人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級下冊第01講 平行四邊形的性質(zhì)（3個知識點+7類熱點題型講練+習(xí)題鞏固）（解析版）

第01講平行四邊形的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①平行四邊形的概念②平行四邊形的性質(zhì)③平行線間的距離掌握平行四邊形的概念并能夠進(jìn)行簡單的判斷。掌握平行四邊形的性質(zhì)并能夠熟練的進(jìn)行相關(guān)的應(yīng)用。掌握平行線間的距離并熟練應(yīng)用知識點01平行四邊形的概念平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。用符號“?”來表示。平行四邊形ABCD表示為“?ABCD”。知識點02平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)：①邊的性質(zhì)：平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等（平行由定義證明，相等由連接對角線證明全等可得）。②角的性質(zhì)：平行四邊形的鄰角互補，對角相等。（由平行與鄰角轉(zhuǎn)換可得）③對角線的性質(zhì)：平行四邊形的對角線相互平分（連接兩條對角線證明全等可得）。④平行四邊形的面積計算：等于底×高。⑤平行四邊形的對稱性：是一個中心對稱圖形。⑥過對角線交點的直線把平行四邊形分成兩個全等的圖形。直線與對邊的交點到對角線的交點的距離相等。【即學(xué)即練1】1．以下平行四邊形的性質(zhì)錯誤的是（）A．對邊平行 B．對角相等 C．對邊相等 D．對角線互相垂直【解答】解：A、平行四邊形的對邊相互平行，故本選項不符合題意；B、平行四邊形的對角相等，故本選項不符合題意；C、平行四邊形的對邊相等，故本選項不符合題意；D、平行四邊形的對角線相互平分，但不一定互相垂直，故本選項符合題意；故選：D．【即學(xué)即練2】2．如圖，在?ABCD中，∠A+∠C＝80°，則∠D＝（）A．80° B．40° C．70° D．140°【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故選：D．【即學(xué)即練3】3．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC+BD＝12，CD＝4，則△ABO的周長是（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝4，∵AC+BD＝12，∴AO+BO＝6，∴△ABO的周長＝AO+OB+AB＝6+4＝10．故選：B．知識點03平行線間的距離平行線間的距離的定義：一組平行線中，其中一條平行線上任意一點到另一條平行線的距離是這一組平行間的距離。平行線間的距離的性質(zhì)：①兩條平行線間的距離處處相等。②平行線間的平行線段相等。【即學(xué)即練1】4．如圖，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于點E，F(xiàn)G⊥l2于點G，則下列說法中錯誤的是（）A．AB＝CD B．CE＝FG C．A、B兩點間距離就是線段AB的長度 D．l1與l2兩平行線間的距離就是線段CD的長度【解答】解：A、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴AB＝CD，故本選項正確；B、∵l1∥l2，CE⊥l2于點E，F(xiàn)G⊥l2于點G，∴四邊形CEGF是平行四邊形，∴CE＝FG，故本選項正確；C、∵AB是線段，∴A、B兩點間距離就是線段AB的長度，故本選項正確；D、∵CE⊥l2于點E，∴l(xiāng)1與l2兩平行線間的距離就是線段CE的長度，故本選項錯誤．故選：D．題型01平行線的性質(zhì)的理解判斷【典例1】關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)，下列描述錯誤的是（）A．平行四邊形的對角線相等 B．平行四邊形的對角相等 C．平行四邊形的對角線互相平分 D．平行四邊形的對邊平行且相等【解答】解：∵平行四邊形的性質(zhì)是：對邊相等且平行；對角相等，鄰角互補；對角線互相平分．∴B、C、D正確，A錯誤，故選：A．【變式1】平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對邊平行且相等 B．對角相等 C．對角線相等 D．對角線互相平分【解答】解：∵平行四邊形的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分，∴平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是C選項．故選：C．【變式2】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，下列結(jié)論中一定成立的是（）A．AC⊥BD B．OA＝OC C．AC＝AB D．OA＝OB【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB＝DC，故A、C、D錯誤，不符合題意；故選：B．【變式3】平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，若∠AOB＝180°﹣2∠BAO，那么下列說法正確的是（）A．AB＝OB B．AB＝OA C．AC＝BD D．AC⊥BD【解答】解：∵∠AOB+∠BAO+∠OBA＝180°，∠AOB＝180°﹣2∠BAO，∴∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC＝2OA，BD＝2OB，∴AC＝BD，故選：C．題型02平行四邊形的性質(zhì)與角度的計算【典例1】在?ABCD中，若∠A＝∠B+50°，則∠B的度數(shù)為65度．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B+50°，∴∠B＝65°，∠A＝115°，故答案為：65．【變式1】在?ABCD中，∠A+∠C＝220°，則∠D的度數(shù)是（）A．70° B．80° C．90° D．110°【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∵∠A+∠C＝220°，∴∠A＝∠C＝110°，∴∠D＝180°﹣∠B＝70°．