三角形的證明與計(jì)算（解析版）-2024年中考=數(shù)學(xué)=題型歸納與變式演練（全國(guó)卷）

專題03三角形的證明與計(jì)算

目錄

題型01三角形與全等...........................................................................

題型02三角形與相似...........................................................................

題型03三角形邊角計(jì)算.........................................................................

中考練場(chǎng).......................................................................................

熱點(diǎn)題型歸納

題型01三角形與全等

【解題策略】

六個(gè)全等模型

幺

。

Z

I1

直

2

兩

手拉手模型

第1頁共44頁

【典例分析】

例.（2023?北京?中考真題）在4ABe中、ZB=ZC=6Z（O°<a<45°）,A"_L8C于點(diǎn)跖D

是線段MC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M,C重合），將線段。欣繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

（1汝口圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，求證：。是MC的中點(diǎn)；

（2）如圖2,若在線段2M上存在點(diǎn)尸（不與點(diǎn)8,M重合）滿足DE=DC,連接AE,EF,

直接寫出一AEF的大小，并證明.

【答案】（1）見解析（2）/4跖=90。，證明見解析

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=ZMDE=2a,利用三角形外角的性質(zhì)求出

ZDEC=a=ZC,可得DE=DC,等量代換得到DM=DC即可；

（2）延長(zhǎng)FE到X使=連接CH,AH,可得DE是V瓦〃的中位線，然后求出

/B=/ACH,設(shè)DM=DE=m,CD=n,求出防=2〃?=CH,證明1:ABFjAC”（SAS）,

得到AF=A"，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可.

【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,ZMDE=2a,

'：ZC=a,

：.ZDEC=ZMDE-ZC=a,

：.NC=/DEC,

：.DE=DC,

第2頁共44頁

:,DM=DC,即。是MC的中點(diǎn)；

(2)ZAEF=90°；

證明：如圖2,延長(zhǎng)所到“使=連接CH,AH,

??DF=DC,

二?DE是VA%的中位線，

DE//CH,CH=2DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,ZMDE=2a,

：.ZFCH=2af

'：ZB=ZC=a,

ZACH=a,ABC是等腰三角形，

:,NB=NACH,AB=AC,

設(shè)DM=DE=m,CD=n,則CH=2m,CM=m-\-n,

???DF=CD=n,

FM=DF-DM=n-m,

'：AM±BCf

BM=CM=m+n,

BF=BM-FM=m+n-(n-喻=2m,

：.CH=BF,

AB=AC

在廠和qAS中，＜ZB=ZACH,

BF=CH

：.ABF^ACH(SAS),：.AF=AH,

VFE=EH,：.AE±FHf即4E產(chǎn)=90。.

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圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中

位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解

題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在uWC和VADE中，延長(zhǎng)3C交DE于

F.BC=DE,ZBAD=ZCAE,ZACF+ZAED^180°.求證：AB=AD.

【答案】證明見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先分別證明=

ZAED=ZACB,再證明，ADE烏ABC（AAS）,即可證明AB=">.

【詳解】證明：'：ZBAD^ZCAE,

：.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,：.ZBAC=ZDAE,

,/ZACF+ZAED=180°=/Ab+NACB,ZAED=ZACB,

又：BC=DE,

：..ADE^ABC(AAS),

：.AB=AD.

2.（2022.安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖,在等腰RtAABC與等腰RtACDE中，ZACB=ZDCE=90°,

連接3。，AE相交于點(diǎn)尸，連接AD,BE,CF.

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D

(1)探究線段AE,3。有何關(guān)系？寫出結(jié)論并說明理由.

⑵若3c=3,CD=1,求臺(tái)序+短)?的值.

BF-AF

(3)直接寫出的值.

CF

【答案】(1)/a=30且AEL3。，理由見解析

(2)BE2+AD2=20

【分析】本題考查了全等三角形的常見模型一“手拉手”模型，熟記模型的構(gòu)成及結(jié)論是解題

關(guān)鍵.

(1)證—ACE之eBCD即可求解；

(2)根據(jù)BE2+AD2=(BF2+EF-)+(AF2+DF2)=(BF2+AF2)+(EF2+DF2)

=AB2+DE2=2BC2+2CD2即可求解；

(3)過點(diǎn)C作CMLCF,交3D于點(diǎn)”.證△AWWZXBCM,得AF=BM,CM=CV,即

可求解.

