專題27-等比數(shù)列及其前n項和(押題專練)(解析版)

名師整理，助你成功1．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比為()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．3解析：因為S1，S2＋a2，S3成等差數(shù)列，所以2(S2＋a2)＝S1＋S3,2(a1＋a2＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，a3＝3a2，q＝3。選D。答案：D2．等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35解析：由題意可知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18得a5a6＝a4a7＝9，而log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝log3310＝10。答案：B3．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a3＝eq\f(5,2)，a2＋a4＝eq\f(5,4)，則eq\f(Sn,an)＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＝\f(5,2),a2＋a4＝\f(5,4)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝\f(5,2)，1,a1q＋a1q3＝\f(5,4)，2))由(1)除以(2)可得eq\f(1＋q2,q＋q3)＝2，解得q＝eq\f(1,2)，代入(1)得a1＝2，∴an＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(4,2n)，∴Sn＝eq\f(2×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))，∴eq\f(Sn,an)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),\f(4,2n))＝2n－1，選D。答案：D4．在等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，若a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項為17，則S6＝()A.eq\f(63,4)B．16C．15D.eq\f(61,4)解析：由等比數(shù)列的性質知a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2?！遖4＋2a7＝2×17＝34，∴a7＝eq\f(1,2)(2×17－a4)＝eq\f(1,2)(2×17－2)＝16。∴q3＝eq\f(a7,a4)＝eq\f(16,2)＝8，即q＝2。由a4＝a1q3＝a1×8＝2，得a1＝eq\f(1,4)，∴S6＝eq\f(\f(1,4)1－26,1－2)＝eq\f(63,4)。答案：A5．已知三角形的三邊構成等比數(shù)列，它們的公比為q，則q的一個可能的值是()A.eq\f(5,2)B.eq\f(1,2)C．2D.eq\f(3,2)解析：由題意可設三角形的三邊分別為eq\f(a,q)，a，aq，因為三角形的兩邊之和大于第三邊，所以有eq\f(a,q)＋a＞aq，即q2－q－1＜0(q＞1)，解得1＜q＜eq\f(1＋\r(5),2)，所以q的一個可能值是eq\f(3,2)，故選D。答案：D6．正項等比數(shù)列{an}滿足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得aman＝16aeq\o\al(2,1)，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為()A.eq\f(25,6)B.eq\f(13,4)C.eq\f(7,3)D.eq\f(3,2)解析：由a3＝a2＋2a1得q2＝q＋2，∴q＝2(q＝－1舍去)，由aman＝16aeq\o\al(2,1)得2m－12n－1＝16，因為m＋n－2＝4，m＋n＝6，所以eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(m＋n,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(n,m)·\f(4m,n))))＝eq\f(3,2)。答案：D7．在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q等于()A．3B．－3C．－1D．1答案A解析兩等式相減得a4－a3＝2a3，從而求得eq\f(a4,a3)＝3＝q.故選A.8．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)答案C解析設等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，由題可知q≠1，則a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，∴eq\f(1,16)×q6＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×q3－1))，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝eq\f(1,2).故選C.9．已知單調遞增的等比數(shù)列{an}中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝()A．2n－2－eq\f(1,4) B．2n－1－eq\f(1,2)C．2n－1 D．2n＋1－2答案B解析因為a2·a6＝16，所以a3·a5＝16，又a3＋a5＝10，等比數(shù)列{an}單調遞增，所以a3＝2，a5＝8，所以公比q＝2，a1＝eq\f(1,2)，所以Sn＝eq\f(\f(1,2)1－2n,1－2)＝2n－1－eq\f(1,2).故選B.10．等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn＝()A．n(n＋1) B．n(n－1)C.eq\f(nn＋1,2) D.eq\f(nn－1,2)答案A解析∵a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,4)＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，將d＝2代入上式，解得a1＝2，∴Sn＝2n＋eq\f(nn－1·2,2)＝n(n＋1)．故選A.11．已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和．若a3a5＝eq\f(1,4)a1，且a4與a7的等差中項為eq\f(9,8)，則S5等于()A．35B．33C．31D．29答案C解析設等比數(shù)列{an}的公比是q，所以a3a5＝aeq\o\al(2,1)q6＝eq\f(1,4)a1，得a1q6＝eq\f(1,4)，即a7＝eq\f(1,4).