高考數(shù)學(xué)《數(shù)列》大題訓(xùn)練50題含答案解析

-----WORD格式--可編輯--專業(yè)資料-------完整版學(xué)習(xí)資料分享----一．解答題（共30小題）1．（2012?上海）已知數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足．（1）設(shè)cn=3n+6，{an}是公差為3的等差數(shù)列．當(dāng)b1=1時(shí)，求b2、b3的值；（2）設(shè)，．求正整數(shù)k，使得對(duì)一切n∈N*，均有bn≥bk；（3）設(shè)，．當(dāng)b1=1時(shí)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．2．（2011?重慶）設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．3．（2011?重慶）設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比數(shù)列，求S2和a3．（Ⅱ）求證：對(duì)k≥3有0≤ak≤．4．（2011?浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1為a（a∈R）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn；（Ⅱ）記An=+++…+，Bn=++…+，當(dāng)a≥2時(shí)，試比較An與Bn的大?。?．（2011?上海）已知數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=3n+6，bn=2n+7（n∈N*）．將集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，…，cn，…（1）寫出c1，c2，c3，c4；（2）求證：在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)恰為a2，a4，…，a2n，…；（3）求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．6．（2011?遼寧）已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．7．（2011?江西）（1）已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若數(shù)列{an}唯一，求a的值；（2）是否存在兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由．8．（2011?湖北）成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5．（I）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（II）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列．9．（2011?廣東）設(shè)b＞0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=（n≥2）（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（4）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1．10．（2011?安徽）在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積計(jì)作Tn，再令an=lgTn，n≥1．（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=tanan?tanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．11．（2010?浙江）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范圍．12．（2010?四川）已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為﹣4．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=（4﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．13．（2010?四川）已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=2，且對(duì)任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）設(shè)bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），證明：{bn}是等差數(shù)列；（3）設(shè)cn=（an+1﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．14．（2010?陜西）已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn．15．（2010?寧夏）設(shè)數(shù)列滿足a1=2，an+1﹣an=3?22n﹣1（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn=nan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．16．（2010?江西）正實(shí)數(shù)數(shù)列{an}中，a1=1，a2=5，且{an2}成等差數(shù)列．（1）證明數(shù)列{an}中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)；（2）當(dāng)n為何值時(shí)，an為整數(shù)，并求出使an＜200的所有整數(shù)項(xiàng)的和．17．（2009?陜西）已知數(shù)列{an}滿足，，n∈N×．（1）令bn=an+1﹣an，證明：{bn}是等比數(shù)列；（2）求{an}的通項(xiàng)公式．18．（2009?山東）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)（n，Sn），均在函數(shù)y=bx+r（b＞0）且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上．（1）求r的值；（2）當(dāng)b=2時(shí)，記bn=n∈N*求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．19．（2009?江西）數(shù)列{an}的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為Sn，（1）求Sn；（2），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．20．（2009?遼寧）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列，（1）求{an}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求sn．21．（2009?湖北）已知數(shù)列{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a2a6=55，a2+a7=16（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式an=（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．22．（2009?福建）等比數(shù)列{an}中，已知a1=2，a4=16（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn．23．（2009?