【詳解】(1)解：&￡=應(yīng))且4￡_1__6￡>.理由如下：

ABC和，CDE都是等腰直角三角形，

AC=BC,CE=CD,ZACB=NDCE=90°,

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即？ACE?BCD,

ACE^BCD(SAS),

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AE=BD,/CAE=ZCBD,

ZAGB=ZCAE+ZAFB,ZAGB=ZCBD+ZACB,

:.NCAE+ZAFB=NCBD+ZACB,

ZAFB=ZACB=90°,

,\AE±BD.

(2)解：由(1)知AE_LBD,

???由勾股定理得：

BE2+AD2=(BF2+EF2)+(AF2+DF2)

=(BF2+AF2)+(EF2+DF2)

=AB2+DE2

=2BC2+2CD2

=2x9+2xl

=20.

(3)解：如圖，過點(diǎn)。作CMLCF,交50于點(diǎn)M,

?；_ACE、BCD,

；?NFAC=NMBC,

'：AACF+ZMCG=ABCM+ZMCG^9G0,

：?NACF=NBCM,

：.AACF^ABCM,

第6頁共44頁

:.AF=BM,CM=CF,

:.BF=BM+MF=AF+y/2CF，

BF-AF=42CF,

CF

3.(2023?河北石家莊?一模)如圖，在11ABe中，AB=AC,ABAC=90°,。為線段8C上

一點(diǎn)，連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,作射線CE.

⑴求證：BAD^.CAE,并求NBCE的度數(shù)；

(2)若P為DE中點(diǎn)，連接AF,連接CF并延長(zhǎng)，交射線取于點(diǎn)G,當(dāng)BD=2,Z)C=1時(shí).

①求AF的長(zhǎng)；

②直接寫出CG的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見詳解；ZBCE=90°

(2)@AF=—；?CG=s/5

2

【分析】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用&4s證明BAD^CAE,得/ABC=NACE=45。，即可解決問題；

(2)①利用勾股定理求出。E的長(zhǎng)，再利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得答案；

②利用等角對(duì)等邊說明點(diǎn)廠為CG的中點(diǎn)，再利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得答案.

【詳解】(1)證明：VZBAC=ZDAE=90°,

ABAD=ACAE,

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AB=AC,AD=AE,

/.BAD^G4E(SA5).

又AB=AC,ABAC=90°,

ZABC=ZACB=45°,

QVBAD^VCAE,

ZABC=ZACE=45°,

:.ZBCE=ZACB^-ZACE=45O+45。=90。；

(2)①在H-OCE中，?:EC=BD=2,DC=1,；.DE=E,

又?；F為DE中點(diǎn),ZDAE=90°,則Ab=40E=好.

22

②在M.OCE中，/為。石的中點(diǎn)，

,\CF=-DE=—,

22

CF=AF,

ZFAC=ZFCA,

ZBAC=90°,

/.ZGAC=90°,

/.ZFAG=ZAGC,

AF=GF,

CG=2AF=75.

題型02三角形與相似

【解題策略】

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【典例分析】

例.（2023?湖南常德?中考真題）如圖，在JLBC中，AB=AC,。是3c的中點(diǎn)，延長(zhǎng)D4

至E,連接EB,EC.

⑴求證：一B4E/.C4E；

（2）在如圖1中，若=其它條件不變得到圖2,在圖2中過點(diǎn)。作。尸，AB于尸，

設(shè)”是EC的中點(diǎn)，過點(diǎn)打作“GAB交FD于G,交DE于M.

求證：①AFMH=AMAE；

②GF=GD.

【答案】（1）證明見解析

⑵①見解析，②見解析

【分析】（1）先證出AD是BC的垂直平分線，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得到座=EC,

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最后由SSS證得“54E也CAE-,

(2)①連接AH,由三角形中位線的性質(zhì)得到AT/〃。C,從而NE4H=NEDC=90。，再由

DF±AB,HGAB,得到NE4D=/4MH,可證得△AFD^AMAH,從而

AFMH^AMAD,又AE=AD,等量代換即可；

②先證明再由A”為的中位線，得到AM=▲4￡>,從而對(duì)為4。

2

中點(diǎn)，由于G為ED中點(diǎn)，故得證GR=GE>.

