2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.2-排列與組合

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第2節(jié)排列與組合ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并按照____________排成一列，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合一定的順序2.排列數(shù)與組合數(shù)3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.2.對(duì)于分配問(wèn)題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.×1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)××√√解析(1)元素相同但順序不同的排列是不同的排列，故錯(cuò)誤；(2)一個(gè)組合中取出的元素不講究順序，元素相同即為同一組合，故錯(cuò)誤；C2.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有(

) A.120種

B.90種

C.60種 D.30種C解析根據(jù)題設(shè)中的要求，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，可分兩步進(jìn)行安排：3.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有(

) A.60種

B.120種

C.240種

D.480種4.周六晚上，小紅和爸爸、媽媽、弟弟一起去看電影，訂購(gòu)的4張電影票恰好在同一排且連在一起.為安全起見，每個(gè)孩子至少有一側(cè)有家長(zhǎng)陪坐，則不同的坐法種數(shù)為(

) A.8

B.12

C.16 D.20C①②③④5.(易錯(cuò)題)把5張不同的電影票分給4個(gè)人，每人至少一張，則不同的分法種數(shù)為________.2406.某人某天運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)需要大于等于60分鐘，現(xiàn)有如下表所示的五項(xiàng)運(yùn)動(dòng)可以選擇，則共有________種運(yùn)動(dòng)組合方式.23A運(yùn)動(dòng)B運(yùn)動(dòng)C運(yùn)動(dòng)D運(yùn)動(dòng)E運(yùn)動(dòng)7點(diǎn)～8點(diǎn)8點(diǎn)～9點(diǎn)9點(diǎn)～10點(diǎn)10點(diǎn)～11點(diǎn)11點(diǎn)～12點(diǎn)30分鐘20分鐘40分鐘30分鐘30分鐘KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2例1

有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù). (1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，(4)全體排成一排，男生互不相鄰；解

法一

(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；法二

(特殊位置優(yōu)先法)左右兩邊位置可安排另6人中的兩人，(6)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊；解由于甲、乙、丙的順序一定，(7)甲、乙、丙三人從左到右順序一定.C解析根據(jù)題意知，要求這個(gè)五位數(shù)比20000大，則萬(wàn)位數(shù)必須是2，3，4，5這4個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，(2)用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有(

)A.96個(gè)

B.78個(gè)

C.72個(gè) D.64個(gè)B因此共有54＋24＝78(個(gè))這樣的五位數(shù)符合要求.∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.例2

某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種. (1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？解從34種可選商品中，選取3種，(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種.∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？訓(xùn)練2(1)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上任選3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為(

) A.15

B.30

C.35 D.42B(2)(多選)在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門.學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再?gòu)恼?、地理、化學(xué)、生物4門科目中選擇2門，考試成績(jī)計(jì)入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù).某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說(shuō)法正確的是(

)BD角度1相鄰與相間問(wèn)題則女領(lǐng)導(dǎo)人甲必須在A，B之間，此時(shí)共有6×2＝12(種)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，∴共有12×4＝48(種)不同排法.例3(1)北京APEC峰會(huì)期間，有2名女性和3名男性共5位領(lǐng)導(dǎo)人站成一排照相，則女性領(lǐng)導(dǎo)人甲不在兩端，3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中有且只有2位相鄰的站法有(

) A.12種

B.24種

C.48種

D.96種C(2)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(

)A.72 B.120

C.144 D.168解析安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”.B解

無(wú)序不均勻分組問(wèn)題.例4

按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方法？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；角度2分組、分配問(wèn)題解

有序不均勻分組問(wèn)題.由于甲、乙、丙是不同的三人，(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；解

無(wú)序均勻分組問(wèn)題.(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；解

分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，這是部分均勻分組問(wèn)題，(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本.訓(xùn)練3(1)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種.36解析把6本不同的書分成4組，每組至少1本的分法有2類.(2)將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人至少1本的不同分法共有________種.(用數(shù)字作答)1560所以不同的分組方法共有20＋45＝65(種).FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升31.用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(

) A.8

B.24

C.48 D.120CA.{2，8}

B.{2，6}

C.{7，12} D.{8}∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.又∵x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即x＝8.D3.3名大學(xué)生利用假期到2個(gè)山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只去1個(gè)村，每個(gè)村至少1人，則不同的分配方案共有(

) A.4種

B.5種 C.6種

D.8種C4.某班星期三上午要上五節(jié)課，若把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語(yǔ)這五門課安排在星期三上午，數(shù)學(xué)必須比化學(xué)先上，則不同的排法有(

) A.60種

B.30種

C.120種

D.24種A5.互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法(

)D解析A是組合數(shù)公式；B是組合數(shù)性質(zhì)；6.(多選)下列等式正確的有(

)ABC7.6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(

) A.144 B.120

C.72 D.24D8.(多選)若3男3女排成一排，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

) A.共計(jì)有720種不同的排法 B.男生甲排在兩端的共有120種排法 C.男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為120種 D.男女生相間排法總數(shù)為72種BC9.若把英語(yǔ)單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤方法共有________種(用數(shù)字作答).11解析根據(jù)題意，分2種情況討論：10.某省高考實(shí)行3＋3模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必選，物理、化學(xué)、政治、歷史、生物、地理六選三，今年高一的小明與小芳進(jìn)行選科，假若他們對(duì)六科沒(méi)有偏好，則他們至少有兩科相同的選法有________種.200則兩人至少有兩科相同的選法有20＋180＝200(種).11.某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法種數(shù)為________.3012.某學(xué)校組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生到博物館參觀，該博物館設(shè)有青銅器、瓷器、書畫三個(gè)場(chǎng)館.若該學(xué)校將參觀時(shí)間分為三個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段內(nèi)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生參觀的場(chǎng)館互不相同，并且每個(gè)年級(jí)的學(xué)生在三個(gè)時(shí)間段內(nèi)參觀的場(chǎng)館不重復(fù)，則不同的安排方法有________種(用數(shù)字作答).12綜上，每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置的不同的站法種數(shù)是120＋90＝210.故選C.13.甲、乙、丙3人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是(

) A.90

B.120 C.210 D.216C14.(多選)現(xiàn)有4個(gè)小球和4個(gè)小盒子，下面的結(jié)論正確的是(

) A.若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法 B.若4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個(gè)空盒的放法共有18種 C.若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，且恰有一個(gè)空盒的放法共有144種 D.若編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，沒(méi)有一個(gè)空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同的放法共有9種BCD解析若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(種)放法，故A錯(cuò)誤；若編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，沒(méi)有一個(gè)空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同，若(2，1，4，3)代表編號(hào)為1，2，3，4的盒子放入的小球編號(hào)分別為