所示：

k=9,

v=10x2+9,左=8,

V=10X22+9X2+8>左=7,

v=10x23+9x2^+8x2+7?k=6,

v=10x24+9x23+8x22+7x2+6?k=5,

v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5,左=4,

v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x23+5x2+4,左=3,

V=10X27+9X26+8X25+7X24+6X23+5X22+4X2+3>k=2,

v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=l,

v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,左=0,

v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x2s+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-1,

跳出循環(huán)，輸出n的值為

1098765432

^^V=10X2+9X2+8X2+7X2+6X2+5X2+4X2+3X2+2X2+1x2+0@

2V=10X2"+9X210+8X29+7X28+6X27+5X26+4X25+3X24+2X23+1X22+0?

①Y）得

-v=-10x2n+1X210+1X29+1X28+1X27+1X26+1X25+1X24+1X23+1X22+1X2

v=9x2n+2.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫出每次循環(huán)得到左，V的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

①舉反例，如直線X、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的

兩平面平行判斷.④舉例，如*、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).

【詳解】

①當(dāng)直線X、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)，不正確；

②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確；

③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確；

④如X、了、Z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí)，不正確.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

此題考查立體幾何中線面關(guān)系，選擇題一般可通過特殊值法進(jìn)行排除，屬于簡單題目.

12、B

【解析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對(duì)名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.

【詳解】

?=種分組方法;

將周一至周五分為4組，每組至少1天，共有:

將四大名著安排到4組中，每組1種名著，共有：禺=24種分配方法；

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有：10x24=240種

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、?

【解析】

由定義可知3〃。)),(。,—〃。)),(。,0)三點(diǎn)共線，即通過整理可得"X)=0),繼

aatyCID〃

而可求出正確答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意(a,>)=c=J茄，由定義可知:(a",(加0)),(c,0)三點(diǎn)共線.

故可得：—~~~~,即(J-=-1——―~,

整理得：

a-cc-ba-yjabyjab-b7b

故可以選擇/(%)=?,(x>0)J(x)=2?(x>。)等.

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式，考查了推理能力，考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.

14、［-后,0］

【解析】

問題轉(zhuǎn)化為求直線/與圓好+/=1有公共點(diǎn)時(shí)，。的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果.

【詳解】

解：直線/：x-y+a=O,點(diǎn)A(-1,O),3(1,0),

直線I上存在點(diǎn)P滿足AP.BP=0，

二產(chǎn)的軌跡方程是/+丁=1.

二如圖，直線/與圓好+/=1有公共點(diǎn)，

d,_=1~?^1=<1,

解得—

實(shí)數(shù)a的取值范圍為［-.

故答案為：［-應(yīng)，應(yīng)］.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化

思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.

【解析】

求出切線/的斜率，即可求出結(jié)論.

【詳解】

由圖可知直線/過點(diǎn)(3,3),(0,g1,

3_2

可求出直線/的斜率z21-

3-02

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，r(3)=1.

故答案為:

2

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

16、1

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線方程得切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得應(yīng)氏

【詳解】

由題意f'(x)=--2bx,

x

???函數(shù)圖象在點(diǎn)(2,/(2)處的切線方程為y=—3x+21n2+2,

n

--4&=-3ra=2

??<2>解得<卜>

Mn2-4b=-6+21n2+21

'?a+b=3.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)是解題基礎(chǔ)，

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)b=a-l,單調(diào)性見解析；(2)不存在，理由見解析

【解析】

(1)由題意得r(l)=O,即可得b=a—1；求出函數(shù)/(%)的導(dǎo)數(shù)/'('=(.+1)(一：+1),再根據(jù)。20、

X

—1<。<0、a=-l.”-1分類討論，分別求出/"(x)〉。、/'(尤)<0的解集即可得解；

(2)假設(shè)滿足條件的4、3存在，不妨設(shè)4(M，%),B(%,%)且0<%<々，由題意得KB=尸(與三］可得

(X

22-1x

ln%=L_2,令/=±(0<?<1),構(gòu)造函數(shù)ga)=ln-2"T)(0</<1),求導(dǎo)后證明g?)<0即可

%王+1%t+1

%

得解.

