初中一年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)《最短路徑問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

最短路徑問題教學(xué)內(nèi)容最短路徑問題教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷探索解決最短路徑問題的方法，理解解決最短路徑問題的核心是將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”可以解決的問題，能夠熟練運(yùn)用軸對(duì)稱的基本性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化.培養(yǎng)學(xué)生具有轉(zhuǎn)化問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：能夠利用軸對(duì)稱的基本性質(zhì)將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”可以解決的問題.難點(diǎn)：能夠理解為什么要作對(duì)稱點(diǎn)，什么情況下需要作對(duì)稱點(diǎn).教學(xué)過程引入：用詩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”引入背景問題：如圖，詩中將軍在觀望烽火后，從山腳下的軍營出發(fā)，走到河邊飲馬后，再到位于小河同側(cè)的營帳宿營，請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短？探究一：如圖，MN是一條小路，A點(diǎn)的軍營和B點(diǎn)的營帳在小路MN的兩側(cè)，將軍從軍營出發(fā)，橫穿過小路回到營帳，怎么選擇路徑使得回家的路程最短？師生活動(dòng)：留時(shí)間給學(xué)生短暫思考后，給學(xué)生點(diǎn)出因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間，線段最短”，所以選擇黃色路線最短。探究二：如圖，詩中將軍在觀望烽火后，從山腳下的軍營出發(fā)，走到河邊飲馬后，再到位于小河同側(cè)的營帳宿營，請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短？分析：定點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn)B動(dòng)點(diǎn)：點(diǎn)P動(dòng)點(diǎn)所在直線：MN問題：AP+BP何時(shí)最小問題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)A′到點(diǎn)B的最短路徑問題師生活動(dòng)：這里經(jīng)過解決探究一再回到開篇的問題，首先將問題抽象成數(shù)學(xué)模型，分析出定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)以及動(dòng)點(diǎn)所在直線，再引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”可以解決的問題，也就是利用對(duì)稱的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)移線段。這里強(qiáng)調(diào)將未知轉(zhuǎn)化為已知，將這類點(diǎn)到點(diǎn)的路徑最短問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”可以解決的問題。例1：如圖，等邊△ABC的邊長為3，過點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，P為直線BC′上一動(dòng)點(diǎn)，求AP+CP的最小值.分析：定點(diǎn)：點(diǎn)C和點(diǎn)A動(dòng)點(diǎn)：點(diǎn)P動(dòng)點(diǎn)所在直線：BC′問題：AP+CP何時(shí)最小問題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)A到點(diǎn)A′的最短路徑問題師生活動(dòng)：帶著學(xué)生分析定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)所在直線，作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的最短路徑問題，在本題中需要強(qiáng)調(diào)選擇作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，選擇更容易做的那一個(gè)，例如本題中的點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)更易做。探究一：將軍牽著馬從A點(diǎn)到草坪邊緣OM上的P點(diǎn)吃草，再到河邊ON上的Q點(diǎn)喝水，怎么選擇路徑使得回到A點(diǎn)的路程最短？分析：定點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn)B動(dòng)點(diǎn)：點(diǎn)P和點(diǎn)Q動(dòng)點(diǎn)所在直線：OM和ON問題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)A′到點(diǎn)B′的最短路徑師生活動(dòng)：教師告訴學(xué)生雖然動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)的個(gè)數(shù)發(fā)生了改變，但是本質(zhì)問題沒有變，仍然是點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑問題，所以解決方法同探究二沒有區(qū)別。例2：如圖，在四邊形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，P、Q分別是BC、DC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APQ的周長最小時(shí)，求∠PAQ的度數(shù).分析：定點(diǎn)：點(diǎn)A動(dòng)點(diǎn)：點(diǎn)P和點(diǎn)Q動(dòng)點(diǎn)所在直線：DC和BC問題轉(zhuǎn)化為：從點(diǎn)A′到點(diǎn)A″的最短路徑問題變式二：將軍牽著馬從A點(diǎn)的軍營到草坪邊緣ON上的Q點(diǎn)吃草，再到河邊OM上的P點(diǎn)喝水，怎么選擇路徑使得回到B點(diǎn)的營帳路程最短？分析：定點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn)B動(dòng)點(diǎn)：點(diǎn)P和點(diǎn)Q動(dòng)點(diǎn)所在直線：OM和ON問題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)A′到點(diǎn)B′的最短路徑師生活動(dòng)：讓學(xué)生再次感受，動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)的個(gè)數(shù)不重要，問題的核心是點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑問題。變式三：將軍牽著馬從軍營A到草坪邊緣ON上的Q點(diǎn)吃草，再到河邊OM上的P點(diǎn)喝水，怎么選擇路徑使得總路程最短？分析：定點(diǎn)：點(diǎn)A動(dòng)點(diǎn)：點(diǎn)P和點(diǎn)Q動(dòng)點(diǎn)所在直線：OM和ON問題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)A′到直線OM的最短路徑師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題不再是點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑問題，而是點(diǎn)到線的最短路徑問題，不能再用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解決，而應(yīng)該用“垂線段最短”來解決。但是利用對(duì)稱的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)移線段的基本方法沒有改變。小結(jié)1、最短路徑問題基本事實(shí)依據(jù)：①兩點(diǎn)之間，線段最短②垂線段最短2、解決該類問題的基本方法：通常