《通信原理》課件第9章

第9章數(shù)字信號的最佳接收9.1引言9.2匹配濾波器9.3最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)及其抗噪聲性能習(xí)題9.1引言數(shù)字通信系統(tǒng)的任務(wù)是傳輸數(shù)字信息。發(fā)端將數(shù)字信息變換成適合信道傳輸?shù)男盘?，接收端根?jù)收到的信號判決出原數(shù)字信息。由于噪聲、干擾的存在，接收機(jī)在判決時(shí)會發(fā)生錯誤，產(chǎn)生誤碼。不同的接收方法有不同的誤碼性能(如2ASK相干解調(diào)的誤碼率就不同于包絡(luò)解調(diào)的誤碼率)。能使誤碼率最小的接收方式稱為最佳接收，相應(yīng)的接收機(jī)稱為最佳接收機(jī)?！白罴选笔莻€(gè)相對概念，不同條件、不同要求下的最佳接收機(jī)是不同的。如白噪聲信道的最佳接收機(jī)在瑞利衰落信道中就不是最佳的。本章討論高斯白噪聲信道中二元數(shù)字信號的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)及其性能。

線性濾波器對接收信號進(jìn)行某種處理，輸出某個(gè)物理量提供給判決電路，以便判決電路對接收信號中所包含的某個(gè)發(fā)送信號作出盡可能正確的判決，或者說作出錯誤判決的可能性盡量小，那么為了使判決電路能達(dá)到這種要求，線性濾波器應(yīng)當(dāng)對接收信號作什么樣的處理呢？理論和實(shí)踐都已證明：在白噪聲干擾下，如果線性濾波器的輸出端在某一時(shí)刻上使信號的瞬時(shí)功率與白噪聲平均功率之比達(dá)到最大，就可以使判決電路出現(xiàn)錯誤判決的概率最小。這樣的線性濾波器稱為匹配濾波器。所以，匹配濾波器是最大輸出信噪比意義下的最佳線性濾波器。用匹配濾波器構(gòu)成的接收機(jī)是滿足最大輸出信噪比準(zhǔn)則的最佳接收機(jī)，也稱為匹配濾波器接收機(jī)。在白噪聲條件下，這樣的接收機(jī)能得到最小的誤碼率。本章將圍繞數(shù)字信號的最佳接收展開討論，主要內(nèi)容有最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)及其抗噪聲性能。圖9.1.1簡化的接收機(jī)結(jié)構(gòu)9.2匹配濾波器9.2.1匹配濾波器的傳輸特性H(f)匹配濾波器如圖9.2.1所示，現(xiàn)在來推導(dǎo)匹配濾波器的傳輸特性H(f)。圖9.2.1匹配濾波器示意圖設(shè)匹配濾波器的輸入信號為x(t)，x(t)是由接收信號s(t)和噪聲n(t)兩部分構(gòu)成，即x(t)=s(t)+n(t)其中，n(t)是白噪聲，其雙邊功率譜密度為Pn(f)=no/2，而信號s(t)的頻譜函數(shù)為S(f)。根據(jù)線性疊加原理，匹配濾波器的輸出y(t)也由信號so(t)和噪聲no(t)兩部分構(gòu)成，即y(t)=so(t)+no(t)設(shè)so(t)的頻譜為So(f)，根據(jù)信號與系統(tǒng)理論得So(f)=S(f)H(f)求So(f)的傅氏反變換，可得到輸出信號so(t)為

(9-2-1)輸出噪聲no(t)的功率譜密度為根據(jù)式(9-2-1)，t0時(shí)刻的輸出信號值為

則在t0時(shí)刻輸出信號的瞬時(shí)功率為

(9-2-2)

而輸出噪聲的平均功率為(9-2-3)那么，根據(jù)式（9-2-2）、（9-2-3）得到在時(shí)刻t0上匹配濾波器輸出信號瞬時(shí)功率與噪聲平均功率的比值為(9-2-4)由式(9-2-4)可看出，輸出信噪比ro與濾波器的傳輸特性H(f)密切相關(guān)。應(yīng)用許瓦茲不等式可以得到，當(dāng)(9-2-5)時(shí)，輸出瞬時(shí)信噪比達(dá)最大值

