教師資格認(rèn)定考試高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)分類模擬8

教師資格認(rèn)定考試高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)分類模擬8解答題1.

結(jié)合實(shí)例簡(jiǎn)要分析數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本要求．正確答案：數(shù)學(xué)概念是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是提高解題能力的（江南博哥）前提，通過討論數(shù)學(xué)概念的合理性，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性；通過對(duì)概念的完整性作進(jìn)一步討論，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．

以高中“函數(shù)”為例進(jìn)行分析．

(1)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要以辨別為前提條件，所謂概念學(xué)習(xí)就是能概括出同類事物的共同本質(zhì)特征，由于事物不僅在本質(zhì)特征上有共同點(diǎn)，在非本質(zhì)特征上也有共同點(diǎn)，這就給概念學(xué)習(xí)帶來(lái)了困難，所以學(xué)習(xí)一個(gè)概念不僅要求學(xué)生學(xué)習(xí)與掌握一類事物的共同本質(zhì)特征，而且要求他能排除非本質(zhì)特征，如要及時(shí)排除學(xué)生認(rèn)為“函數(shù)的定義域就是函數(shù)名稱(或函數(shù)的定義)”這樣一種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，概念反映事物的共同點(diǎn)，而辨別則反映事物的差異．所以概念的學(xué)習(xí)要以辨別為前提條件．據(jù)此，教師在講完函數(shù)概念之后最好設(shè)計(jì)一組辨析題給學(xué)生做，讓學(xué)生在經(jīng)歷充分的活動(dòng)和體驗(yàn)后明白什么是函數(shù)，什么是函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則．

(2)數(shù)學(xué)概念教學(xué)重在把握概念的本質(zhì)屬性．對(duì)于函數(shù)，大多數(shù)學(xué)生都能說(shuō)出它的定義，但要他們舉出具體的函數(shù)，很多人只會(huì)舉出有解析式的例子．在他們的頭腦中存在著一種非本質(zhì)屬性泛化的錯(cuò)誤觀念，即有完整數(shù)學(xué)表達(dá)式的才是函數(shù)，除此之外的就都不是函數(shù)，這說(shuō)明他們還沒有真正掌握函數(shù)的本質(zhì)特征．只有正確認(rèn)識(shí)到“數(shù)集到數(shù)集上的對(duì)應(yīng)關(guān)系”是函數(shù)的本質(zhì)屬性，是函數(shù)不變的性質(zhì)，除此之外的一切都是可變的，才能明白函數(shù)的表達(dá)式就是可變的，具有完整的數(shù)學(xué)表達(dá)式并不是函數(shù)的本質(zhì)．函數(shù)的表達(dá)式可以是獨(dú)立的解析式，也可以是其他的形式，如數(shù)表形式、圖象形式、箭頭形式等．無(wú)論函數(shù)用什么形式表示，只要具備函數(shù)的本質(zhì)特征，它就是函數(shù)．

(3)數(shù)學(xué)概念的同化教學(xué)要重視例證的作用，高中函數(shù)概念就是對(duì)初中函數(shù)概念的同化．同化過程是學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有觀念與要學(xué)習(xí)的新觀念相互作用的過程．原有觀念的概括程度、包括的范圍和鞏固水平在新的學(xué)習(xí)中起決定作用．在教學(xué)時(shí)，教師可先呈現(xiàn)概念的若干正例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨別，提出檢驗(yàn)假設(shè)，最后進(jìn)行概括并得出同類事物的共同本質(zhì)屬性．在呈現(xiàn)若干正例的同時(shí)，教師必須根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平呈現(xiàn)適當(dāng)?shù)姆蠢?也可請(qǐng)學(xué)生舉例)，如集合A={實(shí)數(shù)}，B={正實(shí)數(shù)}，對(duì)應(yīng)法則f：y=x2，則在對(duì)應(yīng)法則f作用下，從A到B能形成函數(shù)嗎?又如集合A={本校某班同學(xué)的姓名}，B={座位號(hào)}，對(duì)應(yīng)法則f：分配座位，則在對(duì)應(yīng)法則f作用下，從A到B能形成函數(shù)嗎?正例呈現(xiàn)有助于學(xué)生進(jìn)行概括，反例呈現(xiàn)有助于學(xué)生辨別，使概念概括精確化，舉例的目的是為了便于學(xué)生證實(shí)已抽象出來(lái)的特征．簡(jiǎn)單地說(shuō)，在概念形成中，例子可幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性，在概念同化中，例子可支持學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解．