【詳解】

(1)由題可得函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?0，+8)且/''(力=!一取+'

由/'(1)=0,整理得b=a—1.

，/\11(。九+1)(—X+1)

f(x)=ax+b=ax+a-1---------?

xxx

(i)當(dāng)時(shí)，易知工￡(0,1),/f(x)>0,X￡(l,+oo)時(shí)/'(x)<0.

故y=/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

(ii)當(dāng)。<0時(shí)，令/''(x)=0,解得％=1或x=—貝?。?/p>

①當(dāng)一：=1,即a=—1時(shí)，/'(九)之0在(0,+8)上恒成立，則y=/(x)在(0,+8)上遞增.

②當(dāng)—工〉1,即一1<。<0時(shí)，當(dāng)xe(0,l)u［-：,+oc］時(shí)，/,(x)>0；

當(dāng)xe“，一時(shí)，/(%)<0.

所以y=/(x)在(0」)上單調(diào)遞增，［1，—J單調(diào)遞減，+，|單調(diào)遞增.

③當(dāng)—!<1,即"T時(shí)，當(dāng)—］u(l,+8)時(shí)，/(x)>0;當(dāng)時(shí)，/(x)<0.

所以y=/(H在］。，-力上單調(diào)遞增，(一，1］單調(diào)遞減，(1,+8)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a?0時(shí)，y=/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減.

當(dāng)—l<a<0時(shí)，y=/(￡)在(0,1)及］—f上單調(diào)遞增；y=/(x)在11,一口上單調(diào)遞減.

當(dāng)a=—1時(shí)，y=/(x)在(0,+8)上遞增.

當(dāng)時(shí)，y=〃力在10,一：1及0,+8)上單調(diào)遞增；丁=/(可在,：,11上遞減.

(2)滿足條件的4、3不存在，理由如下:

假設(shè)滿足條件的4、3存在，不妨設(shè)4(%，%),B(%,%)且0<%<%2,

貝!=%一%.Inxj—ln%+x2)+a-l,

玉一%2玉一%2

又/，(%=/1號(hào)，"7ax詈+”1，

22-1

由題可知左4B=/'(/)，整理可得：I0％—In%五二2一也=上~

X

%-X2%+%2%2%+%211

令"%(0</<1),構(gòu)造函數(shù)g⑺=ln/-型~—(0</<1).

X2/+1

?、14

則g(0=；-；一吊M〉。

/”+1)

所以g⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，從而g⑺<g⑴=0,

所以方程In}=2：無解,即=無解.

綜上，滿足條件的A、3不存在.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.

18、(1)—+^=1(2)直線/的斜率為％=42或左=—

4377

【解析】

⑴根據(jù)已知列出方程組即可解得橢圓方程；

⑵設(shè)直線方程y=左"+1),與橢圓方程聯(lián)立，ZAF2B=|轉(zhuǎn)化為64耳3=0,借助向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，及韋

達(dá)定理即可求得結(jié)果.

【詳解】

1

a=2J

2

（1）由題意得a=b2+c2,

19

---1---=1,

a24b2

a=2,

解得＜b=V3,

c=l,

22

故橢圓c的方程為上+乙=1.

43

（2）直線/的方程為丁=左（尤+1）,

設(shè)4（%,%），B（x2,y2）,

[22

工+匕=1

則由方程組彳43消去y得,

y=左（尤+1）

（3+4左2）兀2+8左2%+4左2-12=0,

所由以I”XX=,—4~P—-172T,%+%=-----8-k-----

t23+4Q1'3+4左2

7T

由NAKB=5,得屬A?KB=O,

所以g4乙3=（玉_1）（%2_1）+%%=0，

又=公（玉+1）（尤2+1）=左之[%i%2+（%1+尤2）+1]

所以（1+左2）玉%2+（左之一1）（%]+/）+左之+1=0,

即（1+左2）4.—產(chǎn)+優(yōu)2_]）（__笠二]+左2+]=0

'，3+4-,\3+4k2）

,9

所以嚴(yán)=—,

7

因此，直線/的斜率為左=3夕或左=—

77

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，難度一般.

