2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)直角三角形過關(guān)檢測（解析版）

專題18直角三角形過關(guān)檢測

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）.

1.在△48C中，乙/=40。,乙C=90。,則乙B的度數(shù)為（)

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】3

【解答】解：在△/BC中，ZC=90°,

貝1]4/+42=90°,

??24=40°,

...48=90°-40°=50°,

故選：B.

2.一直角三角形的兩直角邊長為6和8,則斜邊長為（）

A.10B.13C.7D.14

【答案】/

【解答】解：由勾股定理可得,

22

斜邊長為：^5+g=10,

故選：A.

3.如圖，在△48C中，已知ZC=90°,AC=5cm,BC=12cm,則斜邊上的高為（）

A<7

C----------------------------—

A.95B.韭5C.30cmD.皎cm

13n12cir13

【答案】。

【解答】解：過。作于〃,

,乙C=90°,AC=5cm,BC=12cm,

'-AB=VAC2+BC2=13(cm),

?--4ABe的面積=LB?CH=lAC'BC,

22

13CZ7=5x12,

13

r.斜邊48上的高為更L

13

4.如圖，在RtZ\48C中，4c=90。，CO為48邊上中線，過點(diǎn)。作。石_1/2,連接BE,若/￡=1

0,CD=8,則DE的長為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】。

【解答】解：在RtZ\4BC中，AACB=90°,CD為邊上中線，0)=8,

貝I]NZ)=CD=8,

■.■DELAB,AE=10,

DE=VAE2-AD2=7102-82=6，

故選：D.

5.如圖，在△48C中，448C為直角，4/=30。，ADL/C于。，若CD=2,則/C的長為()

【答案】N

【解答】解：,.?△/8C中，AABC=90°,AA=30°,

ABCD=60°,

,:BDLAC于D,

ADBC=AA=30°,

■.CD=2,

.'.BC=4,

，/C=8,

故選：A.

6.如圖，若要用“印/'證明RtZ\48C/RtZUAD,則還需補(bǔ)充條件()

A.ABAC=ABADB.AC=AD或BC=BD

C.2ABC=乙ABDD.以上都不正確

【答案】8

【解答】解：若要用“HL”證明RS/BC式RQNAD,則還需補(bǔ)充條件NC=/D或BC=8D,

故選：B.

7.如圖，AA=AD=90°,AC=DB,則△/BC式ADCB的依據(jù)是（）

【答案】/

【解答】解：HL,

理由是：??.△/=乙￡)=90°,

在RtAylSC和RtADCB中

(AC=BD

IBC=BC,

RtA^5C^RtA￡>C5(HL),

故選：A.

8.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.1,A/2,MB.0.6,0.8,1C.5,11,12D.8,15,17

【答案】。

【解答】解：4F+（&）2=（百）2,V2,正不是正整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、0.62+0.82=12,0.6、0.8不是正整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、52+112/因此不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、82+152=172都是正整數(shù)，符合題意，因此是勾股數(shù)，符合題意.

故選：D.

9.如圖，長為8c機(jī)的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端/和3,然后把中點(diǎn)。垂直向上拉升3c加到。點(diǎn),

則橡皮筋被拉長了（）

【答案】/

【解答】解：?.?點(diǎn)C為線段的中點(diǎn),

.'.AC=^AB=4cm,

2

在RtZ\/C￡>中，CD=3cm；

根據(jù)勾股定理，得：

AD=VAC2<D2=5(cm);

CDX.AB,

ADCA=ADCB=90°,

在△/QC和中，

rDC=DC

<NACD=/BCD，

,AC=BC

/XADC^ABDC(SAS\

-"-AD=BD=5cm,

：.AD+BD-AB=2AD-^5=10-8=2(cm);

二橡皮筋被拉長了2cm.

故選：A.

