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用放縮法處理數(shù)列和不等問題(教師版)一.先求和后放縮(主要是先裂項求和,再放縮處理)例1.正數(shù)數(shù)列的前項的和,滿足,試求:(1)數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項的和為,求證:解:(1)由已知得,時,,作差得:,所以,又因為為正數(shù)數(shù)列,所以,即是公差為2的等差數(shù)列,由,得,所以(2),所以真題演練1:(06全國1卷理科22題)設(shè)數(shù)列的前項的和,,(Ⅰ)求首項與通項;(Ⅱ)設(shè),,證明:.解:(Ⅰ)由Sn=eq\f(4,3)an-eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3,…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1-eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2再由①有Sn-1=eq\f(4,3)an-1-eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3,4,…將①和②相減得:an=Sn-Sn-1=eq\f(4,3)(an-an-1)-eq\f(1,3)×(2n+1-2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,…,因而數(shù)列{an+2n}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即:an+2n=4×4n-1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n-2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)將an=4n-2n代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n-2n)-eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1-1)(2n+1-2)=eq\f(2,3)×(2n+1-1)(2n-1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1-1)(2n-1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n-1)-eq\f(1,2n+1-1))所以,=eq\f(3,2)eq\f(1,2i-1)-eq\f(1,2i+1-1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21-1)-)<eq\f(3,2)二.先放縮再求和1.放縮后成等比數(shù)列,再求和例2.等比數(shù)列中,,前n項的和為,且成等差數(shù)列.設(shè),數(shù)列前項的和為,證明:.解:∵,,,∴公比.∴..(利用等比數(shù)列前n項和的模擬公式猜想)∴.真題演練2:(06福建卷理科22題)已知數(shù)列滿足 (I)求數(shù)列的通項公式;(II)若數(shù)列滿足,證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(Ⅲ)證明:. (I)解: 是以為首項,2為公比的等比數(shù)列 即 (II)證法一: ① ② ②-①,得 即 ③-④,得 即是等差數(shù)列 (III)證明:2.放縮后為“差比”數(shù)列,再求和例3.已知數(shù)列滿足:,.求證:證明:因為,所以與同號,又因為,所以,即,即.所以數(shù)列為遞增數(shù)列,所以,即,累加得:.令,所以,兩式相減得:,所以,所以,故得.3.放縮后成等差數(shù)列,再求和例4.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1)求證:;(2)求證:解:(1)在條件中,令,得,,又由條件有,上述兩式相減,注意到得∴所以,,所以(2)因為,所以,所以;練習(xí):1.(08南京一模22題)設(shè)函數(shù),已知不論為何實數(shù),恒有且.對于正數(shù)列,其前n項和,.(Ⅰ)求實數(shù)b的值;(II)求數(shù)列的通項公式;(Ⅲ)若,且數(shù)列的前n項和為,試比較和的大小并證明之.解:(Ⅰ)(利用函數(shù)值域夾逼性);(II);(Ⅲ)∵,∴2.(04全國)已知數(shù)列的前項和滿足:,(1)寫出數(shù)列的前三項,,;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)證明:對任意的整數(shù),有分析:⑴由遞推公式易求:a1=1,a2=0,a3=2;⑵由已知得:(n>1)化簡得:,故數(shù)列{}是以為首項,公比為的等比數(shù)列.故∴∴數(shù)列{}的通項公式為:.⑶觀察要證的不等式,左邊很復(fù)雜,先要設(shè)法對左邊的項進行適當?shù)姆趴s,使之能夠求和。而左邊=,如果我們把上式中的分母中的去掉,就可利用等比數(shù)列的前n項公式求和,由于-1與1交錯出現(xiàn),容易想到將式中兩項兩項地合并起來一起進行放縮,嘗試知:,,因此,可將保留,再將后面的項兩兩組合后放縮,即可求和。這里需要對進行分類討論,(1)當為偶數(shù)時,(2)當是奇數(shù)時,為偶數(shù),所以對任意整數(shù),有。本題的關(guān)鍵是并項后進行適當?shù)姆趴s。3.(07武漢市模擬)定義數(shù)列如下:求證:(1)對于恒有成立;(2)當,有成立;(3)分析:(1)用數(shù)學(xué)歸納法易證。(2)由得:……以上各式兩邊分別相乘得:,又(3)要證不等式,可先設(shè)法求和:,再進行適當?shù)姆趴s。又原不等式得證。本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項求和。用放縮法處理數(shù)列和不等問題(學(xué)生版)一.先求和后放縮(主要是先裂項求和,再放縮處理)例1.正數(shù)數(shù)列的前項的和,滿足,試求:(1)數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項的和為,求證:真題演練1:(06全國1卷理科22題)設(shè)數(shù)列的前項的和,,(Ⅰ)求首項與通項;(Ⅱ)設(shè),,證明:.二.先放縮再求和1.放縮后成等比數(shù)列,再求和例2.等比數(shù)列中,,前n項的和為,且成等差數(shù)列.設(shè),數(shù)列前項的和為,證明:.真題演練2:(06福建卷理科22題)已知數(shù)列滿足 (I)求數(shù)列的通項公式;(II)若數(shù)列滿足,證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(Ⅲ)證明:.2.放縮后為“差比”數(shù)列,再求和例3.已知數(shù)列滿足:,.求證:3.放縮后成等差數(shù)列,再求和例4.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1)求證:;(2)求證:練習(xí):1.(08南京一模22題)設(shè)函數(shù),已知不論為何實數(shù),恒有且.對于正數(shù)列,其前n項和,.(Ⅰ)求實數(shù)b的值;(II)求數(shù)列的通項公式;(Ⅲ)若,且數(shù)列的前n
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