湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合表示函數(shù)的定義域，則，集合表示函數(shù)的值域，則，故.故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，設(shè)，則，，由，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限.故選：D.3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.“直線不相交”是“直線為異面直線”的充分不必要條件〖答案〗B〖解析〗對于A，若，則或，故A錯誤；對于B，若，則，故B正確；對于C，若，則或與相交，故C錯誤；對于D，直線不相交，則直線平行或異面，故“直線不相交”是“直線為異面直線”的必要不充分條件，故D錯誤.故選：B.4.設(shè)，則關(guān)于的不等式有解的一個必要不充分條件是（）A. B.或 C. D.〖答案〗D〖解析〗有解，即對于方程的，則；可知D選項為一個必要不充分條件.故選：D.5.在平行四邊形中，點是的中點，點分別滿足，設(shè)，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，由，得，得，即得，則C選項正確.故選：C.6.在直三棱柱中，且，已知該三棱柱的體積為，且該三棱柱的外接球表面積為，若將此三棱柱掏空（保留表面，不計厚度）后放入一個球，則該球最大半徑為（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)中點為中點為中點為，外接球球心在中點處，設(shè)，該三棱柱的體積為，該三棱柱的外接球表面積為，外接球半徑，即，，，，，底面內(nèi)切圓半徑，，因此該球最大半徑為.故選：B.7.矩形的周長為，把沿向折疊，折過去后交于點，則的最大面積為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，其中，則，在直角中，由勾股定理得：，解得：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：B.8.定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以關(guān)于對稱，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，所以越靠近對稱軸函數(shù)值越小，由得，由于，所以，故，可得，即時恒成立，可得，由于在時單調(diào)遞增，，此時，時單調(diào)遞減，，此時，則實數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（）A.考生參賽成績的平均分約為72.8分B.考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分C.分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.2D.用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為200的樣本，則成績在區(qū)間應(yīng)抽取30人〖答案〗BC〖解析〗對A，平均成績?yōu)?，故A錯誤；對B，由頻率分布直方圖知第75百分位數(shù)位于內(nèi)，則第75百分位數(shù)為，故B正確；對C，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故C正確；對D，區(qū)間應(yīng)抽取人，故D錯誤.故選：BC.10.已知向量，則下列說法正確的是（）A.若，則B.在上的投影向量為C.若與的夾角為銳角，則D.若要使最小，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A：因為，所以，又，且，所以，解得：，故A正確；對于B：由，則，所以在上的投影向量為，故B正確；對于C：當(dāng)與共線時，有，此時與方向相同，當(dāng)與的夾角為銳角，有，解得，所以且時，與的夾角為銳角，故C錯誤；對于D：由，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，時取最小值，故D正確.故選：ABD.11.如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿向上翻折，得三棱錐.設(shè)，點分別為棱的中點，為線段上的動點.下列說法正確的是（）A.翻折過程中存在某個位置，使B.當(dāng)時，與平面所成角的正弦值為C.在翻折過程中，三棱錐體積的最大值為2D.當(dāng)時，的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗對于：當(dāng)平面平面時，，證明如下：因為平面平面，平面平面，，平面，則平面，因為平面，所以，故A正確；對于B：當(dāng)時，等腰直角中，點為棱的中點，有，，平面，則平面，平面，有平面平面，由A選項知平面，所以是直線與平面所成的角；由，有，，，，，則，故B錯誤；對于C：當(dāng)三棱錐體積取得最大值時，平面平面，即是三棱錐的高，，故C正確；對于D：當(dāng)時，因為為的中點，所以，則，又因為的中點，所以，又，所以，所以，如圖將沿旋轉(zhuǎn)，得到，使其與在同一平面內(nèi)且在內(nèi)，則當(dāng)三點共線時，最小，即的最小值為，在中，，則，所以在中，由余弦定理得，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角滿足，則______.〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴，，，.13.已知函數(shù)，則關(guān)于的方程的不等實根的個數(shù)為______.〖答案〗2〖解析〗由題意得，當(dāng)時，，即，即時，解得，符合題意；時，解得，舍；當(dāng)時，，即，時，解得，舍；時，，解得，符合題意；綜上，關(guān)于的方程的不等實根為和，共2個.故〖答案〗為：2.14.在銳角中，角的對邊為，為的面積，且，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由，則，所以，即，即，解得或（舍去），可得，，因為是銳角三角形，則有，所以，，，則，有，由于，所以，可得的取值范圍為.故〖答案〗：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知關(guān)于的不等式.（1）若，求不等式的解集；（2）解關(guān)于的不等式.解：（1）由，當(dāng)時，可得解集為.（2）對應(yīng)方程的兩個根為，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為或，當(dāng)時，原不等式的解集為或.16.如圖，在梯形中，為線段中點，記（1）用表示向量；（2）求的值；（3）求與夾角的余弦值.解：（1）.（2）由于，可得，又有，所以.（3）由于，可得，又有，所以，由，可得，.17.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，且的面積為.（1）求證：面；（2）當(dāng)四棱錐的外接球體積最小時，求平面與平面所成二面角的余弦值.解：（1）證明：面面，，又面面，在面內(nèi)，，底面是正方形，，又面面.（2）因為平面，平面，所以，設(shè)，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號），可得，故，過作交于，連接，由，則，故為平面與平面所成的二面角的平面角，由（1）知面，面，故，在中，可得，由等面積可得又，平面與平面所成二面角的余弦值為.18.已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰好有兩個零點.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，關(guān)于方程有兩個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍；（3）在中，設(shè)內(nèi)角所對的邊分別為，其中，的角平分線交于，求線段的長度.解：（1）由得，由函數(shù)在上恰好有兩個零點得，∴，由，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），令，則，由題意得在上有兩個不同的實根，.（3）由得，，因為，則由，解得：，由，得，.19.已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意，恰好存在個不同的實數(shù)，，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.（1）判斷是否為的“重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出的值；如果不是，請說明理由；（2）若為的“3重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若為的“2024重覆蓋函數(shù)”，求正實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，則，任取，令，可得，即或，可得，或，所以對于任意，能找到兩個，使得，所以是的“重覆蓋函數(shù)”，且.（2）可得的定義域為，即對任意，存在3個不同的實數(shù)，使得（其中），，則，，即，即對任意有3個實根