10.勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的

記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是

由圖1放入長方形內(nèi)得到的，4A4c=90。，48=6,3C=10,點(diǎn)。，E,F.G,X,/都在長方形KLM

J的邊上，則長方形立⑷的面積為()

圖1圖2

A.420B.440C.430D.410

【答案】8

【解答】解：如圖，延長交4于P,延長/。交于°,

AABC+AACB=90°=APBF+AABC,

乙ACB=APBF,

△ABgAPFB(AAS),

同理可證△NBC”MCG(44S),

:.PB=AC=8,CQ=AB=6,

???圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到，

「"=8+6+8=22,00=6+8+6=20,

長方形KLMJ的面積=22x20=440.

故選：B.

二、填空題(本題共6題，每小題2分，共12分)。

11.直角三角形的一個銳角為25°,則它的另一個銳角為65度.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：,??直角三角形的一個銳角為25°,

它的另一個銳角為90°-25°=65°.

故答案為：65.

12.如圖，在中，乙4cB=90：以/C為邊向外作正方形4DEC,若圖中陰影部分的面積為9c

【答案】5.

【解答】解：正方形ADEC的面積為9,

.'.AC2=9,

在中，由勾股定理得，

AB=7AC2+BC2=49+16=5(cm),

故答案為：5.

13.如圖，CD是Rt448C的中線，AACB=90°,ACDA=12O°,則LB的度數(shù)為60°.

［答案】60°.

【解答】解：24C8=90°,CD是△NBC斜邊N8的中線,

.,.AD=CD=BD,

???2DCB=乙DBC.

ACDA是△CD8的一個外角,

ACDA=120°,

ADCB+ADBC=120°.

ADBC=60°.

故答案為：60°.

14.如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹

的樹梢，問小鳥至少飛行10米.

［答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為/8=10米，

小樹高為CD=4米，

過C點(diǎn)作CE1AB于E,則EBDC是矩形，

連接/C,

：.EB=4m,EC=8m,=-班=10-4=6（米）,

在RS4EC中，（米）,

^C=^AE2+EC2=IO

故答案為：10.

15.如圖，△48C中，AB=AC,ABAC=120°,45的垂直平分線交48于點(diǎn)￡,交3C于點(diǎn)色若BF=3.

5,貝UCF=7

A

E

BF\C

【答案】7.

【解答】解：連接NG如圖,

-'-ZB=ZC=yX(180°-120°)=30°，

.?,￡尸垂直平分線段NB,BF=35,

:.BF=AF=3.5,

:.乙B=LBAF=30°,

，AFAC=ABAC-ABAF=90°,

.,.在Rt△/尸C中，ZC=3O°,有FC=2AF=7,

故答案為：7.

16.如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，/,2是這個臺階上兩個相

對的端點(diǎn)，/點(diǎn)有一只螞蟻，想到8點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到8點(diǎn)最短路程是

—米.

［答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為2,寬為(0.2+0.3)X3,

則螞蟻沿臺階面爬行到2點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長.

可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x,

由勾股定理得：x2=22+[(0.2+0.3)X3]2=2.52,

解得x=2.5.

三、解答題（本題共7題，共58分）。

17.（6分）如圖，在R3/2C中，乙4c2=90°,OE過點(diǎn)C且平行于若42CE=35°,求4”的度

數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：〃43,

:.乙B=2BCE=35°,

4/=90°-35°=55°.

18.（8分）如圖，在△Z8C和△DC5中，乙/=乙。=90°,AC=BD,/C與8。相交于點(diǎn)。

（1）求證：/XABgADCB；

（2）△O3C是何種三角形？證明你的結(jié)論.

（答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】證明：（1）在△43C和△OC3中，44=4。=90°,

在RtAABC和Rt/XDCB中，

（AC=BD

1BC=BC'

??.RtA^C^RtADC5（HL）；

（2）△O5C是等腰三角形，

由（1）得：RtAABgRtADCB,

乙ACB=ADBC,

：.OB=OC,

.?.△O2C是等腰三角形.

