江蘇省泰州市多校2025屆高三7月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市多校2025屆高三7月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.集合和邏輯用語描述了精彩的數(shù)學(xué)世界，下列說法正確的是（）A.隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，若與一一對應(yīng)，則為隨機(jī)變量B.C.函數(shù)的定義域是數(shù)集A，值域是數(shù)集D.數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)?，值域是?shù)集的函數(shù)〖答案〗A〖解析〗A選項(xiàng)，一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個樣本點(diǎn)，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，則為隨機(jī)變量．A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，故，B錯誤；C選項(xiàng)，一般地，設(shè)是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么為從集合A到集合的一個函數(shù)，其中A是函數(shù)的定義域，集合是函數(shù)的值域，而不是，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)，數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)椋涤蚴菙?shù)集的函數(shù)，D選項(xiàng)錯誤．故選：A.2.如圖所示，點(diǎn)在上，向量所在直線與相切于點(diǎn)，向量．若已知下列選項(xiàng)給出的量，則可以得到的選項(xiàng)是（）①②③半徑④⑤A.①④ B.①② C.③ D.⑤〖答案〗D〖解析〗由于向量所在直線與相切于點(diǎn)，故，得，從而因此若已知即可得到，D選項(xiàng)正確．因?yàn)椋蓤D可知為鈍角，所以，故其他選項(xiàng)均不能得到，ABC選項(xiàng)均錯誤．故選：D.3.設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個變量的對樣本數(shù)據(jù)為，下列統(tǒng)計(jì)量中不能刻畫數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗統(tǒng)計(jì)量和可以刻畫數(shù)據(jù)點(diǎn)與直線的豎直距離，進(jìn)而可以刻畫數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”，AC選項(xiàng)不符合題意．統(tǒng)計(jì)量可以刻畫數(shù)據(jù)點(diǎn)與直線的距離，也可以刻畫數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”，B選項(xiàng)不符合題意．統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算會出現(xiàn)直線兩側(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)在代數(shù)上正負(fù)抵消的情況，因此不能刻畫數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”，D選項(xiàng)符合題意．故選：D.4.函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來刻畫．下列情景可以使用指數(shù)函數(shù)模型的是（）A.在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力與其形變量成正比B.以每年5%增長率遞增的物價(jià)翻一倍所需的時間C.動物種群個體數(shù)量的瞬時變化率與個體數(shù)量成正比D.物體溫度的瞬時變化率正比于物體與環(huán)境的溫度差〖答案〗C〖解析〗對于選項(xiàng)A：在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力與其形變量成正比，，因此該情景應(yīng)使用線性增長模型，A選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)B：以每年的增長率遞增的物價(jià)所需的時間（單位：年），因此該情景應(yīng)使用對數(shù)增長模型，B選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)C：設(shè)動物種群個體數(shù)量為，個體數(shù)量的瞬時變化率為．