人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)整式的乘法和因式分解《乘法公式（第1課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

乘法公式（第1課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)意識(shí)和推理能力．2．會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理．3．了解平方差公式的幾何背景，發(fā)展幾何直觀．教學(xué)重點(diǎn)平方差公式的探索和應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)平方差公式的探索和應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程知識(shí)回顧1．a(chǎn)m÷an＝（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n）．即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．2．a(chǎn)0＝1（a≠0）．這就是說(shuō)，任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1．3．一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．4．一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．5．判斷0次冪成立的條件是底數(shù)不等于0，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解不等式即可．6．同底數(shù)冪的除法，找準(zhǔn)底數(shù)再運(yùn)算只有兩個(gè)冪的底數(shù)相同時(shí)，才能運(yùn)用此運(yùn)算法則；如果底數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)式，可以把這個(gè)多項(xiàng)式看成一個(gè)整體．7．依次計(jì)算不漏項(xiàng)，符號(hào)變化記心間將多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)注意逐項(xiàng)計(jì)算，不要漏項(xiàng)；并且要注意符號(hào)的變化，最后的結(jié)果按某一字母升冪或降冪的順序排列．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問(wèn)題】之前我們學(xué)習(xí)了整式的乘法，知道了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則．根據(jù)所學(xué)知識(shí)計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）＝_____；（2）＝______；（3）＝______．【師生活動(dòng)】學(xué)生作答，教師給出正確答案．【答案】（1）；（2）；（3）．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)運(yùn)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則得到結(jié)果，為下文探索平方差公式做鋪墊．【問(wèn)題】上述問(wèn)題中，相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式有什么共同點(diǎn)？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)，學(xué)生作答，然后教師給出正確答案．【答案】都是形如a＋b的多項(xiàng)式與形如a－b的多項(xiàng)式相乘．【問(wèn)題】等式左邊相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)與右邊多項(xiàng)式中的各項(xiàng)有什么關(guān)系？你能將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用式子表示出來(lái)嗎？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)，學(xué)生作答，然后教師給出正確答案．【答案】【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)一步步追問(wèn)，讓學(xué)生思考并回答問(wèn)題，逐漸推出平方差公式，鍛煉學(xué)生的總結(jié)歸納和推理能力．【問(wèn)題】你能對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)嗎？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)，學(xué)生作答，教師給出正確答案，然后進(jìn)行歸納．【答案】【歸納】對(duì)于具有與此式相同形式的多項(xiàng)式相乘，我們可以直接寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果．【新知】?jī)蓚€(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．這個(gè)公式叫做（乘法的）平方差公式．平方差公式中的a，b可以表示任意的代數(shù)式．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則推導(dǎo)得出平方差公式，講解平方差公式的定義和特點(diǎn)，讓學(xué)生理解和掌握平方差公式．【問(wèn)題】你能根據(jù)下面圖形的面積說(shuō)明平方差公式嗎？【師生活動(dòng)】教師讓學(xué)生代表依次表示圖形變換前后圖形①和②的面積和，然后根據(jù)面積相等得到平方差公式．【答案】改變前：S①＋②＝(a＋b)(a－b)；改變后：S①＋②＝a2－b2；所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)圖形變換前后圖形①和②的面積和相等，讓學(xué)生了解平方差公式的幾何背景，發(fā)展幾何直觀．【問(wèn)題】觀察下列動(dòng)圖，驗(yàn)證平方差公式．【師生活動(dòng)】學(xué)生觀察并說(shuō)出自己的疑問(wèn)和理解，教師適當(dāng)給出解釋?zhuān)驹O(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用幾何圖形驗(yàn)證平方差公式，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．【問(wèn)題】計(jì)算下列各組算式，并觀察它們的共同特點(diǎn)．7×9＝_____；11×13＝_____；79×81＝_____；8×8＝_____；12×12＝_____；80×80＝_____．【師生活動(dòng)】學(xué)生作答，教師給出正確答案．【答案】63；143；6399；64；144；6400．特點(diǎn)：；；．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)由簡(jiǎn)到難的運(yùn)算，讓學(xué)生觀察歸納出簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧，認(rèn)識(shí)到平方差公式在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用．【問(wèn)題】計(jì)算下列各組算式，并觀察它們的共同特點(diǎn)．6×10＝_____；9×15＝_____；76×84＝_____；8×8＝______；12×12＝____；80×80＝_____．【師生活動(dòng)】學(xué)生作答，教師給出正確答案．【答案】60；135；6384；64；144；6400．特點(diǎn)：；；．【設(shè)計(jì)意圖】提高難度，讓學(xué)生觀察歸納出簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧，認(rèn)識(shí)到平方差公式在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用．【問(wèn)題】你能口算出18×22的值嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生作答，教師給出正確答案并進(jìn)行歸納．【答案】18×22＝396．【歸納】利用平方差公式，可以使一些計(jì)算變得簡(jiǎn)單．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生意識(shí)到，在運(yùn)算過(guò)程中可以靈活運(yùn)用公式，簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟．二、典例精講【例1】計(jì)算：（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）(－x＋2y)(－x－2y)．【答案】解：（1）(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22＝9x2－4；（2）(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2．【注意】在運(yùn)算時(shí)，一定要分清楚哪個(gè)是相同項(xiàng)，哪個(gè)是相反項(xiàng)，并不是帶負(fù)號(hào)的就是相反項(xiàng)．【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)平方差公式的理解和掌握情況．【例2】計(jì)算：（1）(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)； （2）102×98．【答案】解：（1）(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝y(tǒng)2－22－(y2＋4y－5)＝y(tǒng)2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1；（2）102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝10000－4＝9996．【注意】只有符合公式條件的乘法，才能運(yùn)用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算，其余的運(yùn)算仍按乘法法則進(jìn)行．【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)學(xué)生有無(wú)靈活運(yùn)用平方差公式簡(jiǎn)化運(yùn)算的意識(shí)．【例3】先化簡(jiǎn)，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2．【答案】解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2．當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，原式＝5×12－5×22＝－15．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)讓學(xué)生解決涉及平方差公式的化