2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章 實(shí)數(shù)7 二次根式第3課時(shí) 二次根式的混合運(yùn)算教案 （新版）北師大版

2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章實(shí)數(shù)7二次根式第3課時(shí)二次根式的混合運(yùn)算教案（新版）北師大版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來自于北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)，第二章實(shí)數(shù)部分的第七節(jié)，即二次根式的混合運(yùn)算。本節(jié)課是該章節(jié)的第三課時(shí)，主要內(nèi)容涵蓋了以下幾個(gè)方面：

1.掌握二次根式的加減法運(yùn)算規(guī)則；

2.掌握二次根式的乘除法運(yùn)算規(guī)則；

3.能夠運(yùn)用混合運(yùn)算規(guī)則解決實(shí)際問題；

4.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。

教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算規(guī)則，并能夠運(yùn)用這些規(guī)則解決實(shí)際問題。同時(shí)，通過教學(xué)活動(dòng)的開展，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)分析主要從以下幾個(gè)方面展開：

1.邏輯推理：通過學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算，學(xué)生能夠理解并掌握二次根式運(yùn)算的規(guī)律，能夠運(yùn)用邏輯推理的能力解決實(shí)際問題。

2.數(shù)學(xué)建模：學(xué)生能夠?qū)⒍胃降幕旌线\(yùn)算應(yīng)用于實(shí)際問題中，通過建立數(shù)學(xué)模型的方法解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

3.數(shù)學(xué)抽象：在學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算過程中，學(xué)生能夠抽象出運(yùn)算規(guī)律，形成數(shù)學(xué)概念，提高數(shù)學(xué)抽象的能力。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：學(xué)生能夠熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算規(guī)則，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

5.直觀想象：通過利用數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生能夠直觀地理解二次根式的混合運(yùn)算，提高直觀想象的能力。

6.團(tuán)隊(duì)合作：在課堂討論和小組合作活動(dòng)中，學(xué)生能夠與同學(xué)共同解決問題，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

（1）掌握二次根式的加減法運(yùn)算規(guī)則：同號(hào)二次根式相加減，直接合并；異號(hào)二次根式相加減，先化為同號(hào)再合并。

（2）掌握二次根式的乘除法運(yùn)算規(guī)則：二次根式相乘，底數(shù)相乘，指數(shù)相加；二次根式相除，底數(shù)相除，指數(shù)相減。

（3）能夠運(yùn)用混合運(yùn)算規(guī)則解決實(shí)際問題：運(yùn)用二次根式的加減法、乘除法運(yùn)算規(guī)則，解決實(shí)際問題中的混合運(yùn)算。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

（1）二次根式加減法運(yùn)算中的異號(hào)合并：學(xué)生容易忽視異號(hào)二次根式合并時(shí)的先化為同號(hào)步驟，導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤。

（2）二次根式乘除法運(yùn)算中的指數(shù)處理：學(xué)生對(duì)于二次根式乘除法運(yùn)算中指數(shù)的處理容易混淆，不知如何正確計(jì)算。

（3）實(shí)際問題中的混合運(yùn)算：學(xué)生對(duì)于如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次根式的混合運(yùn)算，以及如何運(yùn)用運(yùn)算規(guī)則解決問題存在困惑。

舉例說明：

重點(diǎn)舉例：

（1）加法運(yùn)算：計(jì)算√3+√5，根據(jù)加法運(yùn)算規(guī)則，直接合并得到√（3+5）=√8。

（2）乘法運(yùn)算：計(jì)算√2×√3，根據(jù)乘法運(yùn)算規(guī)則，底數(shù)相乘，指數(shù)相加，得到√（2×3）=√6。

（3）混合運(yùn)算：一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4，求該直角三角形的面積。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次根式的混合運(yùn)算，即√（32+42）÷2=√（9+16）÷2=√25÷2=5÷2=2.5。

難點(diǎn)舉例：

（1）加法運(yùn)算：計(jì)算-√5+√3，先化為同號(hào)，即-√5+√3=-（√5-√3），再合并得到-√5+√3=-（√5-√3）。

（2）乘法運(yùn)算：計(jì)算√2×√15，根據(jù)乘法運(yùn)算規(guī)則，底數(shù)相乘，指數(shù)相加，得到√（2×15）=√30。

（3）混合運(yùn)算：一個(gè)正方形的邊長為√5，求該正方形的面積。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次根式的混合運(yùn)算，即√5×√5=√（5×5）=√25=5。教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法：