安徽）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2﹣bn（Ⅰ）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn=an2?bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn+1＜cn．24．（2009?北京）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q（n∈N*，P＞0）．?dāng)?shù)列{bn}定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求數(shù)列{bm}的前2m項(xiàng)和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．25．（2008?浙江）已知數(shù)列{xn}的首項(xiàng)x1=3，通項(xiàng)xn=2np+np（n∈N*，p，q為常數(shù)），且成等差數(shù)列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）數(shù)列{xn}前n項(xiàng)和Sn的公式．26．（2008?四川）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）證明：{an+1﹣2an}是等比數(shù)列；（Ⅲ）求{an}的通項(xiàng)公式．27．（2008?四川）在數(shù)列{an}中，a1=1，．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；（Ⅲ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn．28．（2008?陜西）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．29．（2008?遼寧）在數(shù)列{an}，{bn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)．（Ⅰ）數(shù)列{cn}是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{lnan}，{lnbn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn．若a1=2，，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．30．（2008?遼寧）在數(shù)列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè){an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（2）證明：．

答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．解答題（共30小題）1．（2012?上海）已知數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足．（1）設(shè)cn=3n+6，{an}是公差為3的等差數(shù)列．當(dāng)b1=1時(shí)，求b2、b3的值；（2）設(shè)，．求正整數(shù)k，使得對(duì)一切n∈N*，均有bn≥bk；（3）設(shè)，．當(dāng)b1=1時(shí)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特性。專題：計(jì)算題；分類討論。分析：（1）先根據(jù)條件得到數(shù)列{bn}的遞推關(guān)系式，即可求出結(jié)論；（2）先根據(jù)條件得到數(shù)列{bn}的遞推關(guān)系式；進(jìn)而判斷出其增減性，即可求出結(jié)論；（3）先根據(jù)條件得到數(shù)列{bn}的遞推關(guān)系式；再結(jié)合疊加法以及分類討論分情況求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，最后綜合即可．解答：解：（1）∵an+1﹣an=3，∴bn+1﹣bn=n+2，∵b1=1，∴b2=4，b3=8．（2）∵．∴an+1﹣an=2n﹣7，∴bn+1﹣bn=，由bn+1﹣bn＞0，解得n≥4，即b4＜b5＜b6…；由bn+1﹣bn＜0，解得n≤3，即b1＞b2＞b3＞b4．∴k=4．（3）∵an+1﹣an=（﹣1）n+1，∴bn+1﹣bn=（﹣1）n+1（2n+n）．∴bn﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）（n≥2）．故b2﹣b1=21+1；b3﹣b2=（﹣1）（22+2），…bn﹣1﹣bn﹣2=（﹣1）n﹣1（2n﹣2+n﹣2）．bn﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）．當(dāng)n=2k時(shí)，以上各式相加得bn﹣b1=（2﹣22+…﹣2n﹣2+2n﹣1）+[1﹣2+…﹣（n﹣2）+（n﹣1）]=+=+．∴bn==++．當(dāng)n=2k﹣1時(shí)，=++﹣（2n+n）=﹣﹣+∴bn=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)列遞推關(guān)系式在求解數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用．是對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合考察，屬于難度較高的題目．2．（2011?重慶）設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和。專題：計(jì)算題。分析：（Ⅰ）由{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通項(xiàng)公式（Ⅱ）由{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．解答：解：（Ⅰ）∵設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列∴設(shè)其公比為q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q=2∴{an}的通項(xiàng)公式為an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，注意題目條件的應(yīng)用．在用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)注意辨析q是否為1，只要簡單數(shù)字運(yùn)算時(shí)不出錯(cuò)，問題可解，是個(gè)基礎(chǔ)題．3．（2011?重慶）設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比數(shù)列，求S2和a3．（Ⅱ）求證：對(duì)k≥3有0≤ak≤．考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式。專題：綜合題。分析：（Ⅰ）由題意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中項(xiàng)知S2=﹣2，由此能求出S2和a3．（Ⅱ）由題設(shè)條件知Sn+an+1=an+1Sn，Sn≠1，an+1≠1，且，，由此能夠證明對(duì)k≥3有0≤an﹣1≤．解答：解：（Ⅰ）由題意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中項(xiàng)知S2≠0，∴S2=﹣2．由S2+a3=a3S2，解得．（Ⅱ）證明：因?yàn)镾n+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn，由題設(shè)條件知Sn+an+1=an+1Sn，∴Sn≠1，an+1≠1，且，又從而對(duì)k≥3，有0≤ak≤．