【詳解】(1)證明：；AB=AC,O是BC的中點(diǎn)，

AD是8C的垂直平分線，

又在AD上，

EB=EC,

在八54E和VC4E中，AB=AC,EB=EC,AE=AE

：.ABAE1空△C4E(SSS)

(2)證明：①連接AH,

VAH分別是和EC的中點(diǎn),

,AH為△EDC的中位線，

，AH//DC,

NEAH=NEDC=90°,

又：DF±AB,

：.ZAFD=9Q°,

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又,：HGAB,

ZFAD=ZAMH,

在△ATO和/M4H中，ZAFD=ZMAH=90°,ZFAD=ZAMH,

???/\AFD^/\MAH，

.AFAD

?'-AF-MH=AMAD,

又???AE=AT),

JAF-MH=AMAE；

②在一4Vff/和△ZMC中，ZMAH=ZADC=90°f

???AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

DF±AB,

：.ZFAD+ZADF=90°,

9：ZABD^-ZFAD=90°,

：?NABD=ZADF,

???AB//HG,

：.ZAFD=ZHGD=90°,

■:ZAMH=/GMD,

ZAHM=ZADF,

JZABD=ZADF=ZAHM,

：.ZAHM=ZACB,

JAAMH^/\DAC，

又TA、H分別為E。和EC中點(diǎn),

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，AH為的中位線，

.AMAH1

"AD"DC_2）

/.AM=-AD,即河為AD中點(diǎn)，

2

又：AF//GH,

，G為FD中點(diǎn)，

:.GF=GD.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線

的判定和性質(zhì)、三角形中位線的定義和性質(zhì)，熟練掌握相應(yīng)的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023九年級(jí)?安徽?專題練習(xí)）如圖，在等腰Rt^ABC中，41cB=90。，E為BC邊上

一點(diǎn)，。為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，S.CE=CD,連接BD,DE,AE,延長(zhǎng)AE交于點(diǎn)G,

。為AD的中點(diǎn)，P為射線OE上一點(diǎn)，連接。尸，交AG延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,且PD=BD.

(1)求證：ACE^.BCD

（2）若G為的中點(diǎn)，求"的值;

⑶在（2）的條件下，當(dāng)DE_LOP時(shí)，求證：DE2=EGBD.

【答案】（1）見解析

（3）見解析

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【分析】(1)本題考查三角形全等的判定，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)的到邊相等角相等，結(jié)

合CE=CD即可得到證明；

(2)本題考查三角形相似的性質(zhì)與判定，證明/E3G=/￡>3C,結(jié)合三角形全等的性質(zhì)得

至L3GES&3c。即可得到答案；

(3)本題考查三角形相似的性質(zhì)與判定，延長(zhǎng)EO至點(diǎn)/，使得OE=OF,連接。尸，先證

AAOE^ADOF,再證一。GEs：/>E￡),即可得到答案；

【詳解】(1)證明：：在等腰中，ZACB=90°,

AC=BC,/BCD=90°,

ZACB=ZBCD=90°,

CE=CD,

ACE當(dāng)BCD-,

(2)解：由(1)知aACE四一BCD,

ZEAC=ZDBC,AE=BD,

ZBEG=ZAEC,

ZBEG+ZDBC=ZAEC+ZEAC=90°,

NEGB=180°-90°=90°,

G為8。的中點(diǎn)，

AG垂直平分BD,

BE=DE,

在RtC即中，BE=DE=ylCE2+CD2=y[2CD^

/EBG=/DBC,

，BGEsBCD,

.BG_BCBE+CE_16+?CD0?1

'EG~CD~CD~CD~

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，空=變=理=2(0+1)；

EGEGEG')

(3)證明：如圖，延長(zhǎng)EO至點(diǎn)方，使得。石=。/，連接DF,

AO=OD,ZAOE=ZDOF,

/.△AOE^ADOF,

ZF=ZAEO.DF=AE,

由(1)可知5Z)=AE=PD,

DF=PD,

：.ZF=ZP,

ZAEF=ZPEQ,

：.NP=/PEQ,

DELOP,

ZPEQ+ZQED=90°,

由(2)可知AG_L3D,

/.NQED+ZEDG=90°,ZPED=ZDGE=90°,

:./P=/EDG,

DGEsPED,

.DEEG

'~PD~~DE'

:.DE?=EGPD,

即DE?=EGBD.

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BP

2.（2023?上海虹口?一模）如圖，在ABC中，已知點(diǎn)。、E分別在邊3C,AB上，EC和A。

相交于點(diǎn)F,NEDB=ZADC,DE2=DFDA.

