2025高考數(shù)學一輪復習-7.3.1-離散型隨機變量的均值【課件】

7.3.1離散型隨機變量的均值

第七章

7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征知識梳理1.離散型隨機變量的均值的概念一般地，若離散型隨機變量X的分布列為知識點一離散型隨機變量的均值Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝

＝

為隨機變量X的均值或數(shù)學期望.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn2.離散型隨機變量的均值的意義均值是隨機變量可能取值關于取值概率的

，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的

.3.離散型隨機變量的均值的性質若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且有E(aX＋b)＝

.加權平均數(shù)平均水平aE(X)＋b證明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，X是隨機變量，那么Y也是隨機變量.因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.思考離散型隨機變量的均值與樣本平均值之間的關系如何？答案(1)區(qū)別：隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化.(2)聯(lián)系：對于簡單的隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值.知識點二兩點分布的均值如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.1.隨機變量X的均值E(X)是個變量，其隨X的變化而變化.(

)2.隨機變量的均值反映了樣本的平均水平.(

)3.若隨機變量X的均值E(X)＝2，則E(2X)＝4.(

)4.若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝P(X＝1).(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×題型探究一、利用定義求離散型隨機變量的均值例1

袋中有4只紅球，3只黑球，現(xiàn)從袋中隨機取出4只球，設取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值.解取出4只球顏色及得分分布情況是4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，X的可能取值為5,6,7,8，故X的分布列為跟蹤訓練1

某衛(wèi)視綜藝節(jié)目中有一個環(huán)節(jié)叫“超級猜猜猜”，規(guī)則如下：在這一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目，若三道題目中猜對一道題目可得1分，若猜對兩道題目可得3分，要是三道題目完全猜對可得6分，若三道題目全部猜錯，則扣掉4分.如果嘉賓猜對這三道題目的概率分別為

，且三道題目之間相互獨立.求某嘉賓在該“猜題”環(huán)節(jié)中所得分數(shù)的分布列與均值.解根據題意，設X表示“該嘉賓所得分數(shù)”，則X的可能取值為－4,1,3,6.∴X的分布列為二、離散型隨機變量均值的性質例2

已知隨機變量X的分布列為

若Y＝－2X，則E(Y)＝____.解析由隨機變量分布列的性質，得由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，所以a＝15.跟蹤訓練2

已知隨機變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，則m的值為√解析因為η＝12ξ＋7，則E(η)＝12E(ξ)＋7，三、均值的實際應用例3

隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設1件產品的利潤(單位：萬元)為X.(1)求X的分布列；解X的所有可能取值有6,2,1，－2，故X的分布列為X621－2P0.630.250.10.02解E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬元).(2)求1件產品的平均利潤(即X的均值)；(3)經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.若此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？解設技術革新后的三等品率為x，則此時1件產品的平均利潤為E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依題意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%.跟蹤訓練3

受轎車在保修期內維修費等因素的影響，企業(yè)生產每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關，某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的概率；解設“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內”為事件A，(2)若該廠生產的轎車均能售出，記生產一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列；解依題意得，X1的分布列為X2的分布列為(3)該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產其中一種品牌轎車，若從經濟效益的角度考慮，你認為應該生產哪種品牌的轎車？說明理由.∵E(X1)>E(X2)，∴應生產甲品牌轎車.隨堂練習1.已知離散型隨機變量X的分布列為則X的均值E(X)等于12345√123452.拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值為A.0 B. C.1 D.－1√123453.設ξ的分布列為又設η＝2ξ＋5，則E(η)等于√123452123455.某人進行一項試驗，若試驗成功，則停止試驗，若試驗失敗，再重新試驗一次，若試驗3次均失敗，則放棄試驗.若此人每次試驗成功的概率均為

，則此人試驗次數(shù)ξ的均值是____.12345解析試驗次數(shù)ξ的可能取值為1,2,3，所以ξ的分布列為對點練習1.某便利店記錄了100天某商品的日需求量(單位：件)，整理得下表：基礎鞏固12345678910111213141516日需求量n1415161820頻率0.10.20.30.20.2試估計該商品日平均需求量為A.16 B.16.2 C.16.6 D.16.8√解析估計該商品日平均需求量為14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故選D.2.(多選)已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則

A.a＝7 B.b＝0.4C.E(aX)＝44.1 D.E(bX＋a)＝2.62X4a9P0.50.1b√√√12345678910111213141516解析由題意和分布列的性質得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故ABC正確.123456789101112131415163.現(xiàn)有一個項目，對該項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元，1.18萬元，1.17萬元的概率分別為

，隨機變量X表示對此項目投資10萬元一年后的利潤，則X的均值為A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.38√12345678910111213141516解析因為X的所有可能取值為1.2,1.18,1.17，所以X的分布列為12345678910111213141516解析由題意，可知X的所有可能取值為0,1,2,3.4.袋中有10個大小相同的小球，其中記為0號的有4個，記為n號的有n個(n＝1,2,3).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標號，則E(X)等于√123456789101112131415165.一個課外興趣小組共有5名成員，其中3名女性成員，2名男性成員，現(xiàn)從中隨機選取2名成員進行學習匯報，記選出女性成員的人數(shù)為X，則X的均值是√12345678910111213141516解析由題意得，X的所有可能的取值為0,1,2，123456789101112131415166.已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，則E(X)＝____.2解析∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.123456789101112131415167.離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，則a＝____，b＝___.解析易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3. ①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，

②0123456789101112131415168.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：

已知E(X)＝8.9，則y的值為____.0.4X78910Px0.10.3y123456789101112131415169.盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池.現(xiàn)無放回地每次取一節(jié)電池檢驗，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值.12345678910111213141516解X的可能取值為1,2,3，所以抽取次數(shù)X的分布列為1234567891011121314151610.春節(jié)期間，小王用私家車送4位朋友到三個旅游景點去游玩，每位朋友在每一個景點下車的概率均為

，用ξ表示4位朋友在第三個景點下車的人數(shù)，求：(1)隨機變量ξ的分布列；12345678910111213141516解ξ的所有可能值為0,1,2,3,4.從而ξ的分布列為12345678910111213141516(2)隨機變量ξ的均值.解由(1)得ξ的均值為12345678910111213141516解析出海的期望效益E(X)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元).綜合運用11.某船隊若出海后天氣好，可獲得5000元；若出海后天氣壞，將損失2000元.根據預測知天氣好的概率為0.6，則出海的期望效益是A.2000元

B.2200元

C.2400元

D.2600元√12345678910111213141516解析∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)為常數(shù)，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.12.若X是一個隨機變量，則E(X－E(X))的值為A.無法確定

B.0 C.E(X)D.2E(X)√1234567891011121314151613.若p為非負實數(shù)，隨機變量ξ的分布列為

則E(ξ)的最大值為√1234567891011121314151621234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究15.(多選)體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止.設某學生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的均值E(X)>1.75，則p的取值可以為√√12345678910111213141516解析根據題意，X的所有的可能取值為1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，則E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依題意有E(X)>1.75，則p2－3p＋3>1.75，結合選項可知AB正確.1234567891011121314151616.某牛奶店每天以每盒3元的價格從牛奶廠購進若干盒鮮牛奶，然后以每盒5元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的牛奶作為垃圾回收處理.(1)若牛奶店一天購進50盒鮮牛奶，求當天的利潤x(單位：元)關于當天需求量n(單位：盒，n∈N*)的函數(shù)解析式；解當n<50時，y＝5n－50×3＝5n－150，當n≥50時，y＝50