又a4＋a7＝2×eq\f(9,8)，解得a4＝2，所以q3＝eq\f(a7,a4)＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2)，a1＝16，故S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32))),1－\f(1,2))＝31.故選C.12．設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(S4,S2)＝3，則eq\f(S6,S4)＝()A．2B.eq\f(7,3)C.eq\f(3,10)D．1或2答案B解析設S2＝k，S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，∴eq\f(S6,S4)＝eq\f(7k,3k)＝eq\f(7,3).故選B.13．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)，則x的值為()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案C解析解法一：∵Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)＝eq\f(x,3)·3n－eq\f(1,6)，由上述結論，得eq\f(x,3)＝eq\f(1,6)，∴x＝eq\f(1,2).解法二：當n＝1時，a1＝S1＝x－eq\f(1,6)；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2.∵{an}是等比數(shù)列，∴n＝1時也應適合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－eq\f(1,6)，解得x＝eq\f(1,2).故選C.14．記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m的值為()A．4B．7C．10D．12答案A解析因為{an}是等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝aeq\o\al(2,m).又am－1am＋1－2am＝0，則aeq\o\al(2,m)－2am＝0.所以am＝2.由等比數(shù)列的性質可知前2m－1項積T2m－1＝aeq\o\al(2m－1,m)，即22m－1＝128，故m＝4.選A.15．已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則eq\f(b2,a1＋a2)的值為________．答案eq\f(3,10)解析因為1，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以beq\o\al(2,2)＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3，所以eq\f(b2,a1＋a2)＝eq\f(3,10).16．商家通常依據“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格，即根據商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b(b>a)以及實數(shù)x(0<x<1)確定實際銷售價格c＝a＋x(b－a)．這里，x被稱為樂觀系數(shù)．經驗表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項．據此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于________．答案eq\f(－1＋\r(5),2)解析已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因為b>a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f(－1＋\r(5),2)或x＝eq\f(－1－\r(5),2)(舍去)．17．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a4＝16，則數(shù)列{an}的通項公式an＝__________，設bn＝log2an，則數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝__________。解析：由題意得公比q3＝eq\f(a4,a1)＝8，q＝2，an＝2·2n－1＝2n。因此bn＝n，Sn＝eq\f(nn＋1,2)。答案：2neq\f(nn＋1,2)18．設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a5＝S5，則S2014＝__________。解析：根據數(shù)列前n項和的定義知S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a5，故a1＋a2＋a3＋a4＝0，即a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋q)(1＋q2)＝0，從而1＋q＝0，q＝－1，所以這個等比數(shù)列的相鄰兩項的和都是0，所以S2014＝0。答案：019．在各項為正的等比數(shù)列{an}中，a4與a14的等比中項為2eq\r(2)，則2a7＋a11的最小值是__________。解析：由題意知a4·a14＝(2eq\r(2))2＝aeq\o\al(2,9)，即a9＝2eq\r(2)。設公比為q(q＞0)，所以2a7＋a11＝eq\f(2a9,q2)＋a9q2＝eq\f(4\r(2),q2)＋2eq\r(2)q2≥2eq\r(\f(4\r(2),q2)×2\r(2)q2)＝8，當且僅當eq\f(4\r(2),q2)＝2eq\r(2)q2，即q＝eq\r(4,2)時取等號，其最小值為8。答案：820．在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝81。(1)求an；(2)設bn＝log3an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。解析：(1)設{an}的公比為q，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝3,a1q4＝81，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,q＝3。))因此，an＝3n－1。(2)因為bn＝log3an＝n－1，所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝eq\f(nb1＋bn,2)＝eq\f(n2－n,2)。21．已知在數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝4，且an＋1＝3an－2an－1(n≥2)．(1)證明：數(shù)列{an＋1－an}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝eq\f(2n－1,an)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解(1)由an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，得an＋1－an＝2(an－an－1)，因此數(shù)列{an＋1－an}是公比為2，首項為a2－a1＝2的等比數(shù)列．所以當n≥2時，an－an－1＝2×