2024年高考考前押題密卷數(shù)學(xué)（全國卷）

2024年高考考前押題密卷

高三數(shù)學(xué)（理科）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓

名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合/={x|2x-3>0},N={y|y=3x+1},則（）

A.=B.MN=g，+oo]

C.=D.M=N

2.若復(fù)數(shù)z滿足3z+/=7+i,則|z+2i|=（）

A.1B.72C.75D.4

3.關(guān)于函數(shù)/（x）=x+sinx,下列說法正確的個數(shù)是（）

①/（X）是奇函數(shù)；②/（X）是周期函數(shù)；③/⑴有零點；④/（X）在（o,■上單調(diào)遞增.

A.1B.2C.3D.4

4.已知，也（々+嘰

=2,cosasinjS=—,則sin(a+/7)=()

sin（a一尸）6

21

A.-BR-IC-?D.--

33

（2"+1卜in—+3xj

5.函數(shù)/（x）=------/2—的圖象大致是（

6.已知a,6是兩個單位向量，且卜若向量c滿足|U』|=2,則,的最大值為（

)

A.2-72B.2+72c.V2D.20

7.將甲、乙、丙、丁4人分配到3個不同的工作崗位，每人只去一個崗位，每個崗位都要有人去，則

甲、乙二人分別去了不同崗位的概率是（）

3

8.已知等比數(shù)列｛g｝的前〃項和為S“，若q=2,且2%,：S2，S3成等差數(shù)列，貝"2023=（）

A.22ffi3-lB.22ffi4-lC.22023-2D.22024-2

9.將函數(shù)〃x）=cos2x的圖象向右平移夕（0＜夕＜1個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若對滿足

'

|/（不）一8（々）|=2的網(wǎng),三，有歸-尤2111=|,則聯(lián)（）

A.工B.巴C.工D.亞

64312

10.某幾何體的三視圖如圖所示，設(shè)三視圖中三個直角頂點在該幾何體中對應(yīng)的點為P,則點尸到

它所對的面的距離為（）

373

A.2^3B.73

22

11.已知、F2分別為雙曲線與一J=1（°>0,6>0）的兩個焦點，雙曲線上的點P到原點的距離為b，

ab

且sin?P/y；3sin?P/譙，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y二±xB.y=±xC.y=+y/2xD.y=士6x

22

12.已知〃=41n3\b=3兀,c=41n兀3,則a,A,c的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.，-:卜+4的展開式中的系數(shù)為

14.如圖，在，ABC中，ND4c=￡,AC=2友,CO=2,D為邊3c上的一點，且4）上AB,則

6

AB=.

15.已知A,8是拋物線C:^=4x上異于原點的兩點，且以|筋|為直徑的圓過原點，過，（0,4）向

直線A3作垂線，垂足為X,求I。81的最大值為.

16.如圖，已知正方體ABCO-A4G，的棱長為6,長為6的線段所的一個端點E在棱。2（不

含端點）上運動，點/在正方體的底面A3CD內(nèi)運動，則跖的中點尸的軌跡與正方體的面

ABCD,面ADR4，面C">C所圍成的幾何體的表面積是

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)某工廠工程師對生產(chǎn)某種產(chǎn)品的機器進(jìn)行管理，選擇其中一臺機器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試.該機

器在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，制作了如下列聯(lián)表：

產(chǎn)品合格品淘汰品

調(diào)試前2416

調(diào)試后4812

(1)根據(jù)列聯(lián)表分析，是否有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試改變產(chǎn)品質(zhì)量？

(2)如果將合格品頻率作為產(chǎn)品的合格概率.工程師從調(diào)試后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，依次隨機抽取6

件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，求抽出的6件產(chǎn)品中不超過1件淘汰品的概率P.(參考數(shù)據(jù)：

0.85=0.32768,0.86=0.262144)

附.片=_______n(ad-be#_______

'(4+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

p『k。)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

a-3,〃為奇數(shù)，

18.(12分)已知數(shù)列｛%｝滿足％=7,a〃+i=<n

2%,〃為偶數(shù).

(1)寫出外,生，。4；

⑵證明:數(shù)歹U｛。21-6｝為等比數(shù)列；

(3)若bn=a2n,求數(shù)列物.(bn-3)｝的前"項和S,.

19.(12分)如圖，在四棱錐尸中，^PAB±nABCD,AB±AD,AD//BC,

PA=BC=3,AB=AT>=2,P3=而，E為PD中點，點廠在PC上，且PC=3/C.