(9-2-6)式中k為常數(shù)，可任意選取， 為輸入信號的能量。式（9-2-5）所示即為匹配濾波器的傳輸性，它與輸入信號頻譜的復(fù)共軛成正比，其名稱由此得來。9.2.2匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)根據(jù)傳輸特性H(f)與沖激響應(yīng)h(t)是一對傅氏變換，由式(9-2-7)可得匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)為

當(dāng)輸入信號s(t)為實(shí)信號時(shí)，有S*(f)=S(-f)。因此

(9-2-7)由式(9-2-8)可知，匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)是輸入信號s(t)對縱軸的鏡像s(-t)在時(shí)間上延遲了t0。圖9.2.2中，(a)和(b)分別為s(t)和它的鏡像s(-t)，(c)、(d)、(e)是t0取不同值時(shí)的h(t)。圖9.2.2匹配濾波器的沖激響應(yīng)由于t0是取樣時(shí)刻，所以從提高傳輸速率考慮，t0應(yīng)盡可能小。但是h(t)是匹配濾波器的沖激響應(yīng)，從物理可實(shí)現(xiàn)性考慮，當(dāng)t<0時(shí)，應(yīng)有h(t)=0。因此t0<t2時(shí)的匹配濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的，必須要求t0≥t2，如圖9.2.2(d)、(e)所示。綜合上述兩個(gè)方面考慮，應(yīng)取t0=t2。t2是信號s(t)的結(jié)束時(shí)間，也就是說在輸入信號剛剛結(jié)束時(shí)立即取樣，這樣對接收信號能及時(shí)地作出判決，同時(shí)它對應(yīng)的h(t)是物理可實(shí)現(xiàn)的。若取樣時(shí)間先于信號結(jié)束時(shí)間，即t0<t2，顯然是不正確的，因?yàn)檩斎胄盘栠€未結(jié)束，怎么可能獲取輸入信號的全部能量而使輸出信噪比最大呢？9.2.3匹配濾波器的輸出波形so(t)匹配濾波器的輸入信號為s(t)，沖激響應(yīng)為h(t)=s(t0-t)，匹配濾波器的輸出等于輸入信號與沖激響應(yīng)的卷積，即上式中，Rs(t0-t)是s(t)的自相關(guān)函數(shù)，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)的特性，即有

so(t)=kRs(t-t0)

(9-2-8)式(9-2-8)說明匹配濾波器的輸出信號在形式上與輸入信號的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)相同，僅差一個(gè)常數(shù)因子k，以及在時(shí)間上延遲t0。從這個(gè)意義上來說，匹配濾波器可以看成一個(gè)計(jì)算輸入信號自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器。

我們知道，自相關(guān)函數(shù)Rs(t-t0)的最大值是Rs(0)。從式(9-2-8)可得，匹配濾波器的輸出信號so(t)在t=t0時(shí)達(dá)到最大值，為

這個(gè)結(jié)果再次說明，在t0時(shí)刻之前，匹配濾波器對輸入信號進(jìn)行處理，從而在t0時(shí)刻形成輸出信號的峰值。圖9.2.3信號波形

例9.2.1

已知信號s(t)如圖9.2.3中(a)所示，求與之匹配的濾波器的傳輸特性和輸出信號波形。

解根據(jù)式(9-2-7)，與s(t)匹配的匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)為

h(t)=ks(t0-t)=ks(τ0-τ)匹配濾波器的傳輸特性H(f)是沖激響應(yīng)h(t)的傅氏變換，所以

求傳輸特性H(f)的另一方法是先求出信號s(t)的頻譜函數(shù)S(f)