（1）講授法：在課堂上，教師通過講解二次根式的加減法、乘除法運(yùn)算規(guī)則，以及實(shí)際問題中的混合運(yùn)算方法，幫助學(xué)生理解并掌握知識(shí)。

（2）案例研究法：教師通過分析具體的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算規(guī)則解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

（3）小組合作學(xué)習(xí)：將學(xué)生分為若干小組，進(jìn)行課堂討論和小組合作活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，提高他們的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

2.教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（1）角色扮演：學(xué)生分組扮演不同角色，如售貨員、顧客等，運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算規(guī)則計(jì)算商品價(jià)格，解決實(shí)際問題。

（2）實(shí)驗(yàn)操作：學(xué)生在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行有關(guān)二次根式的實(shí)驗(yàn)，如測(cè)量物體長度、面積等，培養(yǎng)他們的實(shí)驗(yàn)操作能力和問題解決能力。

（3）數(shù)學(xué)游戲：設(shè)計(jì)有關(guān)二次根式混合運(yùn)算的數(shù)學(xué)游戲，如卡片游戲、競(jìng)賽等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

3.教學(xué)媒體和資源使用：

（1）PPT：教師利用PPT展示二次根式的加減法、乘除法運(yùn)算規(guī)則，以及實(shí)際問題中的混合運(yùn)算方法，幫助學(xué)生直觀地理解知識(shí)。

（2）視頻：播放有關(guān)二次根式運(yùn)算的教學(xué)視頻，讓學(xué)生更直觀地了解運(yùn)算過程，提高學(xué)習(xí)效果。

（3）在線工具：利用在線計(jì)算器、數(shù)學(xué)軟件等工具，幫助學(xué)生進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確性。

（4）數(shù)學(xué)故事：講述有關(guān)二次根式的數(shù)學(xué)故事，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考和探討。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是《二次根式的混合運(yùn)算》這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個(gè)問題：“你們?cè)谌粘Ｉ钪惺欠裼龅竭^需要計(jì)算二次根式混合運(yùn)算的情況？”（舉例說明）這個(gè)問題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過這個(gè)問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索二次根式混合運(yùn)算的奧秘。

二、新課講授（用時(shí)10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解二次根式的混合運(yùn)算的基本概念。二次根式的混合運(yùn)算是指……（詳細(xì)解釋概念）。它在數(shù)學(xué)中扮演著重要的角色，特別是在解決實(shí)際問題時(shí)。

2.案例分析：接下來，我們來看一個(gè)具體的案例。這個(gè)案例展示了二次根式混合運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用，以及它如何幫助我們解決問題。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過程中，我會(huì)特別強(qiáng)調(diào)二次根式的加減法運(yùn)算規(guī)則和乘除法運(yùn)算規(guī)則這兩個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于難點(diǎn)部分，我會(huì)通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個(gè)與二次根式混合運(yùn)算相關(guān)的實(shí)際問題。

2.實(shí)驗(yàn)操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個(gè)簡單的實(shí)驗(yàn)操作。這個(gè)操作將演示二次根式混合運(yùn)算的基本原理。

3.成果展示：每個(gè)小組將向全班展示他們的討論成果和實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“二次根式混合運(yùn)算在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵(lì)提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個(gè)引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會(huì)提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個(gè)小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了二次根式的混合運(yùn)算的基本概念、重要性和應(yīng)用。同時(shí)，我們也通過實(shí)踐活動(dòng)和小組討論加深了對(duì)二次根式混合運(yùn)算的理解。我希望大家能夠掌握這些知識(shí)點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請(qǐng)隨時(shí)向我提問。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）數(shù)學(xué)雜志：《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《數(shù)學(xué)競(jìng)賽》等雜志，其中包含了大量的二次根式混合運(yùn)算的相關(guān)文章和題目，適合學(xué)生進(jìn)行深入研究和挑戰(zhàn)。

（2）在線教育平臺(tái)：可汗學(xué)院、網(wǎng)易云課堂等平臺(tái)上有許多關(guān)于二次根式混合運(yùn)算的教學(xué)視頻和練習(xí)題，可以幫助學(xué)生鞏固知識(shí)點(diǎn)。

（3）數(shù)學(xué)論壇和博客：數(shù)學(xué)論壇和博客上有許多數(shù)學(xué)老師和專家分享的關(guān)于二次根式混合運(yùn)算的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和心得，學(xué)生可以從中學(xué)習(xí)和借鑒。