故選：A．【變式2】如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED＝155°，則∠A的度數(shù)為（）A．155° B．130° C．125° D．110°【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分線交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故選：B．【變式3】如圖，在?ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，則∠BCE的度數(shù)為22°．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝68°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠BCD＝68°，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∴∠BCE＝90°﹣68°＝22°．故答案為：22°．【變式4】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠AED＝80°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝60°，∴∠B＝∠DAE，△ABE是等邊三角形，∴AB＝AE，∠AEB＝∠BAE＝60°，在△BAC和△AED中，，∴△BAC≌△AED（SAS），∴∠BAC＝∠AED＝80°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠EAC＝60°﹣20°＝40°．故選：C．題型03平行四邊形的性質(zhì)與線段長度的計算【典例1】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，則BD的長是（）A．16 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故選：C．【變式1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分線交AD于E，交CD的延長線于點F，則DF＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABF＝∠F，∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF，∴AE＝AB＝3，∴DF＝DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，故選：C．【變式2】在?ABCD中，尺規(guī)作圖后留下的痕跡如圖所示，若AB＝3cm，AD＝10cm，則EF的長為（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC，由尺規(guī)作圖后留下的痕跡可知，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF，∴∠ABE＝∠AEB，∠DCF＝∠DFC，∴AE＝AB＝3cm，CD＝DF＝3cm，∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝10﹣3﹣3＝4（cm），故選：C．【變式3】如圖，在?ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分線交于邊AB上一點E，且BE＝AB＝，線段CE的長為（）A．2 B．3 C．﹣2 D．3【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC＝，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC、∠BCD的角平分線交于邊AB上一點E，∴∠ABE＝∠CBE，∠DCE＝∠BCE，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∴∠BEC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝∠ABE，∠DEC＝∠BCE＝∠DCE，∴AB＝AE＝，DE＝DC＝，∴AD＝BC＝2，∴CE＝＝＝3，故選：D．【變式4】如圖，?ABCD的頂點C在等邊△BEF的邊BF上，點E在AB的延長線上，G為DE的中點，連接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，則CG的長為．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝5，AB＝CF＝3，∴CD＝3，BC＝5，∴BF＝BC+CF＝8，∵△BEF是等邊三角形，G為DE的中點，∴BF＝BE＝8，DG＝EG，延長CG交BE于點H，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝3，BE＝8，∴HE＝3，BH＝5，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝5，∴△CBH是等邊三角形，∴CH＝BC＝5，∴CG＝CH＝，故答案為：．題型04平行四邊形的面積【典例1】觀察如圖中的三個平行四邊形，你認(rèn)為說法正確的是（）A．它們形狀相同，面積相等 B．它們形狀相同，面積不相等 C．它們形狀不相同，面積相等 D．它們形狀不相同，面積不相等【解答】解：圖中三個平行四邊形的形狀不相同，但面積均為：3×5＝15（cm2），故選：C．【變式1】一個平行四邊形兩條鄰邊的長度分別是6cm、8cm，且一條底邊上的高是7cm，則這個平行四邊形的面積是（）cm2．A．42cm2 B．56cm2 C．48cm2 D．42cm2或者56cm2【解答】解：∵一個平行四邊形兩條鄰邊的長度分別是6cm、8cm，且一條底邊上的高是7cm，當(dāng)?shù)资?時，高如果為7，則7＞斜邊6，不符合題意，∴這個平行四邊形的面積＝6×7＝42（cm2），故選：A．【變式2】圖中，平行四邊形的面積是30平方厘米，下列說法錯誤的是（）A．S甲＝S乙+S丙 B．S甲：S乙：S丙＝5：2：3 C．S甲＝15平方厘米 D．S丙＝6平方厘米【解答】解：∵平行四邊形的面積是30平方厘米，∴甲的面積＝（平方厘米），乙的面積＝（平方厘米），丙的面積＝（平方厘米），故選：D．