(1)求證：平面PAD；

(2)求二面角尸-AE-O的余弦值.

R

122

20.（12分）已知點「（"彳）在橢圓E:「+斗=l（a>b>0）上，尸為右焦點，尸尸垂直于x軸.A,

2ab

B,C,。為橢圓上四個動點，且AC,8D交于原點。.

（1）求橢圓E的方程；

⑵設(shè)A（XQI）,5（x2,y2）,滿足。403=5%%，判斷L+L的值是否為定值，若是，求出此

定值，并求出四邊形ABCD面積的最大值，否則請說明理由.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=（x-3）e*+aH+lnx}aeR）,

⑴若過點（2,0）的直線與曲線y=/（x）切于點（1,/⑴），求。的值；

⑵若〃尤）有唯一零點，求。的取值范圍.

（二）選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為［"=后"（加為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方

y=l+m

1

x=t—

程為\C為參數(shù)）.

y=t——

It

（1）求直線/和曲線c的普通方程；

,、11

（2）已知點P（0,l）,若直線/與曲線C交于A,8兩點，求網(wǎng)+兩的值?

選修4-5：不等式選講

23.（10分）已知函數(shù)〃力=,一2|+3此

⑴求不等式/⑺加。的解集;

⑵若的最小值為機，正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=〃z,求證/+b?+c22g.

2024年高考考前押題密卷

數(shù)學(xué)（理科）?全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓

名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合河=k|2工-3>。},7V={y|y=3%+l},則（）

C.即加=（1,3D.M=N

【答案】D

【分析】解不等式化簡集合求出指數(shù)函數(shù)的值域化簡集合M再逐項分析判斷得解.

【詳解】M={X|2X_3>0}=§,+8）,N={y|y>l}=（l,+8）,

3

對于A,MN=（5，+S）,A錯誤；

對于B,MN=（l,+?）,B錯誤；

對于C,6WM=（1,1],C錯誤；

對于D,M=N,D正確.

故選：D

2.若復(fù)數(shù)z滿足3z+4^=7+i,貝！j|z+2i|=（）

A.1B.0C.非D.4

【答案】B

【分析】^z=x+yi(x,yER),利用復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的模的公式求解.

【詳解】解：設(shè)z=x+ji(x,yeR),

則3z+4z=3x+3yi+4x-4yi=7x-yi=7+i,

解得x=l,y=T,故z=l-i,則|z+2i|=0,

故選：B.

3.關(guān)于函數(shù)/(x)=x+sinx,下列說法正確的個數(shù)是().

①是奇函數(shù)；②/(X)是周期函數(shù)；③“X)有零點；④小)在(0，y上單調(diào)遞增.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)奇偶性定義可判斷選項①正確；依據(jù)周期性定義，選項②錯誤；/(。)=0,選項③正

確；求廣(力，判斷選項④正確.

【詳解】對于①，函數(shù)/(x)=x+sinx定義域為R,>/(-%)=-x-sinx=-/(%),

則/(x)為奇函數(shù)，故①正確；

對于②，若/(%)是周期函數(shù)，設(shè)其最小正周期為T(TW0)，則/(x+T)=/(x),

即x+T+sin(x+T)=x+sinx,變形得，T+sin(x+T)=sinx,對任意xeR恒成立,

令x=0,可得，T+sinT=O,設(shè)g(x)=x+sinx,而g'(x)=l+cosx20,

g(0)=0,所以g(x)=x+sinx=。只有唯一的解x=0,故由T+sinT=O=T=O,

由此可知它不是周期函數(shù)，故②錯誤；

對于③，因為/(O)=O+sinO=O,/(x)在卜3鼻上有零點，故③正確；

對于④，由于r(x)=l+cosx"，故在(口,+向上單調(diào)遞增，故④正確.

故選：C.

sin(a+￡)1,、

4.已知一^-TT=2,cos(7sin/?=-,貝lJsin(a+〃)=()

sm^a-p)6

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，求得sinacos/?=；,結(jié)合兩角和的正弦公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.

【詳解】由二1---=2,可得sin(cr+￡)=2sin(a-/?)=>3cosasinQ=sinacos月,

因為cosasinjS=—,所以sinacos〃=；

所以sin(a+4)=sinacos0+cosasin尸=一+—=—.

故選：B.