⑴求證：ABDs_ECD；

⑵如果NACB=90。，求證：FC=^EC.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】⑴證明：???小2=。尸./M,

.DEDF

??一，

ADDE

,/ZFDE=ZEDA,

:?aDEF^￡,DAE,

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/DAE=ZDEF,

?：/EDB=ZADC,

：.ZADB=ZCDE,

：.ABD^ECD；

(2)由(1)知，,ABD^_ECD,

：.ZB=ZECD,

：.BE=CE,

9：ZACB=90°,

J/BAC+/B=/BCE+ZACE,

:.ZBAC=ZACE,

：.AE=BE=CE,

取AD的中點(diǎn)G,連接CG,

???NGDC=/GCD,

：.Z￡)GC=180o-2ZAr)C,

,/ZBDE=ZADC,

：.Z/WE=180°-2ZAZ)C,

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ZADE=NCGF,

由（1）知，GEFsQAE,

：.ZAED=ZDFE,

?.*ZDFE=ZCFG,

：.ZAED=ZCFG.

；?ACGFS±ADE,

,CGCF1

…AD~~AE~2'

CF=-AE,

2

??.FC=-EC.

2

3.（2024.上海普陀.一模）已知：如圖，在J1BC中，點(diǎn)。在邊3C上，ZADE=ZB,

/EAF=/FDC,DE與AC交于點(diǎn)F.

小卡f

⑴求證：法AB=A運(yùn)D；

⑵連接BF,如果AB2=AFAC,求證：ADBC=AEBF.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

Af{AFI

（1）證明△ADES^ABC,即可得出31=嘿

ACAE

（2）先推導(dǎo)出普=哭，證明△ABFs^ACiS,得蕓=整，即可證明當(dāng)進(jìn)而

ACABACBCAEBC

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得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：NEAF=NFDC,ZAFE=NDFC,

/EAF+ZAFE+NE=180。=/FDC+NDFC+ZC,

.\ZE=ZC,

在VAT處和ABC中，

（ZADE=ZB

[ZE=ZC'

：.AADE^AABC,

.ABAD

AC-AE

(2)證明:如圖:

2.ABAF

VAB=AFAC,.1

ACAB

ADBF

?：NBAF=NCAB,：.AABF^AACB,——=——,

ACBC

..ABAD.AD_BF

:.ADBC=AEBF.

*AC-AE

4.(2023?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))在4A05和△COD中，ZAOB=ZCOD=90°,直線AC與BD

交于點(diǎn)M.

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cc

%

M

A

圖1圖2

(1)如圖1,^ZOAB=ZOCD=45°,求證：AC=BD；

(2汝口圖2,^ZOAB=ZOCD=30°,寫出BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)如圖2,若ZOAB=ZOCD=a,請(qǐng)直接寫出3D與AC的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示).

【答案】(1)證明詳見解析;

(2)BD=—AC,理由見解析

3

(3)BD-ACtana

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),正切的定義;

(1)證明..AOC注BORSAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證;

(2)證明一AOC^BOD,即可得證;

(3)依題意，得出簫濟(jì)力，證明-AOCs..,則梟豢熹，即可得出結(jié)

論

【詳解】(1)證明：QZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=45°,

：.ZOCD=ZODC=45°,ZOAB=ZOBA=45°,

:.ZAOC=ZBOD,

在AAOC和ABOD中,

OA=OB,

ZAOC=乙BOD,

OC=OD

AOC與BOD(SAS),

第19頁共44頁

.0.AC=BD；

(2)解:結(jié)論：BD=-AC.

3

理由：如圖2中QNAO3=NCOD=90。，ZOAB=ZOCD^30°,

AO=60B,CO=-J3OD,

.AOCO

"麗一麗’

QZAOB=ZCOD=90°,

:.ZAOC=ZBOD,

.?.△AOCSABOD,

BDOB

:.BD=—AC-,

3

(3)解：結(jié)論：BD=AC\ana.

理由：QZAOB=ZCOD=90°,AOAB=Z.OCD=a,

:.OB=OAtana,DO=COtana,

?A。_CO_1

OBDOtana'

ZAOB=ZCOD=90°,

.\ZAOC=ZBODf

:.AAOC^ABOD,

?_1

BDOBtana，

BD=ACtana.

第20頁共44頁

題型03三角形邊角計(jì)算

【解題策略】

勾股定理常見折疊模型:

【典例分析】

例.(2022.四川資陽?中考真題)如圖，在中(AB<BC),過點(diǎn)C作CE>〃A3,在CO

上截取CD=CB,CB上截取CE=AB,連接DE、DB.

⑴求證：△AB8AECD；

(2)若/A=90。,42=3,2。=2指，求ABCD的面積.