【變式3】如圖，F(xiàn)是?ABCD的邊CD上的點，Q是BF中點，連接CQ并延長交AB于點E，連接AF與DE相交于點P，若，，則陰影部分的面積為（）cm2A．24 B．17 C．18 D．10【解答】解：連接EF，∵F是?ABCD的邊CD上的點，∴BE∥CF，∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，∵BQ＝FQ，∴△EBQ≌△CFQ，∴EQ＝CQ，∴四邊形EBCF是平行四邊形，∴，∵S△AED＝S△AEF，∴，∴，故選：C．題型05平行四邊形的周長【典例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4m，若△ACD的周長為13cm，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm【解答】解：∵AC＝4cm，△ADC的周長為13cm，∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴平行四邊形的周長為2（AD+DC）＝18cm．故選：D．【變式1】如圖，在?ABCD中，AD＝10，對角線AC與BD相交于點O，AC+BD＝24，則△BOC的周長為22．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周長＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案為：22．【變式2】如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，?ABCD的周長為30，直線EF過點O，且與AD，BC分別交于點E．F，若OE＝5，則四邊形ABFE的周長是（）A．30 B．25 C．20 D．15【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF＝5，AE＝CF，∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，∵?ABCD的周長為30，∴2AB+2CB＝30，∴AB+CB＝15，∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，∴四邊形ABFE的周長是25，故選：B．【變式3】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，則平行四邊形ABCD的周長為（）cm．A．11 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD與BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四邊形ABCD的周長為2×（7+4）＝22（cm），故選：D．【變式4】在平行四邊形ABCD中，∠A的角平分線把邊BC分成長度為4和5的兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．無法確定【解答】解：設(shè)∠A的平分線交BC于點E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，當(dāng)EB＝5，EC＝4時，如圖1，則AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；當(dāng)EB＝4，EC＝5時，如圖2，則AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四邊形ABCD的周長為26或28，故選：B．題型06利用平行四邊形的性質(zhì)求坐標(biāo)【典例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，?ABCD的對角線交于點O．若點A的坐標(biāo)為（﹣2，3），則點C的坐標(biāo)為（2，﹣3）．【解答】解：∵?ABCD的對角線交于點O．點A的坐標(biāo)為（﹣2，3），∴點C的坐標(biāo)為（2，﹣3），故答案為：（2，﹣3）．【變式1】（多選）29．如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2）為四邊形的三個頂點構(gòu)造平行四邊形，則下列各點中可以作為第四個頂點的是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣3） C．（3，3） D．（2，3）【解答】解：∵O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2），∴OB＝2，當(dāng)OB為邊時，第四個點的坐標(biāo)為（﹣2，1），（﹣2，﹣3）；當(dāng)OB為對角線時，設(shè)第四個點的坐標(biāo)為（x，y），∴0+0＝﹣2+x，0+2＝﹣1+y，∴x＝2，y＝3，∴第四個點的坐標(biāo)為（2，3），故選：ABD．【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0），（2，3），則頂點C的坐標(biāo)是（）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）【解答】解：∵平行四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0），（2，3），∴DC∥AB，DC＝AB＝5，∴點C的橫坐標(biāo)＝5+2＝7，縱坐標(biāo)＝點D的縱坐標(biāo)＝3，即點C的坐標(biāo)是（7，3），故選：A．【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的邊AD在x軸上，頂點B在y軸上，點A，D的坐標(biāo)分別是（2，0），（7，0），∠OBA＝30°，則頂點C的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【解答】解：∵A（2，0），則OA＝2，∵∠OBA＝30°，∴AB＝2OA＝4，在Rt△AOB中，，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，A，D的坐標(biāo)分別是（2，0），（7，0），∴BC＝AD＝5，∴C，故選：C．題型07平行線間的距離【典例1】如圖，直線l1∥l2，l1和AB的夾角∠DAB＝135°，且AB＝4mm，則兩平行線l1和l2之間的距離是（）A．2 B．4 C． D．