福建省泉州市部分中學2023-2024學年高二下學期期末聯(lián)合檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省泉州市部分中學2023-2024學年高二下學期期末聯(lián)合檢測數(shù)學試題注意事項:1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回.一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量服從正態(tài)分布，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7〖答案〗A〖解析〗因為，，則，且，所以.故選：A.2.已知函數(shù)，則的值為（）A.1 B. C.0 D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.3.在研究線性回歸模型時，樣本數(shù)據(jù)所對應的點均在直線上，用表示解釋變量與響應變量之間的線性相關程度，則（）A. B. C.1 D.3〖答案〗A〖解析〗由樣本數(shù)據(jù)可知解釋變量與響應變量之間具有負相關性，所以又因為對應的點均在直線上，故，故A正確.故選：A4.隨機變量的分布列如下:12ab若，則（）A.0 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗根據(jù)各離散型隨機變量對應的概率和為1，可得，又因為，解得，所以.故選：B.5.某班聯(lián)歡會原定5個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個互動節(jié)目，現(xiàn)將這2個互動節(jié)目插入節(jié)目單中，要求互動節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為（）A.6 B.10 C.12 D.20〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意：原定5個節(jié)目之間有4個空位，從中選擇2個安排互動節(jié)目即可，所以不同的插法種數(shù)為.故選：C.6.某學校有兩家餐廳，王同學第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設“王同學第i天去A餐廳就餐”，“王同學第i天去B餐廳就餐”，，依題意，，，，則，由有：，因為，所以，所以.故選：B.7.某人在次射擊中，擊中目標的次數(shù)為，其中，擊中偶數(shù)次為事件，則（）A.當時，取得最小值B.若，則的取值范圍是C.若，當取最大值時，則D.當時，隨著的增大而減小〖答案〗D〖解析〗對于A，，當時，取得最大值，故A錯誤；對于B，，若，則由于，則，由于，則，則在上單調遞增.則，的取值范圍是，故B錯誤.對于C，在20次射擊中擊中目標的次數(shù)，當時對應的概率，因為取最大值，所以，即，即，解得，因為且，所以，即時概率最大．故C錯誤；對于D，，，，當時，為正項且單調遞減的數(shù)列，所以隨著的增大而減小，故D正確；故選：D．8.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的最大值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，則，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則，且當趨近于0或時，趨近于，所以在內的值域為.因為的定義域為，若，整理可得，令，設，則，可知對任意恒成立，若，則對任意恒成立，可知在內單調遞增，則，符合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則，設，則對任意恒成立，可知在內單調遞減，且，則不等式的解集為，即；綜上所述：，所以實數(shù)的最大值為.故選：D.9.已知，則（）A. B.C.二項式系數(shù)和為256 D.〖答案〗BC〖解析〗對于A項，，故A項錯誤；對于B項，令，得，故B項正確；對于C項，二項式系數(shù)和為：；故C項正確；對于D項，對二項展開式兩邊求導得，，令，得，故D項錯誤；故選：BC10.設是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗選項A：所以故選項A正確.選項B：所以所以事件和事件相互獨立，所以事件和事件相互獨立，則故選項B錯誤.選項C:故選項C正確，選項D：因為事件和事件相互獨立，所以事件和事件相互獨立，所以故選項D正確.故選：ACD.11.設函數(shù)，則（）A.當時，直線不是曲線的切線B.若有三個不同的零點，則C.當時，存在等差數(shù)列，滿足D.若曲線上有且僅有四點能構成一個正方形，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，當時，，則，因為，所以曲線在點處的切線方程為，所以A錯誤，對于B，因為有三個不同的零點，所以，所以，所以，所以B正確，對于C，當時，，因為，，，，，所以，因為是公差為1的等差數(shù)列，所以存在等差數(shù)列，滿足，所以C正確，對于D，由，得當時，，所以在上單調遞增，所以曲線上不存在4個點能構成正方形，所以，因為，所以的圖象關于點對稱，所以此正方形的中心為，不妨設正方形的4個頂點分別為，其中一條對角線的方程為，則，解得，所以，同理可得，由，得，化簡得，根據(jù)題意可知方程只有一個正解，因為上式不成立，所以，因為，所以，得，設，則，令，由題意可知，只需要直線與函數(shù)的圖象只有唯一的公共點即可，結合對勾函數(shù)圖象可知，，得，所以D正確，故選：BCD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學校一同學研究溫差與本校當天新增感冒人數(shù)人的關系，該同學記錄了5天的數(shù)據(jù):568912（人）1720252835經過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經驗回歸方程，則當時，殘差為_____________.〖答案〗〖解析〗，，將代入中得，，解得，故，當時，，故殘差.故〖答案〗為：13.在“楊輝三角”中，每一個數(shù)都是它“肩上”兩個數(shù)的和，它開頭幾行如圖所示.那么，在“楊輝三角”中，第_____________行會出現(xiàn)三個相鄰的數(shù)，其比為2:3:4.〖答案〗34〖解析〗由題意可知第行第個數(shù)為，根據(jù)題意，設所求的行數(shù)為，則存在正整數(shù)，使得連續(xù)三項，，，有且．化簡得，，聯(lián)立解得，．故第34行會出現(xiàn)滿足條件的三個相鄰的數(shù)．故〖答案〗為：34.14.英國物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應用非常廣泛.