19.（8分）如圖，Rtz\/8C中，ABAC=90°,ZC=30°,A"BC于D,BF平分乙ABC,交/。于E,

交AC于F.

（1）求證：△/￡尸是等邊三角形；

（2）求證：BE=EF.

【答案】(1)證明見解答過程；

(2)證明見解答過程.

【解答】證明：(1),?,48/C=90°,4c=30°,

AABC=60°,

平分乙4BC,

:.乙ABF=zLCBF=3Q°,

'.,ADLBC,

/.AADB=90°,

AAEF=ABED=90°-ACBF=60°,

VAAFB=90°-AABF=60°,

AAFE=AAEF=60°,

△/斯是等邊三角形；

(2)AADB=90°,/LABC=6Q°,

；.乙BAE=乙ABF=30°,

-"-AE=BE,

由（1）知△/￡尸是等邊三角形,

：.AE=EF,

：.BE=EF.

20.（8分）如圖，在△48C中，CD_LAB于點(diǎn)。，AC=6,BC=8,AB=10.求:

（1）△N8C的面積；

（2）線段CD的長.

【答案】（1）24；

（2）4.8.

【解答】解：⑴???/C=6,SC=8,A5=10,

.-.AC2+BC2=AB2,

AAACB=90°,

△/2°的面積="1^，*8，=/乂6乂8=24；

（2）4ABC的面積=1-ACXBC=yABXCD'

.1.6x8=10CZ）,

.-.Cr>=4.8.

21.（8分）如圖1,同學(xué)們想測量旗桿的高度/?（米），他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出

了一段，但這條繩子的長度未知.小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個問題的方案如下:

圖1

小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余1米，如圖1;

②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部4米，如圖2.

小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到如圖3點(diǎn)。處（2。=2C）.

（1）請你按小明的方案求出旗桿的高度h米;

（2）已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿4.5米遠(yuǎn)，此時繩結(jié)離地面多高?

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）如圖2,設(shè)旗桿的長度為x米，則繩子的長度為（x+1）米,

在RS/2C中，由勾股定理得：f+42=（x+1/

解得：x=7.5,

故旗桿的高度為7.5米；

（2）由題可知，BD=BC=15米,?！?4.5米.

在RQADE中，由勾股定理得：5E2+4.52=7.52,

解得：BE=6,

：.EC=BC-BE=1.5-6=1.5（米），

：.DF=EC=1.5米.

故繩結(jié)離地面1.5米高.

22.（10分）【閱讀理解】我國古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，

通過證明可得中間也是一個正方形.其中四個直角三角形直角邊長分別為。、b,斜邊長為c.圖中大正

方形的面積可表示為（。+6）2,也可表示為c2+4xLb,即（a+6）2=02+4XL6,所以片+廬、2.

22

【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一

個直角梯形其中△^◎之△4D￡,乙C=4D=90。，根據(jù)拼圖證明勾股定理.

【定理應(yīng)用】在中，AC=90°,乙4、2B、4c所對的邊長分別為。、6、c.

求證：a2c2+a~b~=c4-b4.

a

［定理應(yīng)用】見解析.

【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為S=l(a+b)(b+a)=ab+X(a2+b2),

22

21

利用分割法，梯形的面積為S=S^ABC+SAABE+SADE=-^ab+.^c+^ab=ab+^c,

：-ab+1-(a2+b2)=ab+1^2,

22

a2+b2=c2;

［定理應(yīng)用］/a2c2+a2Z>2=a2(c2+Z>2),c4-b4=(c^+b2)(c2-廬)=(c2+b2)a2,

4

02c2+02店=c,

23.(10分)如圖，在△48。中，已知AB=/C,2C>/C,點(diǎn)尸在線段2C上運(yùn)動(P不與3、C重合),

連接4P,作44PM=43,交/C于點(diǎn)