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．4．（2011?浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1為a（a∈R）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn；（Ⅱ）記An=+++…+，Bn=++…+，當(dāng)a≥2時(shí)，試比較An與Bn的大?。键c(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)。專題：計(jì)算題；證明題。分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的公差，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，建立等式求得d，則數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)的和可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的an和Sn，代入不等式，利用裂項(xiàng)法和等比數(shù)列的求和公式整理An與Bn，最后對(duì)a＞0和a＜0兩種情況分情況進(jìn)行比較．解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由（）2=?，得（a1+d）2=a1（a1+3d），因?yàn)閐≠0，所以d=a1=a所以an=na，Sn=（Ⅱ）解：∵=（﹣）∴An=+++…+=（1﹣）∵=2n﹣1a，所以==，Bn=++…+=?=?（1﹣）當(dāng)n≥2時(shí)，2n=Cn0+Cn1+…+Cnn＞n+1，即1﹣＜1﹣所以，當(dāng)a＞0時(shí)，An＜Bn；當(dāng)a＜0時(shí)，An＞Bn．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)．涉及了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式以及數(shù)列的求和的方法，綜合考查了基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用．5．（2011?上海）已知數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=3n+6，bn=2n+7（n∈N*）．將集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，…，cn，…（1）寫出c1，c2，c3，c4；（2）求證：在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)恰為a2，a4，…，a2n，…；（3）求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的概念及簡單表示法。專題：綜合題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想。分析：（1）利用兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出前3項(xiàng)，按從小到大挑出4項(xiàng)．（2）對(duì)于數(shù)列{an}，對(duì)n從奇數(shù)與偶數(shù)進(jìn)行分類討論，判斷是否能寫成2n+7的形式．（3）對(duì){an}中的n從從奇數(shù)與偶數(shù)進(jìn)行分類討論，對(duì){bn}中的n從被3除的情況分類討論，判斷項(xiàng)的大小，求出數(shù)列的通項(xiàng)．解答：解：（1）a1=3×1+6=9；a2=3×2+6=12a3=3×3+6=15b1=2×1+7=9b2=2×2+7=11b3=2×3+7=13∴c1=9；c2=11；c3=12；c4=13（2）解對(duì)于an=3n+6，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)為n=2k+1則3n+6=2（3k+1）+7∈{bn}當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k則3n+6=6k﹣1+7不屬于{bn}∴在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)恰為a2，a4，…，a2n，…；（3）b3k﹣2=2（3k﹣2）+7=a2k﹣1b3k﹣1=6k+5a2k=6k+6b3k=6k+7∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7∴當(dāng)k=1時(shí)，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4…∴點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的項(xiàng)、考查判斷某項(xiàng)是否屬于一個(gè)數(shù)列是看它是否能寫出通項(xiàng)形式、考查分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法．6．（2011?遼寧）已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和。專題：綜合題。分析：（I）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡a2=0和a6+a8=﹣10，得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求出方程組的解即可得到數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（II）把（I）求出通項(xiàng)公式代入已知數(shù)列，列舉出各項(xiàng)記作①，然后給兩邊都除以2得另一個(gè)關(guān)系式記作②，①﹣②后，利用an的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡后，即可得到數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的通項(xiàng)公式．解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知條件可得，解得：，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2﹣n；（II）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，即Sn=a1++…+①，故S1=1，=++…+②，當(dāng)n＞1時(shí)，①﹣②得：=a1++…+﹣=1﹣（++…+）﹣=1﹣（1﹣）﹣=，所以Sn=，綜上，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn=．點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡求值，會(huì)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是一道中檔題．7．（2011?江西）（1）已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若數(shù)列{an}唯一，求a的值；（2）是否存在兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由．考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。專題：綜合題。