米什(2x+l)sin|^+3x|

5.函數(shù)\V7U)的圖象大致是

〃x)=-------------

【答案】B

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡/(%),再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷了(兀)的奇偶性，從而得解.

【詳解】因為2"+1公，定義域為(T,0)U(0,W),

〃x)=------COSJX

2X-12”一1

2~%+12”+1

又/(f)=?cos(-3%)=-?cos3x=-/(%),

2-x-l2X-1

所以/(%)是奇函數(shù)，從而ACD錯誤，B正確.

故選：B.

6.已知d,6是兩個單位向量，且卜+6卜卜-司，若向量d滿足卜」」|=2,則的最大值為()

A.2-72B.2+0C.垃D.2e

【答案】B

【分析】根據(jù)模長公式可得a_Zb，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算c-o-b=a-Ly-l),利用

\c-a-b\=/x-D2+(y-tf=2,可得點C的軌跡是以(LD為圓心，2為半徑的圓，求得圓心WD到

原點的距離為從而可得答案.

【詳解】已知a,b是兩個單位向量，S.\a+b\=\a-b\,

貝Ia2+2ab+b2—a2—2a-b+b2,

則a?b=0，貝11al6，

設(shè)a,b分別是無軸與y軸正方向上的單位向量，

貝"(1,。)，｝=(0,1),a+b=(l,l),

設(shè)<5=(x,y),貝ljc-a-b=(x-1,y-1),

因為—|=Jdy+(y_l)2=2,

所以-1)2+—1)2=4,

故c=OC中，點C的軌跡是以(ID為圓心，廠=2為半徑的圓,

圓心M(l,l)到原點的距離為|OM|==72,

\cL.=\OM\+r=^+2-

故選：B.

7.將甲、乙、丙、丁4人分配到3個不同的工作崗位，每人只去一個崗位，每個崗位都要有人去，則

甲、乙二人分別去了不同崗位的概率是()

A.-B.1C.-D.-

3236

【答案】D

【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人分到三個不同的工作崗位，每個崗位至少分到一人共有的選擇

數(shù)，再求出甲、乙兩人被分到同一個工作崗位的選擇數(shù)，再利用古典概型求概率公式及對立事件求

概率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】甲、乙、丙、丁四人分到三個不同的工作崗位，每個崗位至少分到一人，

則必有2人分配到同一個工作崗位，先從4人中選出2人，有C：=6種選擇，

再進(jìn)行全排列，有A；=6種選擇，故總的方法有C：A；=36種，

其中甲、乙兩人被分到同一個工作崗位的情況：從3個崗位中選出一個分配給甲乙，

再將剩余的丙丁和剩余的兩個崗位進(jìn)行全排列，有C；A；=6種選擇，

所以甲、乙二人分配到同一個工作崗位的概率為2=J,

故甲、乙二人分別去了不同工作崗位的概率為1=今

66

故選：D

8.已知等比數(shù)列｛凡｝的前"項和為S“，若％=2,且2Gls”S3成等差數(shù)列，貝32023=()

A.22023-1B.22024-1C.22023-2D.22024-2

【答案】D

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q(?20),根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到3s2=2弓+S3,即可求出q,

再根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算可得.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為9(#0),

又2q,1S2,S3成等差數(shù)列，所以3s2=2q+S3，

a3

即3q+3a2=2G+4+a?+%,所以2%=%，即4==2,

所以=22期_2?故選:.

=2(1二5)D

9.將函數(shù)〃x)=cos2x的圖象向右平移。個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若對滿足

|八%)-g(x2)|=2的玉有MI-NL,=］，則。=()

71—兀一兀c5兀

A.—B.-C.-D.—

64312

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得g(x)=cos(2尤-2°),利用三角函數(shù)的最值，求出自變量看,巧的

值，然后判斷選項即可,

【詳解】因函數(shù)f(x)=cos2x的最小正周期為n,

將/(x)的圖象向右平移。，＜。＜鼻個單位后得到函數(shù)g(x)=cos(2x-2。)的圖象，

若對滿足"(七)—區(qū))1=2的可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2,有歸7m

不妨石=0,則4=±5，即g(x)在九2=±5取得最小值，

當(dāng)％=方時，8$(2'5-20)=-1,

此時---20=兀+2而，cp=----ku,k￡Z,不合題意。＜0＜一，

362

當(dāng)馬=1］時，cos(---2夕)=-1,

此時-期-20=7i+2fat,(p=--kn,keZ,當(dāng)左=0,°=色滿足題意，

366

故選：A.