其定義是:對于函數(shù)，若滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列.已知，在橫坐標為的點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標為，繼續(xù)牛頓法的操作得到數(shù)列.設，數(shù)列的前項積為.若對任意的恒成立，則整數(shù)的最小值為_____________.〖答案〗2〖解析〗由，則，，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知點在直線上，所以，，，則，，，因為函數(shù)的零點近似值為r，且函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，由零點存在定理可知，由題意可知，，故整數(shù)的最小值為2.故〖答案〗為:2四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在十九大報告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，某城市選用某種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第天的高度為，測得一些數(shù)據(jù)圖如下表所示:第天12345高度1.31.72.22.835（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)加以證明；（2）求關于的回歸直線方程，并預測第7天這株幼苗的高度.參考數(shù)據(jù):.參考公式:相關系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.解：（1）由，，，所以，因為與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關系．（2）由題意可得：，所以關于的回歸直線方程為．當時，，由此預測當年份序號為第7天這株幼苗的高度為4.5.16.定義:若函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有且僅有一個公共點，則稱函數(shù)與在區(qū)間上單交，此交點被稱為“單交點”.已知函數(shù).（1）當，判斷函數(shù)在點處的切線與函數(shù)是否在R上單交，若是，并求出“單交點”的坐標;若不是，說明理由?（2）若函數(shù)與在上存在“單交點”，求的值.解：（1），，，故在點處的切線方程為，時，，聯(lián)立與得，，解得，故函數(shù)在點處的切線與函數(shù)在R上單交，當時，，故單交點坐標為；（2）令，定義域為，令，即，故，，令，則，，令得，令得，故在上單調遞減，在上單調遞增，且，故在處取得極小值，也是最小值，且，若函數(shù)與上存在“單交點”，故.17.ChatGPT是AI技術驅動的自然語言處理工具，引領了人工智能的新一輪創(chuàng)新浪潮.某數(shù)學興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關系，從某社區(qū)使用過該程序的人群中隨機抽取了60名居民進行調查.整理如下列聯(lián)表：年齡因素對該程序的態(tài)度合計不喜歡該程序喜歡該程序青少年7中老年1630合計21注:本研究定義年齡不小于45周歲為“中老年人”，其余的稱為“青少年”.（1）請完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為年齡因素與是否喜歡該程序有關系;（2）在抽取的60名居民中有5人經常使用該程序輔助工作.以樣本頻率估計概率.若在全市范圍內抽取20位居民，經常使用該程序輔助工作的人數(shù)為，求的數(shù)學期望和方差;（3）在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.為進一步了解他們的對于AI的認知和看法，在10名高中生中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附:0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下；性別不喜歡該程序喜歡該程序合計青少年72330中老年141630合計213960零假設為：年齡因素與是否喜歡該程序無關；根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計算可得χ2=根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即年齡因素與喜歡該程序有關系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1．（2）由題意可知：隨機抽取一人為“經常使用該程序輔助工作”的概率，可知，所以，．（3）易知10名高中生有7名男生，3名女生，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，且Y服從超幾何分布：，，，故所求分布列為Y0123P可得18.已知，（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）討論函數(shù)的單調性;（3）設，當時，證明:.解：（1）由題意可知：的定義域為，若，則，則，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）因為，可知的定義域為，且，若，則，可知在內單調遞增；若，則，可知有2個實根，，且，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增；綜上所述：若，在內單調遞增；若，在內單調遞減，在內單調遞增.（3）當時，則，可得對任意的，則，則12m-nm令，則，設Ft=t-1可知在內單調遞增，則Ft>F1=0，即可得12即32m-nh19.近年來，購買盲盒成為當下年輕人的潮流之一，為了引導青少年正確消費，國家市場監(jiān)管總局提出，盲盒經營行為應規(guī)范指引，經營者不能變相誘導消費，盲盒最吸引人的地方，是因為盒子上沒有標注，只有打開才會知道自己買到了什么，這種不確定性的背后就是概率，現(xiàn)有玩具店推出四種款式不同、單價相同的盲盒（這四款分別是草莓熊、三麗鷗、蛋仔、卡皮巴拉），每款數(shù)量足夠多，購買規(guī)則及概率規(guī)定如下:每次購買一個，且買到任意一種款式的盲盒是等可能的.（1）現(xiàn)小明欲到玩具店購買盲盒，設他首次買到草莓熊這款盲盒時所需要的購買次數(shù)為，證明:;（2）設首次出現(xiàn)連續(xù)次購買到草莓熊這款盲盒時所需的試驗次數(shù)期望為，（i）求;（ii）求.〖提示〗:求的方式:先進行第一次試驗，若第一次試驗失敗，因為出現(xiàn)試驗失敗對出現(xiàn)連續(xù)兩次成功毫無幫助，可以認為后續(xù)期望仍是，即總的