分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3表示出b1，b2，b3，根據(jù)b1，b2，b3成等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)與公比的關(guān)系式，把q看作未知數(shù)，根據(jù)a大于0得出根的判別式大于0，進(jìn)而得到方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，又?jǐn)?shù)列{an}唯一，得到方程必有一根為0，把q=0代入方程即可得到關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）利用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)存在，分別設(shè)出兩等比數(shù)列的公比，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3，b4﹣a4成公差不為0的等差數(shù)列，列出關(guān)系式，化簡后分別求出兩等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比，分別求出b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3，b4﹣a4的公差為0，與已知的公差不為0矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，進(jìn)而得到不存在兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不為0的等差數(shù)列．解答：解：（1）設(shè){an}的公比為q，∵a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，∴b1=1+a，b2=2+aq，b3=3+aq2，∵b1，b2，b3成等比數(shù)列，∴（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）即aq2﹣4aq+3a﹣1=0，∵a＞0，∴△=4a2+4a＞0，∴方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，又∵數(shù)列{an}唯一，∴方程必有一根為0，將q=0代入方程得a=，∴a=；（2）假設(shè)存在兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，使b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3，b4﹣a4成公差不為0的等差數(shù)列，設(shè){an}的公比為q1，{bn}的公比為q2，則b2﹣a2=b1q2﹣a1q1，b3﹣a3=b1q22﹣a1q12，b4﹣a4=b1q23﹣a1q13，由b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3，b4﹣a4成的等差數(shù)列得：即，①×q2﹣②得：a1（q1﹣q2）（q1﹣1）2=0，由a1≠0得：q1=q2或q1=1，（i）當(dāng)q1=q2時(shí)，由①，②得b1=a1或q1=q2=1，這時(shí)（b2﹣a2）﹣（b1﹣a1）=0與公差不為0矛盾；（ii）q1=1時(shí)，由①，②得b1=0或q2=1，這時(shí)（b2﹣a2）﹣（b1﹣a1）=0與公差不為0矛盾，綜上所述，不存在兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不為0的等差列．點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，會(huì)利用反證法說明命題的真假，是一道中檔題．8．（2011?湖北）成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5．（I）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（II）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列．考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。專題：證明題；綜合題。分析：（I）利用成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15可設(shè)三個(gè)數(shù)分別為5﹣d，5+d，代入等比數(shù)列中可求d，進(jìn)一步可求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式（II）根據(jù)（I）及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求Sn，要證數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列?即可．解答：解：（I）設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a﹣d，a，a+d依題意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5所以{bn}中的依次為7﹣d，10，18+d依題意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去）故{bn}的第3項(xiàng)為5，公比為2由b3=b1?22，即5=4b1，解得所以{bn}是以首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為（II）數(shù)列{bn}的前和即，所以，因此{(lán)}是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列及前n和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查基本運(yùn)算能力9．（2011?廣東）設(shè)b＞0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=（n≥2）（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（4）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列與不等式的綜合。專題：綜合題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想。分析：（1）由題設(shè)形式可以看出，題設(shè)中給出了關(guān)于數(shù)列an的面的一個(gè)方程，即一個(gè)遞推關(guān)系，所以應(yīng)該對(duì)此遞推關(guān)系進(jìn)行變形整理以發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)若對(duì)方程兩邊取倒數(shù)則可以得到一個(gè)類似等差數(shù)列的形式，對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行討論，分類求其通項(xiàng)即可．（2）由于本題中條件較少，解題思路不宜用綜合法直接分析出，故求解本題可以采取分析法的思路，由結(jié)論探究其成立的條件，再證明此條件成立，即可達(dá)到證明不等式的目的．