10.某幾何體的三視圖如圖所示，設(shè)三視圖中三個直角頂點在該幾何體中對應(yīng)的點為P,則點尸到

「3代

A.2#1B.布.畢

2

【答案】D

【分析】

首先將三視圖還原得到三棱錐P-ABC，PAP8,PC兩兩垂直，PA=PB=PC=2,然后根據(jù)等體

積法求高即可.

【詳解】

考慮三棱錐P-ABC,PAPB,PC兩兩垂直，PA=PB=PC=2,從點尸朝平面ABC看時，A,B,C

順時針排列.

分別將BP,AP,CP定為看向該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖視線方向，即得到所求三視圖.

考慮將該幾何體放入正方體中,

14

此時，該幾何體的體積V==

63

h

同時設(shè)尸到平面ABC的距離為"則又有^=耳5.0.

容易得到BBC是邊長為2挺的等邊三角形，故SABC差?口可=26.

3V4_2A/3

從而耳=飛—

^,ABC訪一亍

故選：D.

22

11.已知耳、B分別為雙曲線與-二=1（4>。,b>0）的兩個焦點，雙曲線上的點尸到原點的距離為6,

ab

且sin?PK用3sin?Pf；8,則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±^^-xB.y=±^^尤C.y=+s/2xD.y=±5/3x

22-

【答案】A

【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據(jù)sin?2名片3sin?WB得出

|尸￡|=3歸周，根據(jù)雙曲線的定義得出|時|=。，再然后根據(jù)|尸耳「+|尸0「=|06「得出？。2鳥90以

及|打|=：,根據(jù)回0「+囚尸「=|0尸「得出內(nèi)。=5,最后將2點坐標(biāo)代入雙曲線/一.=i中，

通過化簡即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)耳為雙曲線的下焦點，F(xiàn)2為雙曲線的上焦點，繪出雙曲線的圖像,

如圖，過點尸作耳鳥于點H,

因為sin?PF?Fi3sin?PFXF2,

PH....

所以\PH時\3?西，閥|=3|%,

因為|P￡|-|P瑪|=2a,所以|P閭=o,

因為雙曲線上的點P到原點的距離為b,即|尸。=6,且|。段=。,

所以|即「+歸0『=42+加=02=10閶2,?opF]90,

故g倉歸耳|P馬=g倉W四|9|,|HP|=-，

72（obD

因為|8O「+|HP「=|OP]，所以舊0|=生，P——，

C\ccJ

（nhh1\22

將尸——代入雙曲線5-二=1中，

yCC）ab

解得4_=2或-1（舍去），）=叵,q=1，

crab2

則該雙曲線的漸近線方程為y=±-x=土變x,

b2

故選：A.

12.已知。=41n3\Z?=3冗,c=41n兀3,則。也。的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】B

【分析】觀察“，c的式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/（x）=W，利用導(dǎo)數(shù)判斷得了（尤）的單調(diào)性，從而判斷得

c<a,再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得b<c,從而得解.

【詳解】因為。=4山3兀=471In3,Z?=3K,C=41n7i3=4x3In7r,

觀察a，c的式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/（x）=（，則-（無）=匕詈，

當(dāng)工￡(0,e)時,f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(e,+oo)時，f(x)<O"(x)單調(diào)遞減,

因為兀>3>e,所以/(兀)</⑶,即—<——,

713

所以31n7i<7iln3,即4x31n7cv4711n3,即c<Q；

又lnji>lne=l,所以371V3x4v4x31nji,即8vc；

綜上，b<c<a.

故選：B.

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.1*-5卜”+y，的展開式中V，的系數(shù)為

【答案】5

【分析】先將乘積展開為x(x+4-.(x+?,再分別利用二項展開式計算Mx+y)5和$(x+y)5中

xx

即求得卜一￡

含了3y3的項,(x+y)5的展開式含X3/的項,即得結(jié)果.

【詳解】

其中x(x+y)5的展開式通項為(=H：〉/嘰洪=^"6士峭，左=0』,2,3,4,5,故左=3時，得含Vy?

的項為C>3y3=io尤V；

22

匕。+爐的展開式通項為邑=二4/，.y=弓尸.嚴(yán)，『=0,1,2,3,4,5,故r=1時，得含無3y3的項

XX

為=5兄3,3.

