2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第13講-函數(shù)與方程【課件】

第13講

函數(shù)與方程第二章

基本初等函數(shù)1．f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 (

)A．0 B．1C．2 D．3激活思維【解析】B因?yàn)閒(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0，所以f(x)在(2，3)內(nèi)有零點(diǎn)．又因?yàn)閒(x)為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn)．【解析】B3．(多選)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表：【解析】x123f(x)136.13615.552－3.92x456f(x)10.88－52.488－232.064在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為 (

)由所給的函數(shù)值的表格可以看出，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，所以函數(shù)f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)內(nèi)必有零點(diǎn)．A．(1，2)

B．(2，3)

C．(3，4)

D．(4，5)BCD4．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為

(

)A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．b＞a＞cB【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝2x，y＝log2x，y＝x3及y＝－x的圖象，如圖所示，由圖象可知b＞c＞a.D【解析】令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，根據(jù)分段函數(shù)f(x)的解析式，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．由題可知函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝m有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，1).1．函數(shù)零點(diǎn)及二分法聚焦知識(shí)函數(shù)零點(diǎn)概念函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的__________，即：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．存在定理(1)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②______________＜0.(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得___________，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．橫坐標(biāo)f(a)·f(b)f(c)＝0二分法方法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且滿足f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．步驟第一步確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證_________________，給定精確度ε第二步求區(qū)間[a，b]的中點(diǎn)c第三步計(jì)算f(c)：(1)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若f(a)·f(c)＜0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)＜0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))；(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)～(4).f(a)·f(b)＜02．常用結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根．(2)由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如圖所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．已知函數(shù)f(x)＝e－x－2x－5的零點(diǎn)位于區(qū)間(m，m＋1)(m∈Z)上，則m＝(

)A．－2 B．－1C．0 D．1零點(diǎn)所在區(qū)間的判定舉題說(shuō)法1【解析】A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝e－x－2x－5是連續(xù)減函數(shù)，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0，函數(shù)f(x)＝e－x－2x－5的零點(diǎn)位于區(qū)間(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2.【解析】C零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定2【解析】C變式設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

(

)A．1

B．2

C．3

D．4C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即x＝0是函數(shù)f(x)的1個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x＞0時(shí)，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，分別畫出函數(shù)y＝ex和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)

f(x)在(0，＋∞)上有1個(gè)零點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f(x)也有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.根據(jù)零點(diǎn)情況確定參數(shù)3【解析】【答案】B【解析】3CF(x)＝f(x)＋g(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則有f(x)＋x＋a＝0，即f(x)＝－x－a，故函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－x－a的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象如圖所示，平移直線y＝－x，可以看出當(dāng)－a≤1，即a≥－1時(shí)，直線y＝－x－a與函數(shù)y＝f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．【解析】A因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝f(x)－m有三個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．由圖可知，1＜m≤2，即m的取值范圍是(1，2].【解析】【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)，y＝a的圖象，如圖所示．由圖象知，若f(x)＝a有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則0＜a＜1，故A正確；【答案】ACD嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題新視角4【解析】當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝4x3－6x2＋1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝12x2－12x，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，可得f(x)在x＝1處取得最小值，最小值為－1，且f(0)＝1，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．【答案】A綜上，g(x)共有四個(gè)零點(diǎn)．【解析】4設(shè)t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，得a＝f(t).在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝a，y＝f(t)的圖象(如圖).當(dāng)a≥－1時(shí)，y＝a與y＝f(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t1，t2(不妨設(shè)t2＞t1)，則t1＜－1，t2≥－1.當(dāng)t1＜－1時(shí)，t1＝f(x)有一解；當(dāng)t2≥－1時(shí)，t2＝f(x)有兩解．當(dāng)a＜－1時(shí)，y＝a與y＝f(t)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t0，則t0＜－1，t0＝f(x)有一解．綜上，當(dāng)a≥－1時(shí)，函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個(gè)不同的零點(diǎn)．【答案】[－1，＋∞)隨堂練習(xí)1．函數(shù)f(x)＝lnx與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (

)A．3

B．2

C．1

D．0B【解析】由題知g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)＝lnx與g(x)＝(x－2)2的圖象，如圖所示．由圖可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．2．函數(shù)f(x)＝2x＋2x－7的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 (

)A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x、y＝2x－7在R上均為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)．因?yàn)閒(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2).【解析】A若方程f(x)－a＝0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個(gè)不同的交點(diǎn)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y＝f(x)的圖象與直線y＝a，如圖所示．由圖可得，若函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則0＜a＜1.【解析】【答案】1(0，27)配套精練A組夯基精練一、

單項(xiàng)選擇題1．已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1)(k∈Z)內(nèi)，則k＝ (

)A．0 B．1C．2 D．3B【解析】設(shè)f(x)＝3x＋2x－10，則f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故f(x)在定義域內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)閒(1)＝3＋2－10＝－5＜0，f(2)＝9＋4－10＝3＞0，所以f(x)僅在(1，2)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程3x＋2x－10＝0的解僅在(1，2)內(nèi)，故k＝1.【解析】B3．函數(shù)f(x)＝(x2－x)·ln|2x－3|在區(qū)間[－2，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A．3 B．4C．5 D．6A【解析】求函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在[－2，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程(x2－x)ln|2x－3|＝0在[－2，2]上的根的個(gè)數(shù)．由(x2－x)ln|2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln|2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在[－2，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.【解析】由題意知，函數(shù)y＝e－x與g(x)＝ln(x＋a)的圖象在(0，＋∞)上有交點(diǎn)．當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)＝ln(x＋a)的圖象是由函數(shù)y＝lnx的圖象向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，根據(jù)圖象可知此時(shí)只需要g(0)＝lna＜1，即0＜a＜e；當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)＝ln(x＋a)的圖象是由函數(shù)y＝lnx的圖象向右平移－a個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，此時(shí)在(0，＋∞)上y＝e－x與g(x)的圖象恒有交點(diǎn)，滿足條件．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，e).【答案】D二、

多項(xiàng)選擇題5．已知函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表：【解析】x－11357f(x)－1172－38則一定包含f(x)的零點(diǎn)的區(qū)間是 (

)A．(－1，1) B．(1，3)C．(3，5) D．(5，7)因?yàn)閒(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(－1)f(1)＜0，f(3)f(5)＜0，f(5)f(7)＜0，所以一定包含f(x)的零點(diǎn)的區(qū)間是(－1，1)，(3，5)，(5，7).ACD【解析】對(duì)于A，若f(x0)＝x0，則2x0＝0，該方程無(wú)解，故該函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；【答案】BCD三、

填空題7．函數(shù)f(x)＝|x2－2x|－|log2x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)____．3【解析】由題意，f(x)＝|x2－2x|－|log2x|＝0?|x2－2x|＝|log2x|，即函數(shù)f(x)＝|x2－2x|－|log2x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為y＝|x2－2x|與y＝|log2x|的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)＝|x2－2x|－|log2x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3.【解析】綜上，函數(shù)y＝f(f(x))－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.2【解析】令g(x)＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，故函數(shù)g(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)f(x)與y＝1圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．－1四、

解答題10．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x＋1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；【解答】10．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x＋1.(2)討論函數(shù)g(x)＝f(x)－mx零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】由g(x)＝f(x)－mx，又f(x)為奇函數(shù)，y＝－mx也為奇函數(shù)，可得g(x)為奇函數(shù)．可令g(x)＝0，即f(x)＝mx.當(dāng)x＝0時(shí)，顯然g(x)＝0，無(wú)論m取何值，x＝0均為g(x)的零點(diǎn)．當(dāng)m＝－2時(shí)，函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m＞－2時(shí)，函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m＜－2時(shí)，函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上無(wú)零點(diǎn)．根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可得，當(dāng)m＝－2時(shí)，函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m＞－