個體數(shù)量的瞬時變化率與個體數(shù)量成正比，，因此的其中一種表達(dá)式為，可以使用指數(shù)函數(shù)模型，C選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D：設(shè)環(huán)境溫度為，物體溫度為，物體溫度的瞬時變化率正比于物體與環(huán)境的溫度差，，因此的其中一種表達(dá)式為，不能使用指數(shù)函數(shù)模型，D選項(xiàng)錯誤．故選：C.5.圓與兩個坐標(biāo)軸都相切，可以得出的結(jié)論是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗分別令和，得由于圓與兩個坐標(biāo)軸都相切，因此兩個一元二次方程均有兩個相等的實(shí)根．分別令和，即可得到，A選項(xiàng)正確．BCD選項(xiàng)均錯誤．故選：A.6.一只蝸牛從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)向正方向前進(jìn)1個單位長度，接著后退個單位長度，然后再前進(jìn)個單位長度，接著后退個單位長度，以此類推．經(jīng)過足夠長的時間后，蝸牛將始終會在某個位置附近前后爬行，這個位置的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗該蝸牛一次前進(jìn)一次后退，稱為一次行動，在第1次行動中，蝸牛前進(jìn)了個單位長度；第2次行動中，蝸牛前進(jìn)了個單位長度；在第3次行動中，蝸牛前進(jìn)了個單位長度；因此在第次行動中，蝸牛前進(jìn)了個單位長度，次行動后，蝸牛總共前進(jìn)了個單位長度，數(shù)列是遞增數(shù)列，且恒有，經(jīng)過足夠長的時間，即當(dāng)無限增大時，將趨近于將趨近于，所以經(jīng)過足夠長的時間后，蝸牛將始終會在坐標(biāo)為的位置附近前后爬行，B正確，ACD均錯誤.故選：B.7.下列關(guān)于隨機(jī)事件的說法錯誤的是（）A.必然事件與任意事件獨(dú)立B.不可能事件與任意事件獨(dú)立C.兩個概率大于0的互斥事件可以不獨(dú)立D.兩個概率大于0的獨(dú)立事件可以互斥〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，而，因此，故A正確，，而，因此，故B正確，設(shè)，若與互斥，則，但，因此，故C正確，若與獨(dú)立，則，因此與一定不互斥，故D錯誤．故選：D.8.已知，函數(shù)的值等于除以6得到的余數(shù)，．設(shè)，若存在，使得對于任意的，都不滿足，則函數(shù)的個數(shù)是（）A.729 B.189 C.378 D.540〖答案〗B〖解析〗，函數(shù)與的關(guān)系如下圖所示：可以看出，由于函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系固定，函數(shù)的個數(shù)只取決于的到的對應(yīng)關(guān)系．因?yàn)榇嬖?，使得對于任意的，都不滿足，所以的沒有對應(yīng)滿中的所有元素．考慮其反面，即對于任意的，總存在，使得，即的對應(yīng)滿了中的所有元素．求滿足反面的的個數(shù)的問題等價(jià)于“6名工人到3間工廠應(yīng)聘，每名工人只去一間工廠，每間工廠至少有一名工人前來應(yīng)聘，求應(yīng)聘情況的總數(shù)”，一共有種情況，即滿足反面的有540個，沒有限制條件的有個，因此滿足題目條件的有個，故B正確．故選：B．二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.隨機(jī)變量的方差是其取值與其均值的偏差平方的期望D.若服從兩點(diǎn)分布，且，則〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以是連續(xù)型隨機(jī)變量，因此的其中一個取值的概率為0，故A錯誤，由于，故，故B正確，由于也是隨機(jī)變量，其期望，故C正確．而服從兩點(diǎn)分布，不妨設(shè)，，解得，因此，故D正確．故選：BCD.10.平面內(nèi)有一點(diǎn)，小明從點(diǎn)出發(fā)，依次到達(dá)點(diǎn)等于逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的向量，．下列說法正確的是（）A. B.C. D.與共線，〖答案〗ACD〖解析〗對于A，如圖所示，，且，因此，A選項(xiàng)正確；對于B，，又，因此是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，B選項(xiàng)錯誤；對于C，，因此，C選項(xiàng)正確；對于D，由圖可知，始終與同向或反向，因此與共線，D選項(xiàng)正確．11.函數(shù)的〖解析〗式分別為將所有的極大值點(diǎn)從大到小依次排列，形成數(shù)列，下列說法正確的是（）A. B.C.數(shù)列是以為首項(xiàng)等比數(shù)列 D.的圖象在函數(shù)圖象下方〖答案〗BD〖解析〗對于A：因?yàn)?，?dāng)時，，此時的取值在內(nèi)不停振蕩，并不趨近于任何值，因此不存在，故A錯誤．對于B：，故B正確．對于C：因?yàn)椋?