再根據(jù)式(9-2-5)得

由式(9-2-8)可知，匹配濾波器的輸出信號

例9.2.2

已知s(t)如圖9.2.4（a）所示，求對應(yīng)的匹配濾波器的沖激響應(yīng)及輸出信號波形。圖9.2.4例9.2.2匹配濾波器沖激響應(yīng)和輸出波形解根據(jù)式（9-2-8）得式中t0取為T，即如圖9.2.4（b）所示。根據(jù)式(9-2-8)，得較為復(fù)雜的運(yùn)算，當(dāng)f0較大時(shí)，so(t)近似為其波形示意圖如圖9.2.4（c）所示，在t=T時(shí)輸出波形達(dá)到最大值。9.3最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)及其抗操聲性能9.3.1最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)二元數(shù)字信號的最佳接收機(jī)框圖如圖9.3.1所示。圖9.3.1用匹配濾波器實(shí)現(xiàn)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)發(fā)送端在任意一個(gè)碼元間隔Ts內(nèi)發(fā)送兩個(gè)波形s1(t)、s2(t)中的一個(gè)，接收機(jī)上、下兩個(gè)支路的匹配濾波器分別對這兩個(gè)波形匹配，所以當(dāng)發(fā)送端發(fā)送波形s1(t)時(shí)，上支路匹配濾波器在取樣時(shí)刻t0輸出最大值kE，當(dāng)發(fā)送端發(fā)送波形s2(t)時(shí)，下支路匹配濾波器在取樣時(shí)刻輸出最大值kE，而與接收信號不匹配的濾波器在取樣時(shí)刻輸出的值小于kE。所以判決器的任務(wù)是根據(jù)上、下兩支路取樣值的大小進(jìn)行判決，如上支路取樣值大，認(rèn)為接收到的信號為s1(t)；如下支路取樣值大，認(rèn)為接收到的信號為s2(t)。由前面的分析我們知道，當(dāng)接收信號為s1(t)時(shí)，上支路匹配濾波器的輸出為so1(t)=kRs1(t-Ts)在Ts時(shí)對輸出進(jìn)行取樣，取樣值達(dá)最大，為(9-3-1)當(dāng)接收信號為s2(t)時(shí)，下支路匹配濾波器的輸出為so2(t)=kRs2(t-Ts)在Ts時(shí)對輸出進(jìn)行取樣，取樣值達(dá)最大，為(9-3-2)由式(9-3-1)、(9-3-2)可知，匹配濾波器在取樣時(shí)刻的輸出值so1(Ts)及so2(Ts)可以用相乘與積分這樣的相關(guān)運(yùn)算來求得，所以圖9.3.1所示的匹配濾波器式最佳接收機(jī)可用相關(guān)器來實(shí)現(xiàn)，框圖如圖9.3.2所示。圖9.3.2用相關(guān)器實(shí)現(xiàn)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)多元數(shù)字信號的最佳接收機(jī)框圖是二元數(shù)字信號最佳接收機(jī)框圖的推廣。如圖9.3.3所示。接收機(jī)在任一碼元間隔內(nèi)收到s1(t)，s2(t)，…，sm(t)中的一個(gè)波形，設(shè)為si(t)，則si(t)分別與s1(t)，s2(t)，…，sm(t)相乘并積分，比較這m個(gè)積分值，不考慮噪聲及其它干擾時(shí)，則第i支路的積分值是最大的，接收機(jī)判接收信號是si(t)。圖9.3.3用相關(guān)器實(shí)現(xiàn)的多元信號最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)9.3.2二元數(shù)字信號最佳接收機(jī)的誤碼率由于噪聲的影響，最佳接收機(jī)在判決時(shí)也會發(fā)生錯判，如發(fā)端發(fā)送s1(t)信號，接收機(jī)卻判決為s2(t)信號，反之亦然。接收機(jī)發(fā)生錯判的可能性大小用誤碼率來衡量。最佳接收機(jī)誤碼率的分析方法與前面介紹過的各種解調(diào)器的誤碼率分析方法完全相同。以圖9.3.2所示的二元數(shù)字信號最佳接收機(jī)為例，來推導(dǎo)二元數(shù)字信號s1(t)及s2(t)等概等能量時(shí)，可推得其誤碼率為(9-3-3)式中，

是信號s1(t)或s2(t)的能量，是s1(t)與s2(t)的互相關(guān)系數(shù)。

在基帶系統(tǒng)中，已討論了單極性基帶系統(tǒng)、雙極性基帶系統(tǒng)的誤碼率。在調(diào)制技術(shù)這一章中，我們也介紹了2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK各種解調(diào)方法的誤碼率。

1.單極性基帶信號前提條件：s1(t)、s2(t)分別對應(yīng)“1”碼和“0”碼，若“1”、“0”等概，且“1”碼的能量為E1，“0”碼能量為0。由于“1”碼、“0”碼能量不等，Es取兩個(gè)能量的平均值，即Es=E1/2。單極性信號ρ=0。代入公式(9-3-3)，可得單極性信號最佳接收機(jī)的誤碼率為

(9-3-4)

2.雙極性基帶信號前提條件：“1”、“0”等概，“1”碼能量為E1，“0”碼能量為E2，且E1=E2。因?yàn)椤?”碼能量等于“0”碼能量，所以Es=E1=E2，雙極性信號的ρ=-1。代入公式(9-3-3)得雙極性信號最佳接收機(jī)的誤碼率為