解答：解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），當(dāng)b=1時(shí)，（n≥2），∴數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即an=1，當(dāng)b＞0，且b≠1時(shí)，（n≥2），即數(shù)列{}是以=為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴=×=，即an=，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是（2）證明：當(dāng)b=1時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)b＞0，且b≠1時(shí)，an=，要證對(duì)于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1，只需證2×≤bn+1+1，即證∵==（bn+1+1）×（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+bn+2+bn+1）+（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）=bn[（bn+bn﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥bn（2+2+…+2）=2nbn所以不等式成立，綜上所述，對(duì)于一切正整數(shù)n，有2an≤bn+1+1，點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是數(shù)列的遞推式，考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，研究數(shù)列的性質(zhì)的能力，本題中遞推關(guān)系的形式適合用取倒數(shù)法將所給的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為有規(guī)律的形式，兩邊取倒數(shù)，條件許可的情況下，使用此技巧可以使得解題思路呈現(xiàn)出來．?dāng)?shù)列中有請(qǐng)多成熟的規(guī)律，做題時(shí)要注意積累這些小技巧，在合適的情況下利用相關(guān)的技巧，可以簡化做題．在（2）的證明中，采取了分析法的來探究解題的思路，通過本題希望能進(jìn)一步熟悉分析法證明問題的技巧．10．（2011?安徽）在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積計(jì)作Tn，再令an=lgTn，n≥1．（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=tanan?tanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列與三角函數(shù)的綜合。專題：計(jì)算題。分析：（I）根據(jù)在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，我們易得這n+2項(xiàng)的幾何平均數(shù)為10，故Tn=10n+2，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)我們易計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）根據(jù)（I）的結(jié)論，利用兩角差的正切公式，我們易將數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)拆成的形式，進(jìn)而得到結(jié)論．解答：解：（I）∵在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，又∵這n+2個(gè)數(shù)的乘積計(jì)作Tn，∴Tn=10n+2又∵an=lgTn，∴an=lg10n+2=n+2，n≥1．（II）∵bn=tanan?tanan+1=tan（n+2）?tan（n+3）=，∴Sn=b1+b2+…+bn=[]+[]+…+[]=點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，其中根據(jù)已知求出這n+2項(xiàng)的幾何平均數(shù)為10，是解答本題的關(guān)鍵．11．（2010?浙江）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范圍．考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。分析：（I）根據(jù)附加條件，先求得s6再求得a6分別用a1和d表示，再解關(guān)于a1和d的方程組．（II）所求問題是d的范圍，所以用“a1，d”法．解答：解：（Ⅰ）由題意知S6==﹣3，a6=S6﹣S5=﹣8所以解得a1=7所以S6=﹣3，a1=7；解：（Ⅱ）因?yàn)镾5S6+15=0，所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，即2a12+9da1+10d2+1=0．故（4a1+9d）2=d2﹣8．所以d2≥8．故d的取值范圍為d≤﹣2或d≥2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列概念、求和公式通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力及分析問題解決問題的能力．12．（2010?四川）已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為﹣4．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=（4﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和。專題：計(jì)算題。分析：（1）設(shè){an}的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出前3項(xiàng)和前8項(xiàng)的和，求的a1和d，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得an．（2）根據(jù)（1）中的an，求得bn，進(jìn)而根據(jù)錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．解答：解：（1）設(shè){an}的公差為d，由已知得解得a1=3，d=﹣1故an=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；（2）由（1）的解答得，bn=n?qn﹣1，于是Sn=1?q0+2?q1+3?q2+…+（n﹣1）?qn﹣1+n?qn．若q≠1，將上式兩邊同乘以q，得qSn=1?q1+2?q2+3?q3+…+（n﹣1）?qn+n?qn+1．將上面兩式相減得到（q﹣1）Sn=nqn﹣（1+q+q2+…+qn﹣1）=nqn﹣于是Sn=若q=1，則Sn=1+2+3+…+n=所以，Sn=．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和劃歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．13．（2010?四川）已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=2，且對(duì)任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）設(shè)bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），證明：{bn}是等差數(shù)列；（3）設(shè)cn=（an+1﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和。專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想。分析：（1）欲求a3，a5只需令m=2，n=1賦值即可．（2）以n+2代替m，然后利用配湊得到bn+1﹣bn，和等差數(shù)列的定義即可證明．（3）由（1）（2）兩問的結(jié)果可以求得cn，利用乘公比錯(cuò)位相減求{cn}的前n項(xiàng)和Sn．解答：解：（1）由題意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20（2）當(dāng)n∈N*時(shí)，由已知（以n+2代替m）可得a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8即bn+1﹣bn=8所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列（3）由（1）（2）解答可知{bn}是首項(xiàng)為b1=a3﹣a1=6，公差為8的等差數(shù)列則bn=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2另由已知（令m=1）可得an=﹣（n﹣1）2．