因此，式子口-三］。+》)5的展開式中，含W的項為10x3/-5尤3/=5尤3y3,即系數(shù)為5.

故答案為：5.

14.如圖，在.ABC中，ZDAC=-,AC=20,C。=2,O為邊JBC上的一點，且AD2AB,貝|

6

AB=

A

BDC

【答案】屈-近

【分析】在..ACD中由正弦定理求出—4Z)C,即可求出—ACD,再代入求出A3,最后由△A5O為

等腰直角三角形得解.

CDADAC

【詳解】由題可知，在cACO中，由正弦定理得

sinZDACsinZACDsinZADC'

2&

2AD，得sin/AOC=立,

即FsinZACD-sinZADC

sin—2

6

3兀

又AC>8‘由圖可得為鈍角，所以ZADC,

所以NAD5二二，則NACD=^_烏=2

44612

2sin—

兀71..717171.71

貝ij4。=——H=4sin4sin—cos——cos—sin—=瓜-五,

.714~6(4646

sin—

6

又AD1AB,所以△ABD為等腰直角三角形，則==#-

故答案為：瓜-垃

15.已知A,B是拋物線C:,2=以上異于原點的兩點，且以為直徑的圓過原點，過，(0,4)向

直線A8作垂線，垂足為H,求1。"1的最大值為.

【答案】4夜

【分析】結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，推得％%=T6,設(shè)出直線A8的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，運用

韋達(dá)定理，求出直線所過定點，再結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解，

【詳解】依題意，設(shè)B(苧%)，

以為直徑的圓過原點，貝1]0403=亭+乂％=0,解得％%=T6,

16

易知直線AB的斜率不為0,不妨設(shè)直線A8的方程為x=)+%,

f-v2=4x

聯(lián)立廣，化簡整理可得-4%=0,

[x=ty+m

所以弘%二-4根=一16,解得m=4,

故直線AB恒過定點P（4,0）,

因為NMOP=90。，則。，P,H,"四點共圓,

即點H在以|PM|為直徑的圓（除原點外）上運動，

此時該圓直徑為1PMi="+4?=4A/2,

故IOHI的最大值為該圓的直徑，即40.

故答案為：472.

16.如圖，已知正方體ABC。-AWGR的棱長為6,長為6的線段所的一個端點E在棱。2（不

含端點）上運動，點尸在正方體的底面A3CD內(nèi)運動，則跖的中點尸的軌跡與正方體的面A3CD,

面ADD^,面CDRG所圍成的幾何體的表面積是

【分析】由所=6,可得。尸=；E尸=3,故可得點P在以。為球心，半徑R=3的球面上，則可得

其與正方體的面ABCD,面AOR4,面CDQG所圍成的幾何體為八分之一個球，結(jié)合表面積公式

計算即可得.

【詳解】連接OP,貝U,.￡D產(chǎn)為直角三角形，在R晨￡D尸中，EF=6,尸為E尸的中點，

連接DP,則DP=gE歹=3,所以點P在以。為球心，半徑R=3的球面上,

又點P只能落在正方體的表面或其內(nèi)部，所以點P的軌跡的面積等于該球面面積的

O

1q冗

即岳=—X4TIR2=一,又幾何體在正方體的面ABCQ,面

82

面82。上的部分面積的和為S?=3x；兀&=乎，

冗兀兀

故所求幾何體的表面積5=8]+邑=9?+卑27=45

244

故答案為：耳457r.

4

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)某工廠工程師對生產(chǎn)某種產(chǎn)品的機器進(jìn)行管理，選擇其中一臺機器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試.該機

器在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，制作了如下列聯(lián)表:

產(chǎn)品合格品淘汰品

調(diào)試前2416

調(diào)試后4812

(1)根據(jù)列聯(lián)表分析，是否有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試改變產(chǎn)品質(zhì)量?

(2)如果將合格品頻率作為產(chǎn)品的合格概率.工程師從調(diào)試后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，依次隨機抽取6件產(chǎn)

品進(jìn)行檢驗，求抽出的6件產(chǎn)品中不超過1件淘汰品的概率P.(參考數(shù)據(jù):

O.85=0.32768,0.86=0.262144)

n(ad-be)2

附：

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(片法)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

【答案】（1）有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試改變產(chǎn)品質(zhì)量

（2）0.65536

【分析】（1）先利用所給數(shù)據(jù)表完善2x2列聯(lián)表，再利用K?公式求出K2,利用臨界值表進(jìn)行判定;

（2）先求出淘汰品概率為02,再由二項分布概率公式結(jié)合互斥事件加法公式求解概率即可.