(4)要獲得一個(gè)代數(shù)概念，使之成為一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)體，必須先經(jīng)過一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)期的操作性或過程性階段，然后進(jìn)入結(jié)構(gòu)性意義的建構(gòu)，最后形成一個(gè)完全的代數(shù)對(duì)象，如函數(shù)概念同化教學(xué)可以進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：首先給出定義(揭示本質(zhì)屬性，給出名稱和符號(hào))，然后與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，明確新概念的內(nèi)涵與外延，再與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某些概念相區(qū)別，最后將新概念納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，原認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到充實(shí)，通過練習(xí)鞏固形成新的概念，這一過程遵循具體、抽象、再具體的教學(xué)規(guī)律，可讓學(xué)生經(jīng)歷由領(lǐng)會(huì)到鞏固再到應(yīng)用的心理過程．在這一過程中，教師需要貫徹概念的引入、概念的明確和理解、概念的鞏固和應(yīng)用等基本教學(xué)環(huán)節(jié)．[考點(diǎn)]數(shù)學(xué)概念

2.

設(shè)α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，求線性方程組Ax=b的通解．正確答案：解：因?yàn)棣?=(1，2，3，4)T是非齊次線性方程組Ax=b的解向量，所以Aα1=b．故α1是Ax=b的一個(gè)特解，又r(A)=3，n=4(未知數(shù)的個(gè)數(shù))，故Ax=b的基礎(chǔ)解系由一個(gè)非零解組成，即基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為1，因?yàn)锳[2α1-(α2+α3)]=0，故是對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，則Ax=b的通解為[考點(diǎn)]線性方程組

解下列方程3.

解方程：．正確答案：解：令，原方程可變?yōu)閤3+2tx2+t2x+t-1=0，即xt2+(2x2+1)t+(x3-1)=0，按二次方程解出t=-x+1或；由．[考點(diǎn)]數(shù)與代數(shù)

4.

設(shè)k≥9，解關(guān)于x的方程x3+2kx2+k2x+9k+27=0．正確答案：解：x3+2kx2+k2x+9k+27=x·k2+(2x2+9)k+x3+27=0，將其看成關(guān)于k的二次方程，則Δ1=(2x2+9)2-4x(x3+27)=9(2x-3)2，所以k=-x-3或，即x=-3-k或x2+(k-3)x+9=0，對(duì)于方程x2+(k-3)x+9=0，其Δ2=(2k-6)2-4×2×18=4(k-9)(k+3)，因?yàn)閗≥9，所以Δ2≥0，所以[考點(diǎn)]數(shù)與代數(shù)

已知ξ=(1，1，-1)T是矩陣的一個(gè)特征向量．5.

確定參數(shù)a，b及ξ對(duì)應(yīng)的特征值λ．正確答案：解：設(shè)A的特征向量ξ所對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則有Aξ=Aξ，即，解得λ=-1，a=-3，b=0．[考點(diǎn)]方陣的特征值與特征向量

6.

A是否相似于對(duì)角陣，說(shuō)明理由．正確答案：解：當(dāng)a=-3，b=0時(shí)，由知λ=-1是A的三重特征值，但，當(dāng)λ=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量只有一個(gè)，故A不能相似于對(duì)角陣．[考點(diǎn)]方陣的特征值與特征向量

設(shè)f在[a，b]上可微，且a與b同號(hào)，證明：存在ξ∈(a，b)，使7.

