拋物線 學(xué)案-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課48拋物線

考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)

拋物線的定義2023年天津卷T12邏輯推理

了解★★☆

和標(biāo)準(zhǔn)方程2019年全國H卷(理)T8數(shù)學(xué)運(yùn)算

2023年新高考H卷T10邏輯推理

拋物線的幾何

了解2023年全國乙卷(理)T13★★★數(shù)學(xué)運(yùn)算

性質(zhì)

2023年全國乙卷(文)T13直觀想象

從近幾年高考的情況來看，拋物線一直是高考命題的熱點(diǎn)，選擇

題、填空題的復(fù)習(xí)要關(guān)注拋物線的定義、焦點(diǎn)弦的性質(zhì)在解題中

命題分析預(yù)測的應(yīng)用;解答題的復(fù)習(xí)要關(guān)注設(shè)而不求以及根與系數(shù)的關(guān)系在解

題中的應(yīng)用.另外本基礎(chǔ)課內(nèi)容易設(shè)置多選題，所以在備考中，

要注意多選題的訓(xùn)練，做到全面高效的復(fù)習(xí)

【基礎(chǔ)知識?診斷】

i/H夯實(shí)基礎(chǔ)'

一、拋物線的定義

1.定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1(1不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離①相等的

點(diǎn)的軌跡.

2.焦點(diǎn)：②點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn).

3.準(zhǔn)線：③直線1叫作拋物線的準(zhǔn)線.

【提醒】定義中易忽視“1不經(jīng)過點(diǎn)F”這一條件，當(dāng)1經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，動點(diǎn)的軌跡是

過定點(diǎn)且與定直線垂直的直線.

二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

y2=_

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

2px(p>0)

圖形

頂點(diǎn)0(4)(0,0)

對稱軸⑤_X軸_⑥y軸

隹八'、占八、、F督，°)F得°)F(0,F(。，與

離心率e=?_1_

準(zhǔn)線

-p

X=-zyv—2y=2

方程

x>0,x<0,y>0,y<0,

范圍

y￡Ry￡Rx￡Rx￡R

開口方向向右向左向上向下

焦半徑

(其中P(xo)

|PF|=

|PF|=(DJCO±2_

yo)|PF|=(9)-x0+g|PF|=?^o+|

-yo+l

為拋物線上

任一點(diǎn))

?知識,一拓展?

拋物線的幾個(gè)常用結(jié)論

設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，則

1.以|AB|為直徑的圓M與準(zhǔn)線相切；

2.以|AF|為直徑的圓C與y軸相切；

3.以|BF|為直徑的圓D與y軸相切；

4.圓C與圓D外切，圓C與圓D均與圓M內(nèi)切.

一AM-診斷自制心」

題組?走出誤區(qū)

L判一判.(對的打’7”,錯(cuò)的打“x”)

⑴平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.

⑵方程y=ax2(a邦)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(；，0

),準(zhǔn)線方程是x=?()

(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.()

(4)AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F6，0)的弦，若A(xi,yi),B(x2,yi),

則xiX2=(，yiy2=-p2,弦長|AB|=xi+x2+p.()

答案(l)x(2)x(3)x(4)7

2.(易錯(cuò)題)已知P為拋物線x2=12y上的一個(gè)動點(diǎn)，Q為圓(x-4>+y2=l上一個(gè)動

點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之和的最小值為.

【易錯(cuò)點(diǎn)】本題在將點(diǎn)P到x軸的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離時(shí)容易

出現(xiàn)錯(cuò)誤.

答案1

解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,3),圓心坐標(biāo)為S(4,0),點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射

影為R,

貝［PQ閆PSHQS|=|PS|-1,

因?yàn)閨PR|=|PF|,所以|PQ|+|PR囹PS|+|PF卜1,

因?yàn)閨PS|+|PF閆FS|=J(0_4,+32=5,所以|PQ|+|PRR5-1=4,當(dāng)且僅當(dāng)F,P,Q,S

共線且依序排列時(shí)取等號，所以點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之和的

最小值為4-3=1.

題組?走進(jìn)教材

3.(多選題)(人教A版選修①P135?思考改編)過點(diǎn)M(2,-2a)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

為().