【詳解】（1）補全2x2列聯(lián)表如圖所示:

產(chǎn)品合格品淘汰品總計

調(diào)試前241640

調(diào)試后481260

總計7228100

^=100X（24X12-48X16）^4762>3841>

40x60x72x28

故有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試改變產(chǎn)品質(zhì)量;

（2）由題意，設(shè)備更新后的合格概率為0.8,淘汰品概率為0.2,

可以認(rèn)為從生產(chǎn)線中抽出的6件產(chǎn)品是否合格是相互獨立的，

設(shè)X表示這件產(chǎn)品中淘汰品的件數(shù)，則X~5（6,0.2）,

所以0=P（X<l）=C》x0.86x0.2°+Cj,x0.85x0.21

=0.85x（0.8+1.2）=0.65536.

w為奇數(shù),

18.（12分）已知數(shù)列｛4｝滿足q=7,a“+i

”為偶數(shù).

（1）寫出外,。3，〃4；

⑵證明:數(shù)列｛%--6｝為等比數(shù)列；

⑶若%=a筋,求數(shù)列,?（2-3））的前九項和S,.

【答案】（1）出=4,%=8,a4=5

（2）證明見解析

⑶S“=l+（f2

【分析】（1）由數(shù)列的遞推式，分別令，2=1,2,3,計算可得所求值;

（2）推得々,+「6=2（*-6）,由等比數(shù)列的定義，可得證明；

（3）求得a=3+2"一，?。?-3）=分21,由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,

可得所求和.

〃為奇數(shù),

【詳解】(1)由%=7,a“+i=<c"

[2%,”為偶數(shù).

可得%=q—3=4；a3=24=8；%="3—3=5；

(2)證明:由題可得。2〃+i-6=2%-6=2〃2〃T-6-6=2(〃2〃T-6),

則數(shù)歹是首項為1,公比為2的等比數(shù)列；

(3)由(2)可得知_i-6=2"\即%,T=6+2"T,

2=%,=。2,1-3=3+2"7,

前幾項和S?=1-2°+2-21+3.22+...+M-2"-1,

25?=1-2+2-22+3-232",

兩式相減可得-S=l+2)+21+...+2n-1-n-2n=---------n-T,

"1-2

化簡可得5“=1+伽-1>2".

19.(12分)如圖，在四棱錐尸—A3c。中，^\^PAB±^^ABCD,AB±AD,AD//BC,

PA=3C=3,AB=A￡)=2,PB=?E為尸￡>中點，點F在PC上，且尸C=3FC.

（1）求證：AB工平面PAD；

（2）求二面角尸-AE-。的余弦值;

【答案】(1)證明見解析

⑵也

22

【分析】(1)由題意和勾股定理可得ABLE4,利用線面垂直的判定定理即可證明；

(2)由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得AD_LX4,進(jìn)而建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

利用空間向量法即可求出該面面角.

【詳解】(1)在,中，PA2+AB2=32+22=(^)2=PB~.

所以NPAB=90。，即

又因為在平面PAD中，PAr\AD=A,

所以平面尸AD.

(2)因為平面平面ABCD,平面上ABc平面488=>18,超_1_A。,4￡>(=平面488,

所以AD_L平面上4B,由尸Au平面B4B,得ADJ_P4.

由(1)知A3_LB4,且已知AB_LAD,

故以A為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-邙，

則0（2,0,0）,尸（0,0,3）,C（3,2,0）.

所以AP=（0,0,3）,AD=（2,0,0）,AC=（3,2,0）,C戶=（―3,-2,3）

因為E為尸D中點，所以AE=g（AP+AD）=（l,0，m：

由PC=3FC知，AF=AC+CF=AC+|cP=（3,2,0）+^-l,-|,1^2,1,l

設(shè)平面AEF的法向量為n=（x,y,z）,

3八

x+—z=0

n-AE=0,2

則一即1

4八

n?AF=0,2x+—y+z=0

令z=2,貝|x=-3,y=3.于是“=（—3,3,2）.

由（1）知AB2平面PAD,所以平面AID的法向量為AB=（0,2,0）.

n?AB3x23叵

所以cos(〃,AB

HM

由題知，二面角尸-鉆-D為銳角，所以其余弦值為叵.