那么an+1﹣an=﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是cn=2nqn﹣1．當(dāng)q=1時(shí)，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=2?q0+4?q1+6?q2++2n?qn﹣1．兩邊同乘以q，可得qSn=2?q1+4?q2+6?q3++2n?qn．上述兩式相減得（1﹣q）Sn=2（1+q+q2++qn﹣1）﹣2nqn=2?﹣2nqn=2?所以Sn=2?綜上所述，Sn=點(diǎn)評(píng)：本小題是中檔題，主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．同時(shí)考查了等差，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，和數(shù)列求和的方法．14．（2010?陜西）已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合。專題：計(jì)算題。分析：（I）由題意可得a32=a1?a9=a9，從而建立關(guān)于公差d的方程，解方程可求d，進(jìn)而求出通項(xiàng)an（II）由（I）可得，代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求Sn解答：解（Ⅰ）由題設(shè)知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比數(shù)列得=，解得d=1，d=0（舍去），故{an}的通項(xiàng)an=1+（n﹣1）×1=n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知{2}^{{a}_{n}}={2}^{n}，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sm=2+22+23+…+2n==2n+1﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于基本公式的簡單運(yùn)用．15．（2010?寧夏）設(shè)數(shù)列滿足a1=2，an+1﹣an=3?22n﹣1（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn=nan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和。專題：計(jì)算題。分析：（Ⅰ）由題意得an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=22n﹣1．（Ⅱ）由bn=nan=n?22n﹣1知Sn=1?2+2?23+3?25++n?22n﹣1，，由此入手可知答案．解答：解：（Ⅰ）由已知，當(dāng)n≥1時(shí)，an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）++（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=22n﹣1．（Ⅱ）由bn=nan=n?22n﹣1知Sn=1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1①從而22Sn=1?23+2?25+…+n?22n+1②①﹣②得（1﹣22）?Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n?22n+1．即．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列累加法（疊加法）求數(shù)列通項(xiàng)、錯(cuò)位相減法求數(shù)列和等知識(shí)以及相應(yīng)運(yùn)算能力．16．（2010?江西）正實(shí)數(shù)數(shù)列{an}中，a1=1，a2=5，且{an2}成等差數(shù)列．（1）證明數(shù)列{an}中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)；（2）當(dāng)n為何值時(shí)，an為整數(shù)，并求出使an＜200的所有整數(shù)項(xiàng)的和．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)。專題：創(chuàng)新題型。分析：（1）由a1=1，a2=5且{an2}成等差數(shù)列，求出an2的通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式分析出無理數(shù)；（2）由an的表達(dá)式討論使an＜200的整數(shù)項(xiàng)，從而求出所有整數(shù)項(xiàng)的和．解答：（1）證明：由已知有：an2=1+24（n﹣1），從而，方法一：取n﹣1=242k﹣1，則用反證法證明這些an都是無理數(shù)．假設(shè)為有理數(shù)，則an必為正整數(shù)，且an＜24k，故an﹣24k≥1．a(chǎn)n﹣24k＞1，與（an﹣24k）（an+24k）=1矛盾，所以都是無理數(shù)，即數(shù)列an中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)；（2）要使an為整數(shù)，由（an﹣1）（an+1）=24（n﹣1）可知：an﹣1，an+1同為偶數(shù)，且其中一個(gè)必為3的倍數(shù)，所以有an﹣1=6m或an+1=6m當(dāng)an=6m+1時(shí)，有an2=36m2+12m+1=1+12m（3m+1）（m∈N）又m（3m+1）必為偶數(shù)，所以an=6m+1（m∈N）滿足an2=1+24（n﹣1）即（m∈N）時(shí)，an為整數(shù)；同理an=6m﹣1（m∈N+）有an2=36m2﹣12m+1=1+12（3m﹣1）（m∈N+）也滿足an2=1+24（n﹣1），即（m∈N+）時(shí)，an為整數(shù)；顯然an=6m﹣1（m∈N+）和an=6m+1（m∈N）是數(shù)列中的不同項(xiàng)；所以當(dāng)（m∈N）和（m∈N+）時(shí)，an為整數(shù)；由an=6m+1＜200（m∈N）有0≤m≤33，由an=6m﹣1＜200（m∈N+）有1≤m≤33．設(shè)an中滿足an＜200的所有整數(shù)項(xiàng)的和為S，則S=（5+11+…+197）+（1+7+…+199）=點(diǎn)評(píng)：對(duì)一個(gè)正整數(shù)數(shù)能否寫成另一個(gè)整數(shù)的平方的形式，是難點(diǎn)；對(duì)整數(shù)的奇偶性分析也是難點(diǎn)；故此題是中檔題．17．（2009?陜西）已知數(shù)列{an}滿足，，n∈N×．（1）令bn=an+1﹣an，證明：{bn}是等比數(shù)列；（2）求{an}的通項(xiàng)公式．考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定；數(shù)列遞推式。專題：證明題。分析：（1）先令n=1求出b1，然后當(dāng)n≥2時(shí)，求出an+1的通項(xiàng)代入到bn中化簡可得{bn}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列得證；（2）由（1）找出bn的通項(xiàng)公式，當(dāng)n≥2時(shí)，利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）代入并利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出即可得到an的通項(xiàng)，然后n=1檢驗(yàn)也符合，所以n∈N，an都成立．解答：解：（1）證b1=a2﹣a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，所以{bn}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）解由（1）知，當(dāng)n≥2時(shí)，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）=1+1+（﹣）+…+===，當(dāng)n=1時(shí)，．