安徽省六安市獨山中學2024-2025學年高二上學期開學考試數(shù)學試卷（解析版）

獨山中學2024-2025學年度第一學期高二開學考試數(shù)學試卷一、單選題（每題5分計40分）1.已知復數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)復數(shù)除法運算法則計算即可.【詳解】.故選：A.2.已知向量，，，若，則（）A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】D【解析】【分析】因為向量，所以，代入坐標運算即可．【詳解】因為向量，，所以，因為，所以，可得，故選：D．3.如圖，在中，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用平面向量的三角形法則和數(shù)乘向量，直接求解．【詳解】在中，，∴故選：A．4.已知正三棱柱的體積為，且底面邊長與高相等，則該正三棱柱一個側面的對角線長為（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】設該正三棱柱的底面邊長為a，由體積求出，即可求出側面的對角線長.【詳解】設該正三棱柱的底面邊長為a，由題可知該正三棱柱的體積，所以，即該正三棱柱的底面邊長為，高為，故一個側面的對角線長為.故選：C5.如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的周長為（

）A. B. C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的原則進行求解即可.【詳解】由題設知：原四邊形中且，所以原四邊形為平行四邊形，而，則原四邊形中，故，綜上，四邊形的周長為.故選：D6.已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為6，體積為24，則該球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正四棱柱的體對角線長等于其外接球直徑求出球的半徑，即可求得結果.【詳解】設正四棱柱的底面邊長為，因為正四棱柱的高為6，體積為24，所以，即，得，正四棱柱的各頂點都在一個球面上，所以正四棱柱的體對角線長等于球的直徑，即，所以球的半徑為，球的表面積.故選:B.7.在中，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦定理可計算出，再利用正弦定理即可得出.【詳解】由題意可得，，，由余弦定理可得，即又可得；利用正弦定理可知，所以.故選：A8.如圖，一同學利用所學習的解三角形知識想測量河對岸的塔高時，他選取了塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D.，，，在點C處塔頂A的仰角為60°，則塔高為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】在中利用正弦定理求解的值，在中根據(jù)即可求解.【詳解】解：由題可知，在中，，，故，由正弦定理可得：，又，解得，因為在中，所以.故選：A.二、多選題（每題6分，多選、選錯不得分，部分對答部分分共18分）9.若復數(shù)z1、z2在復平面內(nèi)的對應點分別在一、二象限，則z1+z2在復平面內(nèi)的對應點可能在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】AB【解析】【分析】設出復數(shù)z1、z2對應點的坐標，求出z1+z2對應點的坐標即可分析得解.【詳解】在復平面內(nèi)，設復數(shù)z1、z2對應點的坐標分別為，則有且，于是得z1+z2對應點的坐標為，此時恒有，而有值不確定，即z1+z2在復平面內(nèi)的對應點必在x軸上方，可能在第一象限，第二象限或者在y軸正半軸上，所以選項C，D不可能，A，B有可能.故選：AB10.如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則下列結論正確的是（）A.圓柱的側面積為B.圓錐側面積為C.圓柱的側面積與球的表面積相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意，結合圓柱、圓錐和球的表面積和體積公式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，圓柱的側面積為，所以A錯誤；對于B中，圓錐的母線為，圓錐的側面積為，所以B錯誤；對于C中，球的表面積為，所以C正確；對于D中，圓柱的體積，圓錐的體積，球的體積，所以圓柱、圓錐、球的體積之比為，故D正確.故選：CD.11.對于，有如下判斷，其中正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則為等腰或直角三角形C.若，則D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由正弦定理可得即可判斷；對于B，由三角形中的角之間的關系，判斷出該三角形的形狀，進而判斷真假；對于C，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對于D，舉反例判斷.【詳解】對于A：在中，若，由正弦定理得，則為等腰三角形，A正確；對于B，因為，在中，可得或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，B正確；對于C，在三角形中，，因為在上單調(diào)遞減，所以，C正確；對于D，當為鈍角，為銳角時，此時，，D錯誤；故選：ABC.三、填空題（每題5分計15分）12.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是個底角為的等腰梯形，已知直觀圖中，，，則該平面圖形的面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直觀圖與原平面圖形的關系作出原平面圖形，求出相應邊長后計算面積．【詳解】由直觀圖可得平面圖形如下圖所示：則，，在題設等腰梯形中，，因此，所以．故答案為：．13.若在一個邊長為5的正三角形中，一個向量所對應的有向線段為（其中D在邊上運動），則向量的模的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，當D為BC的中點時，此時向量長度最小，問題得以解決．【詳解】根據(jù)題意，在正三角形中，有向線段的長度最小時，應與邊垂直，有向線段的長度的最小值為正三角形的高，即向量的模的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及向量的模，屬于基礎題．14.已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若，，，則________．【答案】【解析】【分析】△ABC中根據(jù)余弦定理求出BC的長度，在△ABD和△ADC中，利用余弦定理建立等式關系求出AD即可.【詳解】在△ABC中，AB=3，AC=1，，余弦定理可得，即.在△ADC中，設BD=m，則.余弦定理可得即…①.在△ABD中，余弦定理可得.即:…②，由①②求解得:故答案為：四、解答題（共77分）15.已知復數(shù)，，為虛數(shù)單位．（1）求（2）若，求的共軛復數(shù)；（3）若復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由復數(shù)的乘法運算，即可得到結果；（2）由復數(shù)的除法運算，即可得到結果；（3）由復數(shù)的幾何意義，列出不等式，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】【小問2詳解】，，，．【小問3詳解】在復平面上對應的點在第四象限，，解得，故實數(shù)的取值范圍為．16.已知，，與的夾角為45°.（1）求在方向上的投影向量；（2）求的值；（3）若向量與平行且方向相同，求實數(shù).【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)投影向量求解公式求出答案；（2）平方后求出，得到模長；（3）根據(jù)兩向量平行得到方程，求出的兩個解，檢驗是否方向相同，得到答案.【小問1詳解】∵，，與的夾角為45°，∴，∴在方向上的投影向量為；【小問2詳解】∵，∴；【小問3詳解】∵與平行，∴∴，解得：或，當時，，此時方向相同當時，，此時方向相反，故舍去.∴17.已知在長方體中，，，，為棱的中點.（1）求三棱錐的表面積；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，分別求得各個面的面積，進而得到其表面積；（2）根據(jù)題意，利用棱柱和棱錐的體積公式，結合，即可求解.【小問1詳解】解：在長方體中，由，，，為棱的中點，可得，可得，所以三棱錐的表面積為.【小問2詳解】解：在長方體中，由，，，為棱的中點，可得，且所以.18.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）試判斷的形狀；（2）若，求周長的最大值．【答案】（1）直角三角形（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得，化簡可得結論；（2）由（1）可得，進而可得周長為，利用輔助角公式可求最大值.【小問1詳解】由，和余弦定理得，即，所以．所以是直角三角形．【小問2詳解】由（1）知是直角三角形，且，可得．所以周長為，所以當時，即等腰直角三角形，周長有最大值為．19.某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為正四面體沿棱的三等分點，截去四個一樣的正四面體得到.（1）求石凳的體積與原正四面體的體積之比；（2）為了美觀工人準備將石凳的表面進行粉刷，已知每平方米造價50元，請問粉刷一個石凳需要多少錢？（）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先得到棱長為的正四面體的