2025屆湖南省長沙市開福區(qū)長沙一中高三高考數(shù)學(xué)試題系列模擬卷（6）含解析

2025屆湖南省長沙市開福區(qū)長沙一中高三高考數(shù)學(xué)試題系列模擬卷（6）注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，，分別是中，，所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直2．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點，若，且的三邊長，，成等差數(shù)列，則的離心率為（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．過拋物線的焦點且與的對稱軸垂直的直線與交于，兩點，，為的準(zhǔn)線上的一點，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．85．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，，則A． B．C． D．6．設(shè)m，n為直線，、為平面，則的一個充分條件可以是()A．，， B．，C．， D．，7．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與圓：交于，兩點，若，則實數(shù)的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-28．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-19．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如：，，，那么在不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．10．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形．若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方形內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．11．已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時，的最大值為（）A． B． C． D．112．若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動點，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.14．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則________15．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的最大值為______.16．已知公差大于零的等差數(shù)列中，、、依次成等比數(shù)列，則的值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知分別是內(nèi)角的對邊，滿足（1）求內(nèi)角的大?。?）已知，設(shè)點是外一點，且，求平面四邊形面積的最大值.18．（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點，與平面所成的角的正弦值為，求的長.19．（12分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.20．（12分）已知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為．（1）當(dāng)時，求的零點；（2）當(dāng)時，證明：．21．（12分）已知是拋物線：的焦點，點在上，到軸的距離比小1.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于另一點，為的中點，點在軸上，.若，求直線的斜率.22．（10分）如圖，在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上的一點，.（1）若，求直線AP與平面所成角；（2）在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的實數(shù)m，都有，并證明你的結(jié)論.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點：直線與直線的位置關(guān)系2．C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出，，，利用勾股定理列方程，結(jié)合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式，化簡后求得離心率.【詳解】由已知，，成等差數(shù)列，設(shè)，，.由于，據(jù)勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，，∴離心率.故選：C本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.3．C【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，求得復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，得到答案．詳解：由題意，復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-1,-1)，位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C．點睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．4．C【解析】

設(shè)拋物線的解析式，得焦點為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，這樣可設(shè)點坐標(biāo)為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，∵直線經(jīng)過拋物線的焦點，，是與的交點，又軸，∴可設(shè)點坐標(biāo)為，代入，解得，又∵點在準(zhǔn)線上，設(shè)過點的的垂線與交于點，，∴.故應(yīng)選C.本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就能得出點坐標(biāo)，從而求得參數(shù)的值．本題難度一般．5．B【解析】

由可得，所以，故選B．6．B【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，當(dāng)，，時，由于不在平面內(nèi)，故無法得出.對于B選項，由于，，所以.故B選項正確.對于C選項，當(dāng)，時，可能含于平面，故無法得出.對于D選項，當(dāng)，時，無法得出.綜上所述，的一個充分條件是“，”故選：B本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

由可得，O在AB的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個圓心的連線上，從而可求.【詳解】因為，所以O(shè)在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，，，三點共線，所以，得，故選D.本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.8．B【解析】

由題意，代入解方程即可得解.【詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

先求出從不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解：不超過18的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17共7個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)共有，其和等于16的結(jié)果，共2種等可能的結(jié)果，故概率.故選：B.古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數(shù)得到，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時,有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強,屬于難題.12．C【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，即可得到結(jié)論．解：不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0，]成立，等價于a≥-x-對于一切成立，∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點：不等式的應(yīng)用點評：本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2.【解析】

如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當(dāng)時，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2本題主要考查了立體幾何中的動點問題，考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題，一般是建立空間直角坐標(biāo)，在動點坐標(biāo)內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，考查了學(xué)生的運算求解能力和直觀想象能力.14．【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則計算即可．【詳解】，．本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則的應(yīng)用．15．【解析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達函數(shù)解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達式，進而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則所以，當(dāng)函數(shù)最大，最大值為故答案為：本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡函數(shù)式并求最值，屬于簡單題.16．【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式以及等比中項的性質(zhì)，化簡求出公差與的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化求解的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由于、、依次成等比數(shù)列，則，即，，解得，因此，.故答案為：.本題考查等差數(shù)列通項公式以及等比中項的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）首先利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本關(guān)系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，設(shè)，由余弦定理可得：，則，得到，再利用輔助角公式化簡，最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；【詳解】解：（1）由，，，，，，，；（2）由（1）知，是正三角形，設(shè)，由余弦定理得：，，，所以當(dāng)時有最大值本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角恒等變換公式的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.18．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，由，，得三點共線，且，又，再利用線面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）設(shè)，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點到平面的距離，由是中點，得到到平面的距離，然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（Ⅰ）取的中點，連接，由，，得三點共線，且，又，，所以平面，所以.（Ⅱ）設(shè)，，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以，，過作，則平面，即點到平面的距離，因為是中點，所以為到平面的距離，因為與平面所成的角的正弦值為，即，解得.本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運算求解的能力，屬于中檔題.19．（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎金恰好為60元，可能是三次二等獎，也可能是一次一等獎，兩次三等獎，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎機會，設(shè)恰好獲得60元為事件A，因為60＝20×3＝40＋10＋10，所以．本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，明確隨機變量的所有取值是求解的第一步，再求解對應(yīng)的概率，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).20．（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

當(dāng)時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，計算即為導(dǎo)函數(shù)的零點；

當(dāng)時，分類討論x的范圍，可令新函數(shù)，計算新函數(shù)的最值可證明．【詳解】(1)的定義域為當(dāng)時，，，易知為上的增函數(shù)，又，所以是的唯一零點；(2)證明：當(dāng)時，，①若，則，所以成立，②若，設(shè)，則，令，則，因為，所以，從而在上單調(diào)遞增，所以，即，在上單調(diào)遞增；所以，即，故.本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性，零點的求法．注意分類討論和構(gòu)造新函數(shù)求函數(shù)的最值的應(yīng)用．21．（1）（2）【解析】

（1）由拋物線定義可知，解得，故拋物線的方程為；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，利用韋達定理算出的中點，又，所以直線的方程為，求出，利用求解即可.【詳解】（1）設(shè)的準(zhǔn)線為，過作于，則由拋物線定義，得，因為到的距離比到軸的距離大1，所以，解得，所以的方程為（2）由題意，設(shè)直線方程為，由消去，得，設(shè)，，則，所以，又因