2025高考數(shù)學一輪復習-7.4.1-二項式定理【課件】

第1課時二項式定理

第7章

7.4二項式定理1.理解二項式定理的相關(guān)概念.2.掌握二項式定理的特征及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.學習目標艾薩克·牛頓IsaacNewton(1643－1727)英國科學家.他被譽為人類歷史上最偉大的科學家之一.他不僅是一位物理學家、天文學家，還是一位偉大的數(shù)學家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛頓從劍橋回到鄉(xiāng)下，研讀沃利斯博士的《無窮算術(shù)》，牛頓開始了對二項式定理的研究，并最終建立二項式定理，牛頓是如何思考的呢？導語隨堂練習對點練習一、二項式定理二、二項展開式通項的應用內(nèi)容索引一、二項式定理問題1

在初中，我們用多項式乘法法則得到了(a＋b)2的展開式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步計數(shù)原理解釋展開式中的項是如何產(chǎn)生的？提示

展開式中的每一項都是從兩個括號中各取1個字母的乘積.問題2

你能根據(jù)問題1的分析，寫出(a＋b)3的展開式嗎？知識梳理二項式定理(a＋b)n＝

(n∈N*).(1)這個公式叫作二項式定理.(2)二項展開式：等號右邊的多項式叫作(a＋b)n的二項展開式，它一共有

項.n＋1(4)二項式通項：(a＋b)n展開式的第

項稱為二項式通項，記作Tr＋1＝

.r＋1注意點：(1)每一項中a與b的指數(shù)和為n.(2)各項中a的指數(shù)從n起依次減小1，到0為止，各項中b的指數(shù)從0起依次增加1，到n為止.(3)a與b的位置不能交換.二、二項展開式通項的應用(2)第4項的系數(shù).∴n＝8或n＝1(舍).(2)求含x項的系數(shù).解

通項公式為Tr＋1＝

∵第6項為常數(shù)項，(2)求含x2的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項.∵r∈N，∴t應為偶數(shù).令t＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為405x2，－61236，295245x－2.跟蹤訓練3

(1)若(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則常數(shù)a＝___.(用數(shù)字填寫答案)即n2－3n－4＝0，又n∈N*，解得n＝4.根據(jù)題意可知4－r＝2，解得r＝2.隨堂練習1.(x＋2)n的展開式共有11項，則n等于A.9B.10C.11D.81234√解析

因為(x＋2)n的展開式共有n＋1項，而(x＋2)n的展開式共有11項，所以n＝10，故選B.1234A.60B.－60C.250D.－250√123438412344.化簡：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝______.x5解析

原式＝[(x－1)＋1]5＝x5.對點練習基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415A.1

B.－1C.(－1)n

D.3n16√解析

逆用二項式定理，將1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.A.m＝－840 B.m＝840C.n＝210 D.n＝－21012345678910111213141516√√12345678910111213141516A.33B.29C.23D.19√123456789101112131415164.(1＋3x)n(n∈N*)的展開式中，若第三項的二項式系數(shù)為6，則第四項的系數(shù)為A.4B.27C.36D.108√123456789101112131415165.已知(1＋ax)6＝1＋12x＋bx2＋…＋a6x6，則實數(shù)b的值為A.60B.40C.20D.15√12345678910111213141516√6.(多選)在(ax＋1)7的展開式中，若x3的系數(shù)是x2的系數(shù)和x5的系數(shù)的等比中項，則下列說法正確的是C.展開式中含x3的二項式系數(shù)為35D.展開式中含x5的系數(shù)為21√√123456789101112131415161234567891011121314151687.若二項式(1＋2x)n展開式中x3的系數(shù)等于x2的系數(shù)的4倍，則n＝_____.12345678910111213141516解析

由題意得n＝6，1601234567891011121314151612345678910111213141516(2)含x2的項.令3－r＝2，得r＝1.所以含x2的項為第2項，且T2＝－192x2.1234567891011121314151612345678910111213141516化簡得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23，因為n<15，所以n＝14.12345678910111213141516(2)寫出它的展開式中的所有有理項.解

展開式的通項Tr＋1＝展開式中的有理項當且僅當r是6的倍數(shù)，又0≤r≤14，r∈N，所以展開式中的有理項共3項，分別是綜合運用1234567891011121314151611.對任意實數(shù)x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，則a2的值為A.3B.6C.9

D.21√12345678910111213141516∴正整數(shù)n的最小值為5.√12345678910111213141516A.存在n∈N*，展開式中有常數(shù)項B.對任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項C.對任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項D.存在n∈N*，展開式中有一次項√√1234567891011121314151610(1)n的值為_____；解得n＝10.123456789101112131415166(2)含x的整數(shù)次冪的項有____個.拓廣探究1234567891011121314151615.(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式中的項數(shù)為______________.1234567891011121314