，由于，在的極大值點(diǎn)處的符號變化是由正變負(fù)，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，因此的極大值點(diǎn)滿足，即．顯然隨著的增大而減小，符合從大到小排列，因此，則，所以，，因此是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故C錯誤．因?yàn)?，則，又，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，即當(dāng)時，則當(dāng)時，所以，又與（）關(guān)于軸對稱，與也關(guān)于軸對稱，所以當(dāng)時，綜上可得的圖象在函數(shù)圖象下方，故D正確．故選：BD.三、填空題12.的三邊分別為，邊上的中線長為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)邊上的中線為，由余弦定理知，則，所以中線長為．13.與家庭電路不同，從發(fā)電廠到用戶端的高壓電路只有三根火線而沒有零線．實(shí)際上，發(fā)電廠通常采用三相正弦交流進(jìn)行發(fā)電，三根火線的瞬時電流表達(dá)式分別為，．假設(shè)三根火線的電流分別進(jìn)入用戶端并通過一根零線流出，則零線瞬時電流__________．〖答案〗0〖解析〗由題意得，原式，，，.14.已知在行列的數(shù)陣中，第1行第1列的數(shù)為，數(shù)陣的每一列從上往下組成公差為的等差數(shù)列，每一行從左往右組成公差為的等差數(shù)列．從第行第1列的數(shù)開始，沿?cái)?shù)陣的對角線斜向上組成新的數(shù)列，該數(shù)列所有項(xiàng)之和為__________．整個數(shù)陣的所有數(shù)的總和為__________．〖答案〗〖解析〗由題意,列出行列的數(shù)陣,，，，，，，可以看出，從左下方沿?cái)?shù)陣的對角線斜向上組成的數(shù)列均為公差為的等差數(shù)列，因此，從第行第1列的數(shù)開始，沿?cái)?shù)陣的對角線斜向上組成的數(shù)列的所有項(xiàng)（項(xiàng)）之和為．由題意，第1行的和為：，第2行的和為：，第3行的和為：，第n行的和為：，上述n個式子相加得，所以整個數(shù)陣所有數(shù)的總和為．四、解答題：15.已知．（1）計(jì)算并畫出在上的大致圖象．（2）將在上所有的極大值點(diǎn)以及極大值從小到大依次排列，分別組成數(shù)列和，證明：是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．（1）解：，因?yàn)椋傻玫剑?，得到或，所以的單調(diào)性如下表所示：0+0-00的圖象如下圖所示：（2）證明：由于當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此是極大值點(diǎn)．將極大值點(diǎn)從小到大依次排列，形成數(shù)列，得，，因此是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．極大值為．將極大值從小到大依次排列，形成數(shù)列，得，．因此是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．16.已知常數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程．（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解該方程．（2）當(dāng)時，設(shè)該方程的復(fù)根分別為，證明：（3）如果多項(xiàng)式的系數(shù)是復(fù)數(shù)，那么稱該多項(xiàng)式為復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式．已知任何一元次）復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程至少有一個復(fù)根．證明：有個復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）．（4）將題設(shè)的常數(shù)“”改為“”，并證明：（2）仍然成立．（1）解：當(dāng)時，方程有無數(shù)個根，所有根組成的集合是；當(dāng)時，方程無根；當(dāng)時，方程的根為；時，配方得．①當(dāng)時，方程有兩個實(shí)根．②當(dāng)時，方程化為，由于，因此．由于，因此，故方程有兩個復(fù)根．（如果認(rèn)為，然后把兩種情況合并成一種情況，則只能得1分．因?yàn)槲覀冎辉x過，但從來沒有規(guī)定過，而也不能推出．這是因?yàn)殚_方這種運(yùn)算本身僅對非負(fù)實(shí)數(shù)而言，對負(fù)數(shù)是沒有意義的．就算，那為什么不是？我們從來沒定義過對負(fù)數(shù)開根是什么概念，更沒有規(guī)定過根號下有負(fù)數(shù)時的運(yùn)算規(guī)則．）再次強(qiáng)調(diào)：不是，“”不能寫成“”，i僅僅只是人為規(guī)定的一個抽象的數(shù)，它滿足．