A.y2=4xB.x2=-4yC.x2=-V2yD.y2=-V2x

答案AC

解析當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),則8=4p,

解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)拋物線

的方程為x2=-2py(p>0),將點(diǎn)M(2,-2V2)代入，得4=4VSp,解得p=#,所以拋

物線的方程為x2=-V2y.故選AC.

4.(蘇教版選修①P104.T5改編)若拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,

則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是.

答案j|

2

解析設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM,拋物線y=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,需)，則YM+1=1，

1_15

yM-i市一田

所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，

題組?走向高考

5.(2023?北京卷)已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上.若M到直線x=-

3的距離為5,則|MF|=().

A.7B.6C.5D.4

答案D

解析因?yàn)閽佄锞€C：y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,點(diǎn)M在C上，

所以M到準(zhǔn)線x=-2的距離為|MF|,又M到直線x=-3的距離為5,所以|MF|+1=5,

故|MF|=4.故選D.

【考點(diǎn)聚焦?突破】

考片一拋物線的定義及應(yīng)用

1.若動點(diǎn)M(x,y)滿足方程5J(x_i，+(y_2)2=|3x+4y+12],則點(diǎn)M的軌跡是().

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

答案D

解析由5扃+°一彳邛x+4y+12|得扃，+(y-2:4學(xué)與

等式左邊表示點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(1,2)之間的距離，等式的右邊表示點(diǎn)(x,y)到直線

3x+4y+12=0的距離，整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(1,2)的距離和到直線

3x+4y+12=0的距離相等，且點(diǎn)(1,2)不在直線3x+4y+12=0上，所以其軌跡為拋

物線.故選D.

2.(2023?全國乙卷)已知A(l,V5)在拋物線C：y?=2px上，則點(diǎn)A到拋物線C的

準(zhǔn)線的距離為

答案I

解析因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以（歸2=2pl解得2P=5,則拋物線方程為y2=5x,

其準(zhǔn)線方程為x=[,則點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

3.設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若B（3,2）,則|PB|+|PF|

的最小值為.

答案4

解析如

圖，過點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)Pi,連接PiF,則

|PiQ|=|PiF|.又F（l,0）,所以|PB|+|PF以PiB|+RQ|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值為

4.

。方法總結(jié)口口口

拋物線定義應(yīng)用的三種類型及解題策略

軌跡用拋物線的定義可以確定與定點(diǎn)、定直線的距離有關(guān)的動點(diǎn)軌跡是否

問題為拋物線

距離靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離間的等價(jià)轉(zhuǎn)

問題化

將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)（準(zhǔn)線）的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線（焦點(diǎn)）的距離，

最值

構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”或利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段

問題

最短”求解問題

【注意】利用定義時(shí)一定要驗(yàn)證“定點(diǎn)”是否在“定直線”上Q。。

考廣二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

典例1求分別滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為y=4；

(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)(-3,2)；

(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上；

(4)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)A(3,m)到焦點(diǎn)的距離為5.

解析(1)由頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為y=4,可知拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上,

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0),且畀4今p=8,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-

16y.

(2)由頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)(-3,2),則拋物線焦點(diǎn)可能在y軸正半軸或x軸負(fù)半軸

上，則設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0)或y2=-2p*(p50),分別將(-3,2)代入，

求得PgP'=|，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=|y或y2=gx.

(3)由于直線3x-4y-12=0與x軸的交點(diǎn)為(4,0),由題意可知拋物線焦點(diǎn)為(4,0),

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),則白40p=8,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x.

(4)設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),焦點(diǎn)為償0),準(zhǔn)線方程為x=g,由題意知，

拋物線焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)A(3,m)到焦點(diǎn)的距離為5,得3-

=5np=4,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.

。方法總結(jié)口口口

求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法

定根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合

義

法

焦點(diǎn)位置求出拋物線方程

待若題目未給出拋物線的方程，對于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)

定

系

數(shù)一設(shè)為y2=ax(a/)),a的正負(fù)由題設(shè)來定；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

法

程可設(shè)為x2=ay(a#)),這樣減少了不必要的討論

CCC

針對訓(xùn)練

1.(2024?新疆模擬)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)也是雙曲線x2-y2=p的一個(gè)焦點(diǎn),

則此拋物線的方程為().