【解答】解：如圖，作AC⊥BC，∵直線l1∥l2，l1和AB的夾角∠DAB＝135°，∴∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝×AB＝2．故選：D．【變式1】如圖，已知直線a∥直線b，點A，B分別在直線a和直線b上，若AB＝6，∠1＝60°，則直線a與直線b之間的距離是3．【解答】解：作AC⊥b于點C，∵a∥b，∠1＝60°，∴∠ABC＝∠1＝60°，∴AC＝AB?sin60°＝6×＝3，∴直線a與直線b之間的距離是3．故答案為：3．【變式2】如圖，a∥b，點A、B分別在直線a、b上，∠1＝45°，點C在直線b上，且∠BAC＝105°，若a、b之間的距離為3，則線段AC的長度為6．【解答】解：作AH⊥BC于H，∵a∥b，∴AH＝3，∠ACH＝∠2，∵∠1＝45°，∠BAC＝105°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠BAC＝30°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AH＝6．故答案為：6．【變式3】在同一平面內(nèi)，已知a∥b，b∥c，若直線a、b之間的距離為7cm，直線b、c之間的距離為3cm，則直線a、c間的距離為（）A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不確定【解答】解：當(dāng)直線c在直線a、b之間時，如圖（1），直線a、c間的距離為7﹣3＝4（cm）；當(dāng)直線c在直線a、b外部時，如圖（2），直線a、c間的距離為7+3＝10（cm），∴直線a、c間的距離是4或10cm．故選：A．1．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．ABCD B．OB＝OD C．AB＝AD D．∠ABC＝∠ADC【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC與BD相交于點O，∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，故A正確、B正確、D正確；∵任意平行四邊形的鄰邊不一定相等，∴AB與AD不一定相等，故C錯誤，故選：C．2．在?ABCD中，如果∠A+∠C＝160°，那么∠C等于（）A．20° B．40° C．60° D．80°【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝160°，∴∠A＝∠C＝80°，故選：D．3．如圖，若直線m∥n，則下列哪條線段的長可以表示平行線m與n之間的距離（）A．AB B．AC C．AD D．DE【解答】解：∵m∥n，AC⊥n，∴AC⊥m，∴AC可以表示平行線m與n之間的距離，故選：B．4．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，則EC等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分線AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故選：C．5．平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C三點坐標(biāo)分別為（0，0），（0，﹣4），（﹣3，3），以這三點為平行四邊形的三個頂點，則第四個頂點不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵A（0，0），B（0，﹣4），C（﹣3，3），∴AB＝4，當(dāng)AB為邊時，第四個點的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1），（﹣3，7）；當(dāng)AB為對角線時，設(shè)第四個點的坐標(biāo)為（x，y），∴0+0＝﹣3+x，0﹣4＝3+y，∴x＝3，y＝﹣7，∴第四個點的坐標(biāo)為（3，﹣7），故選：A．6．已知直線a，b，c在同一平面內(nèi)，且a∥b∥c，a與b之間的距離為5cm，b與c之間的距離為3cm，則a與c之間的距離是（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．以上都不對【解答】解：如圖①，a與c之間的距離為5+3＝8（cm）；如圖②，a與c之間的距離為5﹣3＝2（cm）．∴a與c之間的距離為8cm或2cm．故選：C．7．如圖，在?ABCD中，AD：AB＝3：4，AE平分∠DAB交CD于點E，交BD于點F，則的值是（）A．3：4 B．9：16 C．4：3 D．16：9【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB交CD于點E，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝DE，∵AD：AB＝3：4，∴DE：AB＝3：4，故選：A．8．如圖，?ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，動點E從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B運動，動點F從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿著CD向D運動，當(dāng)點E到達(dá)點B時，兩個點同時停止．則EF的長為10cm時點E的運動時間是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【解答】解：在?ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如圖，過點D作DG⊥AB于點G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，過點F作FH⊥AB于點H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，當(dāng)F點在E點左側(cè)時，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵點E到達(dá)點B時，兩點同時停止運動，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合題意，舍去，∴EF的長為10cm時點E的運動時間是8s，故選：C．