（2）證明：①當(dāng)時，②當(dāng)時，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，得（如果和（1）一樣認(rèn)為合并情況的話，只能得1分）（3）證明：一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程至少有一個復(fù)根，不妨設(shè)該方程的一個復(fù)根為，則必然能夠分解出一個因式，即．由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可知，方程是一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程．不妨設(shè)該方程的一個復(fù)根為，則必然能夠分解出一個因式，即．重復(fù)該過程，最終，其中為常數(shù)，．顯然有個復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）．（4）證明：由（3）得復(fù)系數(shù)二次方程有兩個復(fù)數(shù)根，分別設(shè)為，則原方程可化為，即，和原方程比較系數(shù)，得即．17.以A地生產(chǎn)的所有番茄為總體，總體中每個番茄的重量為隨機(jī)變量，其中均為正數(shù)．隨機(jī)從總體中抽取個番茄作為一個樣本，番茄的重量分別為，，其取值相互獨(dú)立．樣本均值為．（1）已知對于任意的隨機(jī)變量，有；如果，的取值相互獨(dú)立，則又有．求及．（2）若，證明：是的充要條件．（1）解：由題意得．取值相互獨(dú)立，故．（2）證明：下面的不等式變換完全等價(jià)：即，，，，故是的充要條件．18.在多項(xiàng)式的運(yùn)算中，二項(xiàng)式定理有著非常重要的作用．當(dāng)帕斯卡（BlaisePascal，16231662）建立了正整數(shù)次幕的二項(xiàng)式定理之后，這個定理又被其他數(shù)學(xué)家們作了進(jìn)一步的推廣，其中萊布尼茨（G．W．Leibniz，1646-1716）和約翰?伯努利（JohannBernoulli，1667-1748）則將二項(xiàng)式定理推廣成多項(xiàng)式定理．（1）現(xiàn)有7個不同編號的白球，將其中2個球染成紅色，3個球染成藍(lán)色，2個球染成黃色，求染色方案的種數(shù)．（2）現(xiàn)有個不同編號的白球，將其中個球染成紅色，個球染成藍(lán)色，個球染成黃色，且，求染色方案的種數(shù)．（用階乘符號表示）（3）“”求和符號可用于求所有滿足約束條件的式子的和，例如其中．求的展開式及展開式系數(shù)和．（4）求展開式的項(xiàng)數(shù)．解：（1）染色方案總數(shù)為．（2）染色方案總數(shù)為．（3）由于的次數(shù)是，因此的每一項(xiàng)都是次項(xiàng)，即每一項(xiàng)中的指數(shù)和為．不妨設(shè)展開式通項(xiàng)為，其中．而就當(dāng)于“現(xiàn)有個不同編號的白球，將其中個球染成顏色個球染成顏色個球染成顏色”的染色方案的種數(shù)，即．因此的展開式為令，得展開式系數(shù)和（4）展開式的項(xiàng)數(shù)相當(dāng)于方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)，也相當(dāng)于“將個相同的球放進(jìn)個不同的盒子（盒子可空）”的方案數(shù)．用兩條豎線“||”表示一個盒子，用一個圓圈“O”表示一個球．例如“|OO|O|”表示有兩個盒子，其中一個盒子有2個球，另一個盒子有1個球．則情景等價(jià)于：將豎線和圓圈排成一列，兩端各一條豎線，中間條豎線和個圓圈自由排列，求排列情況種數(shù)．設(shè)兩端豎線之間共有個位置，選個位置用來放圓圈，剩余位置放豎線，情況數(shù)為，即展開式項(xiàng)數(shù)為．19.一條直線與另外兩條異面直線同時垂直且相交，則稱該直線是兩條異面直線的公垂線，并把以兩垂足為端點(diǎn)的線段稱為兩異面直線的公垂線段，公垂線段的長度則被稱為兩異面直線之間的距離．（1）用符號語言表述公垂線、公垂線段及兩異面直線之間的距離的定義．（2）證明：兩條異面直線的公垂線有且僅有一條．（3）在空間直角坐標(biāo)系中，直線過點(diǎn)，方向向量；直線過點(diǎn)，方向向量，試問：與是否共面？Ⅰ．若共面，（?。┣笈c交點(diǎn)的坐標(biāo)．（ⅱ）已知，記與所確定的平面為，記與所確定的平面為，若，試問：是否確定？若確定，求出的單位方向向量；若不確定，請說明理由．Ⅱ．若異面，（?。┱埥o出證明．（ⅱ）為與的公垂線，，求與之間的距離．（ⅲ）求．（1）解：設(shè)兩條直線分別為和，且對于任意平面或．若，則稱為與的公垂線．線段為與的公垂線段，線段的長度為與之間的距離．（2）證明：（反證法）假設(shè)的另外一條直線也是兩條異面直線與的公垂線，不妨設(shè)．平移得到，使得，則且．記與所決定的平面為．由于，故，又因?yàn)?，且，故．由于，故，又因?yàn)?，且，故．又因?yàn)椋?，故與共面，與題設(shè)矛盾．所以兩條異面直線與的公垂線是唯一的，有且僅有一條．（3）解：異面，（?。┳C明