2ξ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f'(ξ)．正確答案：證明：令g(x)=x2，顯然f，ξ在[a，b]上滿足柯西中值定理的條件，∴，即2ξ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f'(ξ)．[考點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)與微分

8.

正確答案：解：令g(x)=ln|x|，顯然f，ξ在[a，b]上滿足柯西中值定理的條件，∴[考點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)與微分

9.

設(shè)三階方陣A，B滿足A-1BA=6A+BA，且求B.正確答案：解：由題意可知，A可逆，則用A-1乘方程兩邊，可得：A-1B=6E+B，化簡(jiǎn)整理有：[考點(diǎn)]矩陣

10.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y確定，求正確答案：解：對(duì)方程兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)，得，解得同理，對(duì)方程兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)數(shù)，得，所以[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

11.

求證：當(dāng)且僅當(dāng)向量線性無(wú)關(guān)時(shí)，非齊次線性方程組有唯一解．正確答案：證明：非齊次線性方程組有唯一解，則說(shuō)明其系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等，并且等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，即r(A)=r(A，b)=n．又因?yàn)閞(A)=n，所以向量線性無(wú)關(guān)時(shí)，有r(A)=n，于是非齊次線性方程組有r(A)=r(A，b)=n，故非齊次線性方程組有唯一解，綜上所述，原結(jié)論得證．[考點(diǎn)]線性方程組

12.

計(jì)算4階行列式的值．正確答案：解：把第1行分別乘1，-2，-1加到第2，3，4行上得[考點(diǎn)]行列式

13.

設(shè)f(x)在點(diǎn)x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，試求f(0)，f'(0)，f"(0)的值．正確答案：解：因，所以由故f(0)=-1，f'(0)=0，[考點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)與微分

14.

正確答案：解：而由夾逼準(zhǔn)則可得原式[考點(diǎn)]極限與連續(xù)

15.

敘述并證明拉格朗日微分中值定理，并簡(jiǎn)述拉格朗日微分中值定理與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系．正確答案：解：拉格朗日微分中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；②在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a＜ξ＜b)，使得等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立，證明：設(shè)輔助函數(shù)，顯然，函數(shù)F(x)滿足在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，而且F(a)=F(b)．由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ(0＜ξ＜b)，使，即拉格朗日中值定理是中學(xué)教材中一個(gè)非常重要的定理，是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁，在高等數(shù)學(xué)的一些理論推導(dǎo)中起著很重要的作用，通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)能夠?qū)⒅袑W(xué)數(shù)學(xué)的許多知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，這樣不僅可以使我們加深對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們更好地把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵．[考點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)與微分

α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T線性表示出．16.

求a．正確答案：解：由于α1，α2，α3不能由β1，β2，β3表示，可知解得a=5．

[考點(diǎn)]向量組的線性相關(guān)性

17.

將β1，β2，β3由α1，α2，α3線性表示出．正確答案：解：本題等價(jià)于求三階矩陣C使得(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C，則，計(jì)算可得

[考點(diǎn)]向量組的線性相關(guān)性

18.

直線y=x將橢圓x2+3y2=6y分為兩塊，設(shè)小塊面積為A，大塊面積為B，求的值．正確答案：解：由題意可知直線與橢圓的交點(diǎn)為(0，0)，，則令y-1=sint，則由于橢圓面積為從而有[考點(diǎn)]積分

19.

設(shè)z=f(x，y)是由方程ez-z+xy3=0確定的隱函數(shù)，求正確答案：解：方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，有，類似地，方程兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，解得，再求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，得，把上述[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

設(shè)λ是方陣A的特征值．20.