所以．點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)確定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，會(huì)利用數(shù)列的遞推式的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．以及會(huì)利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡求值．18．（2009?山東）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)（n，Sn），均在函數(shù)y=bx+r（b＞0）且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上．（1）求r的值；（2）當(dāng)b=2時(shí)，記bn=n∈N*求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列的求和。專題：計(jì)算題；分類討論。分析：（1）由“對(duì)任意的n∈N+，點(diǎn)（n，Sn），均在函數(shù)y=bx+r（b＞0，且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上”可得到Sn=bn+r，再由通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系可求得結(jié)果．（2）結(jié)合（1）可知an=（b﹣1）bn﹣1=2n﹣1，從而bn=，符合一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)之積的形式，用錯(cuò)位相減法求解即可．解答：解：因?yàn)閷?duì)任意的n∈N+，點(diǎn)（n，Sn），均在函數(shù)y=bx+r（b＞0，且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上．所以得Sn=bn+r，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=b+r，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=bn+r﹣（bn﹣1+r）=bn﹣bn﹣1=（b﹣1）bn﹣1，又因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以r=﹣1，公比為b，所以an=（b﹣1）bn﹣1（2）當(dāng)b=2時(shí)，an=（b﹣1）bn﹣1=2n﹣1，bn=則Tn=Tn=相減，得Tn=+=所以Tn=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要涉及了數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和間的關(guān)系，錯(cuò)位相減法求和等問題，屬中檔題，是?？碱愋停?9．（2009?江西）數(shù)列{an}的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為Sn，（1）求Sn；（2），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；二倍角的余弦。專題：計(jì)算題。分析：（1）利用二倍角公式可得，由于，所以求和時(shí)需要對(duì)n分類討論分類討論，求出和（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減求出數(shù)列的和解答：解：（1）由于，故S3k=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3k﹣2+a3k﹣1+a3k）==，，故（k∈N*）（2），，，兩式相減得，故．點(diǎn)評(píng)：（1）本題三角公式中的二倍角公式及三角的周期性為切入點(diǎn)考查數(shù)列的求和，由于三角的周期性，在求的值時(shí)需要對(duì)n分類討論（2）主要考查數(shù)列求和的錯(cuò)位相減，此方法是數(shù)列求和部分高考考查的重點(diǎn)及熱點(diǎn)．20．（2009?遼寧）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列，（1）求{an}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求sn．考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。專題：計(jì)算題。分析：（Ⅰ）由題意知a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由此可知2q2+q=0，從而．（Ⅱ）由已知可得，故a1=4，從而．解答：解：（Ⅰ）依題意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）由于a1≠0，故2q2+q=0又q≠0，從而（Ⅱ）由已知可得故a1=4從而點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．21．（2009?湖北）已知數(shù)列{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a2a6=55，a2+a7=16（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式an=（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和。專題：計(jì)算題。分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，分別表示出a2a6=55，a2+a7=16聯(lián)立方程求得d和a1進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得an．（2）令cn=，則有an=c1+c2+…+cn，an+1=c1+c2+…+cn+1兩式相減得cn+1等于常數(shù)2，進(jìn)而可得bn，進(jìn)而根據(jù)b1=2a1求得b1則數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而根據(jù)從第二項(xiàng)開始按等比數(shù)列求和公式求和再加上b1．解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則依題意可知d＞0由a2+a7=16，得2a1+7d=16①由a2a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②由①②聯(lián)立方程求得得d=2，a1=1或d=﹣2，a1=（排除）∴an=1+（n﹣1）?2=2n﹣1（2）令cn=，則有an=c1+c2+…+cnan+1=c1+c2+…+cn+1兩式相減得an+1﹣an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1﹣an=2∴cn+1=2，即cn=2（n≥2），即當(dāng)n≥2時(shí)，bn=2n+1，又當(dāng)n=1時(shí)，b1=2a1=2∴bn=于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了對(duì)數(shù)列問題的綜合把握．22．（2009?福建）等比數(shù)列{an}中，已知a1=2，a4=16（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合。專題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想。