【答案】(1)證明見解析(2)SAS=10

第21頁共44頁

【分析】（1）根據(jù)AB〃C￡>,可以得到NABC=NECD,即可用SAS證明得出結(jié)論；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可以得到NCE￡>=NA=90。，設(shè)3E=x,則CD=3C=3+x,

因?yàn)樵赗tABED中，DE2=BD2-BE2,而在Rt..CEO中，DE2=CD2-CE2,即可列出方

程求出三角形的面積.

【詳解】（1）證明：VAB//CD,；.ZABC=ZECD

又；AB=CE,BC=CD,；.ABC=ECD（SAS）；

（2）由（1）zXABC四△ECD,ZC￡D=ZA=90°,

設(shè)3E=x,VAB=CE=3,貝l|CD=8C=3+x,

在RIBBED中，DE2=BD2-BE2，

在Rt_CE?中，DE2=CD2-CE2,BD2-BE2=CD2-CE2,

即（26）2-/=（尤+3）2-32,整理得:爐+3%-10=0,解得：占=2,無2=-5（舍去），BE=2,

：.DE=/2#=4,BC=BE+CE=2+3=5,：.S%。=；xBCxOE=gx5x4=10.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解一元二次方程，用方程

思想解決幾何問題是本題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?湖北黃岡?一模）如圖，在RtZXABC中，NABC=90o,NC=30。，點(diǎn)。在8C上，

且砒>=AB,E為AO的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)

⑴求NAFE■的度數(shù)；

（2）若AC=4,求AD的長(zhǎng).

【答案】⑴75。⑵2e

第22頁共44頁

【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一求出/D3E=45。,再由三角形的外角和定理求解

即可；

（2）30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得A3=1AC=2,再由勾股定理即可求解.

2

【詳解】（1）解：BD=AB,ZABC=90°,

,ABD為等腰直角三角形，

:.ZBAD^ZBDA=45°.

E為4D的中點(diǎn)，

.?.3￡為445。的中線，且

ABE1與△■BDE■均為等腰直角三角形，

.-.ZDB￡=45°,

ZAFE=ZC+ZDBE=30°+45°=75°；

（2）.AC=4,ZC=30°,ZABC=90°,

AB=-AC=2,

2

又.BD=AB,

AD=y/AB2+BD2=2A/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一，三角形的外角和定理，含30。的直角三角形，勾

股定理，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題關(guān)鍵.

2.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AE平分NC4B交CB

于點(diǎn)E,CDLAB于點(diǎn)D,交AE于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作G/〃3c交A3于尸，連接E尸.

⑴求證：CG=CE；

第23頁共44頁

(2)若AC=3cm,5C=4cm,求線段￡>G的長(zhǎng)度.

【答案】⑴見解析⑵木9

【分析】本題考查等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形

的判定與性質(zhì)，勾股定理解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法，能夠通過勾

股定理列方程.

(1)根據(jù)角平分線的定義可得歸=/&歸，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，可得

ZCAE+ZCEA=ZBAE+ZAGD=90°,等量代換可得/CE4=NAGD=/CGE,即可證明

CG=CE；

(2)先證.AGC會(huì)AGF(ASA),推出CG=FG,結(jié)合(1)中結(jié)論可得(石=/&,結(jié)合

G/〃BC可證四邊形CGEE是平行四邊形，結(jié)合CG=CE可證CGFE是菱形，根據(jù)勾股定

理可得AB=5cm,根據(jù)aAGC=可得AF=AC=3cm,進(jìn)而求出Bb=2cm,再根據(jù)

菱形的性質(zhì)推出5F//CG,進(jìn)而證明設(shè)CE=EF=CG=GF=x,用勾股定理解

RtAEFB求出x,再利用面積法求出CD,即可求出DG的長(zhǎng)度.

【詳解】(1)證明：AE平分/。山，

ZCAE=ZBAE,

ZACfi=90°,CDLAB,

：.Z.CAE+ACEA=NBAE+ZAGD=90°,

ZCEA=ZAGD,

又〔ZCGE=ZAGD,

..ZCEA=ZCGE,

CG=CE；

(2))解：GF〃BC,

:.ZCEG=ZEGF,

由(1)知NCEA=/CGE,

:.ZCGE=ZEGF,

第24頁共44頁

:.ZAGC=ZAGF,

AG=AG,ZCAE=ZBAE,

AGC^.AGF(ASA),

:.CG=FG,

由(1)知CG=CE,

:.CE=FG,

GF〃BC,

..CE//FG,

???四邊形CGFE是平行四邊形,

CG=CE,

二.四邊形CGEE是菱形；

在RtZXABC中，ZACB=90°,

AC=3cm,BC=4cm,

AB=VAC2+BC2=5cm，

AGC^AGF,

/.AF=AC=3cm,

.'.BF=AB-AF=2cm,

??四邊形CGFE是菱形，

..EF//CG,

CD^AB,

:.EF±AB,

^CE=EF=CG=GF=x^,

BE=BC-CE=(4-x)cm,

第25頁共44頁

在RtZkEFB中，根據(jù)勾股定理得:

EF2+BF2=BE2,

x2+22=(4-x)2,

解得尤=：3,

3

CG=-cm,

2

SMBCBC=^ABCD,

3x4=5CD,

.-.CO=y(cm),

1239

:.GD=CD-CG=——-=—(cm).

5210

3.(2023?安徽?模擬預(yù)測(cè))某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)四邊形進(jìn)行了如下探究：在四邊形ABC。中,

對(duì)角線AC,2。相交于點(diǎn)O.

⑴如圖1,若AC13D,求證：AD2+BC2=AB2+CD2；

(2)如圖2,若AC=a,BD=b,NAOB=a(a為銳角)，求四邊形ABC。的面積；(用含a,6,a

的代數(shù)式表示)

(3汝口圖3,^BC^AB+CD,ZABC=ZBCD=60°,AC=2,求四邊形ABC。的面積.

【答案】(1)見解析

(2)g〃bsina

⑶石

第26頁共44頁

【分析】本題考查了全等三角形、勾股定理、三角函數(shù)，最后一問由已知條件聯(lián)想截長(zhǎng)補(bǔ)短

的輔助線，可發(fā)現(xiàn)圖中隱藏的“手拉手”全等，從而解決問題.

(1)由垂直定理得/48=/403=々0。=/。8=90。，再根據(jù)勾股定理

AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,即可解答.

(2)過點(diǎn)。作ZV，AC于點(diǎn)J,過點(diǎn)B作3K，AC于點(diǎn)K.根據(jù)S四邊形鉆。=S*?+SACB即

可解答.

(3)在BC上取點(diǎn)G,使3G=AB,連接AG,DG,H為BD,AG的交點(diǎn)，先證明

ABGD^AAGC,再證明NAO3=NAG3=60°即可.

【詳解】(1)ACABD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=NCOD=90°.

由勾股定理，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

:.AD2+BC2=AB2+CD2.

(2)過點(diǎn)。作DJ,AC于點(diǎn)J,過點(diǎn)8作3K_LAC于點(diǎn)K.

S四邊形ABCD=^AACB+SAACB=QAC.+—AC-BK,

=—a-DO-sma+—a-BO,sina=—asina?(DO+BO、

222v7

1.

=—ab7smoc.

2

(3)如圖，在BC上取點(diǎn)G,使BG=AB,連接AG,DG,H為BD,AG的交點(diǎn)。

第27頁共44頁

A

BC=AB+CD=BG+CG,

.CD=CG,

ZABC=ZBCD=60°,

.ABG與-CDG均為等邊三角形，

.AG=BG,DG=CG,ZAGB=ZCGD=60°,

NAG。=60。，

:.ZBGD=ZAGC=120°,

/.BGD^AGC(SAS),

：.BD=AC=2,NGBD=NGAC,

又二ZAHD=/BHG,

.\ZAOB=ZAGB=60°,

由（2）知S如訪%am二』AC.5O-sin/AOB=Lx2x2x^=百.

四也形ASG0222

4.（2024?山西朔州?一模）綜合與實(shí)踐

在ABC中，A8=AC,D為邊3C的中點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作NMDN=/B.

（1）如圖1,當(dāng)射線ON經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交邊AC于點(diǎn)E,不添加輔助線，則圖①中與VADE

相似的三角形有.（填序號(hào)）

第28頁共44頁

①△ABO②AWC③，ABC@ADCE

(2)如圖2,將繞點(diǎn)。沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，?！?加分別交線段4。,48于點(diǎn)￡,(點(diǎn)

E與點(diǎn)A不重合)，求證：ABDFS&DEF.

(3)在圖2中，若AB=AC=5,BC=6,當(dāng)」郎的面積等于ABC的面積的!時(shí)，求線段所

的長(zhǎng).