(9-3-5)

3.2ASK信號前提條件：“1”、“0”等概，且“1”碼的能量為E1，“0”碼能量為0。

2ASK信號可表示為

因此，有，所以一個(gè)碼元內(nèi)的平均能量為，ρ=0。代入公式(9-3-8)得2ASK信號最佳接收機(jī)的誤碼率為

(9-3-6)

4.2FSK信號前提條件：“1”、“0”等概，“1”碼能量為E1，“0”碼能量為E2，且E1=E2。

2FSK信號可表示為當(dāng)選擇

時(shí)，s1(t)與s2(t)正交，即

此時(shí)代入公式(9-3-8)得2FSK信號最佳接收機(jī)誤碼率為

(9-3-7)

5.2PSK信號前提條件：“1”、“0”等概，“1”碼能量為E1，“0”碼能量為E2，且E1=E2。

2PSK可表示為

此時(shí)

代入公式(9-3-8)得2PSK信號最佳接收機(jī)誤碼率為

(9-3-8)需要說明的是：單極性基帶信號和2ASK不符合等能量的條件，我們用平均能量代入式(9-3-3)得到它們的誤碼率。從數(shù)學(xué)上可以證明這樣得到的結(jié)論是正確的。比較式(9-3-6)、(9-3-7)、(9-3-8)可知，在no相同時(shí)，要達(dá)到2PSK的誤碼率，2ASK信號“1”碼能量應(yīng)為2PSK“1”碼能量的4倍，2FSK信號“1”碼能量應(yīng)為2PSK信號“1”碼能量的2倍。顯然，2PSK信號的誤碼性能是最好的，2FSK信號的誤碼性能次之，三者之中2ASK的誤碼性能最差。這個(gè)結(jié)論與在一般接收機(jī)中得到的結(jié)論是一致的。

例9.3.1

設(shè)到達(dá)接收機(jī)輸入端的二進(jìn)制信號s1(t)及s2(t)如圖9.3.4所示，輸入高斯噪聲功率譜密度為no/2。

(1)畫出匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)。

(2)確定匹配濾波器的沖激響應(yīng)及輸出波形。

(3)求此最佳系統(tǒng)的誤碼率。圖9.3.4輸入的二進(jìn)制信號

解

(1)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)如圖9.3.5所示。圖9.3.5最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)

(2)由題意得：h1(t)=s1(t0-t)=s1(T-t)h2(t)=s2(t0-t)=s2(T-t)h1(t)、h2(t)的波形如圖9.3.6(a)所示。匹配濾波器輸出

y1(t)、y2(t)的波形圖如圖9.3.6(b)所示。圖9.3.6波形圖

(3)兩個(gè)信號能量為：

由此看出，兩個(gè)信號是等能量的，即

，則

所以，系統(tǒng)的誤碼率為9.3.3最佳接收機(jī)與實(shí)際接收機(jī)誤碼性能比較為便于比較，現(xiàn)將各類系統(tǒng)的誤碼性能列于表9-4-1。由表看出，實(shí)際接收機(jī)的誤碼性能都明顯低于最佳接收機(jī)。若要達(dá)到最佳接收機(jī)性能，顯然要求輸入信噪比提高1倍即提高3dB?？梢?，最佳接收機(jī)是優(yōu)于實(shí)際接收機(jī)的。另外，實(shí)際接收機(jī)計(jì)算帶寬時(shí)，我們僅以頻譜的主瓣來計(jì)算，實(shí)際上帶寬比此值要大，會引入更多的噪聲，因此實(shí)際接收機(jī)性能比公式計(jì)算結(jié)果還要差些。習(xí)題

1．有如題1圖所示的持續(xù)時(shí)間為2s的信號s(t)。在白噪聲功率譜為no/2的背景下傳輸，用匹配濾波器檢測該信號。

(1)試畫出該信號的匹配濾波器沖激響應(yīng)。

(2)計(jì)算該匹配濾波器的傳輸特性。

(3)畫出匹配濾波器的輸出波形。

(4)求匹配濾波器輸出平均噪聲功率。

(5)求匹配濾波器輸出最大信噪比。題1圖

2．已知矩形脈沖波形p(t)=A［U(t)-U(t-T)］，U(t)為階躍函數(shù)。

(1)畫出匹配濾波器的沖激響應(yīng)。

(2)畫出匹配濾波器的輸