證明：λ2是方陣A2的特征值．正確答案：證明：∵λ是方陣A的特征值，故有向量p≠0使Ap=λp．于是得A2p=A(Ap)=A(λp)=λ(Ap)=λ2p，∴λ2是方陣A2的特征值．[考點(diǎn)]方陣的特征值與特征向量

21.

證明：當(dāng)A可逆時(shí)，是A-1的特征值．正確答案：證明：當(dāng)A可逆時(shí)，由Ap=λp，有p=λA-1p，因p≠0，知λ≠0，故的特征值．[考點(diǎn)]方陣的特征值與特征向量

22.

若設(shè)方陣A為三階矩陣，且其特征值為1，-1，2，求A*+3A-2E的特征值．正確答案：解：由第一、二小題類推，不難證明：若λ是方陣A的特征值，則φ(λ)是φ(A)的特征值，其中φ(λ)=a0+a1λ+…+amλm是λ的多項(xiàng)式，φ(A)=a0+a1A+…+amAm是矩陣A的多項(xiàng)式．因A的特征值都不為0，知A可逆，故A*=|A|A-1．而|A|=λ1λ2λ3=-2，所以A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E，令φ(A)=-2A-1+3A-2E，這里，φ(A)雖不是矩陣多項(xiàng)式，但具有矩陣多項(xiàng)式的特性，從而可得φ(A)的特征值為φ(1)=-1，φ(-1)=-3，φ(2)=3．故A*+3A-2E的特征值為-1，-3，3．[考點(diǎn)]方陣的特征值與特征向量

23.

設(shè)函數(shù)f(x)在[-2，2]上可導(dǎo)，且f(-2)=0，f(0)=2，f(2)=0．試證明曲線弧C：y=f(x)(-2≤x≤2)上至少有一點(diǎn)處的切線平行于直線x-2y+1=0．正確答案：證明：引入輔助函數(shù)，F(xiàn)(x)在[0，2]上連續(xù)，且F(0)=2，F(xiàn)(2)=-1．由介值定理知，在(0，2)內(nèi)必存在一點(diǎn)η，使得F(η)=1．又F(-2)=1，且F(x)在[-2，η]上滿足羅爾定理的前兩個(gè)條件，故在(-2，η)內(nèi)必存在一點(diǎn)ξ，使得F'(ξ)=0，即．由于ξ∈(-2，η)，所以ξ∈(-2，2)．[考點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)與微分

24.

請(qǐng)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義．正確答案：首先，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分．學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的過程，實(shí)際上就是掌握概念并運(yùn)用概念進(jìn)行判斷、推理的過程．?dāng)?shù)學(xué)中的法則都是建立在一系列概念的基礎(chǔ)上的．事實(shí)證明，如果學(xué)生有了正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，就有助于掌握基礎(chǔ)知識(shí)，提高運(yùn)算和解題技能．相反，如果一個(gè)學(xué)生概念不清，就無(wú)法掌握定律、法則和公式．

其次，數(shù)學(xué)概念是發(fā)展思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)．概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點(diǎn)，所以概念教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有著重要作用．沒有正確的概念，就不可能有正確的判斷和推理，更談不上邏輯思維能力的培養(yǎng)．

在概念教學(xué)過程中，為了使學(xué)生順利地獲取有關(guān)概念，常常要提供豐富的感性材料讓學(xué)生觀察，在觀察的基礎(chǔ)上通過教師的啟發(fā)引導(dǎo)，對(duì)感性材料進(jìn)行比較、分析、綜合，最后再抽象概括出概念的本質(zhì)屬性．通過一系列的判斷、推理使概念得到鞏固和運(yùn)用．從而使學(xué)生的初步邏輯思維能力逐步得到提高．[考點(diǎn)]數(shù)學(xué)概念

25.

求極限正確答案：解：[考點(diǎn)]極限與連續(xù)

已知函數(shù)26.

若函數(shù)f(x)的圖象上有與直線x軸平行的切線，求b的取值范圍．正確答案：解：f'(x)=3x2-x+b