【答案】(1)①②④

(2)見解析

(3)2.5

【分析】本題考查了和相似有關(guān)的綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有三角形相似的判定和性質(zhì)、

等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵，解答時(shí)，要仔細(xì)觀察圖形、選擇合適的判定方法，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；

(2)利用已知首先求出/8ED=/CDE,即可得出再利用相似三角形的

性質(zhì)得出=得出，.CEDSOEP,進(jìn)而得出.

(3)首先利用1)跖的面積等于_ABC的面積的求出D”的長(zhǎng)，進(jìn)而利用的值求

4

出石尸即可.

【詳解】(1)解：AB=AC,。為5c的中點(diǎn)，

:.AD±BC,ZB=NC,ZBAD=ZCADf

又-ZMDN=ZB,

ADES.ABD,故①正確；

同理可得：AADE^AACD,故②正確；

ZMDN=ZB,/B+NBAD=900,ZMDN+ZEDC=90°,

.\ZBAD=ZEDC,

,:ZBAD=ZDAE

第29頁共44頁

???/DAE=/EDC

ZMDN=ZC,

:.一ADES_DCE,故④正確；

在VAD石與ABC中只有NMDN=N3或NMDN=NC,故不能判定VAD石與ABC相似.

圖①中與VAD石相似的三角形有①②④.

(2)證明：ZB+ZBFD=ZCDF=ZMDN+ZCDE,ZMDN=ZB

\1BFD2CDE,

由AB=AC,得NB=NC,

/.BDFsCED.

.BDEC

'~DF~~DE

BD=CD,

.CDEC

,DF-DE,

又?ZB=NEDF,

/.CED^DEF.

/\BDFs/\DEF.

(3)解：連接AD,過。點(diǎn)作OGLEF,DHVBF,垂足分別為G,H.

AB=AC=5,。是BC的中點(diǎn)，:.ADLBC,BD=-BC=3.

2

在RtZXABD中，AD=y/AB2-BD2=>j52-32=4-

第30頁共44頁

??SZ^AABoC=—2BC-AD=—2X6X4=12.ZAzJzi/*=—4SAZA4ARorC=—.xl2=3.

BD

又：LAD?BD=LAB?DH,DH=^=^1=2,4

22AB5

BDFs、DEF,ZDFB=ZEFD

QDG1EF,DH工BF,.\DH=DG=2A.

3

i?FF=___=75

StDEF=-xEFxDG=3f?,1,.

2

中考練場(chǎng)

1.（2023?青海西寧?中考真題）如圖，在YABCD中，點(diǎn)E,尸分別在A3,。的延長(zhǎng)線

上，且BE=DF,連接與AC交于點(diǎn)連接AF,CE.

⑴求證：AAEM冬ACFM；

（2）若AC,防，AF=36，求四邊形AECF的周長(zhǎng).

【答案】（1）見解析（2）12夜

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出"DC,AB=￡>C,進(jìn)而得出N/㈤0=NCFM,

證明AE=CF,根據(jù)AAS證明絲△。物，即可得證；

（2）證明cAEC廠是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】（1）證明：二?四邊形A3CD是平行四邊形

AABDC,=（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）

第31頁共44頁

：.ZAEM=ZCFM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

,/BE=DF

AB+BE=CD+DF即AE=CF

在和中

ZAME=ZCMF

<NAEM=NCFM

AE=CF

：.AAEM^/\CFM（AAS）；

（2）解：VAE^CF,AE//CF

，四邊形AECF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

又：ACYEF

，.4ECT是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

：.AE=EC=CF=AF（菱形的四條邊都相等）

菱形AECF的周長(zhǎng)=4AF=4X3A/2=120.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，熟

練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?四川甘孜?中考真題）如圖，在RtABC中，AC=8C=3&，點(diǎn)。在AB邊上,

連接CD,將CO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接BE,DE.

⑴求證：一CAD^CBE；

（2）若AT>=2時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)。在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究的^+或）?的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小

第32頁共44頁

值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵所

⑶存在，18

【分析】(1)由SAS即可證明,.CAZ汪.CBE；

(2)證明④皿)空CBE(SAS),勾股定理得到DE,在Rt_CDE中，勾股定理即可求

解；

(3)證明ACP+BD?=2CE)2,即可求解.

【詳解】(1)解：由題意，可知NACB=/OCE=90。，CA=CB,CD=CE.

ZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB.

即ZACD=NBCE.

CAD^C阻SAS).

(2)-「在Rt.ABC中，AC=BC=3版,

NCAB=ZCBA=45°,AB=6AC=6.

:.BD=AB-AD=6-2=4.