分析：（I）由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．（Ⅱ）利用題中條件求出b3=8，b5=32，又由數(shù)列{bn}是等差數(shù)列求出．再代入求出通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn．解答：解：（I）設(shè){an}的公比為q由已知得16=2q3，解得q=2（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，則b3=8，b5=32設(shè){bn}的公差為d，則有解得．從而bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查歸化與轉(zhuǎn)化思想．23．（2009?安徽）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2﹣bn（Ⅰ）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn=an2?bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn+1＜cn．考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用。分析：（1）由題意知a1=S1=4，an=Sn﹣Sn﹣1化簡可得，an=4n，n∈N*，再由bn=Tn﹣Tn﹣1=（2﹣bn）﹣（2﹣bn﹣1），可得2bn=bn﹣1知數(shù)列bn是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，由此可知數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．（2）由題意知，=．由得，解得n≥3．由此能夠?qū)С霎?dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)cn+1＜cn．解答：解：（1）由于a1=S1=4當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+2n）﹣[2（n﹣1）2+2（n﹣1）]=4n，∴an=4n，n∈N*，又當(dāng)x≥n時(shí)bn=Tn﹣Tn﹣1=（2﹣bn）﹣（2﹣bn﹣1），∴2bn=bn﹣1∴數(shù)列bn是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為，∴．（2）由（1）知，=．由得，解得n≥3．又n≥3時(shí)，成立，即，由于cn＞0恒成立．因此，當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)cn+1＜cn．點(diǎn)評(píng)：由可求出bn和an，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出bn和an后，進(jìn)而得到cn，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法．24．（2009?北京）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q（n∈N*，P＞0）．?dāng)?shù)列{bn}定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求數(shù)列{bm}的前2m項(xiàng)和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：（I）先得出an，再解關(guān)于n的不等式，利用正整數(shù)的條件得出具體結(jié)果；（II）先得出an，再解關(guān)于n的不等式，根據(jù){bn}的定義求得bn再求得S2m；（III）根據(jù)bm的定義轉(zhuǎn)化關(guān)于m的不等式恒成立問題．解答：解：（Ⅰ）由題意，得，解，得．∴成立的所有n中的最小正整數(shù)為7，即b3=7．（Ⅱ）由題意，得an=2n﹣1，對(duì)于正整數(shù)m，由an≥m，得．根據(jù)bm的定義可知當(dāng)m=2k﹣1時(shí)，bm=k（k∈N*）；當(dāng)m=2k時(shí)，bm=k+1（k∈N*）．∴b1+b2++b2m=（b1+b3++b2m﹣1）+（b2+b4++b2m）=（1+2+3++m）+[2+3+4++（m+1）]=．（Ⅲ）假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．∵bm=3m+2（m∈N*），根據(jù)bm的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)m都有，即﹣2p﹣q≤（3p﹣1）m＜﹣p﹣q對(duì)任意的正整數(shù)m都成立．當(dāng)3p﹣1＞0（或3p﹣1＜0）時(shí)，得（或），這與上述結(jié)論矛盾！當(dāng)3p﹣1=0，即時(shí)，得，解得．（經(jīng)檢驗(yàn)符合題意）∴存在p和q，使得bm=3m+2（m∈N*）；p和q的取值范圍分別是，．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題．25．（2008?浙江）已知數(shù)列{xn}的首項(xiàng)x1=3，通項(xiàng)xn=2np+np（n∈N*，p，q為常數(shù)），且成等差數(shù)列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）數(shù)列{xn}前n項(xiàng)和Sn的公式．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)。專題：計(jì)算題；綜合題。分析：（Ⅰ）根據(jù)x1=3，求得p，q的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)通項(xiàng)xn=2np+np（n∈N*，p，q為常數(shù)），且成等差數(shù)列．建立關(guān)于p的方求得p，進(jìn)而求得q．（Ⅱ）進(jìn)而根據(jù)（1）中求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵x1=3，∴2p+q=3，①又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x3=2x4，∴3+25p+5q=25p+8q，②聯(lián)立①②求得p=1，q=1（Ⅱ）由（1）可知xn=2n+n∴Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力．26．（2008?四川）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）證明：{an+1﹣2an}是等比數(shù)列；（Ⅲ）求{an}的通項(xiàng)公式．考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列遞推式。專題：計(jì)算題；證明題。分析：（Ⅰ）令n=1得到s1=a1=2并推出an，令n=2求出a2，s2得到a3推出a4即可；（Ⅱ）由已知得an+1﹣2an=（Sn+2n+1）﹣（Sn+2n）=2n+1﹣2n=2n即為等比數(shù)列；（Ⅲ）an=（an﹣2an﹣1）+2（an﹣1﹣2an﹣2）++2n﹣2（a2﹣2a1）+2n﹣1a1=（n+1）?2n﹣1即可．解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閍1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1得an+1=sn+2n+1①所以a2=S1+22=2+22=6，S2=8a3=S2+23=8+23=16，S2=24a4=S3+24=40（Ⅱ）由題設(shè)和①式知an+1﹣2an=（Sn+2n+1）﹣（Sn+2n）=2n+1﹣2n=2n所以{an+1﹣2an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．（Ⅲ）an=（an﹣2an﹣1）+2（an﹣1﹣2an﹣2）++2n﹣2（a2