19、(1)ADe［15,25］(2)當(dāng)0<b<型時(shí)，AD=25,AB=9米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最?。划?dāng)6/當(dāng)36,41時(shí),

25125)

A。=迎但=旦也時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最?。划?dāng)b24時(shí)，A3=A￡>=15米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小.

b2

【解析】

(1)設(shè)的>=X米，總費(fèi)用為/(x)=225x200+150x2{2x+-

，解〃x)W65400即可得解;

225、

(2)結(jié)合(1)可得占地面積S(x)=(x+8)丁+2。結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分類討論即可求得最值.

【詳解】

450

(1)由題意知:矩形ABC。面積S=—=225米2,

2

225225

設(shè)=x米，則A5=——米，由題意知:九2——>0,得光215,

XX

設(shè)總費(fèi)用為了(X),

貝！|/(x)=225x200+150x2?2x+型

=600h+—+45000<65400,

解得：9WxW25,又x215,故xe[15,25],

所以發(fā)酵池。邊長的范圍是不小于15米，且不超過25米;

f22s\12f)f)

(2)設(shè)發(fā)酵館的占地面積為S(x)由⑴知:S(x)=(x+8)|^^+26]=2法+——+16ZJ+225,XG[15,25],

2僅d-900)

S'(x)=,xG[15,25]

①b"時(shí)，S'(x)20,S(x)在［15,25］上遞增，則x=15,即AB=AD=15米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最??；

②0<人時(shí)，S'(x)=0,S(x)在［15,25］上遞減，則尤=25,即A￡>=25,AB=9米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最

??；

③時(shí)，xc15,5］時(shí)，S'(x)<0,S(x)遞減；x］田,25時(shí)，S(r)>0,S(x)遞增，

因此％=孚=型也，即A￡>=迎回,巫時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小;

4bbb2

綜上所述：當(dāng)0＜人〈的時(shí)，AD=25,AB=9米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最??；當(dāng)3641時(shí),

25125)25

A。=迎但=旦也時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最?。划?dāng)b24時(shí)，A3=A￡＞=15米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小.

b2

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)亟⒛Ｐ?，利用函?shù)性質(zhì)討論最值取得的情況.

22

20、(1)---F-^―=1；(2)(8,+co).

164

【解析】

(1)根據(jù)題意得到GB是線段AN的中垂線，從而|GM|+|GN|為定值，根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以N為

焦點(diǎn)的橢圓，即可求出曲線C的方程；(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程，表示處AOPQ的面積代入韋達(dá)定理化簡即可求

范圍.

【詳解】

'NA=2NB

(1)\=8為⑷V的中點(diǎn)，且是線段AN的中垂線,

GBNA=O

二|AG|=|GN|,x\GM\+\GN\=\GM\+\G^=\AM\=S>4j3=\MN\,

點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓，

r2y2

設(shè)橢圓方程為二+=1(a>b>0)

ab29

則〃=4，c=2-\/3,,\b=J/_W—2，

22

所以曲線c的方程為土+匕=1.

164

(2)設(shè)直線Ay=kx+m±—),

2

y=kx+m/,o\o,o

由＜99消去y,可得(1+4左2)尤2+8物a+4加2-]6=0.

x+4y=16'7

因?yàn)橹本€,總與橢圓。有且只有一個(gè)公共點(diǎn),

2

所以A=64%2病一4(1+4的(4癡一16)=0,m=16^+4.?

y=kx+m2mm(-2mm

又由(-2尸?？傻?同理可得。

1—2左'1—2左[1+2左'1+2左廣

\m\

由原點(diǎn)O到直線PQ的距離為d=

Jl+k2

可得S"=g|尸。|