A.y2=32xB.y2=16x

C.y2=8xD.y2=4x

答案B

解析拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為6，0),雙曲線x2-y2=p可化簡為2*1,其

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土歷，0),由題意可得如四，即訴=2q，解得p=8,則此拋物線的

方程為y2=16x.故選B.

2.(2024?浙江模擬)寫出一個(gè)既與直線x+l=0相切，又和圓x2+y2-4x+3=0外切的圓

的圓心坐標(biāo)：.

答案(2,4)(答案不唯一，只要圓心坐標(biāo)(a,b)滿足b2=8a即可)

解析設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b),將圓x2+y2-4x+3=0化為(x-2)2+y2=l,其圓心為(2,

22

0),半徑為1,由題意得，a+l=J(a_2)+b-l,即a-(-2)=J(a_2,+b2,

故圓心(a,b)到(2,0)的距離與到直線x=-2的距離相等，

所以圓心的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn)的拋物線，故b2=8a,圓心坐標(biāo)滿足該式即可.

考V三拋物線的簡單幾何性質(zhì)

典例21(1)(多選題)(2023?新高考n卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=W(x-l)過拋物線

C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M,N兩點(diǎn)，1為C的準(zhǔn)線，則().

A.p=2

B.|MN|=|

C.以MN為直徑的圓與1相切

D.AOMN為等腰三角形

(2)(多選題)(2022.新高考I卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(l,1)在拋物線C：

x2=2py(p>0)±,過點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則().

A.C的準(zhǔn)線方程為y=-lB.直線AB與C相切

C.|OP||OQ|>|OA|2D.|BP||BQ|>|BA|2

答案(1)AC(2)BCD

解析⑴對于A,在y=-6(x-l)中令y=0,得x=l,所以拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),

所以§=1,所以p=2,故A正確;

對于B,由A知，拋物線的方程為y2=4x,則由，2匚f(x-D

Z1_

得二張或能12遍不妨設(shè)M&竽)，N(3,一2揚(yáng),

則由拋物線的定義，得|MN|=XM+XN+P=竽，故B不正確；

對于C,由B可知，以MN為直徑的圓的圓心為點(diǎn)僅，-竿)，半徑為|,又拋物

線的準(zhǔn)線1的方程為x=g=-l,圓心到準(zhǔn)線1的距離為|-(-1)吟所以以MN為直

徑的圓與1相切，故C正確；

對于D,因?yàn)閨ON|=[32+(—2例2=VITWMN],所以由拋物線的對稱性知△OMN

不是等腰三角形，故D不正確.故選AC.

1

得P-

(2)：點(diǎn)A(l,1)在拋物線C：x2=2py上，.-.l=2p,2

???準(zhǔn)線方程為y=JA不正確.

直線AB的方程為y=2x-L由R二i得x2-2x+l=0,

VA=(-2)2-4xl=0,I.直線AB與拋物線C相切，B正確.

設(shè)直線PQ的方程為丫=叁-1,P(xi,yi),Q(X2,y2).

由二：，1x2-kx+1=0,/.A=k2-4>0,得|k|>2,

(y=kx—1,

?.X1+X2=k，X1X2=1.

424

V|0P|-|0Q|-k+y2.++X1X2+X2

22+42+24+44

-X1X2X1X2X1X2X1X2-

22

4+(xj+x2),2x1x2=j2+k_2=|k|>2.

又?.?|OA|2=1+1=2,.-.|OP|.|OQ|>|OA|2,C正確.

|BA|2=1+(1+1)2=5,

|BP|.|BQ|=Jx彳++1)2.Jx,+02+1)2=Jx彳+(X彳+1)2?舊+6+1)2=

Jx；+3x^+1?Jx,+3x5+1=Jxf+X2+6xf+6x5+11=J(X彳+x52+6(x；+x務(wù)+9

22

=Lxf++3?=l(xi+x2)-2xiX2+3|=k+l>5,

.,.|BP|-|BQ|>|BA|2,D正確.

故選BCD.

。方法總結(jié)口口口

拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧

1.利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方

程；

2.要注意利用幾何圖形形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線

的問題，注意拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與