9．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊CD上一點，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于點F，P是EB延長線上一點，下列結(jié)論：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BF＝BE；④PF＝PC．其中正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正確；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正確；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③錯誤；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B點一定在FC的垂直平分線上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正確．正確的有3個，故選：C．10．如圖所示，以?ABCD的邊AB為邊向內(nèi)作等邊△ABE，使AD＝AE，且點E在平行四邊形內(nèi)部，連接DE，CE，則∠CED的度數(shù)為（）A．150° B．145° C．135° D．120°【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°，∵△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝BE＝BC，∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，設(shè)∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y(tǒng)，∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y，∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°，∴x+y＝150°，∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°，故選：A．11．如圖，l1∥l2，點A在直線l1上，點B、C在直線l2上，AC⊥l2．如果AB＝5cm，BC＝4cm．那么平行線l1，l2之間的距離為3cm．【解答】解：∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∵AB＝5cm，BC＝4cm．∴AC＝＝3（cm），∴平行線l1，l2之間的距離為3cm．故答案為：3．12．如圖，?ABCD的對角線交于坐標(biāo)原點O．若點A的坐標(biāo)為（﹣，1），點B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），則BC＝+1．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，又∵點O為坐標(biāo)原點，∴點A和點C關(guān)于原點對稱，∵點A的坐標(biāo)為（﹣，1），∴C點坐標(biāo)為（，﹣1），∵B（﹣1，﹣1），∴BC＝+1．故答案為：+1．13．在平行四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，AE為邊BC上的高，，CE＝2，則平行四邊形ABCD的周長為14或22．【解答】解：當(dāng)E在BC上時，如圖，∵∠AHB＝90°，∠B＝60°，∴sinB＝，∴AB＝＝＝6，∵BE＝AB＝3，∴BC＝BE+CE＝3+2＝5，∴平行四邊形ABCD的周長＝2（AB+BC）＝2×（6+5）＝22；當(dāng)E在BC延長線上時，如圖，由以上解答知：AB＝6，BE＝3，∴BC＝BE﹣CE＝3﹣2＝1，∴平行四邊形ABCD的周長＝2（AB+BC）＝2×（6+1）＝14，∴平行四邊形ABCD的周長是14或22．故答案為：14或22．14．如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P為AB邊上一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則對角線PQ的長度的最小值為6．【解答】解：如圖所示：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，過點O作OE⊥AB，當(dāng)點P與E重合時，OP最短，OE即為所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案為：6．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC邊的中點，延長CD至點G，使DG＝CD，以DG，DE為邊向平行四邊形ABCD外構(gòu)造平行四邊形DGME，連接BM交AD于點N，連接FN．若DG＝DE＝2，∠ADC＝60°，則FN的長為．【解答】解：如圖所示，連接EF、AF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC∵點E，F(xiàn)分別是AD，BC邊的中點，∴AE＝DE＝BF＝CF，∴四邊形ABFE，CDEF是平行四邊形，∵DG＝DE＝2，DG＝DC，四邊形DGME是平行四邊形，∴AE＝EF＝AB＝ME＝2，∵EF∥CD，∴∠AEF＝∠ADC＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∵M(jìn)E∥CD，EF∥CD，∴M、E、F三點共線，∴MF∥AB，∴∠MEN＝∠BAN，在△EMN和△ABN中，∴△ABN≌△EMN（AAS），∴AN＝NE，∴，F(xiàn)N⊥AE，∴，故答案為：．16．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．證明AE＝DF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACE，∵AE⊥BC，DF⊥AC，∴∠AEC＝∠AFD＝90°，在△ADF與△ACE中，，∴△ADF≌△ACE（AAS），∴AE＝DF．17．如圖，直線a∥b，AB與a，b分別相交于點A，B，且AC⊥AB，AC交直線b于點C．（1）若∠1＝70°，求∠2的度數(shù)；（2）若AC＝5，AB＝