CAD^CBE,

:.BE=AD=2,ZCBE=ZCAD=45°.

ZABE=ZABC+ZCBE=90°.

DE=^BEr+BE1=2出■

r)p.—

??.在Rt2\CDE中，C￡=CD=-^=V10.

(3)由(2)可知，AD2+BD2=BE2+BD2=DE2=2CD2.

當(dāng)CD最小時(shí)，有AD?+.2的值最小，此時(shí)CDLAB.

第33頁共44頁

ASC為等腰直角三角形，，CO=gAB=gx6=3.

AD2+BD2=2CZ)2>2X32=18.即4)?+即2的最小值為18.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角

形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?山東濰坊?中考真題)如圖，在..ABC中，CO平分/ACB,AELCD,重足為點(diǎn)

E,過點(diǎn)E作EF〃BC、交AC于點(diǎn)RG為BC的中點(diǎn)，連接FG.求證：FG^AB.

2

【答案】證明見解析

【分析】如圖，延長(zhǎng)AE交BC于H,證明二ACE四..HCE(ASA),則AE=E"=；A”，證

明二皿則=即笠=：，解得AC=2AF,即尸是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)G是

ACAHAC2

ABC的中位線，進(jìn)而可得/G=；AB.

【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)AE交BC于"，

平分，ACB,AE1CD,

：.ZACE=NHCE,ZAEC=ZHEC=90°,

?：ZACE=NHCE,CE=CE,ZAEC=NHEC=9。。，

第34頁共44頁

4ACE^.HCS(ASA),

AE=EH=-AH,

2

?/EF//BC,

：.ZAEF=ZAHC,ZAFE=ZACH,

?LAEF^AHC,

即槳=；，解得AC=2AF,

ACAHAC2

二尸是AC的中點(diǎn)，

又：G是8C的中點(diǎn)，

二戶6是_45。的中位線，

/.FG=-AB.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位

線.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

4.（2023?山東聊城?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=CD,

ZB=ZAED=ZC.

⑴求證：ZEAD=ZEDA-,

⑵若NC=60。，OE=4時(shí)，求△AEO的面積.

【答案】⑴見解析⑵4石

【分析】（1）由NB=NAED求出NBAE=NCED,然后利用AAS證明BAE=.CED,可得

EA=ED,再由等邊對(duì)等角得出結(jié)論；

第35頁共44頁

（2）過點(diǎn)E作￡F1AD于凡根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30。直角三角形的性質(zhì)求出。尸和

AD,然后利用勾股定理求出所，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：：=

180°-ZB=180°-ZAED,即ZBEA+ZBAE=ZBEA+ZCED,Z.ZBAE=ZCED,

ZB=ZC

在，54E和△CED中，，/BAE=/CE。，

BE=CD

.BAE=CED（AAS）,

AEA=ED,：.ZEAD=ZEDA-,

（2）解:過點(diǎn)E作所工AD于凡由（1）知￡A=ED,

VZAED=ZC=60°,:.ZAEF=NDEF=30。,

VDE=4,:.DF」DE=2,

2

AAD=2.DF=4,EF7DE，-DF?=收-2?=26，

/.S=-A￡>.EF=-X4X2A/3=4^.

,AFn22

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含

30。直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確尋找證明三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?廣西?中考真題）如圖，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。，￡,E分別在邊AB,

BC,C4上運(yùn)動(dòng)，滿足AD=3E=CF.

第36頁共44頁

c

⑴求證：ADF^,BED;

（2）設(shè)AD的長(zhǎng)為x,的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述一DEF的面積隨AZ）的增大如何變化.

【答案】（1）見詳解

Q）y=空亡-3瓜+4力

4

（3）當(dāng)2<x<4時(shí)，。即的面積隨AD的增大而增大，當(dāng)0<x<2時(shí)，。即的面積隨AQ的

增大而減小

【分析】（1）由題意易得=ZA=ZB=60°,然后根據(jù)“SAS”可進(jìn)行求證；

（2）分別過點(diǎn)。、尸作CH，AB,/AB,垂足分別為點(diǎn)H、G,根據(jù)題意可得S甌=4上,

AF=4-x,然后可得/G=#（4—x）,由（1）易得，ADF均BED白、CFE,則有

h

SADF=SBED=CFE=^X^~X）進(jìn)而問題可求解；

（3）由（2）和二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】⑴證明：是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

AZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=4,

,:AD=BE=CF,

；?AF=BD=CE,

AF=BD

在△A￡）尸和中，</A=/