22

122

20.（12分）已知點尸（石,或）在橢圓E:1T+1r=1（。>6>0）上，尸為右焦點，尸尸垂直于x軸.A,

B,C,。為橢圓上四個動點，且AC,8。交于原點O.

（D求橢圓E的方程;

⑵設(shè)AQ,%）,3（與必），滿足。4。8=5%%，判斷孰+嚷的值是否為定值，若是，求出此定值,

并求出四邊形ABC。面積的最大值，否則請說明理由.

【答案】⑴工+>2=1；

4

（2）是定值，定值為0,面積最大值為4.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)求出。力即可求得橢圓的方程.

（2）判斷直線A3的斜率存在，設(shè)直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及0408=5%為

求得上的值，確定左鉆+左比為定值；由點到直線距離公式求得"，利用弦長公式求得|筋|,即可用加

表示出SA0B,由二次函數(shù)性質(zhì)求得SA0B的最大值，并根據(jù)SMS=4nop即可求得SABO）的最大值.

122

【詳解】⑴由尸（①彳）在橢圓C:=+A=l（a>6>0）上,PPJLx軸，

2ab

c=有

〃2141

得半焦距,=百，2」，貝IJ—=彳，解得。=28=1,

a2a2

a2=b2+c2

所以橢圓E的方程為《+y2=l.

4

（2）由4%,%），ABC。為橢圓上的四個動點且AC,5。交于原點0,

得。（一石,一>1）,。（一工2，-%）,由。4?。3=5乂%，得4%為=玉%2，

當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時，等式4%乂=玉々不成立，因而直線A5的斜率一定存在且不為0,

設(shè)直線的方程為丁=履+利，

y=kx+m

由</,化簡可得(4左2+1)%2+8^^+4(w2—1)=0,

——+V-1

14

222

A=(8M-16(4左2+1)(?7-1)=16(4左2-/M+l)>0-

貝I]Xi+%2=一一掣一,無產(chǎn)2=4嗎T)，而必=何+犯y=kx+m,

4^+1軟2+122

m1

于是=(履i+"0(履2+)=kxix2+初1(玉+x2)+nr,

則入黨+"番)+/=.’整理得—解得T，

由對稱性不妨設(shè)鮑=；，則％BC=-；，則％AB+跖C=U=°，

所以^AB+^BC為定值.

直線AB的方程為y尤+機，即x-2y+2???=。，

12ml

則點O到直線AB的距離為d=K,顯然%+%=—2m,玉馬-2(m2-1),

又明?J4ms2_1)=A/5-y/2-m2

所以SAOS=--\AB\-d=--y[5-yj2~m2■=yjlm2-rn'=^-(m2-I)2+1<1,

2112

當(dāng)且僅當(dāng)療=1時取等號，此時△>(),因此(SAOB)max=l，^ABCD)^=4,

所以四邊形ABCD面積的最大值為4.

—+lnxVaR),

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=(彳-3)^+。G

(1)若過點(2,0)的直線與曲線y=/(x)切于點,求。的值;

⑵若““有唯一零點，求。的取值范圍.

【答案】⑴。=3e

2

e

(2){a|o=------或。<0}

l+ln2

【分析】(1)先求/(I),得到切點，再求導(dǎo)，求出了'(1)得到切線斜率，利用點斜式寫出切線方程，

再由切線過點(2,0),可求。的值.

(2)根據(jù)參數(shù)。的不同取值范圍，討論函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，結(jié)合當(dāng)x趨近于0時，函

數(shù)值的符號，又函數(shù)只有一個零點，就可以確定。的取值范圍.

【詳解】(1)由題可得1(%)=(%—2)e、+a(=),/(l)=-2e+2a,fr(l)=-e-a.

x

有2e—2a=(—e—a)(2—l),解得〃=3e.

(2)因為尸(同="_2戶+彳1)=(犬一,

2x2x

令必=xe(x>0),*'=/(d+2,>0,yl=xe>0,

2r-2

%=-+lnx(x>0),%'=——，

XX

由%'=一>0=x>2,所以%=；+lnx(x>0)在(0,2)上遞減，在(2,+e)上遞增..

2

所以％=—+lnx2%(2)=l+ln2>。，當(dāng)x-。時%f+00,

x

(i)當(dāng)a=0時，/(x)=(x-3)ex,/*(%