2.拓展建議：

（1）讓學(xué)生利用課余時(shí)間閱讀數(shù)學(xué)雜志，挑選出與二次根式混合運(yùn)算相關(guān)的題目進(jìn)行練習(xí)，提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（2）鼓勵(lì)學(xué)生登錄在線教育平臺(tái)，觀看二次根式混合運(yùn)算的教學(xué)視頻，鞏固所學(xué)知識(shí)，并嘗試完成平臺(tái)上的練習(xí)題。

（3）引導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)論壇和博客，了解他人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和心得，提出自己的疑問，與同行進(jìn)行交流和探討。

（4）為學(xué)生提供一些二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際問題，引導(dǎo)他們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

（5）鼓勵(lì)學(xué)生自主探究二次根式混合運(yùn)算的規(guī)律和性質(zhì)，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和科學(xué)研究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和研究精神。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：在課堂中，學(xué)生的參與度很高，大多數(shù)學(xué)生能夠積極回答問題并與同學(xué)進(jìn)行討論。他們對(duì)二次根式混合運(yùn)算的概念和規(guī)則有了清晰的理解，并能夠?qū)⑵鋺?yīng)用到實(shí)際問題中。

2.小組討論成果展示：各小組在討論中提出了許多有創(chuàng)意的觀點(diǎn)和解決問題的方法。他們能夠?qū)⒗碚撝R(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合，通過合作和交流，共同解決問題，并能夠清晰地展示和解釋他們的思路和結(jié)果。

3.隨堂測(cè)試：在隨堂測(cè)試中，大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確地完成二次根式混合運(yùn)算的題目，顯示出他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。少數(shù)學(xué)生在一些細(xì)節(jié)上出現(xiàn)問題，但通過教師的及時(shí)指導(dǎo)和同學(xué)的幫助，他們能夠及時(shí)糾正錯(cuò)誤并提高解題能力。

4.學(xué)生作業(yè)：從學(xué)生提交的作業(yè)來看，大多數(shù)學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用二次根式混合運(yùn)算的規(guī)則進(jìn)行計(jì)算和解決問題。他們的作業(yè)整潔、準(zhǔn)確，并能夠正確地解釋和應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：針對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)和作業(yè)情況，教師給予了積極的評(píng)價(jià)和反饋。對(duì)于學(xué)生的正確理解和應(yīng)用，教師給予了肯定和鼓勵(lì)，增強(qiáng)了學(xué)生的自信心。對(duì)于學(xué)生在一些細(xì)節(jié)上的錯(cuò)誤，教師給予了指導(dǎo)和解釋，幫助學(xué)生澄清疑惑，并鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力提高。教師還提出了改進(jìn)建議，希望學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中能夠更加注重細(xì)節(jié)，提高解題的準(zhǔn)確性和效率。典型例題講解例題1：

題目：計(jì)算(√2+√3)×(√5-√2)

解答：

首先，我們將二次根式相乘，根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算規(guī)則，底數(shù)相乘，指數(shù)相加。所以，

(√2+√3)×(√5-√2)=√2×√5+√2×(√5-√2)-√3×√2+√3×√2

=√(2×5)+√(2×(5-4))-√(2×3)+√(2×3)

=√10+√2-√6+√6

=√10+√2

例題2：

題目：計(jì)算√3×√15

解答：

根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算規(guī)則，底數(shù)相乘，指數(shù)相加。所以，

√3×√15=√(3×15)=√45

=3√5

例題3：

題目：計(jì)算(√3-√2)×(√3+√2)

解答：

首先，我們將二次根式相乘，根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算規(guī)則，底數(shù)相乘，指數(shù)相加。所以，

(√3-√2)×(√3+√2)=√3×√3+√3×√2-√2×√3-√2×√2

=√(3×3)+√(3×2)-√(2×3)-√(2×2)

=√9+√6-√6-√4

=3+2√3-2-2

=3+2√3

例題4：

題目：計(jì)算√2×√100

解答：

根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算規(guī)則，底數(shù)相乘，指數(shù)相加。所以，

√2×√100=√(2×100)=√200

=2√5

例題5：

題目：計(jì)算(√3+√2)÷(√3-√2)

解答：

首先，我們將二次根式相除，根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算規(guī)則，底數(shù)相除，指數(shù)相減。所以，

(√3+√2)÷(√3-√2)=√3÷√3+√2÷(√3-√2)

=1+√2÷(√3-√2)

=1+√(2/(√3-√2))

=1+√(2√2/3)

=1+√(4/3)

=1+2/√3

=√3+2/√3

=√(3+4)

=√7板書設(shè)計(jì)①二次根式混合運(yùn)算的規(guī)則：

-加減法：同號(hào)二次根式相加減，直接合并；異號(hào)二次根式